中小学教育资源及组卷应用平台
第5章 分式 单元测评卷
(测试时间：120分钟，满分：120分)
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2021·江苏省江阴市第一中学八年级月考）下列分式中，属于最简分式的个数是（ ）
①，②，③，④，⑤，⑥．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【分析】根据最简分式的定义判断即可．
【详解】①，③，④，⑤，可约分，不是最简分式；
②，⑥分子分母没有公因式，是最简分式，一共有二个；故选：B．
【点睛】本题考查了最简分式，解题关键是明确最简分式的定义，准确判断分子分母是否含有公因式．
2．（2021·湖北随州市·八年级期末）下列关于分式的各种说法中，错误的是（ ）．
A．当时，分式无意义 B．当时，分式的值为负数
C．当时，分式的值为正数 D．当时，分式的值为
【答案】B
【分析】根据分式的定义和性质，对各个选项逐个分析，即可得到答案．
【详解】当时，分式无意义，选项A正确；
当时，分式的值可能为负数，可能为正数，故选项B错误；
当时，，分式的值为正数，选项C正确；
当时，，分式的值为，选项D正确；故选：B．
【点睛】本题考查了分式的知识；解题的关键是熟练掌握分式的性质，从而完成求解．
3．（2021秋 招远市期末）下列各式，从左到右变形正确的是（ ）
A． B． C． D．
【思路点拨】根据分式的基本性质（分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变）判断即可．
【答案】解：A、2前面是加号不是乘号，不可以约分，原变形错误，故本选项不符合题意；
B、原式＝﹣，原变形错误，故本选项不符合题意；
C、原式＝＝，原变形正确，故本选项符合题意；
D、从左边到右边不正确，原变形错误，故本选项不符合题意；故选：C．
【点睛】本题考查了分式的基本性质．解题的关键是掌握分式的基本性质的运用，注意：分式的分子和分母都乘以同一个不等于0的整式，分式的值不变．
4．（2021·江苏省江阴市第一中学八年级期中）若把，的值同时扩大为原来的2倍，则下列分式的值保持不变的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据分式的基本性质即可求出答案．
【详解】A、=，故A的值保持不变．B、，故B的值不能保持不变．C、，故C的值不能保持不变．D、，故D的值不能保持不变．故选：A．
【点睛】本题考查了分式，解题的关键是正确理解分式的基本性质，本题属于基础题型．
5．（2021·河南潢川·初二期末）下列说法：
①解分式方程一定会产生增根； ②方程＝0的根为2；
③方程的最简公分母为2x（2x﹣4）； ④x+＝1+是分式方程．
其中正确的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】A
【分析】根据分式方程的定义、增根的概念及最简公分母的定义解答．
【解析】①解分式方程不一定会产生增根，故错误，
②方程＝0的根为2，当x=2时分母为0，所以x=2是增根，故错误，
③方程的最简公分母为2x（x﹣2），故错误，
④根据分式方程的定义可知x+＝1+是分式方程，
综上所述：①、②、③错误，④正确，共一个选项正确，故选：A．
【点睛】本题主要考查解分式方程，需明确分式的定义及解法．
6．（2021·河北初三其他）已知，这是一道分式化简题，因为一不小心一部分被墨水污染了，若只知道该题化简的结果为整式，则被墨水覆盖的部分不可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据整式的概念，将各选项依次代入判断即可．
【解析】A、= 不是整式，此选项符合题意；
B、=是整式，此选项不符合题意；
C、=是整式，此选项不符合题意；
D、=是整式，此选项不符合题意，故选：A．
【点睛】本题考查了分式的运算、平方差公式、整式的判断，熟练掌握分式的除法运算法则及平方差公式是解答的关键．
7．（2022 海淀区校级开学）方程的解为（ ）
A．x＝﹣1 B．x＝2 C．x＝1 D．该方程无解
【思路点拨】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【答案】解：去分母得：2x＝6﹣x，解得：x＝2，
检验：把x＝2代入得：x（x﹣2）＝0，∴x＝2是增根，分式方程无解．故选：D．
【点睛】此题考查了解分式方程，以及分式方程的解，熟练掌握分式方程的解法是解本题的关键．
8．（2021秋 滦州市期末）对于两个非零实数a、b，规定a b＝，若2 （2x+1）＝1，则x的值为（ ）
A． B． C． D．﹣
【思路点拨】由题意可得﹣＝1，解方程即可．
【答案】解：∵2 （2x+1）＝1，∴﹣＝1，∴＝，解得x＝﹣，
经检验，x＝﹣是方程的根，故选：D．
【点睛】本题考查分式方程的解，理解定义，能将所求转换为分式方程的解是解题的关键．
9．（2020秋 任城区校级期中）为了疫情防控需要，某防护用品厂计划生产130000个口罩，但是在实际生产时，……，求实际每天生产口罩的个数，在这个题目中，若设实际每天生产口罩x个，可得方程，则题目中用“……”表示的条件应是（ ）
A．每天比原计划多生产500个，结果延期10天完成
B．每天比原计划少生产500个，结果提前10天完成
C．每天比原计划少生产500个，结果延期10天完成
D．每天比原计划多生产500个，结果提前10天完成
【思路点拨】根据所设未知数和方程可得：实际生产时，每天比原计划多生产500个，提前10天完成任务．
【答案】解：根据方程可得：为了疫情防控需要，某防护用品厂计划生产130000个口罩，但是在实际生产时，每天比原计划多生产500个，结果提前10天完成，求实际每天生产口罩的个数．选：D．
【点睛】此题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，再设出未知数，列出方程．
10．（2021秋 永年区月考）若关于x的分式方程无解，则m的值是（ ）
A．m＝2或m＝6 B．m＝2 C．m＝6 D．m＝2或m＝﹣6
【思路点拨】先去分母得到整式方程，解整式方程得x＝m﹣4，利用分式方程无解得到x＝±2，所以m﹣4＝±2，然后解关于m的方程即可．
【答案】解：去分母得x+m﹣x（x+2）＝﹣x2+4，解得x＝m﹣4，
∵原方程无解，∴x＝2或﹣2，即m﹣4＝2，解得m＝6；或m﹣4＝﹣2，解得m＝2；
即当m＝2或6时，关于x的分式方程无解．故选：A．
【点睛】本题考查了分式方程的解：求出使分式方程中令等号左右两边相等且分母不等于0的未知数的值，这个值叫方程的解．在解方程的过程中因为在把分式方程化为整式方程的过程中，扩大了未知数的取值范围，可能产生增根，增根是令分母等于0的值，不是原分式方程的解．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不写解答过程，请把答案直接填写在横线上）
11．（2021秋 藁城区期末）计算的结果是 ．
【思路点拨】根据分式的乘除运算法则即可求出答案．
【答案】解：原式＝÷＝ ＝．故答案为：．
【点睛】本题考查分式的乘除运算法则，解题的关键是熟练运用分式的乘除运算法则，本题属于基础题型．
12．（2021·北京九年级专题练习）若代数式 的值为整数，则 的值为__________．
【答案】或
【分析】将代数式变形为4＋，从而求出满足条件的整数x的值．
【详解】∵＝4＋，代数式的值为整数，∴为整数，
∴x 1＝1或x 1＝ 1，∴x＝2或0．故答案是：2或0．
【点睛】本题考查了将分式变形为整数加上分式的求值问题，可以根据对应项相等的原则解答．
13．（2022 南山区模拟）若a2﹣＝3，则的值为 ．
【思路点拨】先求的倒数的值，然后进行计算即可解答．
【答案】解：＝a2﹣2﹣＝a2﹣﹣2＝3﹣2＝1，∴＝1，
【点睛】本题考查了分式的值，先的倒数的值是解题的关键．
14．（2021秋 昆明期末）“绿水青山就是金山银山”，为了进一步优化河道环境，甲乙两工程队承担河道整治任务，甲、乙两个工程队每天共整治河道1500米，甲工程队整治3600米所用的时间与乙工程队整治2400米所用时间相等．设甲工程队每天整治河道x米，根据题意列方程为 ．
【思路点拨】根据两个工程队每天整治河道长度间的关系可得出乙工程队每天整治河道（1500﹣x）米，利用工作时间＝工作总量÷工作效率，结合甲工程队整治3600米所用的时间与乙工程队整治2400米所用时间相等，即可得出关于x的分式方程，此题得解．
【答案】解：∵甲、乙两个工程队每天共整治河道1500米，且甲工程队每天整治河道x米，
∴乙工程队每天整治河道（1500﹣x）米．
依题意得：＝．故答案为：＝．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
15．（2021·普定县第二中学九年级二模）已知关于x的分式方程的解为正数，则k的取值范围为 .
【答案】k＜2且k≠1
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，表示出整式方程的解，由分式方程的解为正数确定出k的范围即可．
【详解】解：去分母得：x-2（x-1）=k，去括号得：x-2x+2=k，解得：x=2-k，
由分式方程的解为正数，得到2-k＞0，且2-k≠1，解得：k＜2且k≠1．
【点睛】此题考查了分式方程的解，始终注意分母不为0这个条件．
16．（2021·辽宁抚顺市·八年级期末）已知y1＝，且y2＝，y3＝，y4＝，…，yn＝，请计算y2021＝_____．（用含x在代数式表示）
【答案】
【分析】根据题意分别求出y2，y3，y4，…，yn，得出一般性规律，即可确定出所求．
【详解】解：∵y1＝，∴，，
，…依此类推，每隔3就循环一次，
∵2021÷3＝673余数为2，∴．故答案为：．
【点睛】本题借助分式的四则运算考查了找规律问题，本题的关键是熟练掌握分式的四则运算法则，计算过程中细心即可．
17．（2021秋 芜湖期末）观察下列方程：①x+＝3；②x+＝5；③x+＝7，可以发现它们的解分别是①x＝1或2；②x＝2或3；③x＝3或4．利用上述材料所反映出来的规律，可知关于x的方程x+＝2n+4（n为正整数）的解x＝ ．
【思路点拨】将所求方程化为（x﹣3）+＝2n+4﹣3，再将x﹣3作为整体求解即可．
【答案】解：方程x+＝2n+4可化为（x﹣3）+＝2n+4﹣3，∴（x﹣3）+＝2n+1，
令x﹣3＝t，则t+＝2n+1，由题意可得x﹣3＝n+1，x﹣3＝n，
∴x＝n+4或x＝n+3，故答案为：n+3或n+4．
【点睛】本题考查分式方程的解，通过观察发现方程的根与系数之间的关系，再由整体思想进行解方程即可．
18．（2021·湖南茶陵·零模）2010年8月19日第26届国际 数学家大会在印度的海德拉巴市举行，并首次颁出陈省身奖，该奖项是首个以中国人名字命名的国际主要科学奖，根据蔡勒公式可以得出中华人民共和国成立100周年纪念日（2049年10月1日）是星期_______________.
（注：蔡勒（德国数学家）公式： 其中：W——所求的日期的星期数(如大于7，就需减去7的整数倍)，c——所求年份的前两位，y——所求年份的后两位，m——月份数(若是1月或2月，应视为上一年的13月或14月，即)，d——日期数，——表示取数a的整数部分，如：［15.6］=15）．
【答案】五
【分析】由代数式的运算法则，结合参数对应的数值，即可求得答案．
【解析】
∴∴
故答案为：五．
【点睛】本题考察了代数式和分式的知识；求解的关键是熟练掌握代数式和分式的性质，结合实际问题的特点，从而完成求解．
三、解答题（本大题共8小题，共66分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2022 郸城县校级开学）以下是小明同学解方程的过程．
【解析】方程两边同时乘（x﹣3），得1﹣x＝﹣1﹣2．…第一步
解得x＝4．…第二步
检验：当x＝4时，x﹣3＝4﹣3＝1≠0．…第三步
所以，原分式方程的解为x＝4．…第四步
（1）小明的解法从第 步开始出现错误；
（2）写出解方程的正确过程．
【思路点拨】（1）第一步去分母时整数漏乘．
（2）根据解分式方程的步骤，先确定最简公分母，然后去分母，解整式方程，检验，得出解．
【答案】解：（1）小明的解法从第一步开始出现错误．故答案为：一．
（2）方程两边同时乘（x﹣3），得1﹣x＝﹣1﹣2（x﹣3）．解得x＝4．
检验：当x＝4时，x﹣3＝4﹣3＝1≠0．所以，原分式方程的解为x＝4．
【点睛】本题考查解分式方程的问题，确定最简公分母，然后去分母是解分式方程的首要步骤，在去分母时不要漏乘，注意对分式方程要检验．
20．（2021秋 海门市期末）计算：
（1）（m+2）；（2）（）．
【思路点拨】（1）根据分式的加减运算以及乘法运算法则即可求出答案．
（2）根据分式的加减运算以及除法运算法则即可求出答案．
【答案】解：（1）原式＝[﹣]
＝ ＝＝＝﹣2（m+3）＝﹣2m﹣6．
（2）原式＝[﹣] ＝
＝ ＝＝．
【点睛】本题考查分式的加减运算以及乘除运算，解题的关键是熟练运用分式的加减运算法则，本题属于基础题型
21．（2021·盐城市初级中学八年级期末）解方程：（1） （2）
【答案】（1）；（2）无解
【分析】（1）观察可得最简公分母是(x+4)，方程两边乘以最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解，再进行检验即可；（2）观察可得最简公分母是(x-1)(x-1)，方程两边乘以最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解，再进行检验即可．
【详解】解：（1）
去分母得，5-x-2=x-4
移项合并得-2x=-7
系数化为1，得
经检验，是原方程的解，
所以，分式方程的解为：；
（2）
去分母得，（x-1）+2(x+1)=4
去括号得，x-1+2x+2=4
移项合并得，3x=3
系数化为1得，x=1
经检验，x=1是原方程的增根，
所以，原方程无解．
【点睛】此题主要考查了分式方程的解法，要注意：（1）解分式方程的思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解；（2）解分式方程一定要注意验根．
22．（2021秋 官渡区期末）2021年12月3日下午，中国昆明站内的复兴号“绿巨人”、老挝万象站内的“澜沧号”动车组列车缓缓开动，标志着连接昆明和万象的中老铁路全线开通运营．中老铁路老挝段起于中国边境磨憨，止于老挝万象，全长约416公里，比磨憨至万象的高速公路缩短了24公里．已知动车的平均速度是汽车的2倍，相比汽车全程可节约2.9小时，求动车的平均速度．
【思路点拨】设汽车的平均速度为x公里/时，则动车的平均速度为2x公里/时，利用时间＝路程÷速度，结合乘坐动车比乘坐汽车可节约2.9小时，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可求出汽车的平均速度，再将其代入2x中即可求出动车的平均速度．
【答案】解：设汽车的平均速度为x公里/时，则动车的平均速度为2x公里/时，
依题意得：，解得：x＝80，
经检验，x＝80是原方程的解，且符合题意，
∴2x＝2×80＝160．
答：动车的平均速度为160公里/时．
【点睛】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
23．（2021·洛阳市实验中学初二月考）在“绿满鄂南”行动中，某社区计划对面积为1800m2的区域进行绿化．经投标，由甲、乙两个工程队来完成，已知甲队每天能完成绿化的面积是乙队每天能完成绿化面积的2倍，并且在独立完成面积为400m2区域的绿化时，甲队比乙队少用4天．
（1）求甲、乙两工程队每天能完成绿化的面积．
（2）设甲工程队施工x天，乙工程队施工y天，刚好完成绿化任务，求y与x的函数解析式．
（3）若甲队每天绿化费用是0.6万元，乙队每天绿化费用为0.25万元，且甲乙两队施工的总天数不超过26天，则如何安排甲乙两队施工的天数，使施工总费用最低？并求出最低费用．
【答案】（1）甲、乙两工程队每天能完成绿化的面积分别是100m2、50m2；（2）y=36﹣2x；（3）安排甲队施工10天，乙队施工16天时，施工总费用最低为10万元．
【分析】（1）设乙工程队每天能完成绿化的面积是xm2，根据在独立完成面积为400m2区域的绿化时，甲队比乙队少用4天，列方程求解；
（2）根据题意得到100x+50y=1800，整理得：y=36﹣2x，即可解答．
（3）根据甲乙两队施工的总天数不超过26天，得到x≥10，设施工总费用为w元，根据题意得：w=0.6x+0.25y=0.6x+0.25×（36﹣2x）=0.1x+9，根据一次函数的性质，即可解答．
【解析】（1）设乙工程队每天能完成绿化的面积是xm2，
根据题意得：，解得：x=50，经检验，x=50是原方程的解，
则甲工程队每天能完成绿化的面积是50×2=100（m2），
答：甲、乙两工程队每天能完成绿化的面积分别是100m2、50m2；
（2）根据题意，得：100x+50y=1800，整理得：y=36﹣2x，
∴y与x的函数解析式为：y=36﹣2x．
（3）∵甲乙两队施工的总天数不超过26天，∴x+y≤26，∴x+36﹣2x≤26，解得：x≥10，
设施工总费用为w元，根据题意得：w=0.6x+0.25y=0.6x+0.25×（36﹣2x）=0.1x+9，
∵k=0.1＞0，∴w随x减小而减小，∴当x=10时，w有最小值，最小值为0.1×10+9=10，此时y=26﹣10=16．
答：安排甲队施工10天，乙队施工16天时，施工总费用最低．
24．（2021秋 望城区期末）已知，关于x的分式方程＝1．（1）当a＝2，b＝1时，求分式方程的解；（2）当a＝1时，求b为何值时分式方程＝1无解；（3）若a＝3b，且a、b为正整数，当分式方程＝1的解为整数时，求b的值．
【思路点拨】（1）将a和b的值代入分式方程，解分式方程即可；
（2）把a的值代入分式方程，分式方程去分母后化为整式方程，分类讨论b的值，使分式方程无解即可；（3）将a＝3b代入方程，分式方程去分母化为整式方程，表示出整式方程的解，由解为整数和b为正整数确定b的取值．
【答案】解：（1）把a＝2，b＝1代入分式方程 中，得，
方程两边同时乘以（2x+3）（x﹣5），2（x﹣5）﹣（1﹣x）（2x+3）＝（2x+3）（x﹣5），
2x +3x﹣13＝2x ﹣7x﹣15，10x＝﹣2，x＝，
检验：把x＝ 代入（2x+3）（x﹣5）≠0，所以原分式方程的解是x＝．
答：分式方程的解是x＝．
（2）把a＝1代入分式方程 得，
方程两边同时乘以（2x+3）（x﹣5），（x﹣5）﹣（b﹣x）（2x+3）＝（2x+3）（x﹣5），
x﹣5+2x2+3x﹣2bx﹣3b＝2x2﹣7x﹣15，（11﹣2b）x＝3b﹣10，
①当11﹣2b＝0时，即，方程无解；
②当11﹣2b≠0时，，
时，分式方程无解，即，b不存在；
x＝5时，分式方程无解，即，b＝5．
综上所述，或b＝5时，分式方程 无解．
（3）把a＝3b代入分式方程 中，得：
方程两边同时乘以（2x+3）（x﹣5），
3b（x﹣5）+（x﹣b）（2x+3）＝（2x+3）（x﹣5），
整理得：（10+b）x＝18b﹣15，∴，
∵，且b为正整数，x为整数，
∴10+b必为195的因数，10+b≥11，
∵195＝3×5×13，∴195的因数有1、3、5、13、15、39、65、195，
但1、3、5 小于11，不合题意，故10+b可以取13、15、39、65、195这五个数．
对应地，方程的解x为3、5、13、15、17，由于x＝5为分式方程的增根，故应舍去．
对应地，b只可以取3、29、55、185，所以满足条件的b可取3、29、55、185这四个数．
【点睛】本题主要考查分式方程的计算，难度较大，涉及知识点较多．熟练掌握解分式方程的步骤是解决这三道小题的前提条件；其次，分式方程无解的两种情况要熟知，一是分式方程去分母后的整式方程无解，而是分式方程去分母后的整式方程的解是原分式方程的增根．总之，解分式方程的步骤要重点掌握
25．（2021·树德中学都江堰外国语实验学校初二期中）某汽车销售公司经销某品牌A款汽车，随着汽车的普及，其价格也在不断下降．今年5月份A款汽车的售价比去年同期每辆降价1万元，如果卖出相同数量的A款汽车，去年销售额为100万元，今年销售额只有90万元．（1）今年5月份A款汽车每辆售价多少万元？（2）为了增加收入，汽车销售公司决定再经销同品牌的B款汽车，已知A款汽车每辆进价为7.5万元，B款汽车每辆进价为6万元，公司预计用不多于105万元且不少于99万元的资金购进这两款汽车共15辆，有几种进货方案？（3）按照（2）中两种汽车进价不变，如果B款汽车每辆售价为8万元，为打开B款汽车的销路，公司决定每售出一辆B款汽车，返还顾客现金a万元，要使（2）中所有的方案获利相同，a值应是多少？
【答案】（1）今年5月份A款汽车每辆售价9万元；（2）共有5种进货方案；（3）a＝0.5时，（2）中所有方案获利相同，此时，购买A款汽车6辆，B款汽车9辆对公司有利
【分析】（1）求单价，总价明显，应根据数量来列等量关系．等量关系为：今年的销售数量＝去年的销售数量．（2）关系式为：99≤A款汽车总价+B款汽车总价≤105．（3）方案获利相同，说明与所设的未知数无关，让未知数x的系数为0即可；多进B款汽车对公司更有利，因为A款汽车每辆进价为7.5万元，B款汽车每辆进价为6万元，所以要多进B款．
【解析】解：（1）设今年5月份A款汽车每辆售价m万元．则：，
解得：m＝9．经检验，m＝9是原方程的根且符合题意．
答：今年5月份A款汽车每辆售价9万元；
（2）设购进A款汽车x辆．则：99≤7.5x+6（15﹣x）≤105．解得：6≤x≤10．
∵x的正整数解为6，7，8，9，10，∴共有5种进货方案；
（3）设总获利为W万元，购进A款汽车x辆，则：
W＝（9﹣7.5）x+（8﹣6﹣a）（15﹣x）＝（a﹣0.5）x+30﹣15a．
当a＝0.5时，（2）中所有方案获利相同，此时，购买A款汽车6辆，B款汽车9辆对公司有利．
【点睛】本题主要考查了分式方程与不等式的结合，准确计算是解题的关键．
26．（2021秋 嘉鱼县期末）【阅读理解】阅读下面的解题过程：已知：，求的值．
解：由知x≠0，∴，即x+＝3①
∴＝x2+＝（x+）2﹣2＝32﹣2＝7②，故的值为．
（1）第①步由得到逆用了法则： ；
第②步运用了公式： ；
（法则，公式都用式子表示）
【类比探究】（2）上题的解法叫做“倒数法”，请你利用“倒数法”解决下面的问题：
已知，求的值；
【拓展延伸】（3）已知，求的值．
【思路点拨】（1）观察解答过程的两步，分别确定出法则及公式即可；
（2）求出已知等式的倒数，变形后求出x+的值，原式变形后代入计算即可求出值；
（3）已知三个等式左右两边相加求出++的值，原式变形后代入计算即可求出值．
【答案】解：（1）第①步由＝3得到x+＝3逆用了法则：+＝；
第②步x2+＝（x+）2﹣2运用了公式：a2+b2＝（a+b）2﹣2ab；
故答案为：+＝；a2+b2＝（a+b）2﹣2ab；
（2）∵＝﹣1，∴＝﹣1，即x+﹣3＝﹣1，∴x+＝2，
则原式＝＝＝＝﹣；
（3）∵+＝，+＝，+＝，
∴+++++＝++，即2（++）＝，
∴++＝，则原式＝＝．
【点睛】此题考查了分式的加减法，倒数，完全平方公式，以及分式的乘除法，熟练掌握公式及法则是解本题的关键
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
第5章 分式 单元测评卷
(测试时间：120分钟，满分：120分)
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2021·江苏省江阴市第一中学八年级月考）下列分式中，属于最简分式的个数是（ ）
①，②，③，④，⑤，⑥．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．（2021·湖北随州市·八年级期末）下列关于分式的各种说法中，错误的是（ ）．
A．当时，分式无意义 B．当时，分式的值为负数
C．当时，分式的值为正数 D．当时，分式的值为
3．（2021秋 招远市期末）下列各式，从左到右变形正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．（2021·江苏省江阴市第一中学八年级期中）若把，的值同时扩大为原来的2倍，则下列分式的值保持不变的是（ ）
A． B． C． D．
5．（2021·河南潢川·初二期末）下列说法：
①解分式方程一定会产生增根； ②方程＝0的根为2；
③方程的最简公分母为2x（2x﹣4）； ④x+＝1+是分式方程．
其中正确的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6．（2021·河北初三其他）已知，这是一道分式化简题，因为一不小心一部分被墨水污染了，若只知道该题化简的结果为整式，则被墨水覆盖的部分不可能是（ ）
A． B． C． D．
7．（2022 海淀区校级开学）方程的解为（ ）
A．x＝﹣1 B．x＝2 C．x＝1 D．该方程无解
8．（2021秋 滦州市期末）对于两个非零实数a、b，规定a b＝，若2 （2x+1）＝1，则x的值为（ ）
A． B． C． D．﹣
9．（2020秋 任城区校级期中）为了疫情防控需要，某防护用品厂计划生产130000个口罩，但是在实际生产时，……，求实际每天生产口罩的个数，在这个题目中，若设实际每天生产口罩x个，可得方程，则题目中用“……”表示的条件应是（ ）
A．每天比原计划多生产500个，结果延期10天完成
B．每天比原计划少生产500个，结果提前10天完成
C．每天比原计划少生产500个，结果延期10天完成
D．每天比原计划多生产500个，结果提前10天完成
10．（2021秋 永年区月考）若关于x的分式方程无解，则m的值是（ ）
A．m＝2或m＝6 B．m＝2 C．m＝6 D．m＝2或m＝﹣6
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不写解答过程，请把答案直接填写在横线上）
11．（2021秋 藁城区期末）计算的结果是 ．
12．（2021·北京九年级专题练习）若代数式 的值为整数，则 的值为__________．
13．（2022 南山区模拟）若a2﹣＝3，则的值为 ．
14．（2021秋 昆明期末）“绿水青山就是金山银山”，为了进一步优化河道环境，甲乙两工程队承担河道整治任务，甲、乙两个工程队每天共整治河道1500米，甲工程队整治3600米所用的时间与乙工程队整治2400米所用时间相等．设甲工程队每天整治河道x米，根据题意列方程为 ．
15．（2021·普定县第二中学九年级二模）已知关于x的分式方程的解为正数，则k的取值范围为 .
16．（2021·辽宁抚顺市·八年级期末）已知y1＝，且y2＝，y3＝，y4＝，…，yn＝，请计算y2021＝_____．（用含x在代数式表示）
17．（2021秋 芜湖期末）观察下列方程：①x+＝3；②x+＝5；③x+＝7，可以发现它们的解分别是①x＝1或2；②x＝2或3；③x＝3或4．利用上述材料所反映出来的规律，可知关于x的方程x+＝2n+4（n为正整数）的解x＝ ．
18．（2021·湖南茶陵·零模）2010年8月19日第26届国际 数学家大会在印度的海德拉巴市举行，并首次颁出陈省身奖，该奖项是首个以中国人名字命名的国际主要科学奖，根据蔡勒公式可以得出中华人民共和国成立100周年纪念日（2049年10月1日）是星期_______________.
（注：蔡勒（德国数学家）公式： 其中：W——所求的日期的星期数(如大于7，就需减去7的整数倍)，c——所求年份的前两位，y——所求年份的后两位，m——月份数(若是1月或2月，应视为上一年的13月或14月，即)，d——日期数，——表示取数a的整数部分，如：［15.6］=15）．
三、解答题（本大题共8小题，共66分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2022 郸城县校级开学）以下是小明同学解方程的过程．
【解析】方程两边同时乘（x﹣3），得1﹣x＝﹣1﹣2．…第一步
解得x＝4．…第二步
检验：当x＝4时，x﹣3＝4﹣3＝1≠0．…第三步
所以，原分式方程的解为x＝4．…第四步
（1）小明的解法从第 步开始出现错误；
（2）写出解方程的正确过程．
20．（2021秋 海门市期末）计算：
（1）（m+2）；（2）（）．
21．（2021·盐城市初级中学八年级期末）解方程：（1） （2）
22．（2021秋 官渡区期末）2021年12月3日下午，中国昆明站内的复兴号“绿巨人”、老挝万象站内的“澜沧号”动车组列车缓缓开动，标志着连接昆明和万象的中老铁路全线开通运营．中老铁路老挝段起于中国边境磨憨，止于老挝万象，全长约416公里，比磨憨至万象的高速公路缩短了24公里．已知动车的平均速度是汽车的2倍，相比汽车全程可节约2.9小时，求动车的平均速度．
23．（2021·洛阳市实验中学初二月考）在“绿满鄂南”行动中，某社区计划对面积为1800m2的区域进行绿化．经投标，由甲、乙两个工程队来完成，已知甲队每天能完成绿化的面积是乙队每天能完成绿化面积的2倍，并且在独立完成面积为400m2区域的绿化时，甲队比乙队少用4天．
（1）求甲、乙两工程队每天能完成绿化的面积．
（2）设甲工程队施工x天，乙工程队施工y天，刚好完成绿化任务，求y与x的函数解析式．
（3）若甲队每天绿化费用是0.6万元，乙队每天绿化费用为0.25万元，且甲乙两队施工的总天数不超过26天，则如何安排甲乙两队施工的天数，使施工总费用最低？并求出最低费用．
24．（2021秋 望城区期末）已知，关于x的分式方程＝1．（1）当a＝2，b＝1时，求分式方程的解；（2）当a＝1时，求b为何值时分式方程＝1无解；（3）若a＝3b，且a、b为正整数，当分式方程＝1的解为整数时，求b的值．
25．（2021·树德中学都江堰外国语实验学校初二期中）某汽车销售公司经销某品牌A款汽车，随着汽车的普及，其价格也在不断下降．今年5月份A款汽车的售价比去年同期每辆降价1万元，如果卖出相同数量的A款汽车，去年销售额为100万元，今年销售额只有90万元．（1）今年5月份A款汽车每辆售价多少万元？（2）为了增加收入，汽车销售公司决定再经销同品牌的B款汽车，已知A款汽车每辆进价为7.5万元，B款汽车每辆进价为6万元，公司预计用不多于105万元且不少于99万元的资金购进这两款汽车共15辆，有几种进货方案？（3）按照（2）中两种汽车进价不变，如果B款汽车每辆售价为8万元，为打开B款汽车的销路，公司决定每售出一辆B款汽车，返还顾客现金a万元，要使（2）中所有的方案获利相同，a值应是多少？
26．（2021秋 嘉鱼县期末）【阅读理解】阅读下面的解题过程：已知：，求的值．
解：由知x≠0，∴，即x+＝3①
∴＝x2+＝（x+）2﹣2＝32﹣2＝7②，故的值为．
（1）第①步由得到逆用了法则： ；
第②步运用了公式： ；
（法则，公式都用式子表示）
【类比探究】（2）上题的解法叫做“倒数法”，请你利用“倒数法”解决下面的问题：
已知，求的值；
【拓展延伸】（3）已知，求的值．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)
