4.1 因式分解 课件（共18张PPT）

(共18张PPT)
4.1 因式分解
浙教版 七年级下册
问题1：21能被哪些数整除？
1，3，7，21.
问题2：你是怎样想到的？
因为21=1×21=3×7.
思考：既然有些数能分解因数，那么类似地，有些多项式可以分解成几个整式的积吗？
可以.
新知导入
a(a+1)= a2+a=
(a+b)(a-b)= a2-b2=
(a+1)2= a2+2a+1=
a2+a
a2-b2
(a+b)(a-b)
a2+2a+1
(a+1)2
a(a+1)
整式的乘法
多项式转化为几个整式的积
请观察下面两种代数式变形的例子，它们之间有什么关系？
整式的积
多项式
多项式
整式的积
一般地，把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做因式分解，有时我们也把这一过程叫做分解因式。
注意：①分解的对象必须是多项式；
②因式分解的结果：积的形式；
③结果中的每一个因式都必须是整式；
④必须分解到每个因式都不能再分解为止.
因式分解
判断下列各式从左到右的变形中，是否为因式分解：
A. x(a﹣b)=ax﹣bx
B. x2﹣1+y2=(x﹣1)(x+1)+y2
C. y2﹣1=(y+1)(y﹣1)
D. ax+by+c=x(a+b)+c
E. 2a3b=a2 2ab
F. (x+3)(x﹣3)=x2﹣9
√
×
×
×
×
×
提示：判定一个变形是因式分解的条件：
(1)左边是多项式．
(2)右边是积的形式.
(3)右边的因式全是整式.
想一想：由a(a+1)(a-1)得到a3-a的变形是什么运算
由a3-a得到a(a+1)(a-1)的变形与它有什么不同
与上面的变形互为逆过程.
整式乘法
因式分解与整式乘法的关系
整式乘法与因式分解有什么关系？
是互为相反的变形，即
a3-a
因式分解
整式乘法
a(a+1)(a-1)
特征：左边是多项式，右边是几个整式的乘积
1.下列变形中，哪些是整式乘法 哪些是因式分解
(1)x2-4y2=(x+2y)(x-2y)
(2)2x(x-3y)=2x2-6xy
(3)(5a-1)2=25a2-10a+1
(4)x2+4x+4=(x+2)2
(5)(a-3)(a+3)=a2-9
因式分解
整式乘法
整式乘法
因式分解
整式乘法
a2-b2=(a+b)(a-b)
=(a+b)2
=m(a+b)
(a+b)(a-b)
(a+b)2
m(a+b)
=a2-b2
=a2+2ab+b2
=am+bm
整式乘法
因式分解
整式的积
多项式
多项式
整式的积
a2+2ab+b2
am+bm
常见的代数式变形
(m+n)(a+b)
=am+bm+an+bn
am+bm+an+bn
=(m+n)(a+b)
互逆关系
新知讲解
例1 检验下列因式分解是否正确:
(1) x y-xy=xy (x-y)
(2) 2x -1=(2x+1)(2x-1)
(3) x +3x+2=(x+1)(x+2)
解:(1) ∵ xy(x -y) = xy·x - xy·y = x2y -xy2，
∴ 因式分解x y-xy=xy (x-y)正确.
(2) ∵ (2x + 1)(2x - 1) = 4x2 - 1 ≠ 2x -1，
∴ 因式分解2x -1=(2x+1)(2x-1)不正确.
(3) ∵ (x + 1)(x + 2) = x2 +2x + x + 2 =x +3x+2，
∴ 因式分解x +3x+2=(x+1)(x+2)正确.
因式分解与整式乘法的关系：
整式乘法与因式分解的关系：整式乘法与因式分解一个是
积化和差，另一个是和差化积，是两种互逆的变形。
即：多项式 整式的积
因式分解和整式的乘法有互逆关系，因此，可以用整式的
乘法运算来检验因式分解的正确性。
1．下列各式从左到右的变形中，为因式分解的是(　　)
A．x(a－b)＝ax－bx
B．x2－1＋y2＝(x－1)(x＋1)＋y2
C．y2－1＝(y＋1)(y－1)
D．a2＋6a＋10＝(a＋3)2＋1
C
2．(3a－y)(3a＋y)是下列哪一个多项式因式分解的结果？(　　)
A．9a2＋y2 B．－9a2＋y2
C．9a2－y2 D．－9a2－y2
C
课堂练习
3．若(x－3)(x＋5)是x2＋px＋q分解因式的结果，则p为(　　)
A．－15 B．－2
C．8 D．2
D
4．把多项式x2＋ax＋b分解因式，得(x＋1)(x－3)，则a，b的值分别是(　　)
A．a＝2，b＝3 B．a＝－2，b＝－3
C．a＝－2，b＝3 D．a＝2，b＝－3
B
5．在边长为a的正方形中挖掉一个边长为b的小正方形(a＞b)，把余下的部分剪拼成一个长方形(如图)．根据图示可以验证的等式是(　　)
A．a2－b2＝(a＋b)(a－b)
B．(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2
C．(a－b)2＝a2－2ab＋b2
D．a2－ab＝a(a－b)
A
6．若多项式x2－mx＋n(m，n是常数)分解因式后，有一个因式是x－3，则3m－n的值为________．
9
7.若 x2+mx-n能分解成(x-3)(x-5)，求m，n的值。
解:由题意得: x2+mx-n = (x-3)(x-5)
∵ x2+mx-n =x -8x+15
∴对应项的系数相等,则m= -8, m= 15
8. 若多项式x4+mx3+nx﹣16含有因式(x﹣2)和(x﹣1)， 求mn的值.
解：∵x4+mx3+nx﹣16的最高次数是4，
∴可设x4+mx3+nx﹣16=(x-1)(x-2)(x2+ax+b)，
则x4+mx3+nx-16=x4+(a-3)x3+(b-3a+2)x2+(2a-3b)x+2b
比较系数得 2b=-16，b-3a+2=0，a-3=m，2a-3b=n
解得a=-2，b=-8，m=-5，n=20.
∴mn=﹣5×20=﹣100．
9. 甲、乙两个同学分解因式x2+ax+b时，甲看错了b，分解结果为(x+2)(x+4)；乙看错了a，分解结果为(x+1）(x+9)，求a+b的值.
解：分解因式甲看错了b，但a是正确的，
其分解结果为x2+ax+b=(x+2)(x+4)=x2+6x+8，
∴a=6，
同理，乙看错了a，但b是正确的，
分解结果为x2+ax+b=(x+1)(x+9)=x2+10x+9，
∴b=9，
∴a+b=15．
课堂总结
因式分解
一般地，把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做因式分解，有时我们也把这一过程叫做分解因式。
定义：
与整式乘法的关系：
整式乘法与因式分解一个是 积化和差，另一个是和差化积，是两种互逆的变形。
即：多项式 整式的积
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