初中数学浙教版七年级下册1.4平行线的性质-内错角和同旁内角 同步训练
一、基础夯实
1．（2019七下·中山期末）如图，AB∥CD，∠CED＝90°，∠AEC＝35°，则∠D的大小（ ）
A．35° B．45° C．55° D．65°
2．（2019七下·龙岩期末）已知a∥b，将等腰直角三角形ABC按如图所示的方式放置，其中锐角顶点B，直角顶点C分别落在直线a，b上，若∠1 15°，则∠2的度数是（ ）
A．15° B．22.5° C．30° D．45°
3．（2019七下·十堰期末）含30°角的直角三角板与直线a，b的位置关系如图所示，已知a∥b，∠1=40°，则∠ADC的度数是（ ）
A．40° B．45° C．50° D．60°
4．（2019七下·东阳期末）如图，装修工人向墙上钉木条，若∠1=65°，a∥b，则∠2的度数等于（ ）
A．65° B．105° C．115° D．不能确定
5．（2019七下·南浔期末）如图，已知l1∥l2，直线l与l1、l2，相交于C、D两点，把一块含30°角的三角尺ABD按如图位置摆放，∠ADB=30°.若∠1=130°，则∠2= .
6．（2019·大连）如图 ， ， ，则 °.
7．（2019八上·长兴月考）如图，直线a∥b，直线c∥d，∠1=60°，求∠2的度数。
二、提高特训
8．（2019·青海）如图，将一副三角板和一张对边平行的纸条按下列方式摆放：两个三角板的一直角边重合，含 角的三角板的斜边与纸条一边重合，含 角的三角板的一个顶点在纸条的另一边上，则 的度数是（ ）
A． B． C． D．
9．（2019七下·江门期末）下列命题错误的是（ ）
A．如果 ，那么
B．如果 ，那么
C．如果 ，那么
D．如果 ，那么
10．（2019·抚顺）一副直角三角尺如图摆放，点 在 的延长线上， ， ， ， ，则∠ 的度数是（ ）
A． B． C． D．
11．（2019·朝阳）把 与 放在同一水平桌面上，摆放成如图所示的形状，使两个直角顶点重合，两条斜边平行，若 ， ，则 的度数是（ ）
A． B．57° C． D．
12．（2019七下·韶关期末）如图，∠AOB的两边OA、OB均为平面反光镜，∠AOB＝40°，在射线OB上有一点P，从点P点射出的一束光线经OA上的Q点反射后，反射光线QR恰好与OB平行，则∠QPB的度数是
13．（2019七下·温州期末）将一个含有30°角的直角三角板如图所示放置．其中，含30°角的顶点落在直线a上，含90°角的顶点落在直线b上．若a∥b，∠2=2∠1，则∠1= °．
14．（2019七下·中山期末）如图，∠1＝∠2，∠3＝∠D，∠4＝∠5．求证：AE∥BF．
15．（2018七下·平定期末）问题情境：如图1，AB∥CD，∠PAB＝130°，∠PCD＝120°，求∠APC的度数．小明的思路是：过点P作PE∥AB，通过平行线性质来求∠APC．
（1）按小明的思路，请你求出∠APC的度数；
（2）问题迁移：如图2，AB∥CD，点P在射线OM上运动，记∠PAB＝α，∠PCD＝β，当点P在B，D两点之间运动时，问∠APC与α，β之间有何数量关系？请说明理由；
（3）联想拓展：在(2)的条件下，如果点P在B，D两点外侧运动时(点P与点O，B，D三点不重合)，请直接写出∠APC与α，β之间的数量关系；
（4）解决问题：我们发现借助构造平行线的方法可以帮我们解决许多问题，随着以后的学习你还会发现平行线的许多用途．试构造平行线解决以下问题．
已知：如图3，三角形ABC，求证：∠A+∠B+∠C＝180°
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：∵∠CED＝90°，∠AEC＝35°，
∴∠BED＝180°﹣∠CED﹣∠AEC＝180°﹣90°﹣35°＝55°，
∵AB∥CD，
∴∠D＝∠BED＝55°．
故答案为：C．
【分析】根据平角的定义可求出∠BED的度数，利用两直线平行内错角相等可得∠D＝∠BED即可.
2．【答案】C
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】∠1与∠2的内错角相加是45°，因为a∥b，所以有内错角相等，所以∠2=45°-∠1=30°
【分析】等腰三角形中两个锐角都是45°，然后再根据两直线平行，内错角相等去求解。
3．【答案】C
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：∵a∥b，∠1=40°.
∴∠CDB=40°，
∵∠ADB=90°，
∴∠ADC=90°-40°=50°。
故答案为：C。
【分析】根据二直线平行，内错角相等得出∠CDB=40°，再根据学具的性质及角的和差即可算出∠ADC的度数。
4．【答案】C
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：∵a∥b，
∴∠1+∠2=180°，
∴∠2=180°-∠1=180°-65°=115°；
故答案为：C.
【分析】由 a∥b，两直线平行，同旁内角互补，得∠1+∠2=180°，已知∠1的度数，则∠2的度数可求。
5．【答案】20°
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：如图
∵ l1∥l2，
∴∠1=∠3=130°，
∵∠3+∠2+∠ADB=180°，
∴∠2=180°-30°-130°=20°
故答案为：20°
【分析】利用两直线平行，同位角相等求出∠3的度数，再利用平角为180°，列式求出∠2的度数。
6．【答案】
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ 。
故答案为： 。
【分析】根据二直线平行，内错角相等得出，再根据二直线平行，同旁内角互补得出∠C+∠D=180°，从而算出答案。
7．【答案】解：如图，
∵ a∥b，
∴∠3=∠1=60°，
∵c∥d，
∴∠2+∠3=180°，
∴∠2=180°-∠3=180°-60°=120°.
【知识点】平行线的性质
【解析】【分析】先由两直线平行同位角相等求得∠3的度数，然后再由两直线平行同旁内角互补求得∠2的度数即可.
8．【答案】A
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【解答】解：如图，过 点作 ，
，
，
，
，
而 ，
，
.
故答案为： .
【分析】过点A作AB∥a，利用两直线平行，内错角相等，易证∠1=∠2，在职证明AB∥b，可求出∠3的度数，然后根据∠2+∠3=45°，可求出∠2的度数，即可得到∠1的度数。
9．【答案】B
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】A、如果AB∥CD，那么∠1=∠4，不符合题意；
B、如果AB∥CD，那么∠1=∠3，符合题意；
C、如果AD∥BC，那么∠3=∠4，不符合题意；
D、如果AD∥BC，那么∠3+∠2=180°，不符合题意，
故答案为：B．
【分析】根据平行线的性质定理“两直线平行，同位角相等”，“两直线平行，内错角相等”，“两直线平行，同旁内角互补”，对每个选项逐一进行判断，即可得到答案.
10．【答案】A
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：根据题意，得： ， .
，
，
.
故答案为： .
【分析】根据学具的性质得出 ， ，根据二直线平行，内错角相等得出，进而根据角的和差，由即可算出答案.
11．【答案】B
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【解答】解：过点C作 ，∴ .
又 ，∴ .
∴ .
∴ .
故答案为：B.
【分析】过点C作 ，根据同一平面内，平行于同一直线的两条直线互相平行得出，根据二直线平行，内错角相等得出，，从而根据角的和差，由即可算出答案.
12．【答案】80°
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】∵QR∥OB，
∴∠AOB＝∠AQR＝40°，
∴∠PQR=180°-2∠AQR＝100°，
∴∠QPB=180°-∠PQR=80°.
【分析】已知反射光线QR恰好与OB平行，根据平行线的性质可得∠AOB＝∠AQR＝40°，根据平角的定义可得∠PQR＝100°，再由两直线平行，同旁内角互补互补可得∠QPB=80°.
13．【答案】20
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：如图，过B作BD∥a,
则∠1=∠ABD，
∵BD∥b,
∴∠2=∠DBC，
∴∠1+∠2=∠ABD+∠DBC=60°，
∵∠2=2∠1 ，
∴3∠1=60°，
∴∠1=20°.
故答案为：20.
【分析】作BD平行a, 将∠ABC一分为二，由于a∥BD∥b, 内错角相等分别求得∠1等于∠ABD，∠2等于∠DBC，因为∠ABC等于60°，列式求得∠1的度数。
14．【答案】证明：如图： ∵∠1＝∠2， ∴AB∥DF， ∴∠3＝∠BCE， 又∵∠3＝∠D， ∴∠D＝∠BCE， ∴AD∥BC， ∴∠6＝∠5， 又∵∠4＝∠5， ∴∠4＝∠6， ∴AE∥BF．
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【分析】根据内错角相等两直线平行可得AB∥DF，利用两直线平行内错角相等可得∠3=∠BCE，利用等量代换可得∠D=∠BCE，根据同位角相等两直线平行可得AD∥BC，利用两直线平行内错角相等可得∠6=∠5，由等量代换可得∠4=∠6，根据内错角相等两直线平行可得AE∥BF.
15．【答案】（1）解：如图1，过P作PE∥AB，
∵AB∥CD，
∴PE∥AB∥CD，
∴∠A+∠APE＝180°，∠C+∠CPE＝180°，
∵∠PAB＝130°，∠PCD＝120°，
∴∠APE＝50°，∠CPE＝60°，
∴∠APC＝∠APE+∠CPE＝50°+60°＝110°
（2）解：∠APC＝α+β，
理由是：如图2，过P作PE∥AB，交AC于E，
∵AB∥CD，
∴AB∥PE∥CD，
∴∠APE＝∠PAB＝α，∠CPE＝∠PCD＝β，
∴∠APC＝∠APE+∠CPE＝α+β
（3）解：如图3，所示，当P在BD延长线上时，
过P作PE∥AB，交AC于E，
∵AB∥CD，
∴AB∥PE∥CD，
∴∠1＝∠PAB＝α，
∵∠1＝∠APC+∠PCD
∴∠APC＝∠1﹣∠PCD，
∴∠APC＝α﹣β，
如图4所示，当P在DB延长线上时，
同理可得：∠APC＝β﹣α
（4）解：证明：如图5，过点A作MN∥BC
∴∠B＝∠1，∠C＝∠2，
∵∠BAC+∠1+∠2＝180°
∴∠BAC+∠B+∠C＝180°
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【分析】这是一道运用平行线的判定和性质的综合题目。
（1）正确添加辅助线。利用“平行于同一条直线的两条直线也互相平行”，从而 PE∥AB∥CD ，利用“两直线平行，同旁内角互补”分别求出 ∠APE 和 ∠CPE的度数，最后利用∠APC＝∠APE+∠CPE 求解；
（2） 问题迁移 。由特殊到一般，把具体的度数换成字母，同理可得 ∠APC＝∠APE+∠CPE＝α+β ；
（3） 联想拓展 。分两种情况讨论： 当P在BD延长线上时 ，∠APC＝α﹣β ； 当P在DB延长线上时 ，同理可得：∠APC＝β﹣α ；
（4） 解决问题。我们发现借助构造平行线的方法可以帮我们解决许多问题，构造平行线证明三角形的内角和：根据平角的定义、平行线的性质、等量代换即可。
1 / 1初中数学浙教版七年级下册1.4平行线的性质-内错角和同旁内角 同步训练
一、基础夯实
1．（2019七下·中山期末）如图，AB∥CD，∠CED＝90°，∠AEC＝35°，则∠D的大小（ ）
A．35° B．45° C．55° D．65°
【答案】C
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：∵∠CED＝90°，∠AEC＝35°，
∴∠BED＝180°﹣∠CED﹣∠AEC＝180°﹣90°﹣35°＝55°，
∵AB∥CD，
∴∠D＝∠BED＝55°．
故答案为：C．
【分析】根据平角的定义可求出∠BED的度数，利用两直线平行内错角相等可得∠D＝∠BED即可.
2．（2019七下·龙岩期末）已知a∥b，将等腰直角三角形ABC按如图所示的方式放置，其中锐角顶点B，直角顶点C分别落在直线a，b上，若∠1 15°，则∠2的度数是（ ）
A．15° B．22.5° C．30° D．45°
【答案】C
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】∠1与∠2的内错角相加是45°，因为a∥b，所以有内错角相等，所以∠2=45°-∠1=30°
【分析】等腰三角形中两个锐角都是45°，然后再根据两直线平行，内错角相等去求解。
3．（2019七下·十堰期末）含30°角的直角三角板与直线a，b的位置关系如图所示，已知a∥b，∠1=40°，则∠ADC的度数是（ ）
A．40° B．45° C．50° D．60°
【答案】C
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：∵a∥b，∠1=40°.
∴∠CDB=40°，
∵∠ADB=90°，
∴∠ADC=90°-40°=50°。
故答案为：C。
【分析】根据二直线平行，内错角相等得出∠CDB=40°，再根据学具的性质及角的和差即可算出∠ADC的度数。
4．（2019七下·东阳期末）如图，装修工人向墙上钉木条，若∠1=65°，a∥b，则∠2的度数等于（ ）
A．65° B．105° C．115° D．不能确定
【答案】C
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：∵a∥b，
∴∠1+∠2=180°，
∴∠2=180°-∠1=180°-65°=115°；
故答案为：C.
【分析】由 a∥b，两直线平行，同旁内角互补，得∠1+∠2=180°，已知∠1的度数，则∠2的度数可求。
5．（2019七下·南浔期末）如图，已知l1∥l2，直线l与l1、l2，相交于C、D两点，把一块含30°角的三角尺ABD按如图位置摆放，∠ADB=30°.若∠1=130°，则∠2= .
【答案】20°
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：如图
∵ l1∥l2，
∴∠1=∠3=130°，
∵∠3+∠2+∠ADB=180°，
∴∠2=180°-30°-130°=20°
故答案为：20°
【分析】利用两直线平行，同位角相等求出∠3的度数，再利用平角为180°，列式求出∠2的度数。
6．（2019·大连）如图 ， ， ，则 °.
【答案】
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ 。
故答案为： 。
【分析】根据二直线平行，内错角相等得出，再根据二直线平行，同旁内角互补得出∠C+∠D=180°，从而算出答案。
7．（2019八上·长兴月考）如图，直线a∥b，直线c∥d，∠1=60°，求∠2的度数。
【答案】解：如图，
∵ a∥b，
∴∠3=∠1=60°，
∵c∥d，
∴∠2+∠3=180°，
∴∠2=180°-∠3=180°-60°=120°.
【知识点】平行线的性质
【解析】【分析】先由两直线平行同位角相等求得∠3的度数，然后再由两直线平行同旁内角互补求得∠2的度数即可.
二、提高特训
8．（2019·青海）如图，将一副三角板和一张对边平行的纸条按下列方式摆放：两个三角板的一直角边重合，含 角的三角板的斜边与纸条一边重合，含 角的三角板的一个顶点在纸条的另一边上，则 的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【解答】解：如图，过 点作 ，
，
，
，
，
而 ，
，
.
故答案为： .
【分析】过点A作AB∥a，利用两直线平行，内错角相等，易证∠1=∠2，在职证明AB∥b，可求出∠3的度数，然后根据∠2+∠3=45°，可求出∠2的度数，即可得到∠1的度数。
9．（2019七下·江门期末）下列命题错误的是（ ）
A．如果 ，那么
B．如果 ，那么
C．如果 ，那么
D．如果 ，那么
【答案】B
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】A、如果AB∥CD，那么∠1=∠4，不符合题意；
B、如果AB∥CD，那么∠1=∠3，符合题意；
C、如果AD∥BC，那么∠3=∠4，不符合题意；
D、如果AD∥BC，那么∠3+∠2=180°，不符合题意，
故答案为：B．
【分析】根据平行线的性质定理“两直线平行，同位角相等”，“两直线平行，内错角相等”，“两直线平行，同旁内角互补”，对每个选项逐一进行判断，即可得到答案.
10．（2019·抚顺）一副直角三角尺如图摆放，点 在 的延长线上， ， ， ， ，则∠ 的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：根据题意，得： ， .
，
，
.
故答案为： .
【分析】根据学具的性质得出 ， ，根据二直线平行，内错角相等得出，进而根据角的和差，由即可算出答案.
11．（2019·朝阳）把 与 放在同一水平桌面上，摆放成如图所示的形状，使两个直角顶点重合，两条斜边平行，若 ， ，则 的度数是（ ）
A． B．57° C． D．
【答案】B
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【解答】解：过点C作 ，∴ .
又 ，∴ .
∴ .
∴ .
故答案为：B.
【分析】过点C作 ，根据同一平面内，平行于同一直线的两条直线互相平行得出，根据二直线平行，内错角相等得出，，从而根据角的和差，由即可算出答案.
12．（2019七下·韶关期末）如图，∠AOB的两边OA、OB均为平面反光镜，∠AOB＝40°，在射线OB上有一点P，从点P点射出的一束光线经OA上的Q点反射后，反射光线QR恰好与OB平行，则∠QPB的度数是
【答案】80°
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】∵QR∥OB，
∴∠AOB＝∠AQR＝40°，
∴∠PQR=180°-2∠AQR＝100°，
∴∠QPB=180°-∠PQR=80°.
【分析】已知反射光线QR恰好与OB平行，根据平行线的性质可得∠AOB＝∠AQR＝40°，根据平角的定义可得∠PQR＝100°，再由两直线平行，同旁内角互补互补可得∠QPB=80°.
13．（2019七下·温州期末）将一个含有30°角的直角三角板如图所示放置．其中，含30°角的顶点落在直线a上，含90°角的顶点落在直线b上．若a∥b，∠2=2∠1，则∠1= °．
【答案】20
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：如图，过B作BD∥a,
则∠1=∠ABD，
∵BD∥b,
∴∠2=∠DBC，
∴∠1+∠2=∠ABD+∠DBC=60°，
∵∠2=2∠1 ，
∴3∠1=60°，
∴∠1=20°.
故答案为：20.
【分析】作BD平行a, 将∠ABC一分为二，由于a∥BD∥b, 内错角相等分别求得∠1等于∠ABD，∠2等于∠DBC，因为∠ABC等于60°，列式求得∠1的度数。
14．（2019七下·中山期末）如图，∠1＝∠2，∠3＝∠D，∠4＝∠5．求证：AE∥BF．
【答案】证明：如图： ∵∠1＝∠2， ∴AB∥DF， ∴∠3＝∠BCE， 又∵∠3＝∠D， ∴∠D＝∠BCE， ∴AD∥BC， ∴∠6＝∠5， 又∵∠4＝∠5， ∴∠4＝∠6， ∴AE∥BF．
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【分析】根据内错角相等两直线平行可得AB∥DF，利用两直线平行内错角相等可得∠3=∠BCE，利用等量代换可得∠D=∠BCE，根据同位角相等两直线平行可得AD∥BC，利用两直线平行内错角相等可得∠6=∠5，由等量代换可得∠4=∠6，根据内错角相等两直线平行可得AE∥BF.
15．（2018七下·平定期末）问题情境：如图1，AB∥CD，∠PAB＝130°，∠PCD＝120°，求∠APC的度数．小明的思路是：过点P作PE∥AB，通过平行线性质来求∠APC．
（1）按小明的思路，请你求出∠APC的度数；
（2）问题迁移：如图2，AB∥CD，点P在射线OM上运动，记∠PAB＝α，∠PCD＝β，当点P在B，D两点之间运动时，问∠APC与α，β之间有何数量关系？请说明理由；
（3）联想拓展：在(2)的条件下，如果点P在B，D两点外侧运动时(点P与点O，B，D三点不重合)，请直接写出∠APC与α，β之间的数量关系；
（4）解决问题：我们发现借助构造平行线的方法可以帮我们解决许多问题，随着以后的学习你还会发现平行线的许多用途．试构造平行线解决以下问题．
已知：如图3，三角形ABC，求证：∠A+∠B+∠C＝180°
【答案】（1）解：如图1，过P作PE∥AB，
∵AB∥CD，
∴PE∥AB∥CD，
∴∠A+∠APE＝180°，∠C+∠CPE＝180°，
∵∠PAB＝130°，∠PCD＝120°，
∴∠APE＝50°，∠CPE＝60°，
∴∠APC＝∠APE+∠CPE＝50°+60°＝110°
（2）解：∠APC＝α+β，
理由是：如图2，过P作PE∥AB，交AC于E，
∵AB∥CD，
∴AB∥PE∥CD，
∴∠APE＝∠PAB＝α，∠CPE＝∠PCD＝β，
∴∠APC＝∠APE+∠CPE＝α+β
（3）解：如图3，所示，当P在BD延长线上时，
过P作PE∥AB，交AC于E，
∵AB∥CD，
∴AB∥PE∥CD，
∴∠1＝∠PAB＝α，
∵∠1＝∠APC+∠PCD
∴∠APC＝∠1﹣∠PCD，
∴∠APC＝α﹣β，
如图4所示，当P在DB延长线上时，
同理可得：∠APC＝β﹣α
（4）解：证明：如图5，过点A作MN∥BC
∴∠B＝∠1，∠C＝∠2，
∵∠BAC+∠1+∠2＝180°
∴∠BAC+∠B+∠C＝180°
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【分析】这是一道运用平行线的判定和性质的综合题目。
（1）正确添加辅助线。利用“平行于同一条直线的两条直线也互相平行”，从而 PE∥AB∥CD ，利用“两直线平行，同旁内角互补”分别求出 ∠APE 和 ∠CPE的度数，最后利用∠APC＝∠APE+∠CPE 求解；
（2） 问题迁移 。由特殊到一般，把具体的度数换成字母，同理可得 ∠APC＝∠APE+∠CPE＝α+β ；
（3） 联想拓展 。分两种情况讨论： 当P在BD延长线上时 ，∠APC＝α﹣β ； 当P在DB延长线上时 ，同理可得：∠APC＝β﹣α ；
（4） 解决问题。我们发现借助构造平行线的方法可以帮我们解决许多问题，构造平行线证明三角形的内角和：根据平角的定义、平行线的性质、等量代换即可。
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