变量替换，换元处理；凸显关系，拨云见日
常值换元：常数用字母替换
整体换元：一个或几个式子分别看成整体，用一个或几个新变量替换
1.计算： 2．计算：
3．若M＝123 456 789×123 456 786，N＝123 456 788×123 456 787，试比较M与N的大小．
计算：(a1＋a2＋…＋an－1)(a2＋a3＋…＋an－1＋an)－(a2＋a3＋…＋an－1)(a1＋a2＋…＋an)
(n≥3，且n为正整数)．
5．已知 ， ，…， 都是正数，如果 M＝（ + +…+ ）（ + +…+ ），N＝（ + +…+ ）（ + +…+ ），判断 M，N 的大小关系.
已知均为负数，，，判断与的大小关系
7．已知(2 016－a)(2 018－a)＝2 017，求(2 016－a)2＋(2 018－a)2的值．
“数学帝”葛军：三样宝贝之一个A
-----你想A是什么，它就是什么！看A不是A,看“A”应认为是你曾经的所有…… 葛军：学好数学，三样宝贝：一把剑，一个A，一面镜子。一个A，“万象大千，爱（谐音A）在处处”。A在 “数”处，可以代表正整数，可以代表分数，代表无理数、实数………A在“式”上，还可以代表一个算术算式，一个多项式，代表分式，无理式………，A还可以代表一个几何图形及其周长与面积………要了解A的概念、出现的形式，在解题中能快速将它们识别出来，同时能用整体性的思维去看待它们。
8．若n满足（n﹣2021）2+（2022﹣n）2＝1，求（n﹣2021）（2022﹣n）的值.
9．若x满足（30﹣x）（x﹣10）＝160，求（30﹣x）2+（x﹣10）2的值．
10.如图,正方形ABCD的边长为x，AE=10，CG=20，长方形EFGD的面积是500，四边形NGDH和MEDQ都是正方形，四边形PQDH是长方形，求阴影部分的面积.
11．数学活动课上，老师准备了图1中三种不同大小的正方形与长方形，拼成了一个如图2所示的正方形．（1）请用两种不同的方法表示图2中阴影部分的面积和．
方法1： ；
方法2： ．
直接写出三个代数式：（a+b）2，a2+b2，ab之间的等量关系 ．
（3）根据（2）题中的等量关系，解决如下问题：
①已知m+n＝5，m2+n2＝20，求mn和（m﹣n）2的值；
②已知（x﹣2021）2+（x﹣2023）2＝34，求（x﹣2022）2的值．
12.已知 求(x-2021)2的值；
参考答案
解:设20222021=m，
则原式 .
2．解：设20 182 017＝m，则原式＝
＝＝＝.
3. 解：设123 456 788＝a，则123 456 789＝a＋1，123 456 786＝a－2，123 456 787＝a－1.
从而M＝(a＋1)(a－2)＝a2－a－2，N＝a(a－1)＝a2－a.
所以M－N＝(a2－a－2)－(a2－a)＝－2＜0，所以M＜N.
4. 解：设a2＋a3＋…＋an－1＝M，则原式＝(a1＋M)(M＋an)－M(a1＋M＋an)
＝a1M＋a1an＋M2＋anM－a1M－M2－anM＝a1an.
解：设 ∵ ， ，…， 都是正数∴∴，
6.解：设，，则，
，
注意到 ， ，…， 都是负数，即可判断 .
解：(2 016－a)2＋(2 018－a)2＝[(2 016－a)－(2 018－a)]2＋2(2 016－a)(2 018－a)
＝(－2)2＋2×2 017＝4＋4 034＝4 038.
8．解：设n﹣2021＝x，2022﹣n＝y，∴x+y＝n﹣2021+2022﹣n＝1，
∵（n﹣2021）2+（2022﹣n）2＝1，∴x2+y2＝1，∵x+y＝1，∴（x+y）2＝1，
∴x2+2xy+y2＝1，∴xy＝0，∴（n﹣2021）（2022﹣n）＝0，
9.解：设30﹣x＝a，x﹣10＝b，则（30﹣x）（x﹣10）＝ab＝160，a+b＝（30﹣x）+
（x﹣10）＝20，（30﹣x）2+（x﹣10）2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝202﹣2×160＝80
10.解：因为正方形ABCD的边长为x，AE=10，CG=20，所以DE=x-10，DG=x-20.
所以(x-10)(x-20)=500.设x-10=a，x-20=b，
则 10.
所以.
因为四边形NGDH和MEDQ都是正方形，所以涂色部分的面积为=11002×500=2100.
11．解：（1）阴影两部分求和为a2+b2，用总面积减去空白部分面积为（a+b）2﹣2ab，
故答案为：a2+b2，（a+b）2﹣2ab；（2）由题意得，a2+b2＝（a+b）2﹣2ab；
（3）①由（2）题结论a2+b2＝（a+b）2﹣2ab可得ab＝，
∴m+n＝5，m2+n2＝20时，mn＝＝＝，
（m﹣n）2＝m2﹣2mn+n2；＝20﹣2×＝20﹣5＝15；
②设a＝x﹣2021，b＝x﹣2023，
可得a+b＝（x﹣2021）+（x﹣2023）＝x﹣2021+x﹣2023＝2x﹣4044＝2（x﹣2022），
由（2）题结论a2+b2＝（a+b）2﹣2ab可得，
（a+b）2＝a2+2ab+b2，又∵（a﹣b）2＝[（x﹣2021）﹣（x﹣2023）]2＝22＝4，
且由（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2，可得2ab＝（a2+b2）﹣（a﹣b）2
＝（x﹣2021）2+（x﹣2023）2﹣[（x﹣2021）﹣（x﹣2023）]2
＝34﹣4＝30，
∴（x﹣2022）2＝（）2＝＝＝＝16．
12.解：设x-2021=a，则x- a-1.
因为即 所以 所以 所以结构联想
快速完美的解题与广泛的数学联想是密切相关的。有些问题我们常说“想不到”，实际上应该说是“联不上”。因此，要想提高解题能力，就要在解题中提高联想水平。“结构特征联想”是根据问题的条件或结论所显露的外形结构特征联想与之密切相关的另一数学模式，去发现问题解决的捷径，这样的结构特征也就成为了题目的“眼睛”，“题目会说话”便是如此--------朱成万 王红权
1．【探究】如图①，从边长为a的大正方形中剪掉一个边长为b的小正方形，将阴影部分沿虚线剪开，拼成图②的长方形（1）请你分别表示出这两个图形中阴影部分的面 积， ， .
（2）比较两图的阴影部分面积，可以得到乘法公式： （用字母表示） 【应用】请应用这个公式完成下列各题
①计算：（2a+b﹣c）（2a﹣b+c） ②（2m+n﹣p）（2m﹣n+p）
【拓展】①计算：1002﹣992+982﹣972+…+42﹣32+22﹣12
②（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）…（232+1）+1结果的个位数字为
2．当我们利用2种不同的方法计算同一图形的面积时，可以得到一个等式．例如，由图1．
可得等式：．
（1）由图2，可得等式：___________
（2）请利用（1）中的等式解答下列问题：若三个实数
a，b，c满足，，求的值；
3．先阅读下面材料，再解决问题：在求多项式的值时，有时可以通过“降次”的方法，把字母的次数从“高次”降为“低次”．一般有“逐步降次法”和“整体代入法”两种做法．2·1·c·n·j·y
例如：已知，求多项式的值．
方法一：∵，∴，
∴原式．
方法二：∵，∴，∴原式．
应用：已知，求多项式的值
拓展：已知，求多项式的值
4．（1）填空：_________；__________；
__________________．
（2）猜想：______（其中为正整数，且）．
（3）利用（2）猜想的结论计算：
①； ②
已知a－b＝b－c＝，a2＋b2＋c2＝1，求ab＋bc＋ca的值．
6．已知a＝x－20，b＝x－18，c＝x－16，求式子a2＋b2＋c2－ab－ac－bc的值．
答案1．解：（1）a2﹣b2；（a+b）（a﹣b）．（2）（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2
【应用】①（2a+b﹣c）（2a﹣b+c）＝[2a+（b﹣c）][2a﹣（b﹣c）]
＝4a2﹣（b﹣c）2＝4a2﹣b2+2bc﹣c2
②（2m+n﹣p）（2m﹣n+p）＝（2m）2﹣（n﹣p）2=4m2﹣n2+2np﹣p2
【拓展】①原式＝（100+99）（100﹣99）+（98+97）（98﹣97）+…+（4+3）（4﹣3）+（2+1）（2﹣1）＝100+99+98+97+…+4+3+2+1＝5050
②原式＝（2﹣1）（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）…（232+1）+1
＝（22﹣1）（22+1）（24+1）（28+1）…（232+1）+1
＝（24﹣1）（24+1）（28+1）…（232+1）+1＝（28﹣1）（28+1）…（232+1）+1
＝（216﹣1）…（232+1）+1＝264﹣1+1＝264
∵2的正整数次方的尾数为2，4，8，6循环，64÷4＝16，故答案为：6．
2.解：（1）根据图形可知，大正方形的边长为a+b+c，则其面积为（a+b+c）2，
各部分面积和可表示为：a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc，
∴（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc，故答案为：（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc；
（2）①∵a+b+c=11，ab+bc+ac=38，
∴（a+b+c）2=a2+b2+c2+2（ab+ac+bc），即112=a2+b2+c2+2×38，∴a2+b2+c2=45；
解：（1） ∵=0，∴，
∴原式===
（2） ∵，∴，
∴原式=
==
===5
4.解：（1）（a-b）（a+b）=a2-b2；（a-b）（a2+ab+b2）=a3-b3；
（a-b）（a3+a2b+ab2+b3）=a4-b4；
（2）猜想：=an-bn；
（3）①
=
====4094；
②
=
=
=
===
5.解：由a－b＝b－c＝，得到a－c＝.由(a－b)2＋(b－c)2＋(a－c)2＝2(a2＋b2＋c2)－2(ab＋bc＋ac)，得到ab＋bc＋ca＝(a2＋b2＋c2)－[(a－b)2＋(b－c)2＋(a－c)2]．将a2＋b2＋c2，a－b，b－c及a－c的值代入，可得ab＋bc＋ca＝1－×[()2＋＋]＝1－×＝－.
6．解：由a＝x－20，b＝x－18，c＝x－16，得a－b＝－2，b－c＝－2，c－a＝4.从而a2＋b2＋c2－ab－ac－bc＝[(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2]＝×[(－2)2＋(－2)2＋42]＝12.
