千变万化的“1”-------“1”的妙用
同一个数“1”，却有不同表示----------春雨断桥人不渡，小舟撑出柳阴来
1．观察下列各式：（x﹣1）（x+1）＝x2﹣1，（x﹣1）（x2+x+1）＝x3﹣1，
（x﹣1）（x3+x2+x+1）＝x4﹣1，…根据规律可得：（x﹣1）（x2021+x2020+…+x+1）＝ ． （其中为正整数）；
2.计算： ．
3.计算：的值
4.计算：1+5+52+53+54+…+(其中n为正整数).
5.计算：（2+1）…
计算：
计算：（1+）×（1+）×（1+）×（1+）+＝
8．若n满足（n﹣2021）2+（2022﹣n）2＝1，计算：（n﹣2021）（2022﹣n）的值
参考答案
1．解：（x﹣1）（x2021+x2020+…+x+1）＝x2022﹣1．；
2.解：22008+22007+22006+…+22+2+1=（2－1）（22008+22007+22006+…+22+2+1）=；
3.解：= （3－1）（ ）=
4.解：S=1+5+52+53+54+…+5n==,
5.解：（2+1）…=（2-1）（2+1）…=…
=…=
6．解：
．
7．解：（1+）×（1+）×（1+）×（1+）+
＝
＝×
＝＝
＝＝＝2．
8．解：n﹣2021+2022﹣n＝1，
∴（n﹣2021+2022﹣n）2＝1，
∴（n﹣2021）2+2（n﹣2021）（2022﹣n）+（2022﹣n）2＝1，
∴（n﹣2021）2+（2022﹣n）2＝1
∴（n﹣2021）（2022﹣n）＝0，公式变形提优训练
学数学，就是要学会从千差万别的汤中识别永恒不变数学原理的药---李尚志
1.的变形:（1） = （2） =
（3）=
2.的变形：（1）ab= （2）ab=
（3）ab =
3.的变形：（1）a （2）；(a＋b)2
（3）(a－b)2 =
4.若，且，则__________.
5已知a＋b＝3，ab＝－12，求下列各式的值．(1)a2＋b2；(2)(a－b)2.
6.已知，则____________.
7.已知数a，b满足，则___________.
8．已知实数a，b满足(a＋b)2＝1，(a－b)2＝25，求a2＋b2＋ab的值．
9.已知，求的值.
10．设m＞n＞0，m2+n2＝4mn，求的值．
换汤换碗，不换药------乘法公式-----知2求2
能够从不同的汤中识别共同的药，这就是核心素养--------李尚志
观察例题，然后回答：例：x+＝3，则x2+＝ ．
解：由x+＝3，得（x+）2＝9，即x2++2＝9，所以：x2+＝9﹣2＝7
通过你的观察你来计算：当x+＝6时，求下列各式的值：①x2+ ②（x﹣）2
12．回答下列问题（1）填空：x2+＝（x+）2﹣ ＝（x﹣）2+
（2）若a+＝5，求a2+ 的值． （3）若a2﹣3a+1＝0，求a2+的值．
13.已知a﹣b＝1，a2+b2＝13，求下列代数式的值：（1）ab； （2）a2﹣b2﹣8．
14.已知：x+y＝5，xy＝3．求：①x2+5xy+y2； ②x4+y4．
15．已知x＝a﹣2021，y＝2027﹣a，xy＝5．
（1）求x2+y2的值； （2）求（x﹣y）2的值； （3）求a的值．
参考答案
1.的变形:（1）；（2）；
（3）.
2.的变形：（1）；（2）；
（3）.
3.的变形：（1）a(a2b2)÷(ab)（2）；
（3）.
4.解：m+n= = =2
5.解： (1)a2＋b2＝(a2＋2ab＋b2)－2ab＝(a＋b)2－2ab＝33
(2)(a－b)2＝a2－2ab＋b2＝(a2＋2ab＋b2)－4ab＝(a＋b)2－4ab＝57
6.解：= 6 ， a2＋b2 +2ab=25
7.解：a－b= =
8.解： ∵(a＋b)2＝1，(a－b)2＝25，∴a2＋b2＋2ab＝1，a2＋b2－2ab＝25.∴4ab＝－24，
ab＝－6，∴a2＋b2＋ab＝ (a＋b)2－ab＝1－(－6)＝7
9.解
.
10.解：∵m2+n2＝4mn，∴（m+n）2＝6mn，（m﹣n）2＝2mn，
又∵m＞n＞0，∴m+n＝，m﹣n＝，∴．
11．解：①x2+＝（x+）2﹣2，把x+＝6代入上式得：
原式＝36﹣2，＝34；
②（x﹣）2＝（x+）2﹣4，把x+＝6代入上式得：
原式＝62﹣4＝32．
12．解：（1）2、2．（2）23．
（3）∵a2﹣3a+1＝0两边同除a得：a﹣3+＝0，移项得：a+＝3，
∴a2+＝（a+）2﹣2＝7．
13．解：（1）∵a﹣b＝1，∴（a﹣b）2＝a2+b2﹣2ab＝1，
∵a2+b2＝13，∴13﹣2ab＝1，∴ab＝6；
（2）∵a2+b2＝13，ab＝6，∴（a+b）2＝a2+b2+2ab＝13+12＝25，
∴a+b＝5或﹣5，∵a2﹣b2﹣8＝（a+b）（a﹣b）﹣8，
∴当a+b＝5时，（a+b）﹣8＝﹣3；
当a+b＝﹣5时，（a+b）﹣8＝﹣5﹣8＝﹣13．
14．解：①∵x+y＝5，xy＝3，
∴x2+5xy+y2＝（x+y）2+3xy＝52+3×3＝34；
②∵x+y＝5，xy＝3，
∴x2+y2＝（x+y）2﹣2xy＝52﹣2×3＝19，
∴x4+y4＝（x2+y2）2﹣2x2y2＝192﹣2×32＝343．
15．解：（1）∵x＝a﹣2021，y＝2027﹣a，xy＝5，
∴x+y＝a﹣2021+2027﹣a＝6．
∴x2+y2＝（x+y）2﹣2xy＝62﹣2×5＝36﹣10＝26．
（2）由（1）知：x2+y2＝26．
∴（x﹣y）2＝x2+y2﹣2xy＝26﹣2×5＝16．
（3）由（2）知：（x﹣y）2＝16．
∴x﹣y＝4或x﹣y＝﹣4．
当x﹣y＝4时，由x+y＝6，解得x＝5，y＝1，此时a＝x+2021＝2026．
当x﹣y＝﹣4时，由x+y＝6，解得x＝1，y＝5，此时a＝x+2021＝2022．
综上：a＝2026或a＝2022．
