平行线的性质及图形平移课后强化习题
单选题
1. 若∠1和∠2是同旁内角,若∠1=45°,则∠2的度数是 ( )
A.45° B.135° C.45°或135° D.不能确定
2. 如图,在平行线之间放置一块直角三角板,三角板的顶点分别在直线上,则∠1+∠2的值为( )
A.90° B. 85° C. 80° D. 60°
3.如图所示,已知直线AB∥CD,BE平分∠ABC,交CD于D,∠CDE=
150°,则∠C的度数为( )
A.150° B.130° C.120° D.100°
4.如图,OP∥QR∥ST,则下列等式中正确的是( )
A.∠1+∠2-∠3=90°
B.∠2+∠3-∠1=180°
C.∠1-∠2+∠3=180°
D.∠1+∠2+∠3=180°
5. 如图,AB∥CD∥EF,BC∥AD,AC平分∠BAD,且交EF于点O,则与∠AOE相等的角有( )
A.5个 B.4个 C.3个 D.2个
6.如图,AB∥EF∥CD,∠ABC=46°,∠CEF=154°,则∠BCE等于( )
A.23° B.16° C.20° D.26°
7. 如图所示,在一个由4×4个小正方形组成的正方形网格中,把线段EF向右平移3个单位,向下平移1个单位得到线段GH,则阴影部分面积与正方形ABCD的面积比是( )
A.3:4 B.5:8 C.9:16 D.1:2
8. 有下列语句中,真命题的个数是( )
①画直线AB垂直于CD;②若|x|=|y|,则x2=y2.
③两直线平行,同旁内角相等;④直线a、b相交于点O;⑤等角的余角相等.
A.2个 B.3个 C.4个 D.5个
9.如图,已知直线 、 被直线 所截, ,E是直线 右边任意一点(点E不在直线 , 上),设 , .下列各式:① ,② ,③ ,④ , 的度数可能是( )
A.①②③ B.①②④ C.①③④ D.①②③④
10.如图,已知直线AB,CD被直线AC所截,AB∥CD,E是平面内任意一点(点E不在直线AB,CD,AC上),设∠BAE=α,∠DCE=β.下列各式:
①α+β,②α﹣β,③β﹣α,④360°﹣α﹣β,∠AEC的度数可能是( )
A.①②③ B.①②④
C.①③④ D.①②③④ 图4
11.如图,已知直线 , 被直线 所截, ,E是平面内任意一点(点E不在直线 , , 上),设 , .下列各式:① ,② ,③ ,④ , 的度数可能是( )
A.①②③ B.①②④ C.①③④ D.①②③④
12.①如图1,AB∥CD,则∠A +∠E +∠C=180°;②如图2,AB∥CD,则∠E =∠A +∠C;③如图3,AB∥CD,则∠A +∠E-∠1=180° ; ④如图4,AB∥CD,则∠A=∠C +∠P.以上结论正确的个数是( )
A.、1个 B.2个 C.3个 D.4个
13.如图,AB∥CD,点E为AB上方一点,FB,HG分别为∠EFG,∠EHD的角平分线,若∠E+2∠G=150°,则∠EFG的度数为( )
A.90° B.95° C.100° D.150°
14.已知:如图,点D是射线AB上一动点,连接CD,过点D作DE∥BC交直线AC于点E,若∠ABC=84°,∠CDE=20°,则∠ADC的度数为( )
A.104° B.76° C.104°或64° D.104°或76°
15.如图,AB∥CD,∠EAF=3∠BAF,∠ECF=3∠DCF,则∠E与∠F的数量关系是( )
A.∠E+∠F=180° B.∠E=3∠F
C.∠E-∠F=90° D.∠E=4∠F
16.如图,已知A1B∥AnC,则∠A1+∠A2+…+∠An等于( )
A.180°n B.(n+1)·180°
C.(n-1)·180° D.(n-2)·180°
17.如图,AB∥EF,则∠A、∠C、∠D、∠E满足的数量关系是( )
A.∠A+∠C+∠D+∠E=360° B.∠A+∠D=∠C+∠E
C.∠A-∠C+∠D+∠E=180° D.∠E-∠C+∠D-∠A=90°
18.如图,AB∥CD∥EF,则下列各式中正确的是( )
A.∠1=180°﹣∠3 B.∠1=∠3﹣∠2
C.∠2+∠3=180°﹣∠1 D.∠2+∠3=180°+∠1
19.如图,在数轴上,点A表示1,现将点A沿数轴做如下移动;第一次将点A向左移动3个单位长度到达点 ,第二次将点A向右移动6个单位长度到达点 ,第三次将点 向左移动9个单位长度到达点 ,按照这种移动规律移动下去,第n次移动到点 ,如果点 与原点的距离不小于17,那么n的最小值是( )
A.9 B.10 C.11 D.12
20.如图,长方形ABCD中,AB=8,第一次平移长方形ABCD沿AB的方向向右平移6个单位,得到长方形A1B1C1D1,第2次平移将长方形A1B1C1D1沿A1B1的方向向右平移6个单位,得到长方形A2B2C2D2,……第n次平移将长方形An﹣1Bn﹣1Cn﹣1Dn﹣1的方向平移6个单位,得到长方形AnBn nDn(n>2),若ABn的长度为2018,则n的值为( )
A.334 B.335 C.336 D.337
二、填空题
21.如图,已知 , 、 为 上的两点, 、 为 上的两点,延长 于点 , 平分 ,点 在直线 上,且 平分 ,若 .则下列结论:① ;② ;③ ;④设 , ;⑤ 的度数为50°.其中正确结论为 .(填序号)
22.如图,直线l1∥l2,∠BAE=125°,∠ABF=85°,则∠1+∠2= .
23.已知如图,AB∥CD,∠A=130°,∠D=25°,那么∠AED= °.
24.已知,如图,AB∥CD,则∠α、∠β、∠γ之间的关系为_ 。
25.如图,已知点C为两条相互平行的直线AB,ED之间一点, 和 的角平分线相交于F,若∠BCD= ∠BFD+10°,则 △BCD 的度数为 .
26.如果∠α与∠β的两边分别平行,∠α比∠β的3倍少36°,则∠α的度数是 .
27.如图,已知AB∥CD,F为CD上一点,∠EFD=60°,∠AEC=2∠CEF,若6°<∠BAE<15°,∠C的度数为整数,则∠C的度数为 .
28.如图,直线l1∥l2,∠α=∠β,∠1=50°,则∠2= .
29.如图,已知EF∥GH,A、D为GH上的两点,M、B为EF上的两点,延长AM于点C,AB平分∠DAC,直线DB平分∠FBC,若∠ACB=100°,则∠DBA的度数为 .
30.如图,已知∠1+∠2﹦180°,∠3﹦∠B,则DE∥BC,下面是王华同学的推导过程﹐请你帮他在括号内填上推导依据或内容.
证明:
∵∠1+∠2﹦180(已知),
∠1﹦∠4 ( ),
∴∠2﹢ ﹦180°.
∴EH∥AB ( ).
∴∠B﹦∠EHC( ).
∵∠3﹦∠B(已知)
∴∠3﹦∠EHC( ).
∴DE∥BC( ).
31.如图所示,一座楼房的楼梯,高1米,水平距离是2.8米,如果要在台阶上铺一种地毯,那么至少要买这种地毯 米.
三、计算题
32.在四边形ABCD中,∠BAD=∠BCD,AB∥DC,点E是射线CD上一个动点(不与C,D重合),过点E作EF∥AD,交直线AC于点F.
(1)如图,当点E在线段CD上时,求证:∠DEF=∠DCB.
(2)若点E在线段CD的延长线上,用等式表示∠DEF与∠DCB之间的数量关系是 .
四、解答题
33.如图已知AB//CD,试探究∠A,∠APC,∠C的数量关系.
34.如图,AB∥CD,分别探讨下面四个图形中∠APC与∠A,∠C的关系,请你从所得的关系中任意选取一个加以说明.
(1)图(1)结论: ;图(2)结论: ;图(3)结论: ;图(4)结论: .
(2)你准备证明的是图 ,请在下面写出证明过程.
35.如图 ,AB∥CD,且∠PMQ=2∠QMB,∠PNQ=2∠QND,判断∠P 与∠Q的数量关系,并说明理由.
36.如图,在△ABC中, ∠ABC与 ∠ACB的平分线相交于O.过点O作EF∥BC分别交AB、AC于E、F.若 ∠BOC=130°, ∠ABC: ∠ACB=3:2,求 ∠AEF和 ∠EFC.
37.如图,一块边长为8米的正方形土地,在上面修了三条道路,宽都是1米,空白的部分种上各种花草.
①请利用平移的知识求出种花草的面积.
②若空白的部分种植花草共花费了4620元,则每平方米种植花草的费用是多少元?
38.如图,在一块长为20m,宽为14m的草地上有一条宽为2m的曲折小路,你能运用你学的知识求出这块草地的绿地面积吗?
五、综合题
39.已知AB∥CD,点是AB,CD之间的一点.
(1)如图1,试探索∠AEC,∠BAE,∠DCE之间的数量关系;
以下是小明同学的探索过程,请你结合图形仔细阅读,并完成填空(理由或数学式):
解:过点E作PE∥AB(过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行).
∵AB∥CD(已知),
∴PE∥CD( ),
∴∠BAE=∠1,∠DCE=∠2( ),
∴∠BAE+∠DCE= + (等式的性质).
即∠AEC,∠BAE,∠DCE之间的数量关系是 .
(2)如图2,点F是AB,CD之间的一点,AF平分∠BAE,CF平分∠DCE.
①若∠AEC=74°,求∠AFC的大小;
②若CG⊥AF,垂足为点G,CE平分∠DCG,∠AEC+∠AFC=126°,求∠BAE的大小.
40.已知AB∥CD,点E在AB上,点F在DC上,点G为射线EF上一点.
(1)(基础问题)如图1,试说明:∠AGD=∠A+∠D.(完成图中的填空部分).
证明:过点G作直线MN∥AB,
又∵AB∥CD,
∴MN∥CD( )
∵MN∥AB,
∴∠A=( )( )
∵MN∥CD,
∴∠D= ▲ ( )
∴∠AGD=∠AGM+∠DGM=∠A+∠D.
(2)(类比探究)如图2,当点G在线段EF延长线上时,直接写出∠AGD、∠A、∠D三者之间的数量关系.
(3)(应用拓展)如图3,AH平分∠GAB,DH交AH于点H,且∠GDH=2∠HDC,∠HDC=22°,∠H=32°,直接写出∠DGA的度数.
41.(感知)如图①, , ,.求的度数.
(提示:过点P作直线)
(1)当点P在线段AB上运动时,,,之间的数量关系为 .
(2)当点P在A,B两点外侧运动时(点P与点A,B,O三点不重合),直接写出,, 之间的数量关系为 .
42.(基础知识)
(1)古希腊七贤之一,著名哲学家泰勒斯(Thales,公元前6世纪)最早从拼图实践中发现了“三角形内角和等于 ”,但这种发现完全是经验性的,泰勒斯并没有给出严格的证明.之后古希腊数学家毕达哥拉斯、欧几里得、普罗科拉斯等相继给出了基于平行线性质的不同的证明.其中欧几里得利用辅助平行线和延长线,通过一组同位角和内错角证明了该定理.请同学们帮助欧几里得将证明过程补充完整.
已知:如图,在 中,
求证: .
证明:延长线段 至点 ,并过点 作 .
∵ (已作),
∴ ▲ (两直线平行,内错角相等),
▲ (两直线平行,同位角相等).
∵ ▲ (平角的定义),
∴ (等量代换).
(2)(实践运用)如图1,线段 、 相交于点 ,连结 、 ,试证明: .
证明:
(3)(变化拓展)
①如图2, 、 分别平分 、 ,若 , ,则 的度数为 ;
②如图3,直线 平分 , 平分 ,若 , ,则 的度数为 .
43.如图1,已知直线CD∥EF,点A,B分别在直线CD与EF上.P为两平行线间一点.
(1)若∠DAP=40°,∠FBP=70°,则∠APB=
(2)猜想∠DAP,∠FBP,∠APB之间有什么关系?并说明理由;
(3)利用(2)的结论解答:
①如图2,AP1,BP1分别平分∠DAP,∠FBP,请你写出∠P与∠P1的数量关系,并说明理由;
②如图3,AP2,BP2分别平分∠CAP,∠EBP,若∠APB=β,求∠AP2B.(用含β的代数式表示)
44.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A=33°,将△ABC沿AB方向向右平移得到△DEF.
(1)试求出∠E的度数;
(2)若AE=9cm,DB=2cm.请求出CF的长度.
答案解析部分
1. 【答案】D;
2. 【答案】A.
3. 【答案】C;
4. 【答案】B;
5. 【答案】A
6. 【答案】C;
7. 【答案】B;
8. 【答案】A;
9.【答案】A
10.【答案】D
11.【答案】D
12.【答案】C
13.【答案】C
14.【答案】C
15.【答案】D
16.【答案】C
17.【答案】C
18.【答案】D
19.【答案】C
20.【答案】B
21.【答案】①②③⑤
22.【答案】30°
23.【答案】75
24.【答案】∠α+∠β-∠γ=180°
25.【答案】160°或40°
26.【答案】18°或126°
27.【答案】36°或37°
28.【答案】130°
29.【答案】50°
30.【答案】对顶角相等;∠4;同旁内角互补,两直线平行;两直线平行,同位角相等;等量代换;内错角相等,两直线平行
31.【答案】3.8
32.【答案】(1)证明:∵AB∥DC,
∴∠B+∠BCD=180°,
∵∠BAD=∠BCD,
∴∠B+∠BAD=180°,
∴AD∥BC,
∵EF∥AD,
∴EF∥BC,
∴∠DEF=∠DCB.
(2)∠DEF+∠DCB=180°
33.【答案】解:(1)作 ,如图所示,
, ,
∴ ,
∴ . ;(2)延长CP交AB于点N,
, ,
∴ ,
∴ ,
∴ .
34.【答案】(1)∠APC+∠A+∠C=360°;∠APC=∠A+∠C;∠APC=∠A-∠C;∠APC=∠C-∠A
(2)(1): . 过点P作 , , , , , , ; 图(2): . 过点P作 , , , , , ; 图(3): . 过点P作 , , , , , , ; 图(4): . 过点P作 , , , , , , .
35.【答案】解:作QR∥AB,PL∥AB,∴RQ∥CD∥AB,PL∥AB∥CD
∴∠RQM=∠BMQ,∠RQN=∠QND,∠MPL=∠BMP,∠NPL=∠PND,
∵∠PMQ=2∠QMB,∠PNQ=2∠QND ,
∴∠PMB=3∠QMB ,∠PND=3∠QND ,
∵∠MQN=∠∠RQM+∠RQN=∠BMQ+∠QND,
∠MPN=∠MPL+∠NPL=∠BMP+∠PND,
∴∠MPN=3∠MQN,即∠P=3∠Q.
36.【答案】解:∵∠ABC: ∠ACB=3:2,
∴设∠ABC=3x, ∠ACB=2x,
∵BO、CO分别平分 ∠ ABC、 ∠ ACB,
∴∠ABO=∠CBO=x,∠ACO=∠BCO=x,
又∵∠BOC=130°,
在△BOC中,∠BOC+∠OBC+∠OCB=180°,
∴130°+x+x=180°,
解得:x=20°,
∴∠ABC=3x=60°, ∠ACB=2x=40°,
∵EF∥BC,
∴∠AEF=∠ABC=60°,
∠EFC+∠ACB=180°,
∴∠EFC=140°.
37.【答案】【解答】①(8-2)×(8-1)
=6×7=42(米2)
答:种花草的面积为42米2.
②4620÷42=110(元)
答:每平方米种植花草的费用是110元.
38.【答案】【解答】平移使路变直,路是长20+(14-2)m,宽2m的矩形,绿地的面积20×14-[20+(14-2)]×2=216(m2),答:这块草地的绿地面积是216m2.
39.【答案】(1)平行于同一条直线的两条直线平行;两直线平行,内错角相等;∠1;∠2;∠AEC=∠BAE+∠DCE
(2)解:①过F作FG∥AB,
由(1)得:∠AEC=∠BAE+∠DCE,
∵AB∥CD,FG∥AB,
∴CD∥FG,
∴∠BAF=∠AFG,∠DCF=∠GFC,
∴∠AFC=∠AFG+∠GFC=∠BAF+∠DCF,
∵AF平分∠BAE,CF平分∠DCE,
∴∠BAF=∠BAE,∠DCF=∠DCE,
∴∠AFC=∠BAF+∠DCF,
=∠BAE+∠DCE,
=(∠BAE+∠DCE),
=∠AEC,
=×74°,
=37°;
②由①得:∠AEC=2∠AFC,
∵∠AEC+∠AFC=126°,
∴2∠AFC+∠AFC=126°
∴3∠AFC=126°,
∴∠AFC=42°,∠AEC=84°,
∵CG⊥AF,
∴∠CGF=90°,
∴∠GCF=90-∠AFC=48°,
∵CE平分∠DCG,
∴∠GCE=∠ECD,
∵CF平分∠DCE,
∴∠DCE=2∠DCF=2∠ECF,
∴∠GCF=3∠DCF,
∴∠DCF=16°,
∴∠DCE=32°,
∴∠BAE=∠AEC﹣∠DCE=52°.
40.【答案】(1)解:过点G作直线MN∥AB,
又∵AB∥CD,
∴MN∥CD(平行于同一条直线的两条直线平行),
∵MN∥AB,
∴∠A=∠AGM(两直线平行,内错角相等),
∵MN∥CD,
∴∠D=∠DGM(两直线平行,内错角相等),
∴∠AGD=∠AGM+∠DGM=∠A+∠D.
(2)解:如图所示,过点G作直线MN∥AB,
又∵AB∥CD,
∴MN∥CD,
∵MN∥AB,
∴∠A=∠AGM,
∵MN∥CD,
∴∠D=∠DGM,
∴∠AGD=∠AGM-∠DGM=∠A-∠D.
(3)解:∠DGA=42°
41.【答案】(1)
(2)或
42.【答案】(1)解:证明:延长线段 至点 ,并过点 作 .
∵ (已作),
∴ (两直线平行,内错角相等),
(两直线平行,同位角相等).
∵ (平角的定义),
∴ (等量代换).
(2)解:证明:∵ , ,
∴ ,
∵ ,
∴
(3)26;26
43.【答案】(1)110°
(2)结论:∠APB=∠DAP+∠FBP.
理由:见(1)中证明.
(3)解:①结论:∠P=2∠P1;
理由:由(2)可知:∠P=∠DAP+∠FBP,∠P1=∠DAP1+∠FBP1,
∵∠DAP=2∠DAP1,∠FBP=2∠FBP1,
∴∠P=2∠P1.
②由①得∠APB=∠DAP+∠FBP,∠AP2B=∠CAP2+∠EBP2,
∵AP2、BP2分别平分∠CAP、∠EBP,
∴∠CAP2= ∠CAP,∠EBP2= ∠EBP,
∴∠AP2B= ∠CAP+ ∠EBP,
= (180°-∠DAP)+ (180°-∠FBP),
=180°- (∠DAP+∠FBP),
=180°- ∠APB,
=180°- β.
44.【答案】(1)解:∵在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A=33°,
∴∠CBA=90°﹣33°=57°,
由平移得,∠E=∠CBA=57°
(2)解:由平移得,AD=BE=CF,
∵AE=9cm,DB=2cm,
∴AD=BE= ×(9﹣2)=3.5cm,
∴CF=3.5cm.