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编者学科君小注：
本专辑专为2022年初中浙教版数学第二学期研发，供中等及以上学生使用。
思路设计：重在培优训练，分选择、填空、解答三 ( http: / / www.21cnjy.com )种类型题，知识难度层层递进，由中等到压轴，基础差的学生选做每种类型题的前4题；基础中等的学生必做前4题、选做5-8题；尖子生全部题型必做，冲刺压轴题。2·1·c·n·j·y
专题04 计算能力之分式方程无解问题专练（解析版）
错误率：___________易错题号：___________
一、单选题
1．若分式方程＝无解，则m的值为（）
A．0 B．6 C．0或6 D．0或－6
【标准答案】C
【思路指引】
先把分式方程化为整式方程，再根据方程无解分情况讨论即可求解．
【详解详析】
解＝，
mx=6x+18
（m-6）x-18=0
①m-6=0时，解得m=6，此时方程无解，
②当m-6≠0时，有题意可知，x==-3，解得m=0，
故m的值为0或6
故选C．
【名师指路】
此题主要考查分式方程的求解，解题的关键是先把分式方程化为整式方程．
2．下列判断正确的是（ ）
A．解分式方程必定产生增根
B．若分式方程的根是零，则必定是增根
C．解分式方程必须验根
D．x＝3是方程＝2+的根
【标准答案】C
【思路指引】
根据分式方程增根的意义判断即可．
【详解详析】
解：A、解分式方程可能产生增根，故A错误；
B、若分式方程的根式零，不一定是增根，故B错误；
C、解分式方程必须验根，故C正确；
D、x＝3是增根，分式方程无解，故D错误；
故选：C．
【名师指路】
本题考查解分式方程及分式方程的解、增根的定义，熟练掌握分式方程的解法及解、增根的定义是解题的关键.
3．若关于的方程无解，则的值是（ ）
A．-3 B．3 C．2 D．-2
【标准答案】B
【思路指引】
分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程无解求出x的值，代入整式方程求出m的值即可．
【详解详析】
解：
方程两边都乘以（x-3）得，
x=2(x-3)+m
∵原方程无解，即原方程有增根
∴最简公分母x-3=0
解得，x=3
当x=3时，3=2×（3-3）+m
解得，m=3
故选：B
【名师指路】
此题考查了分式方程的解，弄清分式方程无解的条件是解本题的关键．
4．若关于x的方程有增根，则m的值为（ ）
A．不存在 B．6 C．12 D．6或12
【标准答案】D
【思路指引】
根据增根的定义确定x的值，把分式方程去分母后，代入即可求m的值．
【详解详析】
解：，
去分母得，
∵方程有增根，
当时，；
当时，，；
故选：D．
【名师指路】
本题考查了分式方程的增根，解题关键是明确增根的意义，确定未知数的值．
5．若分式方程无解，则实数a的值为（ ）
A．1 B．1或 C． D．1或2
【标准答案】B
【思路指引】
分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程无解确定出a的值即可．
【详解详析】
解：方程两边同乘可得：，
当整式方程无解时，此时，
当整式方程有解时,代入可得：，解的，
综上所述，a的值为1或
故选：B
【名师指路】
本题主要考查分式方程无解情况，先转化为整式方程，然后根据无解的情况，分类讨论即可．
6．若关于x的方程无解，则（ ）
A． B．1或 C．1 D．或
【标准答案】B
【思路指引】
方程无解，说明原方程分母为零或化为整式方程后，x的系数为0，分别解出m的值即可．
【详解详析】
解：
去分母，方程两边同时乘以（x﹣1），得
2﹣x＝﹣mx
∵方程无解，
∴原分式方程分母为零或整式方程无解，
①当x﹣1＝0时，则x＝1是方程的增根，
∴2﹣1＝﹣m，
∴m＝﹣1；
②当整式方程2﹣x＝﹣mx无解时，
﹣x+mx+ 2＝0，
（m-1）x＝-2，
m-1＝0，
m＝1，
∴m的值为1或．
故选：B．
【名师指路】
本题主要考查了分式方程的增根问题，计算时要小心，容易丢解，明确增根是令分母等于0的值．
7．若分式方程有增根，则的值是（ ）
A．3 B．0 C．4 D．2
【标准答案】C
【思路指引】
分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程有增根求出x的值，代入整式方程计算即可求出a的值．
【详解详析】
解：方程两边都乘，
得
原方程有增根，
最简公分母，
解得，
当时，．
故选：．
【名师指路】
此题考查了分式方程的增根，增根确定后可按如下步骤进行：①化分式方程为整式方程；②把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．21cnjy.com
8．若关于x的分式方程+＝1有增根，则m的值是（ ）
A．m＝1 B．m＝﹣1 C．m＝﹣2 D．m＝0或m＝﹣2
【标准答案】A
【思路指引】
分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程有增根，确定出m的值即可
【详解详析】
解：去分母得：3﹣x﹣m＝x﹣2，
由分式方程有增根，得到x﹣2＝0，即x＝2，
把x＝2代入整式方程得：3﹣2﹣m＝0，
解得：m＝1，
故选：A．
【名师指路】
本题考查了分式方程的增根，增根确定后可按如下步骤进行：①化分式方程为整式方程；②把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．www.21-cn-jy.com
9．若关于x的方程 有增根，则 a 的值为（ ）
A．1 B．3 C．4 D．5
【标准答案】A
【思路指引】
分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程有增根，得到x+3=0，求出x的值，代入整式方程求出a的值即可．2-1-c-n-j-y
【详解详析】
解：分式方程去分母得：，
由分式方程有增根，得到x+3=0，即x=-3，
把x=-3代入整式方程得：，解得
故选：A．
【名师指路】
本题主要考查了分式方程的增根，牢牢掌握增根的概念是解答本题的重难点．
10．已知关于x的分式方程无解，则k的值为（ ）
A．0 B．0或-1 C．-1 D．0或
【标准答案】D
【思路指引】
此题考查了分式方程的解，始终注意分母不为0这个条件，分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程无解确定出k的值即可．www-2-1-cnjy-com
【详解详析】
解：分式方程去分母得： ，即 ，
当，即 时，方程无解；
当x=-1时，-3k+1=-3k，此时k无解；
当x=0时，0=-3k，k=0，方程无解；
综上，k的值为0或 ．
故答案为：D．
【名师指路】
本题考查了根据分式方程的无解求参数的值，是 ( http: / / www.21cnjy.com )需要识记的内容．分式方程无解的条件是：去分母后所得整式方程无解，或解这个整式方程得到的解使原方程的分母等于0．21*cnjy*com
二、填空题
11．若关于x的分式方程无解，则________．
【标准答案】2
【思路指引】
先去分母，将原方程化为整式方程，根据一元一次方程无解的条件看能否得出一类a值，再根据分式方程无解的条件看能否得出另外一类a值即可．21教育网
【详解详析】
解：，
去分母得：，
整理得：，
由于此方程未知数的系数是1不为0，故无论a取何值时，都有解，故此情形下无符合题意的a值；
由分式方程无解即有增根，可得2x﹣4＝0，得x=2
把x＝2代入，
解得：a＝2，故此情形下符合题意的a值为2；
综上，若要关于x的分式方程无解，a的值为2．
故答案为： 2．
【名师指路】
本题考查了分式方程的解，熟练掌握分式方程及整式方程无解的条件是解题的关键．
12．有下列说法：①不论k取何实数，多项式x2﹣ky2总能分解能两个一次因式积的形式；②关于x的分式方程无解，则m＝1；③关于x、y的方程组，将此方程组的两个方程左右两边分别对应相加，得到一个新的方程，其中，当a每取一个值时，就有一个方程，而这些方程有一个公共解，则这个公共解为，其中正确的是____．（填序号）21·cn·jy·com
【标准答案】②③
【思路指引】
分别运用因式分解的公式法、分式方程的解法及解二元一次方程组的方法，可作出判断．
【详解详析】
解：①当k为负值时，多项式x2﹣ky2不能分解能两个一次因式积的形式，故①不正确；
②将关于x的分式方程两边同时乘以（x﹣2）得
3﹣x﹣m＝x﹣2
∴x＝，
∵原分式方程无解，
∴x＝2，
∴＝2，
解得m＝1，
故②正确；
③将所给方程组的两个方程左右两边分别对应相加，得
（a﹣1）x+（a+2）y＝2a﹣5，
（x+y）a+2y﹣x＝2a﹣5，
∴，
解得：
则当a每取一个值时，就有一个方程，而这些方程有一个公共解，则这个公共解为，
故③正确．
综上，正确答案为：②③．
【名师指路】
本题考查了因式分解、分式方程的解、二元一次方程组的解，解题关键是理解题意，遵循题意按照相应的解题方法准确进行计算．21世纪教育网版权所有
13．已知关于的分式方程无解，则______．
【标准答案】1
【思路指引】
分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程无解得到x-1=0求出x的值，代入求出k的值即可．
【详解详析】
解：分式方程去分母得：x-3(x-1)= k，
解得，x=，
由分式方程无解得到x-1=0，即x=1，
，
解得：k=1，
故答案为：1．
【名师指路】
本题考查了分式方程的解，利用分式方程无解得出关于k的方程是解题关键．
14．若关于的分式方程无解，则________．
【标准答案】1或-2．
【思路指引】
先去分母，将原方程化为整式方程，根据一元一次方程无解的条件得出一个a值，再根据分式方程无解的条件得出另外的a值即可．【来源：21·世纪·教育·网】
【详解详析】
解：，
去分母得： x(x-a)﹣x(x-1)＝3( x-1)，
整理得：（a+2）x＝3，
∴当a+2＝0，即a＝-2时，方程无解；
当a+2≠0，由分式方程无解即有增根，可得x﹣1＝0或x＝0，
把x＝1代入（a+2）x＝3，
解得：a＝1，
把x＝0代入（a+2）x＝3，
方程无解；
综上，a的值为1或-2．
故答案为：1或-2．
【名师指路】
本题考查了分式方程的解，熟练掌握分式方程及整式方程无解的条件是解题的关键．
15．如果在解关于的方程时产生了增根，那么的值为_____________．
【标准答案】或．
【思路指引】
分式方程的增根是分式方程在去分母时产生的，分式方程的增根是使公分母等于0的x值，所以先将分式方程去分母得整式方程，根据分式方程的增根适合整式方程，将增根代入整式方程可得关于的方程，根据解方程，可得答案．【来源：21cnj*y.co*m】
【详解详析】
解：原方程变形为，
方程去分母后得：，
整理得：，分以下两种情况：
令，，；
令，，，
综上所述，的值为或．
故答案为：或．
【名师指路】
本题考查了分式方程的增根，利用分式方程的增根得出关于的方程是解题关键．
16．若关于的方程无解．则=________.
【标准答案】3
【思路指引】
先去分母得到整式方程x=2（x-3）+m，整理得x+m=6，由于关于x的方程无解，则x-3=0，即x=3，然后把x=3代入x+m=6即可求出m的值．【出处：21教育名师】
【详解详析】
去分母得x=2(x 3)+m，
整理得x+m=6，
∵关于x的方程无解.
∴x 3=0，即x=3，
∴3+m=6，
∴m=3.
故答案为3.
【名师指路】
此题考查分式方程的解，解题关键在于利用方程无解进行解答.
17．当m= __________ 时，关于x的分式方程没有实数解.
【标准答案】4或-6
【思路指引】
先将分式方程化为整式方程，根据方程没有实数解会产生增根判断增根是x=3或x=-2，再把增根x=3或x=-2代入整式方程即可求出m的值．【版权所有：21教育】
【详解详析】
解：方程变形为，
方程两边同时乘以去分母得：x+m+3+x-3=0；
整理得：2x+m=0
∵关于x的分式方程没有实数解.
∴分式方程有增根x=3或x=-2.
把x=3和x=-2分别代入2x+m=0中
得m=-6或m=4.
【名师指路】
分式方程无解问题或增根问题可按如下步骤进行 ( http: / / www.21cnjy.com )：①根据最简公分母确定增根；②化分式方程为整式方程；③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．但也要注意，有时分式方程转化成的整式方程本身没有实数根，也是导致分式方程没有实数根的一种情况，所以要考虑全面，免得漏解.21教育名师原创作品
18．若以x为未知数的方程无解，则______.
【标准答案】或或.
【思路指引】
首先解方程求得x的值，方程无解，即所截方程的解是方程的增根，应等于1或2，据此即可求解a的值．
【详解详析】
去分母得，
整理得，①
当时，方程①无解，此时原分式方程无解；
当时，原方程有增根为或.
当增根为时，，解得；
当增根为时，，解得.
综上所述，或或.
【名师指路】
本题主要考查了方程增根产生的条件，如果方程有增根，则增根一定是能使方程的分母等于0的值．
19．若方程有增根，则增根是____________.
【标准答案】7
【思路指引】
【详解详析】
解：∵分式方程有增根,
∴x-7=0,
∴原方程增根为x=7,
故答案是7.
三、解答题
20．增根是在分式方程转化为整 ( http: / / www.21cnjy.com )式方程的过程中产生的，分式方程的增根，不是分式方程的根，而是该分式方程化成的整式方程的根，所以涉及分式方程的增根问题的解题步骤通常为：①去分母，化分式方程为整式方程；②将增根代入整式方程中，求出方程中字母系数的值．21·世纪*教育网
阅读以上材料后，完成下列探究：
探究1：m为何值时，方程有增根．
探究2：m为何值时，方程的根是．
探究3：任意写出三个m的值，使对应的方程的三个根中两个根之和等于第三个根；
探究4：你发现满足“探究3”条件的的关系是______．
【标准答案】探究1：-9；探究2：23；探究3：；探究4：
【思路指引】
解分式方程，根据方程有增根求得m的值即可，根据规律即可得出结论．第三问设方程的三根为且，再求得对应的m．即可得出它们之间的关系．21*cnjy*com
【详解详析】
解：探究1：方程两边都乘，
得
∵原方程有增根，
∴最简公分母，
解得，
当时，，
故m的值是．
探究2：方程两边都乘，
得
∵原方程的根为，
，
探究3：由（1）（2）得
，
方程的三个对应根为且，
∴，
=15-8b，
探究4：，
，
整理得，
故答案为．
【名师指路】
本题考查了分式方程的解法，分式方程的增根，熟练掌握解分式方程，准确判定方程的增根是解题的关键．
21．当a取什么整数时，方程++＝0只有一个实根，并求此实根．
【标准答案】a＝﹣4时，原方程恰有一个实根x＝1；a＝﹣8时，原方程恰有一个实根x＝﹣1
【思路指引】
先将原方程化为＝0，再分三种情况进行讨论：
（1）若x≠0且x≠2，则2x ( http: / / www.21cnjy.com )2﹣2x+4+a＝0，由原分式方程恰有一个实根，得出△＝（﹣2）2﹣4×2×（4+a）＝﹣28﹣8a＝0，依此求出a的值；
（2）若方程2x2﹣2x+4+a＝0，有一个根为x＝0，代入求出a＝﹣4，再解方程即可；
（3）若方程2x2﹣2x+4+a＝0，有一个根为x＝2，代入求出a＝﹣8，再解方程即可．
【详解详析】
解：原方程化为＝0．
（1）若x≠0且x≠2，则2x2﹣2x+4+a＝0，
∵原分式方程恰有一个实根，
∴△＝0，即△＝（﹣2）2﹣4×2×（4+a）＝﹣28﹣8a＝0，
则a＝﹣，
于是x1＝x2＝，
但a取整数，则舍去；
（2）若方程2x2﹣2x+4+a＝0，有一个根为x＝0，则a＝﹣4，
这时原方程为，
去分母得2x2﹣2x＝0，
解得x＝0，x＝1，
显然x＝0是增根，x＝1是原分式方程的根；
（3）若方程2x2﹣2x+4+a＝0，有一个根为x＝2，则a＝﹣8，
这时，原方程为
去分母，得2x2﹣2x﹣4＝0，
解得x＝2，x＝﹣1，
显然x＝2是增根，x＝﹣1是原分式方程的根；
经检验当a＝﹣4时，原方程恰有一个实根x＝1；当a＝﹣8时，原方程恰有一个实根x＝﹣1．
【名师指路】
本题考查了分式方程的解，理解分式方程产生增根的原因进而分情况讨论是解题的关键．
22．若关于x的方程无解，求k的值．
【标准答案】当k＝－1或－时原方程无解.
【思路指引】
因为把原分式方程化为整式方程后是一个一次项系 ( http: / / www.21cnjy.com )数中含有字母的整式方程，故需要分两种情况讨论，①求使整式方程无解的k值；②求使整式方程的解是x=2和x=-2的k值.
【详解详析】
，
去分母得，x＋2＋k(x－2)＝3，
去括号得，x＋2＋kx－2k＝3，
移项合并同类项得，(1＋k)x＝2k＋1，
①当1＋k＝0，即k＝－1时整式方程无解，
②当1＋k≠0时x＝，＝±2时，即k＝－时分式方程无解，
综上所述当k＝－1或-时原方程无解.
【名师指路】
本题主要考查了含字母系数的分式方程无解的 ( http: / / www.21cnjy.com )知识点，一般的解法是先将分式方程化为整式方程，再将使原分式方程的分母为0的未知数的值代入到整式方程中，求出对应的字母系数的值，但如果化为整式方程后，未知数的系数中含有字母系数，还要注意求使这个整式方程无解的字母系数的值.
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本专辑专为2022年初中浙教版数学第二学期研发，供中等及以上学生使用。
思路设计：重在培优训练，分选择、填空、解答 ( http: / / www.21cnjy.com )三种类型题，知识难度层层递进，由中等到压轴，基础差的学生选做每种类型题的前4题；基础中等的学生必做前4题、选做5-8题；尖子生全部题型必做，冲刺压轴题。21世纪教育网版权所有
专题04 计算能力之分式方程无解问题专练（原卷版）
错误率：___________易错题号：___________
一、单选题
1．若分式方程＝无解，则m的值为（）
A．0 B．6 C．0或6 D．0或－6
2．下列判断正确的是（ ）
A．解分式方程必定产生增根
B．若分式方程的根是零，则必定是增根
C．解分式方程必须验根
D．x＝3是方程＝2+的根
3．若关于的方程无解，则的值是（ ）
A．-3 B．3 C．2 D．-2
4．若关于x的方程有增根，则m的值为（ ）
A．不存在 B．6 C．12 D．6或12
5．若分式方程无解，则实数a的值为（ ）
A．1 B．1或 C． D．1或2
6．若关于x的方程无解，则（ ）
A． B．1或 C．1 D．或
7．若分式方程有增根，则的值是（ ）
A．3 B．0 C．4 D．2
8．若关于x的分式方程+＝1有增根，则m的值是（ ）
A．m＝1 B．m＝﹣1 C．m＝﹣2 D．m＝0或m＝﹣2
9．若关于x的方程 有增根，则 a 的值为（ ）
A．1 B．3 C．4 D．5
10．已知关于x的分式方程无解，则k的值为（ ）
A．0 B．0或-1 C．-1 D．0或
二、填空题
11．若关于x的分式方程无解，则________．
12．有下列说法：①不论k取何实数，多项式x2﹣ky2总能分解能两个一次因式积的形式；②关于x的分式方程无解，则m＝1；③关于x、y的方程组，将此方程组的两个方程左右两边分别对应相加，得到一个新的方程，其中，当a每取一个值时，就有一个方程，而这些方程有一个公共解，则这个公共解为，其中正确的是____．（填序号）21cnjy.com
13．已知关于的分式方程无解，则______．
14．若关于的分式方程无解，则________．
15．如果在解关于的方程时产生了增根，那么的值为_____________．
16．若关于的方程无解．则=________.
17．当m= __________ 时，关于x的分式方程没有实数解.
18．若以x为未知数的方程无解，则______.
19．若方程有增根，则增根是____________.
三、解答题
20．增根是在分式方程转化为整 ( http: / / www.21cnjy.com )式方程的过程中产生的，分式方程的增根，不是分式方程的根，而是该分式方程化成的整式方程的根，所以涉及分式方程的增根问题的解题步骤通常为：①去分母，化分式方程为整式方程；②将增根代入整式方程中，求出方程中字母系数的值．21教育网
阅读以上材料后，完成下列探究：
探究1：m为何值时，方程有增根．
探究2：m为何值时，方程的根是．
探究3：任意写出三个m的值，使对应的方程的三个根中两个根之和等于第三个根；
探究4：你发现满足“探究3”条件的的关系是______．
21．当a取什么整数时，方程++＝0只有一个实根，并求此实根．
22．若关于x的方程无解，求k的值．
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