因式分解

因式分解
一、背景介绍
因式分解是代数式中的重要内容，它与前一章整式和后一章分式联系极为密切。因式分解的教学是在整式四则运算的基础上进行的，因式分解方法的理论依据就是多项式乘法的逆变形。它不仅在多项式的除法、简便运算中有直接的应用，也为以后学习分式的约分与通分、解方程（组）及三角函数式的恒等变形提供了必要的基础。因此，学好因式分解对于代数知识的后续学习，具有相当重要的意义。
二、教学目标
认知目标
1、了解因式分解的意义；
2、理解因式分解与整式乘法的相互关系；
3、初步感受因式分解在解决相关问题中的作用
能力目标
1、经历从分解因数到分解因式的类比过程，培养学生的观察、发现、类比、化归、概括等能力；
2、通过对因式分解与整式乘法的关系的理解，克服学生的思维定势，培养他们的逆向思维能力；
3、在相互交流的过程中，养成学生表述、抽象、类比、总结的思维习惯，初步培养学生在探索和归纳新知识的过程中进行合情推理的能力．
情感目标
1、让学生体验数学学习活动中的成功与快乐，增强他们的求知欲和学好数学的自信心；
2、通过类比因数分解导出因式分解的概念，使学生初步学会运用类比转化的思想方法，提高对事物之间是普遍联系又是变化发展的辩证观点的再认识；
3、感受整式乘法与因式分解之间的对立统一观点，从而向学生渗透辩证唯物主义的认识论的思想，引导学生树立科学的人生观和价值观；
三、教学重点与难点
重点是因式分解的概念，难点是理解因式分解与整式乘法的相互关系，并运用它们之间的相互关系寻求因式分解的方法。
四、教学过程
（一）创设情景，引出新知
同学们，在上章中我们学习了整式的有关运算，今天这节课我们将在上一章的基础上继续探究有关整式的问题，下面我们先来看这样两个问题。
问题1：在一次智力抢答赛中，主持人提出这样两个问题：
（1）当a=101,b=99时，a2-b2的值
（2）某沿江风光带修建了三块长方形的绿化草坪，它们的宽都为8m，长分别是55.5m，24.2m，20.1m，那么这些绿化带的面积之和为多少。
你们能快速的给出答案吗？这里呀就有一位同学已经学习过今天的知识，当主持人刚刚念完题目，就给出了正确的答案。你们希望也能象他一样快速的解答这类问题吗？
学生思考、讨论以上问题，并动手计算。
计算后，师生共同讲评。对于第一题，1012－992有学生可能运用计算器计算，教师就进一步提问，能不用计算器计算吗？有简便计算的方法吗？而第二题可列出这样的式子：
8×55.5+8×24.4+8×20.1=8×(55.5+24.4+20.1)你选择那个式子运算，为什么？说明从左边到右边这样的变形对于解决问题是有必要的。那么我们就来学习这种变形。我们来看一般情况。
（二）类比概念，探究新知
1、因式分解的意义。
若将引入的问题（2）一般化，即三个长方形的长分别为a、b、c，宽都为k，则三个长方形的面积和为多少？可以有几种表示。（这三个长方形的面积之和一方面等于ka+kb+kc，另一方面又等于k(a+b+c)，等式k(a+b+c)＝ka+kb+kc从左到右是进行什么运算，若如果把左边与右边互换，则有ka+kb+kc＝k(a+b+c)，这还是整式乘法吗？这种变形与小学里的关于数的运算类似。来寻找他们的共同的特点。
2、类比小学学过的因数分解概念，得出因式分解概念。（学生概括，老师补充。）
在小学里，我们已学过：2×3=6称为整数乘法，反之6=2×36称为因数分解，类似于因数分解，我们可把ka+kb+kc＝k(a+b+c)这种变形称之为什么？
接下来我们来探究怎样的变形是因式分解。
3、因式分解与整式乘法之间的关系
计算：
（1）a(a-1)=
（2）(a+b)(a-b)=
（3）(a+3)2=
这些运算都是整式的乘法，我们与上面这一题一样，将左右互换则有a2-a = a(a-1)， a2 -b2 =(a+b)(a-b),a2+2a+1 =(a+1)2，我们来观察他们都是由怎样的形式代数式化为怎样的形式的代数式。学生用自己的语言描述。教师板书因式分解的概念：把一个多项式化为几个整式的积的形式，又叫分解因式。根据概念，你认为因式分解的对象是谁 结果又怎样呢？
（1）被分解的对象是多项式
（2）因式分解后的每个因式都是整式
（3）分解的结果是积的形式
因式分解与整式乘法之间有怎样的联系与区别？（结论：多项式的因式分解与整式乘法是两种相反方向的变形，它们互为逆过程。）
你能根据整式乘法与因式分解的关系，进行因式分解吗？
（1）∵3a(a+4) =3a2+12a
∴ 3a2+12a = ( )( );
（2）∵m（a+b）ma+mb
∴ma+mb= ( )( );
（3）∵(a+4)(a-3) = a2+a-12
∴a2+a-12 = ( )( );
（三）初步应用，巩固新知
辨一辨：下列式子从左边到右边是因式分解吗，为什么？
（1）. a2+a=a(a+1)
（2）. (a+3)(a-3)=a2-9
（3）. x2-3x+1=x(x-3)+1
（4）.
（5）. x2-4x-12=(x+6)(x-2)
（四）范例学习，应用新知
例: 检验下列因式分解是否正确：
(1)x2y－xy2=xy(x－y)
(2) 2x2－1=(2x+1)(2x－1)
(3) x2+3x+2=(x+1)(x+2)
分析：检验因式分解是否正确，只要看等式右边几个整式相乘的积与右边的多项式是否相等。
（五）强化训练，掌握新知
新知知多少（1）若(a+5)(a+2)=a2+7a+10，则a2+7a+10=( )( )
（2）若 x2+mx-n能分解成(x-2)(x-5),则m= ,n=
(六)谁能与计数器比运算速度？
（1）10032-10022
（2）1012-992
（3）872+87×13
（4）(7)2-()2
课后也给你的同伴出类似的题型速算！
当然快速运算只是因式分解的一个简单应用，因式分解对于后续学习的分式、方程等都极为重要。这种技能我们同学要掌握好。
（七）布置作业，归纳小结
1、小结：今天这节课，你学到了哪些知识？有哪些收获与感受？说出来大家分享。
因式分解与整式乘法互逆，体现的是一种逆向思维的过程，掌握好有一定的难度，我们可以在接下来的几节课中继续学习因式分解，慢慢完善思维。
2、作业：
（1）书本作业题A组必做，B组选做。
（2） 兴趣题：手工课上，老师给同学们发了3张正方形纸片，3张长方形纸片，请你将它们拼成一个长方形，并运用面积之间的关系，将多项式2a2+3ab+b2 因式分解
c
b
b
a
c
k
a
a
b