第1章 平行线 单元测评卷
(测试时间：120分钟，满分：120分)
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2021春 曾都区期末）如图，下列说法不正确的是（ ）
A．∠1与∠3是对顶角 B．∠2与∠6是同位角
C．∠3与∠4是内错角 D．∠3与∠5是同旁内角
【思路点拨】根据同位角、内错角、同旁内角、对顶角的意义进行判断即可．
【答案】解：A．∠1和∠3是对顶角，因此选项A不符合题意；
B．∠2和∠6，既不是同位角，也不是内错角、同旁内角，因此选项B符合题意；
C．∠3与∠4是直线AB，直线CD，被直线EF所截，所得到的内错角，因此选项C不符合题意；
D．∠3与∠5是直线CD，直线DE，被直线EF所截所得到的同旁内角，因此选项D不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查同位角、内错角、同旁内角、对顶角，理解同位角、内错角、同旁内角、对顶角的意义是正确判断的前提，掌握“三线八角”的意义和位置关系是正确判断的关键．
2．（2021 济南模拟）如图，△ABC沿BC所在直线向右平移得到△DEF，已知EC＝2，BF＝8，则平移的距离为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【思路点拨】利用平移的性质解决问题即可．
【答案】解：由平移的性质可知，BE＝CF，
∵BF＝8，EC＝2，∴BE+CF＝8﹣2＝6，
∴BE＝CF＝3，∴平移的距离为3，故选：A．
【点睛】本题考查平移的性质，解题的关键是熟练掌握平移变换的性质，属于中考常考题型．
3．（2021春 黄石期末）如图，在下列给出的条件中，不能判定AB∥DF的是（ ）
A．∠A＝∠3 B．∠A+∠2＝180° C．∠1＝∠4 D．∠1＝∠A
【思路点拨】利用平行线的判定定理，逐一判断，容易得出结论．
【答案】解：A、因为∠A＝∠3，所以AB∥DF（同位角相等，两直线平行），故本选项不符合题意．
B、因为∠A+∠2＝180，所以AB∥DF（同旁内角互补，两直线平行），故本选项不符合题意．
C、因为∠1＝∠4，所以AB∥DF（内错角相等，两直线平行），故本选项不符合题意．
D、因为∠1＝∠A，所以AC∥DE（同位角相等，两直线平行），不能证出AB∥DF，故本选项符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查了平行线的判定；正确识别“三线八角”中的同位角、内错角、同旁内角是正确答题的关键，只有同位角相等、内错角相等、同旁内角互补，才能推出两被截直线平行．
4．（2021春 固始县期末）如果两个角的两边分别平行，而其中一个角比另一个角的4倍少30°，那么这两个角是（ ）
A．42°、138° B．都是10° C．42°、138°或10°、10° D．以上都不对
【思路点拨】根据两边分别平行的两个角相等或互补列方程求解．
【答案】解：如图1，∵AB∥EF，∴∠3＝∠2，
∵BC∥DE，∴∠3＝∠1，∴∠1＝∠2．
如图2，∵AB∥EF，∴∠3+∠2＝180°，
∵BC∥DE，∴∠3＝∠1，∴∠1+∠2＝180°
∴如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补．
设另一个角为x，则这一个角为4x﹣30°，
（1）两个角相等，则x＝4x﹣30°，解得x＝10°，
4x﹣30°＝4×10°﹣30°＝10°；
（2）两个角互补，则x+（4x﹣30°）＝180°，解得x＝42°，
4x﹣30°＝4×42°﹣30°＝138°．
所以这两个角是42°、138°或10°、10°．故选：C．
【点睛】本题主要运用两边分别平行的两个角相等或互补，学生容易忽视互补的情况而导致出错．
5．（2021 丰台区二模）如图，l1∥l2，点O在直线l1上，将三角板的直角顶点放在点O处，三角板的两条直角边与l2交于A，B两点，若∠1＝35°，则∠2的度数为（ ）
A．35° B．45° C．55° D．65°
【思路点拨】利用平角的定义求出∠COB的度数，利用平行线的性质可得∠2＝∠COB，结论可得．
【答案】解：如图，
∵∠1＝35°，∠AOB＝90°，∴∠COB＝180°﹣∠1﹣∠AOB＝55°．
∵l1∥l2，∴∠2＝∠COB＝55°．故选：C．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质定理，平角和直角的定义．利用平角的定义求出∠COB的度数是解题的关键．
6．（2021春 淮北期末）给出下列说法：（1）两条直线被第三条直线所截，同位角相等；
（2）过平面内一点有且只有一条直线与已知直线平行；
（3）相等的两个角是对顶角；（4）从直线外一点到这条直线的垂线段，叫做这点到直线的距离；
（5）不相交的两条直线叫做平行线；（6）垂直于同一条直线的两条直线平行．其中正确的有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【思路点拨】根据平行线的性质、平行公理、对顶角的概念以及点到直线的距离的概念进行判断即可．
【答案】解：（1）两条直线被第三条直线所截，同位角不一定相等，只有两条平行直线被第三条直线所截，同位角才相等，故说法（1）错误；
（2）过已知直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，说法（2）错误；
（3）相等的两个角不一定是对顶角，对顶角是在两直线相交的前提条件下形成的，故说法（3）错误；
（4）直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做这点到直线的距离，点到直线的距离是一个长度，而不是一个图形，故说法（4）错误；
（5）同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，故说法（5）错误；
（6）同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行，故说法（6）错误．
故说法正确的有0个．故选：A．
【点睛】本题主要考查了相交线与平行线的一些基本概念，解题时注意：对顶角是相对于两个角而言，是指两个角的一种位置关系；点到直线的距离只能量出或求出，而不能说画出；平行公理中要准确理解“有且只有”的含义．
7．（2021 黄梅县模拟）将直角三角板按照如图方式摆放，直线a∥b，∠1＝130°，则∠2的度数为（ ）
A．60° B．50° C．45° D．40°
【思路点拨】作直线c∥a，根据a∥b可得b∥c，再根据平行线的性质即可求出∠2的度数．
【答案】解：∵∠1＝130°，∴∠3＝180°﹣130°＝50°，
如图，作直线c∥a，∴∠4＝∠3＝50°，∴∠5＝90°﹣50°＝40°，
∵a∥b，∴b∥c，∴∠2＝∠5＝40°．所以∠2的度数为40°．故选：D．
【点睛】本题考查了平行线的性质，解决本题的关键是掌握平行线的性质．
8．（2021秋 长春期末）如图，将一张长方形纸带沿EF折叠，点C、D的对应点分别为C'、D'．若∠DEF＝α，用含α的式子可以将∠C'FG表示为（ ）
A．2α B．90°+α C．180°﹣α D．180°﹣2α
【思路点拨】由折叠的性质可得：∠DEG＝2α，C'F∥D'E，由AD∥BC可得∠D'GF＝∠DEG＝2α，从而有∠C'FG＝180°﹣∠D'GF，即可得出结果．
【答案】解：由长方形纸带ABCD及折叠性质可得：∠D'EF＝∠DEF＝α，C'F∥D'E，
∴∠DEG＝2∠DEF＝2α，∠C'FG＝180°﹣∠D'GF，
∵AD∥BC，∴∠D'GF＝∠DEG＝2α，∴∠C'FG＝180°﹣2α．故选：D．
【点睛】本题主要考查平行线的性质，折叠的性质，解答的关键是熟记折叠的性质．
9．（2021春 石阡县期末）如图，直线AB∥CD∥EF，点O在直线EF上，下列结论正确的是（ ）
A．∠α+∠β﹣∠γ＝90° B．∠α+∠γ﹣∠β＝180°
C．∠γ+∠β﹣∠α＝180° D．∠α+∠β+∠γ＝180°
【思路点拨】根据平行线的性质得出∠α＝∠BOF，∠γ+∠COF＝180°，进而利用角的关系解答即可．
【答案】解：∵AB∥EF，∴∠α＝∠BOF，
∵CD∥EF，∴∠γ+∠COF＝180°，
∵∠BOF＝∠COF+∠β，∴∠γ+∠α﹣∠β＝180°，故选：B．
【点睛】此题考查平行线的性质，关键是根据两直线平行，内错角相等和两直线平行，同旁内角互补解答．
10．（2021春 南海区期末）如图，已知AM∥BN，∠A＝64°，点P是射线AM上一动点（与点A不重合），BC、BD分别平分∠ABP和∠PBN，分别交射线AM于点C、D，下列结论：①∠ACB＝∠CBN；②∠CBD＝64°；③当∠ACB＝∠ABD时，∠ABC＝29°；④当点P运动时，∠APB：∠ADB＝2：1的数量关系不变．其中正确结论有（ ）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
【思路点拨】本题借助平行线的性质、角平分线的性质即可求解．
【答案】解：①∵AM∥BN，∴∠ACB＝∠CBN（两直线平行，内错角相等），故①对；
②∵AM∥BN，∠A＝64°，∴∠ABN＝180°﹣∠A＝180°﹣64°＝116°；
∵BC、BD分别平分∠ABP和∠PBN，
∴∠CBD＝∠CBP+∠DBP＝（∠NBP+∠ABP）＝×∠ABN＝×116°＝58°，故②错；
③∵BC、BD分别平分∠ABP和∠PBN，∴∠ABC＝∠PBC，∠PBD＝∠NBD，
∵∠ACB＝∠ABD（已知），∠ACB＝∠CBN（已证），∴∠ABD＝∠CBN，则∠ABC＝∠NBD，
∴∠ABC＝∠PBC＝∠PBD＝∠NBD，∴∠ABC＝∠ABN＝29°，故③对；
④∵AM∥BN，∴∠APB＝∠PBN，∠ADB＝∠DBN，
∵BD分别平分∠PBN，∴∠PBN：∠DBN＝2：1，∴∠APB：∠ADB＝2：1，故④对，故选：C．
【点睛】本题考查了平行线性质的运用，涉及角平分的性质，灵活运用这两个知识点，便可迎刃而解．本题还考查了学生的推理能力、计算能力，体现了数学的转化思想．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
11．（2020秋 石狮市期末）如图，AB∥CD，∠EGB＝50°，则∠CHG的大小为 ．
【思路点拨】根据平行线的性质可得∠EHD＝∠EGB＝50°，再利用邻补角的性质可求解．
【答案】解：∵AB∥CD，∠EGB＝50°，∴∠EHD＝∠EGB＝50°，
∴∠CHG＝180°﹣∠EHD＝130°．故答案为：130°．
【点睛】本题主要考查平行线的性质，邻补角的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
12．（2021春 龙湖区期末）如图，将长为5cm，宽为3cm的长方形ABCD先向右平移2cm，再向下平移1cm，得到长方形A'B'C'D'，则阴影部分的面积为 cm2．
【思路点拨】利用平移的性质求出阴影部分矩形的长，宽即可解决问题．
【答案】解：由题意，阴影部分是矩形，长为5﹣2＝3（cm），宽为3﹣1＝2（cm），
∴阴影部分的面积＝2×3＝6（cm2），故答案为6．
【点睛】本题考查平移的性质，矩形的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
13．（2021春 奉化区校级期末）如图，点E在AD的延长线上，下列四个条件：①∠1＝∠2；②∠C+∠ABC＝180°；③∠C＝∠CDE；④∠3＝∠4，能判断AB∥CD的是 （填序号）．
【思路点拨】根据平行线的判定方法一一判断即可．
【答案】解：①由∠1＝∠2，可以判定AB∥CD．
②由∠C+∠ABC＝180°，可以判定AB∥CD．③由∠C＝∠CDE，可以判定BC∥AD．
④由∠3＝∠4，可以判定BC∥AD．故答案为①②．
【点睛】本题考查平行线的判定，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
14．（2021秋 道里区期末）如图，∠AOB内有一点P，过点P画PC∥OB，PD∥OA，∠AOB＝60°，则∠CPD的度数为 度．
【思路点拨】根据题意补全图形再根据平行线的性质求角的度数即可．
【答案】解：根据题意作图如下：
由图知，当C点和D点在P点同侧时∠CPD＝∠AOB＝60°，
当C点和D点分别在P点两侧时∠CPD＝180°﹣∠AOB＝180°﹣60°＝120°，故答案为：60或120．
【点睛】本题主要考查平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
15．（2021秋 肇源县期末）如图，DE∥BC，CD平分∠ACB，∠ACB＝58°，则∠EDC＝ ．
【思路点拨】根据角平分线的定义可得∠ECD＝29°，再由平行线的性质易求得∠EDC的度数．
【答案】解：∵CD平分∠ACB，∠ACB＝58°，
∴∠ECD＝∠ACB＝29°，
∵DE∥BC，
∴∠EDC＝∠ECD＝29°．
故答案为：29°．
【点睛】本题考查了平行线的性质，解答本题的关键是掌握：两直线平行，内错角相等．
16．（2021秋 龙凤区校级期末）如图，AE∥BC，∠BDA＝45°，∠C＝30°，则∠CAD的度数为 ．
【思路点拨】利用平行线性质求出∠DAE和∠CAE的度数，再利用角的和差即可求解．
【答案】解：∵AE∥BC，∠BDA＝45°，∠C＝30°，
∴∠DAE＝∠BDA＝45°，∠CAE＝∠C＝30°，
∴∠CAD＝∠DAE﹣∠CAE＝45°﹣30°＝15°．故答案为：15°．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，解题的关键是要熟练掌握平行线的性质：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等．简单说成：两直线平行，内错角相等．
17．（2020秋 南关区期末）如图，∠1＝35°，∠2＝35°，∠3＝56°23′，则∠4的大小为 ．
【思路点拨】根据平行线的判定与性质即可得∠4的大小．
【答案】解：如图，
∵∠1＝35°，∠2＝35°，∴∠1＝∠2，∴a∥b，∴∠4＝∠5，
∵∠3＝56°23′，∴∠5＝180°﹣∠3＝123°37′，∴∠4＝123°37′．故答案为：123°37′．
【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，解决本题的关键是掌握平行线的判定与性质．
18．（2021 青羊区期末）如图，将长方形ABCD沿EF折叠，点D落在AB边上的H点处，点C落在点G处，若∠AEH＝30°，则∠EFC等于 °．
【思路点拨】根据折叠得出∠DEF＝∠HEF，求出∠DEF的度数，根据平行线的性质得出∠DEF+∠EFC＝180°，代入求出即可．
【答案】解：∵将长方形ABCD沿EF折叠，点D落在AB边上的H点处，点C落在点G处，
∴∠DEF＝∠HEF，∵∠AEH＝30°，∴∠DEF＝∠HEF＝（180°﹣∠AEH）＝75°，
∵四边形ABCD是长方形，∴AD∥BC，∴∠DEF+∠EFC＝180°，
∴∠EFC＝180°﹣75°＝105°，故答案为：105．
【点睛】本题考查了矩形的性质，平行线的性质，折叠的性质等知识点，能求出∠DEF＝∠HEF和∠DEF+∠EFC＝180°是解此题的关键．
三、解答题（本大题共8小题，共66分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2021秋 肇源县期末）完成下面的证明
如图，点B在AG上，AG∥CD，CF平分∠BCD，∠ABE＝∠FCB，BE⊥AF点E．
求证：∠F＝90°．
证明：∵AG∥CD（已知）
∴∠ABC＝∠BCD（ 两直线平行，内错角相等 ）
∵∠ABE＝∠FCB（已知）
∴∠ABC﹣∠ABE＝∠BCD﹣∠FCB
即∠EBC＝∠FCD
∵CF平分∠BCD（已知）
∴∠BCF＝∠FCD（ 角平分线的定义 ）
∴ ∠EBC ＝∠BCF（等量代换）
∴BE∥CF（ 内错角相等，两直线平行 ）
∴ ∠BEF ＝∠F（ 两直线平行，内错角相等 ）
∵BE⊥AF（已知）
∴ ∠BEF ＝90°（ 垂直的定义 ）
∴∠F＝90°．
【思路点拨】根据平行线的性质得到∠ABC＝∠BCD，再根据角平分线的定义进而得到∠EBC＝∠BCF，即可判定BE∥CF，根据平行线的性质得出∠BEF＝∠F，再根据垂直的定义即可得解．
【答案】证明：∵AG∥CD（已知），
∴∠ABC＝∠BCD（两直线平行，内错角相等），
∵∠ABE＝∠FCB（已知），
∴∠ABC﹣∠ABE＝∠BCD﹣∠FCB，即∠EBC＝∠FCD，
∵CF平分∠BCD（已知），
∴∠BCF＝∠FCD（角平分线的定义），
∴∠EBC＝∠BCF（等量代换），
∴BE∥CF（内错角相等，两直线平行），
∴∠BEF＝∠F（两直线平行，内错角相等），
∵BE⊥AF（已知），
∴∠BEF＝90°（垂直的定义），
∴∠F＝90°．
故答案为：两直线平行，内错角相等；角平分线的定义；∠EBC；内错角相等，两直线平行；∠BEF；两直线平行，内错角相等；∠BEF；垂直的定义．
【点睛】此题考查了平行线的判定与性质，熟记“两直线平行，内错角相等”及“内错角相等，两直线平行”是解题的关键．
20．（2021秋 绿园区期末）【感知】已知：如图①，点E在AB上，且CE平分∠ACD，∠1＝∠2．求证：AB∥CD．
将下列证明过程补充完整：
证明：∵CE平分∠ACD（已知），
∴∠2＝∠ DCE （角平分线的定义），
∵∠1＝∠2（已知），
∴∠1＝∠ DCE （等量代换），
∴AB∥CD（ 内错角相等，两直线平行 ）．
【探究】已知：如图②，点E在AB上，且CE平分∠ACD，AB∥CD．求证：∠1＝∠2．
【应用】如图③，BE平分∠DBC，点A是BD上一点，过点A作AE∥BC交BE于点E，∠ABC：∠BAE＝4：5，直接写出∠E的度数．
【思路点拨】【感知】由角平分线的定义得∠2＝∠DCE，再证∠1＝∠DCE即可得出结论；
【探究】由角平分线的定义得∠2＝∠DCE，再由平行线的性质得∠A＝∠DCE，即可得出结论；
【应用】由角平分线的定义得∠ABE＝∠CBE，再由平行线的性质得∠ABC+∠BAE＝180°，∠E＝∠CBE，然后求出∠ABC＝80°，则∠CBE＝40°，即可求解．
【答案】【感知】解：∵CE平分∠ACD（已知），
∴∠2＝∠DCE（角平分线的定义），
∵∠1＝∠2（已知），∴∠1＝∠DCE（等量代换），
∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行）．
故答案为：DCE；DCE；内错角相等，两直线平行；
【探究】证明：∵CE平分∠ACD，∴∠2＝∠DCE，
∵AB∥CD，∴∠1＝∠DCE，∴∠1＝∠2；
【应用】∵BE平分∠DBC，∴∠ABE＝∠CBE，
∵AE∥BC，∴∠ABC+∠BAE＝180°，∠E＝∠CBE，
∵∠ABC：∠BAE＝4：5，∴∠ABC＝80°，
∴∠CBE＝40°，∴∠E＝∠CBE＝40°．
【点睛】本题考查了平行线的判定与性质、角平分线的定义等知识，熟练掌握平行线的判定与性质是解题的关键．
21．（2021秋 南岗区期末）已知：在四边形ABCD中，∠B＝∠D，点E在边BC的延长线上，连接AE交CD于点F，若∠BAF+∠AFC＝180°．（1）如图1，求证：AD∥BC；（2）如图2，过点D作DG∥AE交BE的延长线于点C，若∠G＝∠B，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中除∠B以外的四个与∠G相等的角．
【思路点拨】（1）由已知条件可得AB∥CD，从而有∠B＝∠ECD，则可求得∠D＝∠ECD，即可得AD∥BC；（2）利用平行线的性质进行求解即可．
【答案】（1）证明：∵∠BAF+∠AFC＝180°，
∴AB∥CD，∴∠B＝∠ECD，
∵∠B＝∠D，∴∠D＝∠ECD，∴AD∥BC；
（2）∵DG∥AE，∴∠G＝∠AEB，由（1）得AD∥BC，
∴∠AEB＝∠DAE，∠ADC＝∠DCG，∴∠G＝∠DAE，
∵∠B＝∠ADC，∠G＝∠B，∴∠G＝∠ADC＝∠DCG，
综上所述，所∠G相等的角有：∠AEB，∠DAE，∠ADC，∠DCG．
【点睛】本题主要考查平行线判定与性质，解答的关键是对平行线的性质与判定条件的掌握与灵活运用．
22．（2021春 临邑县期末）如图，直线CB∥OA，∠C＝∠OAB＝100°，E、F在CB上，且满足∠FOB＝∠AOB，OE平分∠COF（1）求∠EOB的度数；（2）若平行移动AB，那么∠OBC：∠OFC的值是否随之发生变化？若变化，找出变化规律或求出变化范围；若不变，求出这个比值．（3）在平行移动AB的过程中，是否存在某种情况，使∠OEC＝∠OBA？若存在，求出其度数；若不存在，说明理由．
【思路点拨】（1）根据两直线平行，同旁内角互补求出∠AOC，然后求出∠EOB＝∠AOC，计算即可得解；（2）根据两直线平行，内错角相等可得∠AOB＝∠OBC，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠OFC＝2∠OBC，从而得解；（3）根据三角形的内角和定理求出∠COE＝∠AOB，从而得到OB、OE、OF是∠AOC的四等分线，再利用三角形的内角和定理列式计算即可得解．
【答案】解：（1）∵CB∥OA，∴∠AOC＝180°﹣∠C＝180°﹣100°＝80°，
∵OE平分∠COF，∴∠COE＝∠EOF，
∵∠FOB＝∠AOB，∴∠EOB＝∠EOF+∠FOB＝∠AOC＝×80°＝40°；
（2）∵CB∥OA，∴∠AOB＝∠OBC，
∵∠FOB＝∠AOB，∴∠FOB＝∠OBC，
∴∠OFC＝∠FOB+∠OBC＝2∠OBC，
∴∠OBC：∠OFC＝1：2，是定值；
（3）在△COE和△AOB中，
∵∠OEC＝∠OBA，∠C＝∠OAB，∴∠COE＝∠AOB，
∴OB、OE、OF是∠AOC的四等分线，
∴∠COE＝∠AOC＝×80°＝20°，
∴∠OEC＝180°﹣∠C﹣∠COE＝180°﹣100°﹣20°＝60°，
故存在某种情况，使∠OEC＝∠OBA，此时∠OEC＝∠OBA＝60°．
【点睛】本题考查了平行线的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，角平分线的定义，熟记各性质并准确识图理清图中各角度之间的关系是解题的关键．
23．（2021春 新丰县期末）如图，已知点A在EF上，点P，Q在BC上，∠E＝∠EMA，∠BQM＝∠BMQ．
（1）求证：EF∥BC；（2）若FP⊥AC，∠2+∠C＝90°，求证：∠1＝∠B；
（3）若∠3+∠4＝180°，∠BAF＝3∠F﹣20°，求∠B的度数．
【思路点拨】（1）根据，∠E＝∠EMA，∠BQM＝∠BMQ，结合对顶角相等可得∠E＝∠BQM，利用内错角相等两直线平行可证明结论；（2）根据垂直的定义可得∠PGC＝90°，由两直线平行同旁内角互补可得∠EAC+∠C＝180°，结合∠2+∠C＝90°，可求得∠BAC＝90°，利用同位角相等两直线平行可得AB∥FP，进而可证明结论；（3）根据同旁内角互补可判定AB∥FP，结合∠BAF＝3∠F﹣20°可求解∠F的度数，根据平行线的性质可得∠B＝∠F，即可求解．
【答案】（1）证明：∵∠E＝∠EMA，∠BQM＝∠BMQ，∠EMA＝∠BMQ，
∴∠E＝∠BQM，∴EF∥BC；
（2）证明：∵FP⊥AC，∴∠PGC＝90°，
∵EF∥BC，∴∠EAC+∠C＝180°，
∵∠2+∠C＝90°，∴∠BAC＝∠PGC＝90°，
∴AB∥FP，∴∠1＝∠B；
（3）解：∵∠3+∠4＝180°，∠4＝∠MNF，
∴∠3+∠MNF＝180°，∴AB∥FP，∴∠F+∠BAF＝180°，
∵∠BAF＝3∠F﹣20°，∴∠F+3∠F﹣20°＝180°，解得∠F＝50°，
∵AB∥FP，EF∥BC，∴∠B＝∠1，∠1＝∠F，∴∠B＝∠F＝50°．
【点睛】本题主要考查平行线的性质与判定，垂线的定义，灵活运用平行线的性质与判定是解题的关键．
24．（2021春 济宁期末）我们已经学过了对顶角、邻补角、同位角等，知道了它们的特征．现在若有两个角，它们不是同一个顶点，但这两角的两边相互平行，我们就把满足这个条件的两个角称作“平行角”．如图1，已知AB∥CD，AD∥BC，因此∠B和∠D是“平行角”．
（1）图1中，证明∠B＝∠D；
（2）如图2，延长DC到E，可知∠A和∠BCE也是“平行角”，判断它们的数量关系；
（3）如图3，DE平分∠ADC，BF平分∠ABC，请说明图中的∠1和∠2是“平行角”．
【思路点拨】（1）（2）利用平行线的性质，推理得结论；
（3）要说明∠1和∠2是“平行角”，需说明DE∥BF，可利用角平分线的性质和平行线的性质和判定．
【答案】（1）证明：∵AB∥CD，AD∥BC，
∴∠D+∠A＝180°，∠B+∠A＝180°．∴∠B＝∠D．
（2）解：由（1）知∠B＝∠D，同理可得，∠A＝∠BCD.
∵∠BCD+∠BCE＝180°，∴∠A+∠BCE＝180°．即∠A和∠BCE互补．
（3）证明：∵∠B和∠D是“平行角”，∴∠ABC＝∠ADC．
∵DE平分∠ADC，BF平分∠ABC
∴∠1＝∠ADC，∠2＝∠ABC．∴∠1＝∠2．
又∵AB∥DC，∴∠2＝∠BFC．
∴∠1＝∠BFC．∴DE∥BF．
∴∠1和∠2是“平行角”．
【点睛】本题考查了平行线的性质和判定，理解“平行角”是解决本题的关键．“平行角”的性质：两个“平行角”不是相等就是互补．
25．（2021春 潮阳区期末）已知：∠MON＝36°，OE平分∠MON，点A，B分别是射线OM，OE，上的动点（A，B不与点O重合），点D是线段OB上的动点，连接AD并延长交射线ON于点C，设∠OAC＝x，（1）如图1，若AB∥ON，则①∠ABO的度数是 ；②当∠BAD＝∠ABD时，x＝ ；当∠BAD＝∠BDA时，x＝ ；（2）如图2，若AB⊥OM，则是否存在这样的x的值，使得△ABD中有两个相等的角？若存在，求出x的值；若不存在，请说明理由．
【思路点拨】（1）运用平行线的性质以及角平分线的定义，可得∠ABO的度数；根据∠ABO、∠BAD的度数以及△AOB的内角和，可得x的值；
（2）根据三角形内角和定理以及直角的度数，可得x的值．
【答案】解：（1）如图1，①∵∠MON＝36°，OE平分∠MON，∴∠AOB＝∠BON＝18°，
∵AB∥ON，∴∠ABO＝18°；
②当∠BAD＝∠ABD时，∠BAD＝18°，
∵∠AOB+∠ABO+∠OAB＝180°，
∴∠OAC＝180°﹣18°×3＝126°；
③当∠BAD＝∠BDA时，∵∠ABO＝18°，
∴∠BAD＝81°，∠AOB＝18°，
∵∠AOB+∠ABO+∠OAB＝180°，
∴∠OAC＝180°﹣18°﹣18°﹣81°＝63°，
故答案为：①18°；②126°；③63°；
（2）如图2，存在这样的x的值，使得△ADB中有两个相等的角．
∵AB⊥OM，∠MON＝36°，OE平分∠MON，
∴∠AOB＝18°，∠ABO＝72°，
若∠BAD＝∠ABD＝72°，则∠OAC＝90°﹣72°＝18°；
若∠BAD＝∠BDA＝（180°﹣72°）÷2＝54°，则∠OAC＝90°﹣54°＝36°；
若∠ADB＝∠ABD＝72°，则∠BAD＝36°，故∠OAC＝90°﹣36°＝54°；
综上所述，当x＝18、36、54时，△ADB中有两个相等的角．
【点睛】本题考查了三角形的内角和定理和三角形的外角性质的应用，三角形的内角和等于180°，三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角之和．利用角平分线的性质求出∠ABO的度数是关键，注意分类讨论思想的运用．
26．（2021 汾阳市期末）如图1，直线AB∥CD，直线EF交AB于点E，交CD于点F，点G和点H分别是直线AB和CD上的动点，作直线GH，EI平分∠AEF，HI平分∠CHG，EI与HI交于点I．
（1）如图1，点G在点E的左侧，点H在点F的右侧，若∠AEF＝70°，∠CHG＝60°，求∠EIH的度数．（2）如图2，点G在点E的右侧，点H也在点F的右侧，若∠AEF＝α，∠CHG＝β，其他条件不变，求∠EIH的度数．（3）如图3，点G在点E的右侧，点H也在点F的右侧，∠GHC的平分线HJ交∠KEG的平分线EJ于点J．其他条件不变，若∠AEF＝α，∠CHG＝β，求∠EJH的度数．
【思路点拨】（1）过点I作IM∥AB，依据平行线的性质以及角平分线的定义，即可得到∠EIH的度数．
（2）过点I作IM∥AB，依据平行线的性质以及角平分线的定义，即可得到∠EIH的度数．
（3）过点J作MN∥AB，依据平行线的性质、对顶角相等以及角平分线的定义，即可得到∠EJH的度数．
【答案】（1）解：如图1，过点I作IM∥AB，
∵EI平分∠AEF，HI平分∠CHG，∠AEF＝70°，∠CHG＝60°，
∴∠AEI＝35°，∠CHI＝30°，
∵IM∥AB，∴∠MIE＝∠AEI＝35°，
∵AB∥CD，IM∥AB，∴IM∥CD，∴∠MIH＝∠CHI＝30°，
∴∠EIH＝∠MIE+∠MIH＝35°+30°＝65°；
（2）解：如图2，过点I作IM∥AB，
∵EI平分∠AEF，HI平分∠CHG，∠AEF＝α，∠CHG＝β，
∴∠AEI＝，∠CHI＝，
∵IM∥AB，∴∠MIE＝∠AEI＝，
∵AB∥CD，IM∥AB，∴IM∥CD，
∴∠MIH＝∠CHI＝，∴∠EIH＝∠MIE+∠MIH＝+；
（3）解：如图3，过点J作MN∥AB，∵∠AEF＝α，∴∠KEB＝α，
∵EJ平分∠KEB，HJ平分∠CHG，∠KEB＝α，∠CHG＝β，
∴∠JEG＝，∠JHF＝，
∵MN∥AB，∴∠MJE＝∠JEG＝，
∵AB∥CD，MN∥AB，∴MN∥CD，∴∠NJH＝∠CHJ＝，
∴∠EJH＝180°﹣∠MJE﹣∠NJH＝180°﹣﹣．
【点睛】本题主要考查了平行线的判定与性质的综合运用，用到的知识点为：两直线平行，内错角相等．中小学教育资源及组卷应用平台
第1章 平行线 单元测评卷
(测试时间：120分钟，满分：120分)
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2021春 曾都区期末）如图，下列说法不正确的是（ ）
A．∠1与∠3是对顶角 B．∠2与∠6是同位角
C．∠3与∠4是内错角 D．∠3与∠5是同旁内角
2．（2021 济南模拟）如图，△ABC沿BC所在直线向右平移得到△DEF，已知EC＝2，BF＝8，则平移的距离为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
3．（2021春 黄石期末）如图，在下列给出的条件中，不能判定AB∥DF的是（ ）
A．∠A＝∠3 B．∠A+∠2＝180° C．∠1＝∠4 D．∠1＝∠A
4．（2021春 固始县期末）如果两个角的两边分别平行，而其中一个角比另一个角的4倍少30°，那么这两个角是（ ）
A．42°、138° B．都是10° C．42°、138°或10°、10° D．以上都不对
5．（2021 丰台区二模）如图，l1∥l2，点O在直线l1上，将三角板的直角顶点放在点O处，三角板的两条直角边与l2交于A，B两点，若∠1＝35°，则∠2的度数为（ ）
A．35° B．45° C．55° D．65°
6．（2021春 淮北期末）给出下列说法：（1）两条直线被第三条直线所截，同位角相等；
（2）过平面内一点有且只有一条直线与已知直线平行；
（3）相等的两个角是对顶角；（4）从直线外一点到这条直线的垂线段，叫做这点到直线的距离；
（5）不相交的两条直线叫做平行线；（6）垂直于同一条直线的两条直线平行．其中正确的有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
7．（2021 黄梅县模拟）将直角三角板按照如图方式摆放，直线a∥b，∠1＝130°，则∠2的度数为（ ）
A．60° B．50° C．45° D．40°
8．（2021秋 长春期末）如图，将一张长方形纸带沿EF折叠，点C、D的对应点分别为C'、D'．若∠DEF＝α，用含α的式子可以将∠C'FG表示为（ ）
A．2α B．90°+α C．180°﹣α D．180°﹣2α
9．（2021春 石阡县期末）如图，直线AB∥CD∥EF，点O在直线EF上，下列结论正确的是（ ）
A．∠α+∠β﹣∠γ＝90° B．∠α+∠γ﹣∠β＝180°
C．∠γ+∠β﹣∠α＝180° D．∠α+∠β+∠γ＝180°
10．（2021春 南海区期末）如图，已知AM∥BN，∠A＝64°，点P是射线AM上一动点（与点A不重合），BC、BD分别平分∠ABP和∠PBN，分别交射线AM于点C、D，下列结论：①∠ACB＝∠CBN；②∠CBD＝64°；③当∠ACB＝∠ABD时，∠ABC＝29°；④当点P运动时，∠APB：∠ADB＝2：1的数量关系不变．其中正确结论有（ ）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写解答过程，请把答案直接填写在横线上）
11．（2020秋 石狮市期末）如图，AB∥CD，∠EGB＝50°，则∠CHG的大小为 ．
12．（2021春 龙湖区期末）如图，将长为5cm，宽为3cm的长方形ABCD先向右平移2cm，再向下平移1cm，得到长方形A'B'C'D'，则阴影部分的面积为 cm2．
13．（2021春 奉化区校级期末）如图，点E在AD的延长线上，下列四个条件：①∠1＝∠2；②∠C+∠ABC＝180°；③∠C＝∠CDE；④∠3＝∠4，能判断AB∥CD的是 （填序号）．
14．（2021秋 道里区期末）如图，∠AOB内有一点P，过点P画PC∥OB，PD∥OA，∠AOB＝60°，则∠CPD的度数为 度．
15．（2021秋 肇源县期末）如图，DE∥BC，CD平分∠ACB，∠ACB＝58°，则∠EDC＝ ．
16．（2021秋 龙凤区校级期末）如图，AE∥BC，∠BDA＝45°，∠C＝30°，则∠CAD的度数为 ．
17．（2020秋 南关区期末）如图，∠1＝35°，∠2＝35°，∠3＝56°23′，则∠4的大小为 ．
18．（2021 青羊区期末）如图，将长方形ABCD沿EF折叠，点D落在AB边上的H点处，点C落在点G处，若∠AEH＝30°，则∠EFC等于 °．
三、解答题（本大题共8小题，共66分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2021秋 肇源县期末）完成下面的证明
如图，点B在AG上，AG∥CD，CF平分∠BCD，∠ABE＝∠FCB，BE⊥AF点E．
求证：∠F＝90°．
证明：∵AG∥CD（已知）
∴∠ABC＝∠BCD（ 两直线平行，内错角相等 ）
∵∠ABE＝∠FCB（已知）
∴∠ABC﹣∠ABE＝∠BCD﹣∠FCB
即∠EBC＝∠FCD
∵CF平分∠BCD（已知）
∴∠BCF＝∠FCD（ 角平分线的定义 ）
∴ ∠EBC ＝∠BCF（等量代换）
∴BE∥CF（ 内错角相等，两直线平行 ）
∴ ∠BEF ＝∠F（ 两直线平行，内错角相等 ）
∵BE⊥AF（已知）
∴ ∠BEF ＝90°（ 垂直的定义 ）
∴∠F＝90°．
20．（2021秋 绿园区期末）【感知】已知：如图①，点E在AB上，且CE平分∠ACD，∠1＝∠2．求证：AB∥CD．
将下列证明过程补充完整：
证明：∵CE平分∠ACD（已知），
∴∠2＝∠ DCE （角平分线的定义），
∵∠1＝∠2（已知），
∴∠1＝∠ DCE （等量代换），
∴AB∥CD（ 内错角相等，两直线平行 ）．
【探究】已知：如图②，点E在AB上，且CE平分∠ACD，AB∥CD．求证：∠1＝∠2．
【应用】如图③，BE平分∠DBC，点A是BD上一点，过点A作AE∥BC交BE于点E，∠ABC：∠BAE＝4：5，直接写出∠E的度数．
21．（2021秋 南岗区期末）已知：在四边形ABCD中，∠B＝∠D，点E在边BC的延长线上，连接AE交CD于点F，若∠BAF+∠AFC＝180°．（1）如图1，求证：AD∥BC；（2）如图2，过点D作DG∥AE交BE的延长线于点C，若∠G＝∠B，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中除∠B以外的四个与∠G相等的角．
22．（2021春 临邑县期末）如图，直线CB∥OA，∠C＝∠OAB＝100°，E、F在CB上，且满足∠FOB＝∠AOB，OE平分∠COF（1）求∠EOB的度数；（2）若平行移动AB，那么∠OBC：∠OFC的值是否随之发生变化？若变化，找出变化规律或求出变化范围；若不变，求出这个比值．（3）在平行移动AB的过程中，是否存在某种情况，使∠OEC＝∠OBA？若存在，求出其度数；若不存在，说明理由．
23．（2021春 新丰县期末）如图，已知点A在EF上，点P，Q在BC上，∠E＝∠EMA，∠BQM＝∠BMQ．（1）求证：EF∥BC；（2）若FP⊥AC，∠2+∠C＝90°，求证：∠1＝∠B；
（3）若∠3+∠4＝180°，∠BAF＝3∠F﹣20°，求∠B的度数．
24．（2021春 济宁期末）我们已经学过了对顶角、邻补角、同位角等，知道了它们的特征．现在若有两个角，它们不是同一个顶点，但这两角的两边相互平行，我们就把满足这个条件的两个角称作“平行角”．如图1，已知AB∥CD，AD∥BC，因此∠B和∠D是“平行角”．
（1）图1中，证明∠B＝∠D；
（2）如图2，延长DC到E，可知∠A和∠BCE也是“平行角”，判断它们的数量关系；
（3）如图3，DE平分∠ADC，BF平分∠ABC，请说明图中的∠1和∠2是“平行角”．
25．（2021春 潮阳区期末）已知：∠MON＝36°，OE平分∠MON，点A，B分别是射线OM，OE，上的动点（A，B不与点O重合），点D是线段OB上的动点，连接AD并延长交射线ON于点C，设∠OAC＝x，（1）如图1，若AB∥ON，则①∠ABO的度数是 ；②当∠BAD＝∠ABD时，x＝ ；当∠BAD＝∠BDA时，x＝ ；（2）如图2，若AB⊥OM，则是否存在这样的x的值，使得△ABD中有两个相等的角？若存在，求出x的值；若不存在，请说明理由．
26．（2021 汾阳市期末）如图1，直线AB∥CD，直线EF交AB于点E，交CD于点F，点G和点H分别是直线AB和CD上的动点，作直线GH，EI平分∠AEF，HI平分∠CHG，EI与HI交于点I．
（1）如图1，点G在点E的左侧，点H在点F的右侧，若∠AEF＝70°，∠CHG＝60°，求∠EIH的度数．（2）如图2，点G在点E的右侧，点H也在点F的右侧，若∠AEF＝α，∠CHG＝β，其他条件不变，求∠EIH的度数．（3）如图3，点G在点E的右侧，点H也在点F的右侧，∠GHC的平分线HJ交∠KEG的平分线EJ于点J．其他条件不变，若∠AEF＝α，∠CHG＝β，求∠EJH的度数．
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