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第2章 二元一次方程组 单元测评卷
(测试时间：120分钟，满分：120分)
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2021秋 秦都区月考）下列方程组中，是二元一次方程组的是（ ）
A． B． C． D．
【思路点拨】根据二元一次方程组的定义逐个判断即可．由两个一次方程组成，并含有两个未知数的方程组叫做二元一次方程组．
【答案】解：A．含有三个未知数，它不是二元一次方程组，故本选项不符合题意；
B．是二元一次方程组，故本选项符合题意；
C．第一个方程是二次方程，不是二元一次方程组，故本选项不符合题意；
D．第二个方程是二次方程，它不是二元一次方程组，故本选项不符合题意；故选：B．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的定义，二元一次方程组也满足三个条件：①方程组中的两个方程都是整式方程．②方程组中共含有两个未知数．③每个方程都是一次方程．
2．（2021春 卧龙区校级月考）利用加减消元法解方程组，下列做法正确的是（ ）
A．要消去x，可以将①×3+②×（﹣5） B．要消去y，可以将①×5+②×2
C．要消去x，可以将①×（﹣5）+②×2 D．要消去y，可以将①×5+②×3
【思路点拨】利用加减消元法判断即可．
【答案】解：利用加减消元法解方程组，要消元x，①×（﹣5）+②×2；
要消去y，可以将①×3+②×5，故选：C．
【点睛】此题考查解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．
3．（2021·四川·成都外国语学校八年级阶段练习）由方程组可以得出关于x和y的关系式是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】分别用x，y表示m，即可得到结果；
【详解】由，得到，由，得到，
∴，∴；故选C．
【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的化简，准确分析计算是解题的关键．
4．（2021春 交城县期末）解方程组的最佳方法是（ ）
A．代入法消去y，由①得y＝7﹣2x B．代入法消去x，由②得x＝y+2
C．加减法消去y，①+②得3x＝9 D．加减法消去x，①﹣②×2得3y＝3
【思路点拨】观察方程组中x与y的系数，利用加减消元法或代入消元法判断即可．
【答案】解：解方程组的最佳方法是加减法消去y，①+②得3x＝9．故选：C．
【点睛】此题考查解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．
5．（2021秋 皇姑区期末）已知关于x、y的方程组的解是，则2m+n的值为（ ）
A．3 B．2 C．1 D．0
【思路点拨】所谓“方程组”的解，指的是该数值满足方程组中的每一方程的值，只需将方程的解代入方程组，就可得到关于m，n的二元一次方程组，解得m，n的值，即可求2m+n的值．
【答案】解：根据定义把代入方程组，
得，解得．∴2m+n＝2×2﹣1＝3．故选：A．
【点睛】此题主要考查了二元一次方程组解的定义以及解二元一次方程组的基本方法．
6．（2021秋 威宁县校级期末）方程组和方程组的解相同，则ab值为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【思路点拨】联立，求出x，y的值，把x，y的值代入其余两个方程求出a，b的值，从而得到ab的值．
【答案】解：联立，解得，
代入其余两个方程得，解得，∴ab＝4，故选：B．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的解，联立，求出x，y的值是解题的关键．
7．（2021秋 威宁县校级期末）为响应国家号召，某单位积极组织员工去接种新冠疫苗．该单位共有x名员工，分y组接种疫苗，若每组60人，则只有一组缺2人；若每组50人，则余下38人．根据题意，可列方程组为（ ）
A． B． C． D．
【思路点拨】根据“若每组60人，则只有一组缺2人；若每组50人，则余下38人”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解．
【答案】解：∵若每组60人，则只有一组缺2人，∴60y＝x+2；
∵若每组50人，则余下38人，∴50y＝x﹣38．
∴根据题意，可列方程组为．故选：D．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
8．（2021·全国·七年级课时练习）我们规定：表示不超过的最大整数，例如：，，，则关于和的二元一次方程组的解为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据的意义可得，和均为整数，两方程相减可求出，，将代入第二个方程可求出x.
【详解】解：，∵表示不超过的最大整数，∴，和均为整数，
∴x为整数，即，∴①－②得：，∴，，
将代入②得：，∴，故选：A.
【点睛】本题考查了新定义以及解二元一次方程组，正确理解的意义是解题的关键.
9．（2021秋 海州区期末）从甲地到乙地有一段上坡路与一段下坡路．如果上坡平均每小时走2km，下坡平均每小时走3km，那么从甲地走到乙地需要15分钟，从乙地走到甲地需要20分钟．若设从甲地到乙地上坡路程为xkm，下坡路程为ykm，则所列方程组正确的是（ ）
A． B． C． D．
【思路点拨】设从甲地到乙地上坡路程为xkm，下坡路程为ykm，根据时间＝路程÷速度分别列出x和y的二元一次方程组即可．
【答案】解：设从甲地到乙地上坡路程为xkm，下坡路程为ykm，
根据题意得，，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是根据题意列出对应的二元一次方程组，此题难度不大．
10．（2021春 恩施市期末）小明在拼图时，发现8个一样大小的长方形，恰好可以拼成一个大的长方形如图（1）；小红看见了，说：“我也来试一试．”结果小红七拼八凑，拼成了如图（2）那样的正方形，中间还留下了一个洞，恰好是边长为3mm的小正方形，则每个小长方形的面积为（ ）
A．120mm2 B．135mm2 C．108mm2 D．96mm2
【思路点拨】设每个小长方形的长为xmm，宽为 ymm，根据图形给出的信息可知，长方形的5个宽与其3个长相等，两个宽﹣一个长＝3，于是得方程组，解出即可．
【答案】解：设每个长方形的长为xmm，宽为 ymm，由题意，
得，解得：．9×15＝135（mm2）．故选：B．
【点睛】此题主要考查了二元一次方程组的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程组．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不写解答过程，请把答案直接填写在横线上）
11．（2021春 鼓楼区校级期中）写出一个二元一次方程组 ，使它的解是．
【思路点拨】根据所给二元一次方程组的解写出符合条件的二元一次方程组即可．
【答案】解：∵二元一次方程组的解为，
∴二元一次方程组为，
故答案为：（答案不唯一）．
【点睛】本题考查二元一次方程组的解，熟练掌握二元一次方程组的解与二元一次方程的关系是解题的关键．
12．（2021春 江都区期中）若+8＝0是关于x，y的二元一次方程，则m＝ ﹣2 ．
【思路点拨】从二元一次方程满足的条件：含有2个未知数和最高次项的次数是1这两个方面考虑．
【答案】解：∵+8＝0是关于x，y的二元一次方程，
∴m﹣2≠0且m2﹣3＝1，解得m＝﹣2，故答案为：﹣2．
【点睛】本题主要考查二元一次方程的定义，二元一次方程必须符合以下三个条件：
（1）方程中只含有2个未知数；（2）含未知数项的最高次数为一次；（3）方程是整式方程．
13．（2021春 遂宁期末）关于x，y的二元一次方程2x+3y＝12的非负整数解有 组．
【思路点拨】将x＝0，1，2，…，分别代入2x+3y＝12，求出二元一次方程2x+3y＝12的非负整数解有多少组即可．
【答案】解：当x＝0时，方程2x+3y＝12变形为3y＝12，解得y＝4；
当x＝3时，方程2x+3y＝12变形为6+3y＝12，解得y＝2；
当x＝6时，方程2x+3y＝12变形为12+3y＝12，解得y＝0；
∴关于x，y的二元一次方程2x+3y＝12的非负整数解有3组：、和．故答案为：3．
【点睛】此题主要考查了二元一次方程组的解，要熟练掌握，注意解中x与y必须为非负整数．
14．（2021秋 宣州区校级期末）若（2x﹣y）2与|x+2y﹣5|互为相反数，则（x﹣y）2021＝ ．
【思路点拨】根据互为相反数的两个数相加和为0，列出关系式，然后再根据绝对值和偶次方的非负性，列出方程组即可解答．
【答案】解：∵（2x﹣y）2与|x+2y﹣5|互为相反数，
∴（2x﹣y）2+|x+2y﹣5|＝0，∴2x﹣y＝0，x+2y﹣5＝0，
∴，①×2得：4x﹣2y＝0③，
②+③得：5x﹣5＝0，解得：x＝1，
把x＝1代入①得：2﹣y＝0，解得：y＝2，
∴原方程组的解为：，
∴（x﹣y）2021＝（1﹣2）2021＝﹣1，故答案为：﹣1．
【点睛】本题考查了解二元一次方程组，绝对值和偶次方的非负性，熟练掌握互为相反数的两个数相加和为0，是解题的关键．
15．（2021秋 大东区期末）某校八年某班40名同学为“希望工程”捐款，共捐款100元．捐款情况如下表：
捐款（元） 1 2 3 4
人数 6 7
表格中捐款2元和3元的人数不小心被墨水污染已经看不清楚，若设捐款2元的有x名同学，捐款3元的有y名同学，根据题意，可列二元一次方程组为 ．
【思路点拨】根据该班共有40名同学捐款且捐款总额为100元，即可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解．
【答案】解：∵该班共有40名同学为“希望工程”捐款，∴6+x+y+4＝40；
∵该班捐款总额为100元，∴1×6+2x+3y+4×7＝100．
∴根据题意，可列二元一次方程组为．
故答案为：．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
16．（2021秋 深圳期末）对于X、Y定义一种新运算“*”：X*Y＝aX+bY，其中a、b为常数，等式右边是通常的加法和乘法的运算．已知：3*5＝15，4*7＝28，那么1*2＝ .
【思路点拨】已知等式利用题中的新定义化简，列出方程组，求出方程组的解得到a与b的值，即可求出所求．
【答案】解：根据题中的新定义得：，
①×4﹣②×3得：﹣b＝﹣24，解得：b＝24，
把b＝24代入①得：a＝﹣35，
则1*2＝（﹣35）×1+24×2＝﹣35+48＝13，故答案为：13
【点睛】此题考查了解二元一次方程组，以及有理数的混合运算，弄清题中的新定义是解本题的关键．
17．（2021春 江都区校级月考）已知方程组的解是，则方程组的解是 ．
【思路点拨】由两个方程组可知，a＝x﹣1，b＝y+2，由，可以求得x、y的值，本题得以解决．
【答案】解：在方程组中，设x﹣1＝a，y+2＝b，
则变形为方程组，
∵方程组的解是，
∴，
解得，
故答案为．
【点睛】本题考查二元一次方程组的解，解题的关键是运用整体的数学思想解答问题．
18．（2021 赤峰期末）为确保信息安全，信息需加密传输，发送方由明文→密文（加密），接收方由密文→明文（解密），已知加密规则为：明文a，b，c，d对应密文a+2b，2b+c，2c+2d，4d．例如，明文1，2，3，4对应密文5，7，14，16．当接收方收到密文9，9，24，28时，则解密得到的明文为 ．
【思路点拨】设解密得到的明文为a，b，c，d，加密规则得出方程组，求出a，b，c，d的值即可．
【答案】解：设明文为a，b，c，d，
由题意得：，解得：，
则得到的明文为5，2，5，7．故答案为：5，2，5，7．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
三、解答题（本大题共8小题，共66分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2021 方城县期中）阅读小强同学数学作业本上的截图内容并完成任务：
任务：
（1）这种解方程组的方法称为 ；
（2）利用此方法解方程组的过程中所体现的数学思想是 ；（请你填写正确选项）
A．转化思想 C．函数思想 C．数形结合思想 D．公理化思想
（3）小强的解法正确吗？ （填正确或不正确），如果不正确，请指出错在第 步．请选择恰当的解方程组的方法解该方程组．
【思路点拨】观察小强同学的做法，确定其利用了代入消元法，利用了转化的思想，找出错误的步骤，写出正确解答过程即可．
【答案】解：（1）这种解方程组的方法称为代入消元法；
故答案为：代入消元法；
（2）利用此方法解方程组的过程中所体现的数学思想是转化思想，故选A．
（3）不正确 第二步，故答案为：不正确，二；
解：①+②得：3x＝﹣9，解得：x＝﹣3，
把x＝﹣3代入①得：y＝﹣9，
则方程组的解为．
【点睛】此题考查解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．
20．（2021·广东·深圳第三高中八年级期中）解方程组：
（1）（消元法）； （2）（加减法）．
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）利用加减消元法解方程组，即可得到答案；
（2）先把方程进行整理，然后利用加减消元法解方程组，即可得到答案．
【详解】解：（1），由①－②，得，
把代入②，解得，∴．
（2），
方程组整理得，
由①－②得：－2x＝6，解得：x＝－3，
把x＝－3代入①得－6－3y＝1，解得：；
所以方程组的解为．
【点睛】此题考查了解二元一次方程组，熟练掌握加减消元法解方程组是解本题的关键．
21．（2021秋 迎泽区校级月考）阅读材料：
在解方程组时，萌萌采用了一种“整体代换”的解法．
解：将方程②变形：4x+10y+y＝5，即2（2x+5y）+y＝5③．
把方程①代入③得2×3+y＝5，∴y＝﹣1，
把y＝﹣1代入①，得x＝4，
∴原方程组的解为．
请模仿萌萌的“整体代换”法解方程组．
【思路点拨】将方程②变形：8x﹣6y﹣y＝18，即2（4x﹣3y）﹣y＝18，把方程①代入③得x的值，进一步代入得y的值．
【答案】解：，
将方程②变形：8x﹣6y﹣y＝18，即2（4x﹣3y）﹣y＝18③，
把方程①代入③得，2×6﹣y＝18，∴y＝﹣6，
把y＝﹣6代入①，得x＝﹣3，
∴原方程组的解为．
【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的解、解二元一次方程组，掌握解二元一次方程组的方法，整体代换是解题关键．
22．（2021·吉林长春·七年级期末）【数学问题】解方程组
【思路分析】榕观察后发现方程①的左边是x+y，而方程②的括号里也是x+y，她想到可以把x+y视为一个整体，把方程①直接代入到方程②中，这样，就可以将方程②直接转化为一元一次方程，从而达到“消元”的目的．
（1）【完成解答】请你按照榕榕的思路，完成解方程组的过程．
解：把①代入②，得
（2）【迁移运用】请你按照上述方法，解方程组
【答案】【完成解答】；【迁移运用】
【分析】（1）【完成解答】把①代入②求出x的值，再把x的值代入①即可求解；（2）【迁移运用】把①代入③求出c的值，把c的值代入②求出a的值，再把a的值代入①即可求解．
【详解】解：（1）【完成解答】
把①代入②，得，解得，
把代入①，可得，∴方程组的解为；
（2）【迁移运用】把①代入③，得，解得，
把代入②，得，解得，
把代入①，得，
∴方程组的解为．
【点睛】本题考查解三元一次方程组、解二元一次方程组，掌握整体思想是解题的关键．
23．（2021 下城区期末）关于x，y的二元一次方程ax+by＝c（a，b，c是常数），b＝a+1，c＝b+1．（1）当时，求c的值．（2）当a＝时，求满足|x|＜5，|y|＜5的方程的整数解．
（3）若a是正整数，求证：仅当a＝1时，该方程有正整数解．
【思路点拨】（1）由题意，得3a+a+1＝a+2，解得a＝，即可求得c＝；
（2）当a＝时，方程为+y＝，即x+3y＝5，根据方程即可求得；
（3）由题意，得a（x+y﹣1）＝2﹣y①，x、y均为正整数，则x+y﹣1是正整数，a是正整数，则2﹣y是正整数，从而求得y＝1，把y＝1代入①得，ax＝1，即可求得a＝1，此时方程的正整数解是．
【答案】解：（1）∵b＝a+1，c＝b+1．∴c＝a+2，
由题意，得3a+a+1＝a+2，解得a＝，∴c＝a+2＝；
（2）当a＝时，+y＝，化简得，x+3y＝5，
∴符合题意的整数解是：，，；
（3）由题意，得ax+（a+1）y＝a+2，
整理得，a（x+y﹣1）＝2﹣y①，
∵x、y均为正整数，∴x+y﹣1是正整数，
∵a是正整数，∴2﹣y是正整数，∴y＝1，
把y＝1代入①得，ax＝1，∴a＝1，
此时，a＝1，b＝2，c＝3，方程的正整数解是．
【点睛】本题考查了二元一次方程的解，绝对值的性质，熟知一般地，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解是解答此题的关键．
24．（2021·黑龙江齐齐哈尔·七年级期末）综合与探究
列方程组解应用问题要先审题、找相等关系，再设未知数、列方程，最后解方程、写出答案．设未知数时可采用“直接设法”与“间接设法”．
甲、乙两名同学在做下面应用题：“嫩江是齐齐哈尔的母亲河，为加强河坝的防洪能力，现有一段长为180米的河坝加固任务由、 两个工程队先后接力完成．工程队每天加固河道12米，工程队每天加固河道8米，共用时20天．求、两工程队分别加固河道多少米？”请你根据所给题目，解决下列问题：
（1）如果甲同学采用直接设法：
可设表示__________________，表示__________________，
那么依题意可列方程组： ，解得
如果乙同学采用间接设法：
可设表示__________________，表示__________________，
那么依题意可列方程组： ，解得
（2）请你直接写出、两工程队分别加固河道多少米？
【答案】（1）工程队加固河道的长度， 工程队加固河道的长度， ， ；工程队加固河道的天数， 工程队加固河道的天数， ， ；（2）工程队加固河道的长度为60米，工程队加固河道的长度为120米．
【分析】（1）设表示A工程队加固河道的长度，表示B工程队加固河道的长度；设表示工程队加固河道的天数，表示工程队加固河道的天数，然后根据等量关系列出方程求解即可；
（2）根据（1）中计算的结果，得到答案即可.
【详解】解：（1）设表示A工程队加固河道的长度，表示B工程队加固河道的长度
那么依题意可列方程组：，解得
设表示A工程队加固河道的天数，表示工程队加固河道的天数，
那么依题意可列方程组：，解得
（2）A工程队加固河道的长度为60米，工程队加固河道的长度为120米．
【点睛】本题主要考查二元一次方程组的实际应用，解题的关键在于能够准确找到等量关系列方程组求解.
25．（2021·浙江·七年级期末）第二波疫情爆发后，某公司购买了150吨物资打算运往河北支援，现有甲、乙、丙三种车型供选择，每辆汽车的运载能力和运费如表所示：（假设每辆车均满载）
车型 甲 乙 丙
汽车运载量（吨/辆） 5 8 10
汽车运费（元/辆） 1000 1200 1500
（1）若全部物资都用甲、乙两种车型来运送，需运费26000元，问分别需甲、乙两种车型各多少辆
（2）若该公司决定用甲、乙、丙三种汽车共20辆同时参与运送，请你写出可能的运送方案，并帮助该集团找出运费最省的方案（甲、乙、丙三种车辆均要参与运送）．
【答案】（1）需甲种车型14辆，需乙种车型10辆；（2）见解析
【分析】（1）设需甲车x辆，乙车y辆，根据运费26000元，总吨数是150吨，列出方程组，再进行求解即可；（2）设甲车有x辆，乙车有y辆，则丙车有z辆，列出等式，再根据x、y、z均为正整数，求出x，y的值，从而得出答案．
【详解】解：（1）设需甲种车型辆，乙种车型辆，
由题意得：，解得：，
答：需甲种车型14辆，需乙种车型10辆；
（2）设需甲车型辆，乙车型辆，丙车型辆，
由题意得：，消去得：，，
甲、乙、丙三种车型都参与运送，、、是正整数，且不大于18，得，10，
解得：，，有两种运送方案：
①甲车型4辆，乙车型5辆，丙车型9辆；
②甲车型2辆，乙车型10辆，丙车型6辆；
应该是甲车型4辆，乙车型5辆，丙车型6辆；
或甲车型2辆，乙车型10辆，丙车型3辆；
两种方案的运费分别是：①（元，
②（元，
，甲车型2辆，乙车型10辆，丙车型6辆，运费最省．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及三元一次方程组的应用；找出等量关系，列出方程组是解题的关键．
26．（2021·上海闵行·七年级期末）在平面直角坐标系中，点，点，点．
（1）的面积为______；（2）已知点，，那么四边形的面积为______．
（3）奥地利数学家皮克发现了一类快速求解格点多边形的方法，被称为皮克定理：如果用m表示格点多边形内的格点数，n表示格点多边形边上的格点数，那么格点多边形的面积S和m与n之间满足一种数量关系．例如刚刚求解的几个多边形面积中，我们可以得到如表中信息：
形内格点数m 边界格点数n 格点多边形面积S
6 11
四边形 8 11
五边形 20 8
根据上述的例子，猜测皮克公式为______（用m，n表示），试计算图②中六边形的面积为______（本大题无需写出解题过程，写出正确答案即可）．
【答案】（1）10.5；（2）12.5；（3）10.5，12.5，23；；30
【分析】（1）画出图形，根据三角形的面积公式求解；（2）画出图形，利用割补法求解；
（3）设S=am+bn+c，其中a，b，c为常数，根据表中数据列方程组求出a，b，c，然后根据公式即可求出六边形的面积．
【详解】（1）如图1，的底为7，高为3，所以面积为，故答案为：10.5；
（2）如图2，，故答案为：12.5；
（3）由（1）、（2）可填表格如下：
形内格点数m 边界格点数n 格点多边形面积S
6 11 10.5
四边形 8 11 12.5
五边形 20 8 23
设S= am+bn+c，其中a，b为常数，由题意得
，解得，∴皮克公式为，
∵六边形中，m=27，n=8，∴六边形的面积为=30．
【点睛】本题考查了坐标与图形的性质，三角形的面积，三元一次方程组的应用等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
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第2章 二元一次方程组 单元测评卷
(测试时间：120分钟，满分：120分)
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2021秋 秦都区月考）下列方程组中，是二元一次方程组的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2021春 卧龙区校级月考）利用加减消元法解方程组，下列做法正确的是（ ）
A．要消去x，可以将①×3+②×（﹣5） B．要消去y，可以将①×5+②×2
C．要消去x，可以将①×（﹣5）+②×2 D．要消去y，可以将①×5+②×3
3．（2021·四川·成都外国语学校八年级阶段练习）由方程组可以得出关于x和y的关系式是（ ）
A． B． C． D．
4．（2021春 交城县期末）解方程组的最佳方法是（ ）
A．代入法消去y，由①得y＝7﹣2x B．代入法消去x，由②得x＝y+2
C．加减法消去y，①+②得3x＝9 D．加减法消去x，①﹣②×2得3y＝3
5．（2021秋 皇姑区期末）已知关于x、y的方程组的解是，则2m+n的值为（ ）
A．3 B．2 C．1 D．0
6．（2021秋 威宁县校级期末）方程组和方程组的解相同，则ab值为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
7．（2021秋 威宁县校级期末）为响应国家号召，某单位积极组织员工去接种新冠疫苗．该单位共有x名员工，分y组接种疫苗，若每组60人，则只有一组缺2人；若每组50人，则余下38人．根据题意，可列方程组为（ ）
A． B． C． D．
8．（2021·全国·七年级课时练习）我们规定：表示不超过的最大整数，例如：，，，则关于和的二元一次方程组的解为（ ）
A． B． C． D．
9．（2021秋 海州区期末）从甲地到乙地有一段上坡路与一段下坡路．如果上坡平均每小时走2km，下坡平均每小时走3km，那么从甲地走到乙地需要15分钟，从乙地走到甲地需要20分钟．若设从甲地到乙地上坡路程为xkm，下坡路程为ykm，则所列方程组正确的是（ ）
A． B． C． D．
10．（2021春 恩施市期末）小明在拼图时，发现8个一样大小的长方形，恰好可以拼成一个大的长方形如图（1）；小红看见了，说：“我也来试一试．”结果小红七拼八凑，拼成了如图（2）那样的正方形，中间还留下了一个洞，恰好是边长为3mm的小正方形，则每个小长方形的面积为（ ）
A．120mm2 B．135mm2 C．108mm2 D．96mm2
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不写解答过程，请把答案直接填写在横线上）
11．（2021春 鼓楼区校级期中）写出一个二元一次方程组 ，使它的解是．
12．（2021春 江都区期中）若+8＝0是关于x，y的二元一次方程，则m＝ ﹣2 ．
13．（2021春 遂宁期末）关于x，y的二元一次方程2x+3y＝12的非负整数解有 组．
14．（2021秋 宣州区校级期末）若（2x﹣y）2与|x+2y﹣5|互为相反数，则（x﹣y）2021＝ ．
15．（2021秋 大东区期末）某校八年某班40名同学为“希望工程”捐款，共捐款100元．捐款情况如下表：
捐款（元） 1 2 3 4
人数 6 7
表格中捐款2元和3元的人数不小心被墨水污染已经看不清楚，若设捐款2元的有x名同学，捐款3元的有y名同学，根据题意，可列二元一次方程组为 ．
16．（2021秋 深圳期末）对于X、Y定义一种新运算“*”：X*Y＝aX+bY，其中a、b为常数，等式右边是通常的加法和乘法的运算．已知：3*5＝15，4*7＝28，那么1*2＝ .
17．（2021春 江都区校级月考）已知方程组的解是，则方程组的解是 ．
18．（2021 赤峰期末）为确保信息安全，信息需加密传输，发送方由明文→密文（加密），接收方由密文→明文（解密），已知加密规则为：明文a，b，c，d对应密文a+2b，2b+c，2c+2d，4d．例如，明文1，2，3，4对应密文5，7，14，16．当接收方收到密文9，9，24，28时，则解密得到的明文为 ．
三、解答题（本大题共8小题，共66分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2021 方城县期中）阅读小强同学数学作业本上的截图内容并完成任务：
任务：
（1）这种解方程组的方法称为 ；
（2）利用此方法解方程组的过程中所体现的数学思想是 ；（请你填写正确选项）
A．转化思想 C．函数思想 C．数形结合思想 D．公理化思想
（3）小强的解法正确吗？ （填正确或不正确），如果不正确，请指出错在第 步．请选择恰当的解方程组的方法解该方程组．
20．（2021·广东·深圳第三高中八年级期中）解方程组：
（1）（消元法）； （2）（加减法）．
21．（2021秋 迎泽区校级月考）阅读材料：
在解方程组时，萌萌采用了一种“整体代换”的解法．
解：将方程②变形：4x+10y+y＝5，即2（2x+5y）+y＝5③．
把方程①代入③得2×3+y＝5，∴y＝﹣1，
把y＝﹣1代入①，得x＝4，
∴原方程组的解为．
请模仿萌萌的“整体代换”法解方程组．
22．（2021·吉林长春·七年级期末）【数学问题】解方程组
【思路分析】榕观察后发现方程①的左边是x+y，而方程②的括号里也是x+y，她想到可以把x+y视为一个整体，把方程①直接代入到方程②中，这样，就可以将方程②直接转化为一元一次方程，从而达到“消元”的目的．
（1）【完成解答】请你按照榕榕的思路，完成解方程组的过程．
解：把①代入②，得
（2）【迁移运用】请你按照上述方法，解方程组
23．（2021 下城区期末）关于x，y的二元一次方程ax+by＝c（a，b，c是常数），b＝a+1，c＝b+1．（1）当时，求c的值．（2）当a＝时，求满足|x|＜5，|y|＜5的方程的整数解．
（3）若a是正整数，求证：仅当a＝1时，该方程有正整数解．
24．（2021·黑龙江齐齐哈尔·七年级期末）综合与探究
列方程组解应用问题要先审题、找相等关系，再设未知数、列方程，最后解方程、写出答案．设未知数时可采用“直接设法”与“间接设法”．
甲、乙两名同学在做下面应用题：“嫩江是齐齐哈尔的母亲河，为加强河坝的防洪能力，现有一段长为180米的河坝加固任务由、 两个工程队先后接力完成．工程队每天加固河道12米，工程队每天加固河道8米，共用时20天．求、两工程队分别加固河道多少米？”请你根据所给题目，解决下列问题：
（1）如果甲同学采用直接设法：
可设表示__________________，表示__________________，
那么依题意可列方程组： ，解得
如果乙同学采用间接设法：
可设表示__________________，表示__________________，
那么依题意可列方程组： ，解得
（2）请你直接写出、两工程队分别加固河道多少米？
25．（2021·浙江·七年级期末）第二波疫情爆发后，某公司购买了150吨物资打算运往河北支援，现有甲、乙、丙三种车型供选择，每辆汽车的运载能力和运费如表所示：（假设每辆车均满载）
车型 甲 乙 丙
汽车运载量（吨/辆） 5 8 10
汽车运费（元/辆） 1000 1200 1500
（1）若全部物资都用甲、乙两种车型来运送，需运费26000元，问分别需甲、乙两种车型各多少辆
（2）若该公司决定用甲、乙、丙三种汽车共20辆同时参与运送，请你写出可能的运送方案，并帮助该集团找出运费最省的方案（甲、乙、丙三种车辆均要参与运送）．
26．（2021·上海闵行·七年级期末）在平面直角坐标系中，点，点，点．
（1）的面积为______；（2）已知点，，那么四边形的面积为______．
（3）奥地利数学家皮克发现了一类快速求解格点多边形的方法，被称为皮克定理：如果用m表示格点多边形内的格点数，n表示格点多边形边上的格点数，那么格点多边形的面积S和m与n之间满足一种数量关系．例如刚刚求解的几个多边形面积中，我们可以得到如表中信息：
形内格点数m 边界格点数n 格点多边形面积S
6 11
四边形 8 11
五边形 20 8
根据上述的例子，猜测皮克公式为______（用m，n表示），试计算图②中六边形的面积为______（本大题无需写出解题过程，写出正确答案即可）．
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