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2021-2022学年浙江省七年级数学下学期第五章
《分式》竞赛题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
一．选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）
1．（5分）（2019 江汉区校级自主招生）已知实数a、b、c满足＝0．则代数式ab+ac的值是（ ）
A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2
【分析】先利用多项式乘多项展开，再两次利用完全平方公式得到[+（b+c）]2＝0，根据非负数的性质得+（b+c）＝0，然后两边乘以2a即可得到ab+ac的值．
【解答】解：∵＝0，
∴（）2+++bc+（b﹣c）2＝0，
∴（）2++（b+c）2＝0，
∴[+（b+c）]2＝0，
∴+（b+c）＝0，
∴ab+ac＝﹣2．
故选：A．
【点评】本题考查了分式的混合运算：分式的混合运算，要注意运算顺序，式与数有相同的混合运算顺序；先乘方，再乘除，然后加减，有括号的先算括号里面的．
2．（5分）（2017 北京）如果a2+2a﹣1＝0，那么代数式（a﹣） 的值是（ ）
A．﹣3 B．﹣1 C．1 D．3
【分析】根据分式的减法和乘法可以化简题目中的式子，然后对a2+2a﹣1＝0变形即可解答本题．
【解答】解：（a﹣）
＝
＝
＝a（a+2）
＝a2+2a，
∵a2+2a﹣1＝0，
∴a2+2a＝1，
∴原式＝1，
故选：C．
【点评】本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法．
3．（5分）（2017 雨城区校级自主招生）若关于x的方程﹣＝﹣1无解，则m的值是（ ）
A．m＝ B．m＝3 C．m＝或1 D．m＝或3
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程无解确定出x的值，代入整式方程计算即可求出m的值．
【解答】解：去分母得：3﹣2x+mx﹣2＝﹣x+3，
整理得：（m﹣1）x＝2，
当m﹣1＝0，即m＝1时，方程无解；
当m﹣1≠0时，x﹣3＝0，即x＝3时，方程无解，此时＝3，即m＝，
故选：C．
【点评】此题考查了分式方程的解，分式方程无解分为最简公分母为0的情况与分式方程转化为的整式方程无解的情况．
4．（5分）（2015 涪城区校级自主招生）若实数x满足x﹣＝1，则的值是（ ）
A． B． C． D．
【分析】首先利用完全平方公式得出x2+＝3，进而将分式化简求出即可．
【解答】解：∵x﹣＝1，
∴（x﹣）2＝x2+﹣2＝1，
∴x2+＝3，
∴＝＝．
故选：B．
【点评】此题主要考查了分式的化简求值，正确化简分式得出是解题关键．
5．（5分）（2020 浙江自主招生）设a、b、c均为正数，若，则a、b、c三个数的大小关系是（ ）
A．c＜a＜b B．b＜c＜a C．a＜b＜c D．c＜b＜a
【分析】根据，则，不等式同时加上1化简后即可得出答案．
【解答】解：∵a、b、c均为正数，根据，
则，
上式同时加1得：，
化简得：，
∴c＜a＜b．
故选：A．
【点评】本题考查了分式的化简求值，难度不大，关键是把已知不等式进行变形进而求解．
6．（5分）（2019 武侯区校级自主招生）已知x+y+z＝0，且，则代数式（x+1）2+（y+2）2+（z+3）2的值为（ ）
A．3 B．14 C．16 D．36
【分析】根据已知条件和完全平方公式变形即可求解．
【解答】解：∵x+y+z＝0，且，
设a＝x+1，b＝y+2，c＝z+3，
则a+b+c＝x+y+z+6＝6，
++＝0，
∴＝0，
即ab+ac+bc＝0，
∴（x+1）2+（y+2）2+（z+3）2
＝a2+b2+c2
＝（a+b+c）2﹣2（ab+ac+bc）
＝62﹣2×0
＝36．
∴（x+1）2+（y+2）2+（z+3）2的值为36．
故选：D．
【点评】本题考查了分式的加减法、完全平方公式，解决本题的关键是合理分析已知条件．
7．（5分）（2017 青羊区自主招生）若﹣2|t|＝1，则+|t|的值为（ ）
A． B．﹣1 C． D．或0
【分析】根据﹣2|t|＝1，可以得到t的正负和t的值，然后将所求式子化简，再将t的值代入即可求得所求式子的值．
【解答】解：∵﹣2|t|＝1，
∴＝2|t|+1，
∴＞0，
∴t＞0，
∴﹣2t＝1，
解得，t1＝，t2＝﹣1（舍去），
∴+|t|
＝2|t|+1+|t|
＝3|t|+1
＝3t+1
＝3×+1
＝，
故选：A．
【点评】本题考查分式的化简求值、绝对值，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法．
8．（5分）（2018 武昌区校级自主招生）已知：x2﹣4y2＝﹣3xy，x＞0，y＞0，则＝（ ）
A． B．﹣4 C． D．
【分析】可以换元，用含y的式子表示出x，再将其代入已知式子，从而得到关于t的方程，解出t，再结合x＞0，y＞0排除不符合要求的值，从而得解．
【解答】解：设＝t，化简得：x＝，①
将①代入x2﹣4y2＝﹣3xy得﹣4＝，
解得：t＝﹣4或t＝，
当t＝时，代入①得分母为负值，分子3+2t为正，与x＞0，y＞0矛盾，故舍掉．
故选：B．
【点评】本题考查了分式化简求值，需用换元法来巧妙消元，从而转化成方程求解，本题难度中等偏上．
二．填空题（共6小题，满分30分，每小题5分）
9．（5分）（2020 江岸区校级自主招生）计算：+＝ ﹣ ．
【分析】根据分式的加减法法则进行计算即可，这道题先通分，再加减．
【解答】解：原式＝﹣
＝﹣
＝
＝﹣．
故答案为：﹣．
【点评】这道题考查的是分式的加减法法则，熟记法则是解题的基础．
10．（5分）（2016 青羊区校级自主招生）已知关于x的分式方程的解是非负数，则a的取值范围是 a≥﹣1 ．
【分析】先解方程，再根据分式方程的解是非负数，求得a的取值范围即可．
【解答】解：∵此方程是分式方程，
∴x+1≠0，
方程两边乘以x+1得，a+2＝x+1，
解得x＝a+1，
∵关于x的分式方程的解是非负数，
∴a+1≥0，
∴a≥﹣1，
∵当a+2＝0，即a＝﹣2时，原分式方程无解，
∴a≠﹣2
故答案为a≥﹣1．
【点评】本题考查了分式方程的解，是基础知识要熟练掌握．
11．（5分）（2012 连云港）今年6月1日起，国家实施了中央财政补贴条例支持高效节能电器的推广使用，某款定速空调在条例实施后，每购买一台，客户可获财政补贴200元，若同样用11万元所购买的此款空调台数，条例实施后比实施前多10%，则条例实施前此款空调的售价为 2200 元．
【分析】可根据：“同样用11万元所购买的此款空调台数，条例实施后比实施前多10%，”来列出方程求解．
【解答】解：假设条例实施前此款空调的售价为x元，根据题意得出：
（1+10%）＝，
解得：x＝2200，
经检验得出：x＝2200是原方程的解，
答：则条例实施前此款空调的售价为2200元，
故答案为：2200．
【点评】此题主要考查了分式方程的应用，解题关键是找准描述语，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．
12．（5分）（2020 黄州区校级自主招生）设非零实数a，b，c满足，则的值为 ﹣ ．
【分析】根据已知条件求得a2+b2+c2＝﹣2（ab+bc+ac），然后代入即可求得；
【解答】解：∵，
∴a+b+c＝0，
∴（a+b+c）2＝0，
∴a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac＝0，
∴a2+b2+c2＝﹣2（ab+bc+ac），
∴原式＝＝﹣；
【点评】此题主要考查完全平方公式的应用，解题的关键是把已知条件的两个式子相减得到a+b+c＝0
13．（5分）（2015 蜀山区自主招生）规定x＝x0时，代数式的值记为f（x0）．例如：x＝﹣1时，，则的值等于 167 ．
【分析】根据题意得到f（x）+f（）＝1，原式结合后，计算即可得到结果．
【解答】解：根据题意得：f（x）+f（）＝+＝+＝＝1，
则原式＝f（1）+[f（2）+f（）]+[f（3）+f（）]+[f（4）+f（）]+…[f（168）+f（）]＝+167＝167，
故答案为：167
【点评】此题考查了分式的值，根据题意得到f（x）+f（）＝1是解本题的关键．
14．（5分）（2019 宝山区校级自主招生）已知a，b，c，n是互不相等的正整数，且也是整数，则n的最大值是 42 ．
【分析】根据a，b，c，n是互不相等的正整数，且也是整数，故要使得n尽量大，则a，b，c的值应尽量小，对a，b，c从小到大赋值计算，可得答案．
【解答】解：a，b，c，n是互不相等的正整数，且也是整数，
∴要使得n尽量大，则a，b，c的值应尽量小，
∴若a＝2，b＝3，c＝4，则++＝++＝，
故此种情况不符合题意；
若a＝2，b＝3，c＝5，则，则++＝++＝，
故此种情况不符合题意；
若a＝2，b＝3，c＝6，则++＝++＝1，
此时n＝1，也是整数，故此种情况符合题意；
若a＝2，b＝3，c＝7，则++＝++＝
此时n＝42，则也是整数，符合题意
故n的最大值为：42．
【点评】本题考查了分式的加法运算，明确分母越小，分式的值越大，从而最后剩下的凑整分数的分母越大，采用赋值与分类讨论是解答本题的关键．
三．解答题（共4小题，满分30分）
15．（6分）（2020 渝北区自主招生）计算：
（1）﹣（）﹣1+|1﹣|；
（2）（1﹣）÷．
【分析】（1）根据实数的运算法则即可求出答案．
（2）根据分式的运算法则即可求出答案．
【解答】解：（1）原式＝2﹣3+﹣1
＝﹣1+﹣1
＝﹣2．
（2）原式＝÷
＝
＝．
【点评】本题考查学生的运算，解题的关键是熟练运用分式的运算以及实数的运算法则，本题属于基础题型．
16．（8分）（2020 浙江自主招生）已知：abc＝1，求的值．
【分析】解决本题的关键是根据abc＝1的条件，将所求的代数式通分，然后进行分式的加减运算．
＝，将abc＝1代入后，可得：＝；
同理，可知：＝＝；由此，三个分式的分母都化成了ab+a+1，然后根据分式的加减法运算规则进行计算即可．
【解答】解：∵abc＝1，
∴原式＝
＝++
＝
＝1．
【点评】分式中的一些特殊求值题并非是一味的化简，代入，求值．许多问题还需运用到常见的数学思想，如化归思想（即转化）、整体思想等，了解这些数学解题思想对于解题技巧的丰富与提高有一定帮助．就本节内容而言，分式求值题中比较多的题型主要有三种：转化已知条件后整体代入求值；转化所求问题后将条件整体代入求值；既要转化条件，也要转化问题，然后再代入求值．
17．（8分）（2015 蜀山区自主招生）某校高三学生要坐汽车去体检，要求每辆汽车乘坐的人数相等，若每辆汽车乘28人，那么剩下1人未上车，如果减少一辆汽车，那么所有学生正好能平均分乘到其他各车上．已知每辆汽车最多容纳35人，试问有多少学生和多少辆汽车？
【分析】根据题中汽车的辆数减少一辆，每辆增加相同的人数，而前后人数不变可列出方程解答即可．
【解答】解：设有x辆汽车，少一辆汽车后每辆坐y人，根据题意列方程得，
28x+1＝y（x﹣1），
整理得y＝＝28+，
∵y为大于28而不大于35的整数，
∴（x﹣1）能整除29，
∴x＝2或x＝30，
当x＝2时，y＝57（不合题意，舍去）；
当x＝30时，y＝29．
因此游客人数为28×29+1＝813（人）．
答：有813名学生和30辆汽车．
【点评】本题考查分式方程的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，讨论出未知数的值．
18．（8分）（2012 新密市自主招生）某工程队（有甲、乙两组）承包一条路段的修建工程，要求在规定时间内完成．
（1）已知甲组单独完成这项工作所需时间比规定时间多32天，乙组单独完成这项工程所需时间比规定时间多12天，如果甲、乙两组先合作20天，剩下的由甲组单独做，则要误期2天完成，那么规定时间是多少天？
（2）在实际工作中，甲、乙两组合做这项工程的后，工程队又承包了其他路段的工程，需抽调一组过去，从按时完成任务的角度考虑，你认为留下哪一组最好？请说明理由．
【分析】（1）先设规定的时间是x天，根据题意列出分式方程，解出x的值，再进行检验即可得出答案；
（2）先设甲、乙两组合作完成这项工程的用了y天，根据题意找出相等的量，列出方程，求出y的值，再分别求出甲、乙组单独做剩下的工程所需的时间，与原规定的天数进行比较，即可得出留下哪一组最好．
【解答】解：（1）设规定的时间是x天，根据题意得：
+＝1，
解得x＝28．经检验x＝28是原方程的根，
答：规定的时间是28天．
（2）设甲、乙两组合作完成这项工程的用了y天，根据题意得：
y（+）＝，
解得：y＝20，
若甲组单独做剩下的工程所需时间为（1﹣）÷＝10（天），
∵20+10＝30＞28，
∴甲组单独做剩下的工程不能在规定的时间内完成．
若乙组单独做剩下的工程所需时间为（1﹣）÷＝＝6（天），
∵20+6＝26＜28，
∴乙组单独做剩下的工程能在规定的时间内完成，
∴留下乙组最好．
【点评】此题考查了分式方程的应用，读懂题意，找出等量关系是解题的关键．路程问题一般用到路程＝时间×速度．
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绝密★启用前
2021-2022学年浙江省七年级数学下学期第五章
《分式》竞赛题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
一．选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）
1．（5分）（2019 江汉区校级自主招生）已知实数a、b、c满足＝0．则代数式ab+ac的值是（ ）
A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2
2．（5分）（2017 北京）如果a2+2a﹣1＝0，那么代数式（a﹣） 的值是（ ）
A．﹣3 B．﹣1 C．1 D．3
3．（5分）（2017 雨城区校级自主招生）若关于x的方程﹣＝﹣1无解，则m的值是（ ）
A．m＝ B．m＝3 C．m＝或1 D．m＝或3
4．（5分）（2015 涪城区校级自主招生）若实数x满足x﹣＝1，则的值是（ ）
A． B． C． D．
5．（5分）（2020 浙江自主招生）设a、b、c均为正数，若，则a、b、c三个数的大小关系是（ ）
A．c＜a＜b B．b＜c＜a C．a＜b＜c D．c＜b＜a
6．（5分）（2019 武侯区校级自主招生）已知x+y+z＝0，且，则代数式（x+1）2+（y+2）2+（z+3）2的值为（ ）
A．3 B．14 C．16 D．36
7．（5分）（2017 青羊区自主招生）若﹣2|t|＝1，则+|t|的值为（ ）
A． B．﹣1 C． D．或0
8．（5分）（2018 武昌区校级自主招生）已知：x2﹣4y2＝﹣3xy，x＞0，y＞0，则＝（ ）
A． B．﹣4 C． D．
二．填空题（共6小题，满分30分，每小题5分）
9．（5分）（2020 江岸区校级自主招生）计算：+＝ ．
10．（5分）（2016 青羊区校级自主招生）已知关于x的分式方程的解是非负数，则a的取值范围是 ．
11．（5分）（2012 连云港）今年6月1日起，国家实施了中央财政补贴条例支持高效节能电器的推广使用，某款定速空调在条例实施后，每购买一台，客户可获财政补贴200元，若同样用11万元所购买的此款空调台数，条例实施后比实施前多10%，则条例实施前此款空调的售价为 元．
12．（5分）（2020 黄州区校级自主招生）设非零实数a，b，c满足，则的值为 ．
13．（5分）（2015 蜀山区自主招生）规定x＝x0时，代数式的值记为f（x0）．例如：x＝﹣1时，，则的值等于 ．
14．（5分）（2019 宝山区校级自主招生）已知a，b，c，n是互不相等的正整数，且也是整数，则n的最大值是 ．
三．解答题（共4小题，满分30分）
15．（6分）（2020 渝北区自主招生）计算：
（1）﹣（）﹣1+|1﹣|；
（2）（1﹣）÷．
16．（8分）（2020 浙江自主招生）已知：abc＝1，求的值．
（8分）（2015 蜀山区自主招生）某校高三学生要坐汽车去体检，要求每辆汽车乘坐的人数相等，若每辆汽车乘28人，那么剩下1人未上车，如果减少一辆汽车，那么所有学生正好能平均分乘到其他各车上．已知每辆汽车最多容纳35人，试问有多少学生和多少辆汽车？
18．（8分）（2012 新密市自主招生）某工程队（有甲、乙两组）承包一条路段的修建工程，要求在规定时间内完成．
（1）已知甲组单独完成这项工作所需时间比规定时间多32天，乙组单独完成这项工程所需时间比规定时间多12天，如果甲、乙两组先合作20天，剩下的由甲组单独做，则要误期2天完成，那么规定时间是多少天？
（2）在实际工作中，甲、乙两组合做这项工程的后，工程队又承包了其他路段的工程，需抽调一组过去，从按时完成任务的角度考虑，你认为留下哪一组最好？请说明理由．
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