课件19张PPT。4.2 提取公因式法复习回顾１.什么叫因式分解？２. 因式分解与整式的乘法有什么关系？如：ma+mb m(a+b) 因式分解整式乘法公因式 一个多项式中每一项都含有的相同的因式，叫做这个多项式的公因式怎样确定公因式1.系数:提取最大的公约数;2.字母:提取相同字母最低次幂。如：ax+ay的公因式是a找公因式①3ax2y+6x3yz②12ab2c-18abc2③5mx-10nx2④4a2b+10a3b-2a4b23x y26abc5x2a b2 把一个多项式的公因式提取出来进行因式分解，这种分解因式的方法，叫做提取公因式法（a+2xz)（2b-3c)（m-2nx)（2+5a-a2b)1.系数:提取最大的公约数;2.字母:提取相同字母最低次幂。例１把下列各式分解因式 当首项的系数为负数时，通常应提取负因数，此时剩下的各项都要改变符号。提取公因式法的一般步骤:1.确定应提取的公因式;2.用公因式去除这个多项式,所得的商作为另一个因式;3.把多项式写成两个因式积的形式. 一般地,提取公因式后,应使多项式余下的各项不再含有公因式.判断 下面的分解因式对吗?如果不对,应怎样改正?x(2x+3x2+1)3a2c(1-2a)-2s(s2-2s+3)-2a(2ab-3b2+4)练习 因式分解练习 因式分解添括号法则: 括号前面是“+”号，括到括号里的各项都不变号；括号前面是“-”号，括到括号里的各项都变号。如： x-y=+( )
-a+b=-( ) a-bx-y添括号（填空）１-２xx2+2x-14b2-4b+1a+b例2分解因式练习二 分解因式 隧道的横截面如图,用关于h,r的多项式表示隧道横截面的面积.这个多项式能分解因式吗?若r=7m,h=2 m,计算这个隧道的横截面积.小结１.什么是公因式？２.如何确定公因式？1.系数:提取最大的公约数;2.字母:提取相同字母最低次幂。３.提取公因式法的一般步骤？４.添括号法则．提高练习例2分解因式练习三 分解因式课件28张PPT。--运用完全平方公式分解因式4.3 用乘法公式分解因式-用完全平方公式分解因式把下列各式分解因式首项有负常提负
各项有公先提公
分解因式要彻底（1） － ax4+ax2
（2）16m4－n4a2?b2 = (a+b)(a?b)把下列多项式因式分解：甲乙乙丙丁如图，用一张正方形纸片甲、两张长方形纸片乙、一张正方形纸片丙拼成一个大正方形丁.（1）用一个多项式表示图形丁的面积；（2）用整式积表示图丁的面积；（3）根据(1)(2)所得到的结果，写一个表示因式分解的等式. 两数的平方和，加上这两数的积的2倍，等于这两个数和的平方. 形如 的多项式，叫做完全平方式.用完全平方公式分解因式的关键是：判断这个多项式是不是一个完全平方式.完全平方式特征：（1）多项式有3项；（2）其中两项为平方项（两数的平方和），另一项为中间项（这两数积的2倍）. 先确定平方项，再检查剩余项是否符合两数积的2倍（中间项）.判断方法：现在我们把完全平方公式反过来，可得： 两个数的平方和，加上 这两个数的积的两倍，等于这两数和 的平方．完全平方公式：（或减去）（或者差） 两个数的平方和，加上（或减去）这两个数的积的两倍，等于这两数和（或者差）的平方．形如 的多项式称为完全平方式.形如 或
的多项式,叫做完全平方式。平方差公式法和完全平方公式法统称公式法。平方差公式法：适用于平方差形式的多项式完全平方公式法：适用于完全平方式判别下列各式是不是完全平方式是是是是1．判别下列各式是不是完全平方式．不是是是不是练一练：是2.填写下表（若某一栏不适用，请填入“不适用”）a表示x,b表示3a，b各表示什么表示成（a＋b)2或（a－b)2的形式是是否是完全平方式多项式是a表示2y,b表示1不是不适用不适用不适用不适用不是是a表示1,b表示是a表示2y,b表示3x练一练：3.按照完全平方公式填空：4.请补上一项，使下列多项式成为完全平方式．例1 把下列各式分解因式:解: (1)原式=(2a)2+2?2a?3b+(3b)2 =(2a+3b)2 (2)原式=-(x2-4xy+4y2 )=-x2-2?x?2y+(2y)2=-(x-2y)2 (3)原式=3a(x2+2xy+y2)=3a(x+y)22.下面因式分解对吗？为什么？练一练：1．分解因式：例2 分解因式:练一练：把2x＋y看做
a2－2ab＋b2
中的字母“a”
即设a＝ 2x＋y ，
这种数学思想称
为换元思想＝(2x＋y)2－2· (2x＋y) ·3 ＋32解: 综合练习1、用简便方法计算
（1）49.92＋9.98 ＋0.12
（2）9 9992 ＋19 999
2、因式分解
（1）(4a2＋1)2－16a2
（2）(a 2－2)2－4 (a2－2)＋4（1）形如________________形式的两次三项式可以用完全平方公式分解因式。（3）因式分解要_________（2）因式分解通常先考虑______________方法。再考虑 _____________ 方法。课堂小结提取公因式法公式法彻底 因式分解顺口流
若要分解多项式，先看有无公因式；
看到两次两项式，就用平方差公式；
遇到两次三项式，应用完全平方式；
结果都是积整式，彻底分解多项式。
1、作业本6.3
2、课内作业作业：1.用简便方法计算：绝对挑战绝对挑战 3. 将 再加上一项，使它成为
完全平方式，你有几种方法？4.一天,小明在纸上写了一个算式为 4x2 +8x+11,并对小刚说:“无论x取何值,这个代数式的值都是正值,你不信试一试?”你知道其中的奥妙吗?（1）（ a2+b2)( a2+b2 –10）+25=0 求a2+b2（2）4x2+y2-4xy-12x+6y+9=0 求x、y关系（3）分解因式：m4+4选做题温馨提示：把a2+b2看做一个整体，可利用换元法.温馨提示：配方法温馨提示：添项成完全平方式能力挑战： 1. 用简便方法计算.3. 若 ，则 .2. 若 是一个完全平方式，则k = .探究活动观察下表，你还能继续往下写吗？你发现了什么规律？能用因式分解来说明你发现的规律吗？任何一个正奇数都可以表示成两个相邻自然数的平方差。对于正奇数2n+1(n为自然数)，有再 见课件29张PPT。6.3 用乘法公式分解因式(1)
4.3用乘法公式分解因式(若π取3）=420！两者面积之差为（列出算式）：=3×（13.52 － 6.52 ）=3 ×20 ×7?把如图卡纸剪开，拼成一张长方形卡纸，作为一幅精美剪纸衬底，怎么剪？你能给出数学解释吗？ a-b a-b b a-b a2-b2(a+b)(a-b)=你会剪吗 两数的平方差等于两数的和与两数差的积。 比一比：两个数的和与两个数的差的乘积，等于这两个数的平方差。两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的乘积.平方差公式：说一说：（１）公式左边：（是一个将要被分解因式的多项式）★被分解的多项式含有两项，且这两项异号，并且能写成（ ）２－（ ）２的形式。(2) 公式右边:（是分解因式的结果）★分解的结果是两个底数的和乘以两个底数的差的形式。a2-b2=(a + b)(a - b)
=(4a)2-12=(4a+1)(4a-1)下列多项式能否用平方差公式分解因式？说说你的理由。（1）4x2+y2 (2) 4x2-(-y)2
(3) -4x2-y2 (4) -4x2+y2
(5) a2-4 (6) a2+3能用平方差公式分解因式的多项式的特征：
1、由两部分组成；2、两部分符号相反；3、每部分都能写成某个式子的平方。
能能能不能不能不能运用a2-b2=(a+ b)(a- b)
例1:把下列各式分解因式：解:（1）原式=（2p)2-(mn)2= (2p+mn)(2p-mn)说明:公式中的a、b可以是单项式(数字、字母)、还可以是多项式.分解因式最后结果中如果有同类项，一定要合并同类项。小试牛刀（3）原式 =[(x+z)+(y+z)][(x+z)- (y+z)] =(x+y+2z)(x-y) =(x+z+y+z)(x+z- y-z) (1)-m2n2+4p2 (2) x2 - y2 (3)(x+z)2-(y+z)2（2）原式 =( x)2 –( y)2
=( x+ y)( x- y)1.判断下列利用平方差公式分解因式是否正确,不对,请改正(3) -9+4x2=(2x-3)(2x+3)(2) -a4+b2=(a2+b)(a2-b) (5) a2-(b+c)2=(a+b+c)(a-b+c)(6) s2-t2=(-s+t)(-s-t)××(b+a2)(b-a2)(a+b+c)(a-b-c)√√(s-t)(s+t)a2-b2=(a+b)(a-b)==[-(s-t)][-(s+t)](4) -1-x2=(1-x)(1+x)(1) x2-4y2=(x+4y)(x-4y)××(x+2y)(x-2y) 不能分解因式判断抢答题：=(4x+y) (4x －y)=(2k+5mn) (2k －5mn)2.把下列各式分解因式：a2 － b2= (a ＋ b) (a － b) 看谁快又对= (a+8) (a －8)当场编题，考考你！参照对象：结论：
公式中的a、b无论表示数、单项式、还是多项式，只要被分解的多项式能转化成平方差的形式，就能用平方差公式因式分解。ma+mb=m(a+b) m是各项的公因式
a2-b2=(a+b)(a-b)知识加油站合作学习例2. 分解因式4x3y-9xy3(2)提取公因式后,多项式还能继续分解因式吗?4x3y-9xy3=xy(4x2-9y2)4x3y-9xy3=xy (4x2-9y2)=xy(2x+3y)(2x-3y)(1)能分解因式吗?用什么方法?[注意]: 1.一般地,因式分解时有公因式先提公因式
2.因式分解时要分解彻底。正确率+速度=效率(2) 0.01s2-t2(1) 16-a2(4) -1+9x2(5) (a-b)2-(c-b)2(6) -(x+y)2+(x-2y)2解:原式=(4+a)(4-a)解:原式=(0.1s+t)(0.1s-t)解:原式=(3x-1)(3x+1)解:原式=(a-c)(a+c+2b)解:原式=-3y(2x-y)a2-b2=(a+b)(a-b)做一做平方差公式:a2-b2 =(a+b)(a-b) 把下列各式分解因式
① x4 - 81y4 ② 2a3 - 8a
1.解:原式= (x2+ 9y2) (x2- 9y2)
= (x2+ 9y2) (x+ 3y) (x- 3y)2.解:原式=2a(a2- 4)
=2a(a+2)(a-2)挑战极限合作探究 (1)能提取公因式。
993-99 =99(992-1) （2）还能继续分解
993-99=99(99+1)(99-1)
=99x100x98解： 4x3y-9xy3
=xy(4x2-9y2)
=xy[(2x)2-(3y)2]
=xy(2x+3y)(2x-3y)
结论：
993-99能被100整除。 记得要提取公因式！数学医院诊断分析：
公式理解不准确，不能很好的把握公式中的项， 4x2–y2中4x2 相当于a2 ,则2x相当于“a”.诊断分析：
综合运用提取公因式，公式法公解因式时，提公因式后，另一个因式还可以继续分解，同学们千万要注意分解完毕后对结果进行检查，看是否分解彻底了。正确分解：4x2–y2=(2x+y)(2x-y )= (x2+y2) (x+y)(x-y )问题在哪里？=4 (3a+2b)(a+3b)补充分解：体会.分享说说你这节课的收获和体验让大家与你分享吧!分解因式的步骤：
(1)优先考虑提取公因式法
(2)其次看是否能用公式法
（如平方差公式）
(3)务必检查是否分解彻底了
大显身手1.分解因式：
（1）4x3-x
( 2 ) a4-81
（3）(3x－4y）2－（4x+3y）2
（4）16（3m－2n）2－25（m－n）2
?
2、计算
（1）9992－9982
（2）25 × 2652－1352 × 25拓展提高3、若n为整数，则（2n＋1)2－(2n－1)2能被
8整除吗?请说明理由.4. 运用本节所学的知识，把9991分解成两个
整数的积.5、计算 (1－ 1/22 ) ·(1 －1/32 ) ·(1 －1/42) …
(1 －1/20052 ) ·(1 －1/20062 )的值,
从中你可以发现什么规律? 从前有一位张老汉向地主租了一块 “十字型”土地（尺寸如图）。为便于种植，他想换一块相同面积的长方形土地。 同学们，你能帮助张老汉算出这块长方形土地的长和宽吗？ 学以致用通过本节课的学习,你有哪些收获?小结与反思分解因式的步骤：
(1)优先考虑提取公因式法
(2)其次看是否能用公式法 （如平方差公式）
(3)务必检查是否分解彻底了1、作业本6.3
2、课内作业作业： 在日常生活中如上网等都需要密码.
有一种因式分解法产生的密码方便记忆又不易破译.
例如用多项式x4-y4因式分解的结果来设置密码, 当取x=9,y=9时,可得一个六位数的密码“018162”.你想知道这是怎么来的吗?小明选用多项式4x3-xy2，取x=10,y=10时。用上述方法产生的密码是什么?(写出一个即可)知识探究大显身手 杭州湾跨海大桥打下的一根用特殊材料制成的桩管
(横截面如图所示),它的外半径为R米,内半径为r米.已知外半径与内半径和为2米,外半径与内半径差为0.3米,
求横截面面积(结果保留 )Rr英国数学家狄摩根在青年时代,曾有人他:“今年多大年龄？”狄摩根想了想说：“今年，我的年龄和我弟弟年龄的平方差是141，你能算出我的年龄和我弟弟的年龄吗？”假设狄摩根的年龄为x岁，他弟弟的年龄为 y岁，你能算出他们的年龄吗？拓展训练:再 见同学们，让我们一起乘坐幸福
快车，领略一路的数学美景！课件22张PPT。4.1因式分解义务教育课程标准实验教科书浙教版教材 （七年级下）看谁算得快(1)若a=101,b=99,则a2-b2=___________；
(2)若a=99,b=-1,则a2-2ab+b2=_______；
(3)若x=-3,则20x2+60x=____________。
(1)a2-b2=(a+b)(a-b)=(101+99)(101-99)=400(2)a2-2ab+b2=(a-b) 2=(99+1)2 =10000(3)20x2+60x= 20x（x+3）= 20× (-3)(-3+3)=0。1.在小学里,我们学过:
2×3×5=30 ( )整数乘法 30 = 2×3×5 ( )因数分解2.第三章里,我们学过:
x (x + y) = ( )整式乘法 x2 + xy = x (x + y) ( )?因式分解x2 + xy 把一个多项式转化成几个整式的乘积的形式,叫因式分解,这一过程也称为分解因式.下列 代数式变形中,哪些是因式分解?哪些不是?为什么?
是是是是不是不是不是注意!! 特点: 左边是多项式,右边是整式的积.不是a2+aa2-b2(a+b)(a-b)a2+2a+1(x-y)2(a+1)2x2-2xy+y2a(a+1)2. 按要求填表：整式乘法因式分解整式的乘法因式分解检验因式分解是否正确，只要看等式右边几个整式相乘的积与左边的多项式是否相等。例1 检验下列因式分解是否正确:
(1) x2y-xy=xy (x-y)
(2) 2x2-1=(2x+1)(2x-1)
(3) x2+3x+2=(x+1)(x+2)
(4) 你能先写出整式相乘（其中至少一个是多项式）的两个例子，并由此得到相应的两个多项式的因式分解吗？把结果与你的同伴交流。做一做(2).分解因式.1.检验下列因式分解是否正确：(1) am+bm (2) 9a2-b2正确正确不正确展示风采
----闯关行动
第一关
第三关第二关x2-y29-25x2x2+2x+1xy-y2(x+1)2y(x-y)(3-5x)(3+5x)(x+y)(x-y)1. 把左右两边相等的代数式用线连起来2. 计算下列各题，并说明你的算法。如图:用一张如图甲的正方形纸片, 3张如图乙的长方形纸片,2张如图丙的正方形纸片可以拼成一个长方形(如图丁).请写出表示图丁面积的一个多项式,并将其因式分解.x2+3xy+2y2=(x+y)(x+2y)（1）能分解成则= ______,= ______.思维拓展（2）今天你有哪些收获呢？小结分解因式与整式乘法是互逆过程.
分解因式要注意以下几点:
1.分解的对象必须是多项式.
2.分解的结果一定是几个整式的乘积的形式.
3.要分解到不能分解为止.作业:
1.作业本6.1
2.书中作业题
3. 同步练6.1 （4）993-99能被100整除吗? 你是怎样想的?993-99=99×992-99 ×1
=99 ×(992-1)
=99 (99+1)(99-1)
= 99×100×98
所以, 993-99能被100整除.想一想: 993-99还能被哪些整数整除?感谢大家莅临指导！1.检验下列因式分解是否正确：正确正确不正确2.智力抢答利用了因式分解(2).分解因式.(1).把左右两边相等的代数式用线连起来.3a2+12a3a（a+4）合作探究把多项式化成几个整式的积合作探究
