初中数学浙教版七年级下册1.4 平行线的性质（2） 同步练习
一、单选题
1．（2020·广元）如图，a∥b,M、N分别在a,b上，P为两平行线间一点，那么∠1+∠2+∠3=（ ）.
A．180° B．360° C．270° D．540°
2．（2020七上·重庆月考）如图，由AB∥CD，可以得到（ ）
A．∠1＝∠2 B．∠2＝∠3 C．∠1＝∠4 D．∠3＝∠4
3．（2020七下·大石桥期末）如图 、 、 三点共线， 、 、 三点共线，且 ， ，下列结论错误的是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2020七下·丹东期末）如图， ，则下列等式正确的是（ ）
A． B．
C． D．
5．（2020七下·陆川期末）如果 与 的两边分别平行， 比 的3倍少 ，则 的度数是（ ）
A． B．
C． 或 D．以上都不对
6．（2020七下·武昌期中）如图，AB∥CD，点E为AB上方一点，FB，HG分别为∠EFG，∠EHD的角平分线，若∠E+2∠G＝150°，则∠EFG的度数为（ ）
A．90° B．95° C．100° D．150°
二、填空题
7．（2020七下·渝北期末）如图，直线l1∥l2∥l3，点A、B、C分别在直线l1、l2、l3上，若∠1=70°，∠2=50°，则∠ABC= 度.
8．（2020七下·天府新期末）如图，直线l1//l2，且分别与直线l交于C，D两点，把一块含30°角的三角尺按如图所示的位置摆放，若∠1＝58°，则∠2的度数为 ．
9．（2020七下·许昌期末）如图，AB∥CD，∠1=39°，∠C和∠D互余，则∠B= .
10．（2020七下·安化期末）如图，∠1=∠2，∠A=70°，则∠ADC= 度；
11．（2020七下·曲靖期末）如图，已知 直线 分别交 于点 平分 若 ，则 的度数为 .
12．（2020七下·孟村期末）如图，直线 ， ．
三、综合题
13．（2020七下·陆川期末）将两块大小相同的直角三角尺（即三角形 和三角形 ，其中 ，按如图所示的方式摆放（直角顶点 在斜边 上，直角顶点 在斜边 上），且 .
（1）求 的度数；
（2）请你判断 与 是否平行，并说明理由.
14．（2020七下·沈河期末）把下面的说理过程补充完整.
已知：如图，
∠1+∠2＝180°，∠3＝∠B.试判断∠AED与∠4的关系，并说明理由.
结论：∠AED＝∠4.
理由：∵∠1+∠BDF＝180°（ ），∠1+∠2＝180°（已知）
∴∠2＝∠BDF.（ ）
∴EF∥AB.（ ）
∴∠3＝∠ADE.（ ）
∵∠3＝∠B，（已知）
∴∠B＝ .
∴DE∥BC.（ ）
∴∠AED＝∠ACB.（ ）
又∵∠ACB＝∠4，（ ）
∴∠AED＝∠4.
15．（2020七下·许昌期末）如图，CD AB，∠DCB=70°，∠CBF=20°，∠EFB=130°，问直线EF与AB有怎样的位置关系，为什么？
16．（2020七下·福绵期末）如图，∠1+∠2＝180°，∠B＝∠3.
（1）判断DE与BC的位置关系，并说明理由；
（2）若∠C＝70°，∠2＝80°，∠4＝65°，求∠FGD的度数.
17．（2020七下·黄陵期末）如图，已知AB∥CD.直线EF分别交直线AB、CD于点E、F，∠EFB＝∠B，FH⊥FB.
（1）若∠B＝20°，求∠DFH的度数；
（2）求证：FH平分∠GFD.
18．（2020七下·南宁期末）如图，已知AD⊥BC，EF⊥BC，垂足分别为D、F，∠1+∠2＝180°，
求证：
（1）EF∥AD；
（2）∠GDC＝∠B.
19．（2020七下·诸暨期末）问题情境：如图1，已知 ， .求 的度数.
（1）经过思考，小敏的思路是：如图2，过P作 ，根据平行线有关性质，可得 .
（2）问题迁移：如图3， ，点P在射线OM上运动， ， .
①当点P在A，B两点之间运动时， 、 、 之间有何数量关系？请说明理由.
②如果点P在A，B两点外侧运动时（点P与点A，B，O三点不重合），请你直接写出 、 、 之间的数量关系，
（3）问题拓展：如图4， ， 是一条折线段，依据此图所含信息，把你所发现的结论，用简洁的数学式子表达为 .
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：过点P作PA∥a，
∵a∥b，PA∥a，
∴a∥b∥PA，
∴∠1+∠MPA=180°，∠3+∠APN=180°，
∴∠1+∠MPA+∠3+∠APN=180°+180°=360°，
∴∠1+∠2+∠3=360°．
故答案为：B．
【分析】首先作出PA∥a，根据平行线性质，两直线平行同旁内角互补，可以得出∠1+∠2+∠3的值．
2．【答案】C
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解： 、 与 不是两平行线 、 形成的角，故 错误；
、 与 不是两平行线 、 形成的内错角，故 错误；
、 与 是两平行线 、 形成的内错角，故 正确；
、 与 不是两平行线 、 形成的角，无法判断两角的数量关系，故 错误.
故答案为：C.
【分析】由平行线的性质知，两直线平行内错角相等、同位角相等、同旁内角互补；但要看是不是两平行线AB和CD形成的角.
3．【答案】D
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【解答】∵∠1＝∠C，
∴BF//CE，故A正确；
∴∠F=∠2，故B正确，
∴ ，故D错误，
∵A、B、C三点共线，
∴ ，故C正确.
故答案为：D.
【分析】由∠1＝∠C，根据同位角相等两直线平行可得BF//CE，利用两直线平行内错角相等，可得∠F=∠2，∠CBF+∠F=180°，据此判断A、B、D；由A、B、C三点共线，可得∠1+∠CBF=180°，据此判断C.
4．【答案】B
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】如图，过点E作EF CD AB
AB EF,
，
EF CD，
，
，
,
即 .
故答案为：B.
【分析】过点E作EF CD AB, 可得 ， ，将这两个代数式等量代换即可得到答案.
5．【答案】C
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：∵∠A与∠B的两边分别平行，
∴∠A与∠B相等或互补.
分两种情况：
①如图1，
当∠A+∠B=180°时，∠A=3∠B-36°，
解得：∠A=126°；
②如图2，
当∠A=∠B，∠A=3∠B-36°，
解得：∠A=18°.
所以∠A=18°或126°.
故答案为：C.
【分析】由∠A与∠B的两边分别平行，即可得∠A与∠B相等或互补，然后分两种情况，分别从∠A与∠B相等或互补去分析，即可求得∠A的度数.
6．【答案】C
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【解答】如图，过G作
∴
∵
∴
∴
∴
∵FB、HG分别为 、 的角平分线
∴ ，
∵
∴
解得
故答案为：C.
【分析】如图（见解析），过G作 ，先根据平行线的性质、角的和差得出 ，再根据角平分线的定义得出 ，然后根据平行线的性质、三角形的外角性质得出 ，联立求解可得 ，最后根据角平分线的定义可得 .
7．【答案】120
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：如图，
∵l1∥l2∥l3，∠1=70°，∠2=50°，
∴∠3=∠1=70°，∠4=∠2=50°，
∴∠ABC=∠3+∠4=70°+50°=120°.
故答案为：120
【分析】如图，由两直线平行，同位角相等可得∠3，再由两直线平行，内错角相等可得∠4，∠ABC=∠3+∠4即可得解.
8．【答案】92°
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：如图，
∵l1//l2，
∴∠1＝∠3＝58°，
∵∠4＝30°，
∴∠2＝180°﹣∠3﹣∠4＝180°﹣58°﹣30°＝92°．
故答案为：92°．
【分析】根据两条直线平行，同位角相等可得∠1＝∠3，再根据平角定义即可求出∠2的度数．
9．【答案】129°
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】∵AB∥CD, ∠1=39°,
∴∠D=∠1=39°
∵∠C和∠D互余，
∴∠C=90°-39°=51°
∵AB∥CD,
∴∠B=180°-51°=129°.
故答案为 .
【分析】根据两直线平行，内错角相等，可得∠D=∠1=39°，利用余角的性质求出∠C=90°-39°=51°，利用两直线平行，同旁内角互补，可得∠B+∠C=180°，从而求出∠B的度数.
10．【答案】110
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【解答】解：
又
故答案为：110．
【分析】先根据平行线的判定可得 ，再根据平行线的性质即可得．
11．【答案】64°
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：∵AB∥CD，∠1＝52°，
∴∠AEF＝128°，
∵EG平分∠AEF，
∴∠AEG＝64°，
∵AB∥CD
∴∠2＝∠AEG=64°.
故答案为：64°.
【分析】根据平行线的性质“两直线平行，同旁内角互补”，得出∠AEF的度数，再利用角平分线的性质推出∠AEG的度数，这样就可根据“两直线平行，内错角相等”求出∠2的度数.
12．【答案】130°
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：如下图，延长AE交 与点B，
∵
∴
∵
∴
∴
∴
故答案为： ．
【分析】延长AE交 与点B，根据平行线的性质求解即可．
13．【答案】（1）解：∵DE AB，
∴∠D+∠AFD=180°，
又∵∠D=30°，
∴∠AFD=180°﹣30°=150°
（2）解：DF与AC平行，理由如下：
∵∠AFD=150°，∠A=30°，
∴∠AFD+∠A=180°，
∴DF AC.
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【分析】（1）直接利用两直线平行，同旁内角互补即可得出答案；（2）直接根据同旁内角互补，两直线平行即可得出结论.
14．【答案】解：∵∠1+∠BDF＝180°（邻补角的定义），∠1+∠2＝180°（已知）
∴∠2＝∠BDF.（同角的补角相等）
∴EF∥AB.（内错角相等，两直线平行）
∴∠3＝∠ADE.（两直线平行，内错角相等）
∵∠3＝∠B，（已知）
∴∠B＝∠ADE.
∴DE∥BC.（同位角相等，两直线平行）
∴∠AED＝∠ACB.（两直线平行，同位角相等）
又∵∠ACB＝∠4，（对顶角相等）
∴∠AED＝∠4.
故答案为：邻补角的定义；同角的补角相等；内错角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等；∠ADE；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等；对顶角相等.
【知识点】平行线的判定与性质；对顶角及其性质
【解析】【分析】依据内错角相等，两直线平行，即可判定EF∥AB，再根据平行线的性质，即可得到∠B=∠ADE，进而得出DE∥BC，再根据平行线的性质以及对顶角的性质，即可得到∠AED=∠4.
15．【答案】解：∵ CD AB，∠DCB=70°，
∴∠ABC=70°，
∵∠CBF=20°，
∴∠ABF=70°-20°=50°，
又∵∠EFB=130°，
∴∠ABF+∠EFB=180°，
∴EF AB.
故直线EF与AB的位置关系是平行.
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【分析】两直线的位置关系有两种：平行或者相交，根据图形可猜想两直线平行，然后根据已知条件探求平行的判定条件，即可证明结论.
16．【答案】（1）解：DE∥BC，理由如下：
∵∠1+∠2＝180°，
∴AB∥EF，
∴∠ADE＝∠3，
∵∠B＝∠3，
∴∠ADE＝∠B，
∴DE∥BC
（2）解：∵AB∥EF，
∴∠A＝∠4＝65°，
∵∠C＝70°，
∴∠B＝180°﹣∠A﹣∠C＝45°，
∵∠1＝180°﹣∠2＝180°﹣80°＝100°，
∴∠FGD＝180°﹣∠1﹣∠B＝180°﹣100°﹣45°＝35°
答：∠FGD的度数为35°.
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【分析】（1）根据平行线的判定与性质即可判断DE与BC的位置关系；
（2）根据∠C＝70°，∠2＝80°，∠4＝65°，及平行线的判定与性质即可求∠FGD的度数.
17．【答案】（1）解：∵AB∥CD，∠B＝20°，
∴∠B＝∠BFD＝20°，
∵FH⊥FB，
∴∠BFH＝90°，
∴∠DFH＝∠BFH﹣∠BFD＝70°
（2）解：∵AB∥CD，
∴∠B＝∠BFD，
∵∠EFB＝∠B，
∴∠EFB＝∠BFD，
∵∠BFH＝90°，
∴∠BFD+∠DFH＝90°，∠GFH+∠BFE＝90°，
∴∠DFH＝∠GFH，
∴FH平分∠GFD.
【知识点】垂线；平行线的性质
【解析】【分析】（1）由平行线的性质可得∠B＝∠BFD＝20°，由垂线的性质可得∠BFH＝90°，即可求解；（2）由平行线的性质可得∠B＝∠EFB＝∠BFD，由余角的性质可得∠DFH＝∠GFH，可得结论.
18．【答案】（1）证明：∵AD⊥BC，EF⊥BC，
∴∠EFB＝∠ADB＝90°，
∴EF∥AD
（2）解：∵EF∥AD，
∴∠2+∠EAD＝180°，
∵∠1+∠2＝180°
∴∠1＝∠EAD，
∴AB∥DG，
∴∠GDC＝∠B.
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【分析】（1）根据AD⊥BC，EF⊥BC，可得∠EFB＝∠ADB＝90°，利用同位角相等，两直线平行即可证明EF∥AD；
（2）结合（1）的结论和，∠1+∠2＝180°可得∠1＝∠EAD，根据内错角相等，两直线平行可得AB∥DG，进而证明∠GDC＝∠B.
19．【答案】（1）252°
（2）解：①解：∠CPD=∠α+∠β，理由如下：
如图，过P作PE∥AD交CD于E，
∵AD∥BC，
∴AD∥PE∥BC，
∴∠α=∠DPE，∠β=∠CPE，
∴∠CPD=∠DPE+∠CPE=∠α+∠β；
②∠CPD=∠DPE-∠CPE=∠α-∠β
（3）∠A1+∠A2+…+∠An=∠B1+∠B2+…+∠Bn.
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【解答】（1）解：问题情境：如图，过P作PE∥AB，
∵AB∥CD，
∴PE∥AB∥CD，
∴∠PAB+∠APE=180°，∠PCD+∠CPE=180°，
∵∠APC=108°，
∴∠PAB+∠PCD=360°-108°=252°；
故答案为：252°；
（ 2 ）②解：当P在BA延长线时，∠CPD=∠β-∠α；理由：
如图，过P作PE∥AD交CD于E，
∵AD∥BC，
∴AD∥PE∥BC，
∴∠α=∠DPE，∠β=∠CPE，
∴∠CPD=∠CPE-∠DPE=∠β-∠α；
当P在BO之间时，∠CPD=∠α-∠β.理由：
如图，过P作PE∥AD交CD于E，
∵AD∥BC，
∴AD∥PE∥BC，
∴∠α=∠DPE，∠β=∠CPE，
∴∠CPD=∠DPE-∠CPE=∠α-∠β.
（ 3 ）问题拓展：分别过A2，A3…，An-1作直线∥A1M，过B1，B2，…，Bn-1作直线∥A1M，
由平行线的性质和角的和差关系得∠A1+∠A2+…+∠An=∠B1+∠B2+…+∠Bn.
故答案为：∠A1+∠A2+…+∠An=∠B1+∠B2+…+∠Bn.
【分析】（1）问题情境：根据平行线的判定可得PE∥AB∥CD，再根据平行线的性质即可求解；
（2）问题迁移：①过P作PE∥AD，根据平行线的判定可得PE∥AD∥BC，再根据平行线的性质即可求解；②过P作PE∥AD，根据平行线的判定可得PE∥AD∥BC，再根据平行线的性质即可求解；
（3）问题拓展：分别过A2，A3…，An-1作直线∥A1M，过B1，B2，…，Bn-1作直线∥A1M，根据平行线的判定和性质即可求解.
1 / 1初中数学浙教版七年级下册1.4 平行线的性质（2） 同步练习
一、单选题
1．（2020·广元）如图，a∥b,M、N分别在a,b上，P为两平行线间一点，那么∠1+∠2+∠3=（ ）.
A．180° B．360° C．270° D．540°
【答案】B
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：过点P作PA∥a，
∵a∥b，PA∥a，
∴a∥b∥PA，
∴∠1+∠MPA=180°，∠3+∠APN=180°，
∴∠1+∠MPA+∠3+∠APN=180°+180°=360°，
∴∠1+∠2+∠3=360°．
故答案为：B．
【分析】首先作出PA∥a，根据平行线性质，两直线平行同旁内角互补，可以得出∠1+∠2+∠3的值．
2．（2020七上·重庆月考）如图，由AB∥CD，可以得到（ ）
A．∠1＝∠2 B．∠2＝∠3 C．∠1＝∠4 D．∠3＝∠4
【答案】C
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解： 、 与 不是两平行线 、 形成的角，故 错误；
、 与 不是两平行线 、 形成的内错角，故 错误；
、 与 是两平行线 、 形成的内错角，故 正确；
、 与 不是两平行线 、 形成的角，无法判断两角的数量关系，故 错误.
故答案为：C.
【分析】由平行线的性质知，两直线平行内错角相等、同位角相等、同旁内角互补；但要看是不是两平行线AB和CD形成的角.
3．（2020七下·大石桥期末）如图 、 、 三点共线， 、 、 三点共线，且 ， ，下列结论错误的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【解答】∵∠1＝∠C，
∴BF//CE，故A正确；
∴∠F=∠2，故B正确，
∴ ，故D错误，
∵A、B、C三点共线，
∴ ，故C正确.
故答案为：D.
【分析】由∠1＝∠C，根据同位角相等两直线平行可得BF//CE，利用两直线平行内错角相等，可得∠F=∠2，∠CBF+∠F=180°，据此判断A、B、D；由A、B、C三点共线，可得∠1+∠CBF=180°，据此判断C.
4．（2020七下·丹东期末）如图， ，则下列等式正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】如图，过点E作EF CD AB
AB EF,
，
EF CD，
，
，
,
即 .
故答案为：B.
【分析】过点E作EF CD AB, 可得 ， ，将这两个代数式等量代换即可得到答案.
5．（2020七下·陆川期末）如果 与 的两边分别平行， 比 的3倍少 ，则 的度数是（ ）
A． B．
C． 或 D．以上都不对
【答案】C
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：∵∠A与∠B的两边分别平行，
∴∠A与∠B相等或互补.
分两种情况：
①如图1，
当∠A+∠B=180°时，∠A=3∠B-36°，
解得：∠A=126°；
②如图2，
当∠A=∠B，∠A=3∠B-36°，
解得：∠A=18°.
所以∠A=18°或126°.
故答案为：C.
【分析】由∠A与∠B的两边分别平行，即可得∠A与∠B相等或互补，然后分两种情况，分别从∠A与∠B相等或互补去分析，即可求得∠A的度数.
6．（2020七下·武昌期中）如图，AB∥CD，点E为AB上方一点，FB，HG分别为∠EFG，∠EHD的角平分线，若∠E+2∠G＝150°，则∠EFG的度数为（ ）
A．90° B．95° C．100° D．150°
【答案】C
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【解答】如图，过G作
∴
∵
∴
∴
∴
∵FB、HG分别为 、 的角平分线
∴ ，
∵
∴
解得
故答案为：C.
【分析】如图（见解析），过G作 ，先根据平行线的性质、角的和差得出 ，再根据角平分线的定义得出 ，然后根据平行线的性质、三角形的外角性质得出 ，联立求解可得 ，最后根据角平分线的定义可得 .
二、填空题
7．（2020七下·渝北期末）如图，直线l1∥l2∥l3，点A、B、C分别在直线l1、l2、l3上，若∠1=70°，∠2=50°，则∠ABC= 度.
【答案】120
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：如图，
∵l1∥l2∥l3，∠1=70°，∠2=50°，
∴∠3=∠1=70°，∠4=∠2=50°，
∴∠ABC=∠3+∠4=70°+50°=120°.
故答案为：120
【分析】如图，由两直线平行，同位角相等可得∠3，再由两直线平行，内错角相等可得∠4，∠ABC=∠3+∠4即可得解.
8．（2020七下·天府新期末）如图，直线l1//l2，且分别与直线l交于C，D两点，把一块含30°角的三角尺按如图所示的位置摆放，若∠1＝58°，则∠2的度数为 ．
【答案】92°
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：如图，
∵l1//l2，
∴∠1＝∠3＝58°，
∵∠4＝30°，
∴∠2＝180°﹣∠3﹣∠4＝180°﹣58°﹣30°＝92°．
故答案为：92°．
【分析】根据两条直线平行，同位角相等可得∠1＝∠3，再根据平角定义即可求出∠2的度数．
9．（2020七下·许昌期末）如图，AB∥CD，∠1=39°，∠C和∠D互余，则∠B= .
【答案】129°
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】∵AB∥CD, ∠1=39°,
∴∠D=∠1=39°
∵∠C和∠D互余，
∴∠C=90°-39°=51°
∵AB∥CD,
∴∠B=180°-51°=129°.
故答案为 .
【分析】根据两直线平行，内错角相等，可得∠D=∠1=39°，利用余角的性质求出∠C=90°-39°=51°，利用两直线平行，同旁内角互补，可得∠B+∠C=180°，从而求出∠B的度数.
10．（2020七下·安化期末）如图，∠1=∠2，∠A=70°，则∠ADC= 度；
【答案】110
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【解答】解：
又
故答案为：110．
【分析】先根据平行线的判定可得 ，再根据平行线的性质即可得．
11．（2020七下·曲靖期末）如图，已知 直线 分别交 于点 平分 若 ，则 的度数为 .
【答案】64°
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：∵AB∥CD，∠1＝52°，
∴∠AEF＝128°，
∵EG平分∠AEF，
∴∠AEG＝64°，
∵AB∥CD
∴∠2＝∠AEG=64°.
故答案为：64°.
【分析】根据平行线的性质“两直线平行，同旁内角互补”，得出∠AEF的度数，再利用角平分线的性质推出∠AEG的度数，这样就可根据“两直线平行，内错角相等”求出∠2的度数.
12．（2020七下·孟村期末）如图，直线 ， ．
【答案】130°
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：如下图，延长AE交 与点B，
∵
∴
∵
∴
∴
∴
故答案为： ．
【分析】延长AE交 与点B，根据平行线的性质求解即可．
三、综合题
13．（2020七下·陆川期末）将两块大小相同的直角三角尺（即三角形 和三角形 ，其中 ，按如图所示的方式摆放（直角顶点 在斜边 上，直角顶点 在斜边 上），且 .
（1）求 的度数；
（2）请你判断 与 是否平行，并说明理由.
【答案】（1）解：∵DE AB，
∴∠D+∠AFD=180°，
又∵∠D=30°，
∴∠AFD=180°﹣30°=150°
（2）解：DF与AC平行，理由如下：
∵∠AFD=150°，∠A=30°，
∴∠AFD+∠A=180°，
∴DF AC.
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【分析】（1）直接利用两直线平行，同旁内角互补即可得出答案；（2）直接根据同旁内角互补，两直线平行即可得出结论.
14．（2020七下·沈河期末）把下面的说理过程补充完整.
已知：如图，
∠1+∠2＝180°，∠3＝∠B.试判断∠AED与∠4的关系，并说明理由.
结论：∠AED＝∠4.
理由：∵∠1+∠BDF＝180°（ ），∠1+∠2＝180°（已知）
∴∠2＝∠BDF.（ ）
∴EF∥AB.（ ）
∴∠3＝∠ADE.（ ）
∵∠3＝∠B，（已知）
∴∠B＝ .
∴DE∥BC.（ ）
∴∠AED＝∠ACB.（ ）
又∵∠ACB＝∠4，（ ）
∴∠AED＝∠4.
【答案】解：∵∠1+∠BDF＝180°（邻补角的定义），∠1+∠2＝180°（已知）
∴∠2＝∠BDF.（同角的补角相等）
∴EF∥AB.（内错角相等，两直线平行）
∴∠3＝∠ADE.（两直线平行，内错角相等）
∵∠3＝∠B，（已知）
∴∠B＝∠ADE.
∴DE∥BC.（同位角相等，两直线平行）
∴∠AED＝∠ACB.（两直线平行，同位角相等）
又∵∠ACB＝∠4，（对顶角相等）
∴∠AED＝∠4.
故答案为：邻补角的定义；同角的补角相等；内错角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等；∠ADE；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等；对顶角相等.
【知识点】平行线的判定与性质；对顶角及其性质
【解析】【分析】依据内错角相等，两直线平行，即可判定EF∥AB，再根据平行线的性质，即可得到∠B=∠ADE，进而得出DE∥BC，再根据平行线的性质以及对顶角的性质，即可得到∠AED=∠4.
15．（2020七下·许昌期末）如图，CD AB，∠DCB=70°，∠CBF=20°，∠EFB=130°，问直线EF与AB有怎样的位置关系，为什么？
【答案】解：∵ CD AB，∠DCB=70°，
∴∠ABC=70°，
∵∠CBF=20°，
∴∠ABF=70°-20°=50°，
又∵∠EFB=130°，
∴∠ABF+∠EFB=180°，
∴EF AB.
故直线EF与AB的位置关系是平行.
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【分析】两直线的位置关系有两种：平行或者相交，根据图形可猜想两直线平行，然后根据已知条件探求平行的判定条件，即可证明结论.
16．（2020七下·福绵期末）如图，∠1+∠2＝180°，∠B＝∠3.
（1）判断DE与BC的位置关系，并说明理由；
（2）若∠C＝70°，∠2＝80°，∠4＝65°，求∠FGD的度数.
【答案】（1）解：DE∥BC，理由如下：
∵∠1+∠2＝180°，
∴AB∥EF，
∴∠ADE＝∠3，
∵∠B＝∠3，
∴∠ADE＝∠B，
∴DE∥BC
（2）解：∵AB∥EF，
∴∠A＝∠4＝65°，
∵∠C＝70°，
∴∠B＝180°﹣∠A﹣∠C＝45°，
∵∠1＝180°﹣∠2＝180°﹣80°＝100°，
∴∠FGD＝180°﹣∠1﹣∠B＝180°﹣100°﹣45°＝35°
答：∠FGD的度数为35°.
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【分析】（1）根据平行线的判定与性质即可判断DE与BC的位置关系；
（2）根据∠C＝70°，∠2＝80°，∠4＝65°，及平行线的判定与性质即可求∠FGD的度数.
17．（2020七下·黄陵期末）如图，已知AB∥CD.直线EF分别交直线AB、CD于点E、F，∠EFB＝∠B，FH⊥FB.
（1）若∠B＝20°，求∠DFH的度数；
（2）求证：FH平分∠GFD.
【答案】（1）解：∵AB∥CD，∠B＝20°，
∴∠B＝∠BFD＝20°，
∵FH⊥FB，
∴∠BFH＝90°，
∴∠DFH＝∠BFH﹣∠BFD＝70°
（2）解：∵AB∥CD，
∴∠B＝∠BFD，
∵∠EFB＝∠B，
∴∠EFB＝∠BFD，
∵∠BFH＝90°，
∴∠BFD+∠DFH＝90°，∠GFH+∠BFE＝90°，
∴∠DFH＝∠GFH，
∴FH平分∠GFD.
【知识点】垂线；平行线的性质
【解析】【分析】（1）由平行线的性质可得∠B＝∠BFD＝20°，由垂线的性质可得∠BFH＝90°，即可求解；（2）由平行线的性质可得∠B＝∠EFB＝∠BFD，由余角的性质可得∠DFH＝∠GFH，可得结论.
18．（2020七下·南宁期末）如图，已知AD⊥BC，EF⊥BC，垂足分别为D、F，∠1+∠2＝180°，
求证：
（1）EF∥AD；
（2）∠GDC＝∠B.
【答案】（1）证明：∵AD⊥BC，EF⊥BC，
∴∠EFB＝∠ADB＝90°，
∴EF∥AD
（2）解：∵EF∥AD，
∴∠2+∠EAD＝180°，
∵∠1+∠2＝180°
∴∠1＝∠EAD，
∴AB∥DG，
∴∠GDC＝∠B.
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【分析】（1）根据AD⊥BC，EF⊥BC，可得∠EFB＝∠ADB＝90°，利用同位角相等，两直线平行即可证明EF∥AD；
（2）结合（1）的结论和，∠1+∠2＝180°可得∠1＝∠EAD，根据内错角相等，两直线平行可得AB∥DG，进而证明∠GDC＝∠B.
19．（2020七下·诸暨期末）问题情境：如图1，已知 ， .求 的度数.
（1）经过思考，小敏的思路是：如图2，过P作 ，根据平行线有关性质，可得 .
（2）问题迁移：如图3， ，点P在射线OM上运动， ， .
①当点P在A，B两点之间运动时， 、 、 之间有何数量关系？请说明理由.
②如果点P在A，B两点外侧运动时（点P与点A，B，O三点不重合），请你直接写出 、 、 之间的数量关系，
（3）问题拓展：如图4， ， 是一条折线段，依据此图所含信息，把你所发现的结论，用简洁的数学式子表达为 .
【答案】（1）252°
（2）解：①解：∠CPD=∠α+∠β，理由如下：
如图，过P作PE∥AD交CD于E，
∵AD∥BC，
∴AD∥PE∥BC，
∴∠α=∠DPE，∠β=∠CPE，
∴∠CPD=∠DPE+∠CPE=∠α+∠β；
②∠CPD=∠DPE-∠CPE=∠α-∠β
（3）∠A1+∠A2+…+∠An=∠B1+∠B2+…+∠Bn.
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【解答】（1）解：问题情境：如图，过P作PE∥AB，
∵AB∥CD，
∴PE∥AB∥CD，
∴∠PAB+∠APE=180°，∠PCD+∠CPE=180°，
∵∠APC=108°，
∴∠PAB+∠PCD=360°-108°=252°；
故答案为：252°；
（ 2 ）②解：当P在BA延长线时，∠CPD=∠β-∠α；理由：
如图，过P作PE∥AD交CD于E，
∵AD∥BC，
∴AD∥PE∥BC，
∴∠α=∠DPE，∠β=∠CPE，
∴∠CPD=∠CPE-∠DPE=∠β-∠α；
当P在BO之间时，∠CPD=∠α-∠β.理由：
如图，过P作PE∥AD交CD于E，
∵AD∥BC，
∴AD∥PE∥BC，
∴∠α=∠DPE，∠β=∠CPE，
∴∠CPD=∠DPE-∠CPE=∠α-∠β.
（ 3 ）问题拓展：分别过A2，A3…，An-1作直线∥A1M，过B1，B2，…，Bn-1作直线∥A1M，
由平行线的性质和角的和差关系得∠A1+∠A2+…+∠An=∠B1+∠B2+…+∠Bn.
故答案为：∠A1+∠A2+…+∠An=∠B1+∠B2+…+∠Bn.
【分析】（1）问题情境：根据平行线的判定可得PE∥AB∥CD，再根据平行线的性质即可求解；
（2）问题迁移：①过P作PE∥AD，根据平行线的判定可得PE∥AD∥BC，再根据平行线的性质即可求解；②过P作PE∥AD，根据平行线的判定可得PE∥AD∥BC，再根据平行线的性质即可求解；
（3）问题拓展：分别过A2，A3…，An-1作直线∥A1M，过B1，B2，…，Bn-1作直线∥A1M，根据平行线的判定和性质即可求解.
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