浙教版 七年级数学下册 第三章 整式的乘除 算两次专题（word版 含答案）

算两次
算两次就是将一个量用两种不同的方法分别算一次，由结果相同可以构造等式，从而使问题得以解决。单壿老师将“算两次”原理形象地比喻为“三步舞曲”，即从两个方面考虑同一个量，“一方面………，另一方面………，综合起来可得”。
1．如图，根据计算正方形ABCD的面积，可以说明下列哪个等式成立（　　）
A．（a+b）2＝a2+2ab+b2 B．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2
C．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2 D．a（a﹣b）＝a2﹣ab
2．如图，根据计算长方形ABCD的面积，可以说明下列哪个等式成立（　　）
A．（a+b）2＝a2+2ab+b2 B．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2
C．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2 D．a（a+b）＝a2+ab
3．在边长为a的正方形中挖去一个边长为b的小正方形（a＞b），再沿虚线剪开，如图（1），然后拼成一个梯形，如图（2），根据这两个图形的面积关系，表明下列式子成立的是（　　）
A．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b） B．（a+b）2＝a2+2ab+b2
C．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2 D．a2﹣b2＝（a﹣b）2
4．如图，在边长为a的正方形中挖掉一个边长为b的小正方形，把余下的部分拼成一个长方形（无重叠部分），通过计算两个图形中阴影部分的面积，可以验证的一个等式是（　　）
a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b） B．a（a﹣b）＝a2﹣ab
C．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2 D．a（a+b）＝a2+ab
5．将图1中四个阴影小正方形拼成边长为a的正方形，如图2所示，根据两个图形中阴影部分面积间的关系，可以验证下列哪个乘法公式（　　）
A．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2 B．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2
C．（a+b）2＝a2+2ab+b2 D．（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab
6、用四个完全一样的长方形（长、宽分别设为a、b，a＞b）拼成如图所示的大正方形，已知大正方形的面积为144，中间空缺的小正方形的面积为8，则下列关系式中正确的是　　．
①a+b＝12；②（a﹣b）2＝8；③ab＝34；④a2+b2＝76．
7．如图，线段AB=10，点C是线段AB上一点（点C不与点A，B重合），分别以AC，BC为边作正方形ACDE和BCGF，连接AG，记正方形ACDE，BCGF的面积分别为S1，S2，△ACG的面积为S3，若S1+S2=58，则S3的值为_____．
如图，两个正方形边长分别为a，b，如果a+b＝10，ab＝18，则阴影部分的面积为（　　）
、
A．21 B．22 C．23 D．24
9．有两个正方形A，B，现将B放在A的内部得图甲，将A，B并列放置后构造新的正方形得图乙．若图甲和图乙中阴影部分的面积分别为1和12，则正方形A，B的边长之和为　 　．
10．两个边长分别为a和b的正方形如图故置（图1）．其未叠合部分（阴影）面积为，若再在图1中大正方形的右下角摆放一个边长为b的小正方形（如图2），两个小正方形叠合部分（阴影）面积为．
（1）用含a、b的代数式分别表示、；
（2）若，，求的值；
（3））当时，求出图3中阴影部分的面积．
11．如图，将长方形ABCD的各边向外作正方形，若四个正方形周长之和为56，面积之和为58，则长方形ABCD的面积为（　　）
A．98 B．49 C．20 D．10
12．阅读材料并解答问题：我们已经知道，完全平方公式可以用平面几何图形的面积来表示，实际上还有一些等式也可以用这种方式表示，例如：（2a+b）（a+b）＝2a2+3ab+b2就可以用图1或图2来表示．
（1）上述的方法体现了一种数学思想方法，这种数学思想方法是 　 　．
A、转化思想 B、方程思想 C、数形结合思想 D、分类讨论
（2）请写出图3中所表示的整式乘法的等式 　 　 ．
（3）试画出一个几何图形，使它的面积能够表示：（a+b）（a+3b）＝a2+4ab+3b2．
（4）请仿照上述方法写出另一个含有a、b的等式，并画出与之对应的几何图形．
13．图1是一个长为2a、宽为2b的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形．
（1）求图2中的阴影部分的正方形的周长；
（2）观察图2，请写出下列三个代数式（a+b） ，（a﹣b） ，ab之间的等量关系；
运用你所得到的公式，计算：若m、n为实数，且mn＝﹣3，m﹣n＝4，求m+n的值．
如图3，点C是线段AB上的一点，以AC、BC为边向两边作正方形，设AB＝8，两正方形的 面积和S1+S2＝26，求图中阴影部分面积．
14．数学活动课上，张老师准备了若干个如图①的三种纸片，A种纸片是边长为a的正方形，B种纸片是边长为b的正方形，C种纸片是长为b，宽为a的长方形，并用A种纸片一张，B种纸片一张，C种纸片两张拼成如图②的大正方形．
（1）观察图②，写出代数式（a+b）2，a2+b2，ab之间的等量关系是 　 　 ；
（2）根据（1）中的等量关系，解决下列问题；
①已知a+b＝4，a2+b2＝10，求ab的值；
②已知（x﹣2021）2+（x﹣2019）2＝130，求x﹣2020的值．
15．如图，点M是AB的中点，点P在MB上．分别以AP，PB为边，作正方形APCD和正方形PBEF，连接MD和ME．设AP＝a，BP＝b，且a+b＝10，ab＝20．求图中阴影部分的面积．
数学家波利亚说过：“为了得到一个方程，我们必须把同一个量以两种不同的方法表示出来，即将一个量算两次，从而建立相等关系，”这就是“算两次”原理，也称为富比尼（G．Fubini）原理，例如：对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积可以得到一个数学等式．
【教材片段】：计算如图1的面积，把图1看做一个大正方形，它的面积是，如果把图1看做是由2个长方形和2个小正方形组成的，它的面积为，由此得到：．
如图2，用不同的代数式表示大正方形的而积，由此得到的等式为_________
利用上面结论解决问题：若，则__________；
（3）如图3，用不同的代数式表示大正方形的面积，由此得到的等式为_________
利用上面结论解决问题：已知，则__________；
（5）如图4，用不同的代数式表示大正方形的面积（里面是边长为c的小正方形），由此得到的等式为_______
（6）若，请通过计算说明a、b、c满足上面结论．
参考答案
1.解：根据题意得：（a+b）2＝a2+2ab+b2，故选：A
2．解：∵长方形ABCD面积＝两个小长方形面积的和，∴可得a（a+b）＝a2+ab故选：D．
3．解：由题可得：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）．故选：A．
4．解：根据图形可知：第一个图形阴影部分的面积为a2﹣b2，第二个图形阴影部分的面积为（a+b）（a﹣b），即a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），故选：A．
5．解：图2中的四个阴影小正方形可以拼成一个边长为（a﹣b）的正方形，如图1，因此面积为
（a﹣b）2，图2中，四个阴影小正方形的面积和，可以看作从边长为a的大正方形中减去空白部分的面积，即a2﹣2ab+b2，因此有（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2，故选：A．
6.解：∵大正方形的面积为144，中间空缺的小正方形的面积为8，
∴（a+b）2＝144，（a﹣b）2＝8，∴a+b＝12，故①、②正确，
∵（a+b）2＝a2+b2+2ab＝144，（a﹣b）2＝a2+b2﹣2ab＝8，
∴ab＝34，a2+b2＝76，故③、④正确，故答案为：①②③④．
7.解：设AC=a，BC=b，则S1 =a2 ， S2 =b2 ， a2+b2 =58， a+b＝10，
S3=ab= [（a+b）2﹣（a2+b2）] =10.5
8.解：如图，三角形②的一条直角边为（a﹣b），另一条直角边为b，
因此S△②＝（a﹣b）b＝ab﹣b2，S△①＝a2，
∴S阴影部分＝S大正方形﹣S△①﹣S△②＝a2﹣ab+b2，
＝[（a+b）2﹣3ab]＝（100﹣54）＝23故选：C．
9．解：设正方形A，B的边长分别为a，b．
由题意由②得到ab＝6，
∴（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab＝1+24＝25，∵a+b＞0，∴a+b＝5，故答案为5．
10．解：（1）由图可得，，．
（2），，
的值为31．
（3）由图可得：
，图3中阴影部分的面积为14．
11．解：设AB＝DC＝x，AD＝BC＝y，由题意得：
化简得：
将①两边平方再减去②得：2xy＝20 ∴xy＝10 故选：D．
12．解析：（1）上述的方法体现了数形结合的数学思想方法； 故答案为：C；
（2）（2a+b）（a+2b）＝2a2+5ab+2b2；故答案为：（2a+b）（a+2b）＝2a2+5ab+2b2；
（3）如图（答案不唯一），
（4）如图，等式是（a+2b）（a+b）＝a2+3ab+2b2（答案不唯一）；
13．解：（1）阴影部分的正方形边长为a﹣b，故周长为4（a﹣b）＝4a﹣4b，
（2）大正方形面积可以看作四个矩形面积加阴影面积，故可表示为：4ab+（a﹣b） ，
大正方形边长为a+b，故面积也可以表达为：（a+b） ，因此（a+b） ＝（a﹣b） +4ab，
由（2）可知：（m+n） ＝（m﹣n） +4mn，已知m﹣n＝4，mn＝﹣3，
所以（m+n） ＝16+4×（﹣3）＝4，所以m+n＝±2；故m+n的值为±2；
（4）由题意：∠ACF＝90°设AC＝a，BC＝b，因为AB＝8，S1+S2＝26，所以a+b＝8，a +b ＝26，因为（a+b） ＝a +b +2ab，所以64＝26+2ab，解得ab＝19，
所以S阴影＝ab＝．
14．解：（1）∵图形②是边长为（a+b）的正方形，∴S＝（a+b）2．
∵大正方形的面积由一个边长为a的正方形和一个边长为b的正方形以及两个长为b，宽为a的长方形组合而成，∴S＝a2+2ab+b2．∴（a+b）2＝a2+2ab+b2．
（2）①∵a+b＝4，∴（a+b）2＝16．∴a2+2ab+b2＝16．∵a2+b2＝10，∴ab＝3．
②设x﹣2020＝a，则x﹣2021＝a﹣1，x﹣2019＝a+1．
∵（x﹣2021）2+（x﹣2019）2＝130，∴（a﹣1）2+（a+1）2＝130．
∴a2﹣2a+1+a2+2a+1＝130．∴2a2＝128．∴a2＝64．即（x﹣2020）2＝64．∴x﹣2020＝±8．
15．解：∵a+b＝10，ab＝20，∴S阴影部分＝S正方形APCD+S正方形BEFP﹣S△AMD﹣S△MBE
＝a2+b2﹣a（）﹣b（）＝a2+b2﹣＝（a+b）2﹣2ab﹣
＝100﹣40﹣＝100﹣40﹣25＝35．参考答案
16.解：（1）大正方形整体表示面积为：，大正方形部分和表示面积为：，
∴由此可得等式为：；
（2）由（1）可得：，∴x+y=6，xy=2，∴，
∴；
（3）大正方形面积整体表示为：，大正方形面积部分和表示为：，故由此可得公式为：；
（4）∵a+b+c=7，ab+bc+ac=14，∴由（3）可得：，
∴；
（5）由题可得：大正方形面积整体表示为：，大正方形面积部分和表示为：，∴，∴；
（6）∵，，，∴，
，，∴，
∴．
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