课件24张PPT。4.1 因式分解轻松一刻计算：2×3×5=30 这是整数乘法运算，30 =2×3×5是什么运算呢？（因数分解）2×3×530整数乘法因数分解a2-b2=(a+b)(a-b)=(a+b)2=m(a+b)(a+b)(a-b)(a+b)2m(a+b)=a2-b2=a2+2ab+b2 =am+bm整式的积多项式多项式整式的积a2+2ab+b2am+bm 你能尝试把a2－b2化成几个整式的积的形式吗？ 一般地，把一个多项式化成
几个整式的积的形式，叫做因式
分解，也叫分解因式。多项式几个整式的积x2－xy ＝ x（x－y）因式分解与整式乘法的关系 二.结论：因式分解与整式乘法是互逆的关系. 一.说明：
1.从左到右是因式分解,其特点是：由和差形式（多项式）转化成整式的积的形式；
2.从右到左是整式乘法，其特点是：由整式积的形式转化成和差形式（多项式）. 分解因式
整式乘法辨一辨（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）是不是不是不是不是不是不是下列代数式从左到右的变形是因式分解吗？ 你能否先写出整式(至少一个是多项式)相乘的两个例子，你能由此得到相应的两个多项式的因式分解吗？把结果与你的同伴交流。讨论交流 分解因式
整式乘法练一练：判断下列各式哪些是整式乘法?哪些是因式分解?
(1).x2-4y2=(x+2y)(x-2y)
(2).2x(x-3y)=2x2-6xy
(3).(5a-1)2=25a2-10a+1
(4).x2+4x+4=(x+2)2
(5).(a-3)(a+3)=a2-9
(6).m2-4=(m+4)(m-4)
(7).2 πR+ 2 πr= 2 π(R+r)因式分解整式乘法整式乘法因式分解整式乘法不是因式分解因式分解.例1. 检验下列因式分解是否正确：
(1)x2y－xy2=xy(x－y)
(2) 2x2－1=(2x+1)(2x－1)
(3) x2+3x+2=(x+1)(x+2)检验因式分解:
(1)是否满足因式分解的形式.
(2) 看等式右边几个整式相乘的积与左边的多项式是否相等.正确正确不正确检验下列因式分解是否正确:试一试不正确正确正确例2.把左、右两边相等的代数式用线连起来。练习：手工课上，老师给某同学发下一张如左图形状的纸张，要求他在恰好不浪费纸张的前提下剪拼成右图形状的长方形，作为一幅精美剪纸的衬底，请问你能帮助这个同学解决这个问题吗？能给出数学解释吗？ a2-b2=（a+b）（a-b） 例3. 你能用几种不同的方法计算 20112－20102，哪种方法最简单？ 20112－20102 =（2011+2010）（2011－2010） =4021×1 =4021看谁算得快(1)若a=1001,b=999,则a2-b2=___________；
(2)若a=99,b=-1,则a2-2ab+b2=_______；
(3)若x=-3,则20x2+60x=____________。
(1)a2-b2=(a+b)(a-b)=(1001+999)(1001-999)=4000(2)a2-2ab+b2=(a-b) 2=(99+1)2 =10000(3)20x2+60x= 20x（x+3）= 20× (-3)(-3+3)=0。（1） 瑞安外滩沿江风景带修建了三块长方形的绿化草坪，他们的宽都是８㎝，长分别是５５．５㎝，２４．5㎝，
２０．5㎝，那么这些绿化带的面积之和是__________（2）55.524.520.58营养快餐如果2x2+mx-2可分解因式为
(2x+1)(x-2),则m的值是_____。 如果2x2+mx-2可分解因式为
(2x+1)(x-2),求m的值解:由题意得:
2x2+mx-2= (2x+1)(x-2)
∵ 2x2+mx-2=2x2-3x-2∴对应项的系数相等则m= -3 在日常生活中如取款、上网等都需 要密码，有一种用“因式分解”法产生的密码，方便记忆。原理：如对于多项式x3y2＋6xy3因式分解的结果是xy2 (x2＋6y),若取x=9,y=9时，x=9,y2=81,x2＋6y＝135.于是可以把“981135”作为一个密码。对于多项式3x2y+2xy2，取x=10,y=8，用上述方法产生的密码是________。生活常识8046体会·分享本节课你有什么收获？畅谈:
这堂课你学了什么?
你学会了什么?
你还有什么困惑? 分解因式与整式乘法是互逆过程.
分解因式要注意以下几点:
1.分解的对象必须是多项式.
2.分解的结果一定是几个整式的乘积的形式.
3.要分解到不能分解为止.拓展提高：1 、用简便方法计算下列各式：3. 如果 可分解因式为
那么m ＝_____，n=_____4.两个连续整数的平方差等于这两个整数的和，试说明理由。拓展提高：-3-25. 已知
求 的值拓展提高：626、你知道每一步的根据吗?合作探究：993-99能被100整除吗?你是怎样想的?993-99=99×992-99 ×1
=99 ×(992-1)
=99 (99+1)(99-1)
= 99×100×98
所以, 993-99能被100整除.想一想: 993-99还能被哪些整数整除?课件23张PPT。4.2 提取公因式法因式分解整式乘法简便计算小结：探索发现：因式分解解:公因式多项式中各项都含有的相同因式,称之为公因式提公因式法这个多项式中有相同的因式么？你能将以上方法用于多项式2ab+4abc的因式分解吗？应提取的公因式为:________议一议：多项式 有公因式吗？是什么？ 如果一个多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提取出来进行因式分解，这种分解因式的方法叫做提取公因式法。2ab+4abc=2ab(1+2c)为了提取公因式后，使多项式余下的各项不再含有公因式 ！
如何确定应提取的公因式？定义：2.字母:提取相同字母最低次幂。1.系数:提取最大的公约数;方法:1. 3x2-3y _______
2. 2a+3a b _______3 a公因式3.30 m b2 + 5n b3 ；5b2 4.多项式3a(b-c)+8(b-c)的公因式是 ；（b-c）5.多项式15a2b3 - 6a3bc的公因式是 ；3a2b1. 3x2-3y _______
2. 2a+3a b _______
3. 12st-18t ________
4. 2xy+4yxz –10yz __________
5. 3ax3y +6x4 yz ___________
6. 7a2 b3-21ab2 c ___________ 公因式3 a找一找：多项式中的公因式可以是单项式，也可以是多项式。7、7 ( a– 3 ) – b ( a– 3) ；（a-3）
– 9 x 2 + 6 x y 的公因式。系数：最大
公约数。-3字母：相同字母
x 所以，公因式是指数：最低次幂1-3 x分解因式：-9 x 2 + 6 x y= -3x( )3x -２y找一找：解: (2) 多项式3mx – 6nx2 的公因式是 例1、(1) 多项式 8a3b2 +12ab3c的公因式是 (2) 3mx – 6nx2 =4ab2·2a2 + 4ab2·3bc = 4ab2(2a2 + 3bc) (1) 8a3b2 +12ab3c = 3x·m–3x·2nx= 3x(m–2nx) 其中因式 2a2 + 3bc 中的 2a2 和3bc 是相当于将多项式 8a3b2 +12ab3c 的每一项分别除以 4ab2 而得到的。4ab23x(3) -4x3+16x2-30x = (-2x)×(2x2)+(-2x)×(-8x)+(-2x)×15= -2x(2x2 - 8x +15)=ab(6ac3-7b) =ab·6ac3-ab·7b (2) 6a2bc3-7ab2=3x2(1+3x2)= 3x2·1 +3x2·3x2(1) 3x2 +9x4解：(3) -4x3+16x2-30x(2) 6a2bc3-7ab2(1) 3x2 +9x4例2 、把下列各式分解因式
例3、把 8 a 3 b2 –12ab 3 c + ab分解因式.解：8 a 3 b2 –12ab 3 c + ab当多项式的某一项和公因式相同时，提公因式后剩余的项是1。=ab?8a2 b-ab ? 12 b2 c+ab ? 1=ab(8a2 b- 12 b2 c+1)（1）2x2 + 3x3 + x = x(2x +3x2)（2）a2c - 6a3c = 3a2(c - 2ac)（3）-2s3 + 4s2 - 6s = - s(2s2 + 4s - 6)（4）a2b + 6ab2 - 8a = -2ab(2a-3b) - 8a下列的分解因式对吗？如不对，请指出原因:应为: 原式=x(2x +3x2+1)应为: 原式=-2s(s2-2s+3)应为: 原式= a (ab+6b2-8)应为: 原式=a2c(1 -2a)1、21x2 y +7xy
2、-4x2+8ax+2x把下列各式分解因式:
练一练：4、4a2b+10ab-2ab2 3、 2ax2+ay 5、-3x2y+12xy2-27xya(2x2+y)2ab(2a+5-b)-3xy(x-4y+9)7xy（3x+1）-2x（2x-4a-1）6、 8a2bc -4ab 4ab(2ac-1)7、 –x2 + 3x-x(x+3)你能概括出提取公因式法的一般步骤吗？
反思回顾1.确定应提取的公因式；2.用公因式去除这个多项式，所得的商作为另一个因式3.把多项式写成这两个因式的积的形式。①提取不尽③疏忽变号④只提取部分公因式,整个式子未成乘积形式。(2).提取公因式要彻底;注意易犯的错误:②漏项(1).当首项系数为负时,通常应提取负因数,在提取“－”号时,余下的各项都变号。注意（5）(2 a-b)2 +2a – b = (2 a –b)2 + ( )
（6）a ( s + t ) –s – t = a ( s + t ) – ( )回顾去括号法则，完成下列填空：
（1）1 -x =+( );（2）-x+1=-( )
（3）x-y =+( ); （4）-x-y=-( )你能概括出添括号法则吗？1 -xx-1x-yx+y括号前面是“+”号，括到括号里的各项都不变号；
括号前面是“-”号，括到括号里的各项都变号。知识准备2a - bs + t注意：提取公因式时，有时需要将因式经过符号变换、字母位置重新排列或添括号后，才能看出公因式。= (a-b)(2a-2b-1)= (a-b)[2(a-b)-1]= 2(a-b)2-(a-b)2(a-b)2 – a + b解:例3、把2(a-b)2 - a + b 分解因式【例3】:把下列各式分解因式:(1) a(x-y) – x + y (2) 2a(x-8)+bn(8-x)(2) (x-8)(2a-bn)(1)(x-y)(a-1)练一练：(3)(a+2)2 – 2a(a+2)(2+a)(2-a)或-(a+2)(a-2)（4） 7(x–3)–x(3–x)
（5）—4x2+8ax+2x
（6）—3ab+6abx—9aby ? 25x-5
? 3 x3 -3x2 –9x
? 8a 2c+ 2b c
? -4a 3b3 +6 a2 b-2ab
? a(x-y)+by-bx 把下列各式分解因式：
=5(5x-1)=3x(x2-x-3)=2c(4a2+b)=-2ab(2a2b2-3a+1)= (x-y)(a-b) =a(x-y)+b(y-x)=a(x-y)-b(x-y)练一练：1、确定公因式的方法：
(1)、公因式的系数是多项式各项系数的最大公因数。
(2)、字母取多项式各项中都含有的相同的字母。
(3)、相同字母的指数取各项中最小的一个，即最低次幂小结2、提取公因式法分解因式当ｎ为奇数时
当ｎ为偶数时３、整体的思想拓展提高：1、分解因式计算（-2）101+（-2）100
2、利用简便方法计算：
4.3x199.8+0.76x1998-1.9x199.8
3、已知a+b=3,ab=2,求代数式
a2 b + 2 a2 b2 +a b2的值.
4、把 9am+1 –21 am+7a m-1分解因式.5、填一填：（3） -24x3 –12x2 +28x =-4x（ ）6x2+3x-76、若多项式-6ab+18abx+24aby的一个因式是-6ab，那么另一个因式是（ ）
（A）-1-3x+4y （B）1+3x-4y
（C）-1-3x-4y （D）1-3x-4yD7、若多项式(a+b)xy+(a+b)x要分解因式,则要提的公因式是 .(a+b)x课件25张PPT。
大云十字路口平面图如下，现镇政府打算在这个环形建一个绿化带，请你计算一下它的面积是多少？怎样计算比较简单？7.5m5.5m?把如图卡纸剪开，拼成一张长方形卡纸，作为一幅精美剪纸衬底，怎么剪？你能给出数学解释吗？ a-b a-b b a-b a2-b2(a+b)(a-b)=你会剪吗 两数的平方差等于两数的和与两数差的积。 比一比：两个数的和与两个数的差的乘积，等于这两个数的平方差。两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的乘积.平方差公式：说一说：（１）公式左边：（是一个将要被分解因式的多项式）★被分解的多项式含有两项，且这两项异号，并且能写成（ ）２－（ ）２的形式。(2) 公式右边:（是分解因式的结果）★分解的结果是两个底数的和乘以两个底数的差的形式。a2-b2=(a + b)(a - b)
=(4a)2-12=(4a+1)(4a-1)下列多项式能否用平方差公式分解因式？说说你的理由。（1）4x2+y2 (2) 4x2-(-y)2
(3) -4x2-y2 (4) -4x2+y2
(5) a2-4 (6) a2+3能用平方差公式分解因式的多项式的特征：
1、由两部分组成；2、两部分符号相反；3、每部分都能写成某个式子的平方。
能能能不能不能不能运用a2-b2=(a+ b)(a- b)
例1:把下列各式分解因式：解:（1）原式=（2p)2-(mn)2= (2p+mn)(2p-mn)说明:公式中的a、b可以是单项式(数字、字母)、还可以是多项式.分解因式最后结果中如果有同类项，一定要合并同类项。小试牛刀（3）原式 =[(x+z)+(y+z)][(x+z)- (y+z)] =(x+y+2z)(x-y) =(x+z+y+z)(x+z- y-z) (1)-m2n2+4p2 (2) x2 - y2 (3)(x+z)2-(y+z)2（2）原式 =( x)2 –( y)2
=( x+ y)( x- y)1.判断下列利用平方差公式分解因式是否正确,不对,请改正(3) -9+4x2=(2x-3)(2x+3)(2) -a4+b2=(a2+b)(a2-b) (5) a2-(b+c)2=(a+b+c)(a-b+c)(6) s2-t2=(-s+t)(-s-t)××(b+a2)(b-a2)(a+b+c)(a-b-c)√√(s-t)(s+t)a2-b2=(a+b)(a-b)==[-(s-t)][-(s+t)](4) -1-x2=(1-x)(1+x)(1) x2-4y2=(x+4y)(x-4y)××(x+2y)(x-2y) 不能分解因式判断抢答题：=(4x+y) (4x －y)=(2k+5mn) (2k －5mn)2.把下列各式分解因式：a2 － b2= (a ＋ b) (a － b) 看谁快又对= (a+8) (a －8)当场编题，考考你！参照对象：结论：
公式中的a、b无论表示数、单项式、还是多项式，只要被分解的多项式能转化成平方差的形式，就能用平方差公式因式分解。ma+mb=m(a+b) m是各项的公因式
a2-b2=(a+b)(a-b)知识加油站合作学习例2. 分解因式4x3y-9xy3(2)提取公因式后,多项式还能继续分解因式吗?4x3y-9xy3=xy(4x2-9y2)4x3y-9xy3=xy (4x2-9y2)=xy(2x+3y)(2x-3y)(1)能分解因式吗?用什么方法?[注意]: 1.一般地,因式分解时有公因式先提公因式
2.因式分解时要分解彻底。正确率+速度=效率(2) 0.01s2-t2(1) 16-a2(4) -1+9x2(5) (a-b)2-(c-b)2(6) -(x+y)2+(x-2y)2解:原式=(4+a)(4-a)解:原式=(0.1s+t)(0.1s-t)解:原式=(3x-1)(3x+1)解:原式=(a-c)(a+c+2b)解:原式=-3y(2x-y)a2-b2=(a+b)(a-b)做一做平方差公式:a2-b2 =(a+b)(a-b) 把下列各式分解因式
① x4 - 81y4 ② 2a3 - 8a
1.解:原式= (x2+ 9y2) (x2- 9y2)
= (x2+ 9y2) (x+ 3y) (x- 3y)2.解:原式=2a(a2- 4)
=2a(a+2)(a-2)挑战极限合作探究 (1)能提取公因式。
993-99 =99(992-1) （2）还能继续分解
993-99=99(99+1)(99-1)
=99x100x98解： 4x3y-9xy3
=xy(4x2-9y2)
=xy[(2x)2-(3y)2]
=xy(2x+3y)(2x-3y)
结论：
993-99能被100整除。 记得要提取公因式！数学医院诊断分析：
公式理解不准确，不能很好的把握公式中的项， 4x2–y2中4x2 相当于a2 ,则2x相当于“a”.诊断分析：
综合运用提取公因式，公式法公解因式时，提公因式后，另一个因式还可以继续分解，同学们千万要注意分解完毕后对结果进行检查，看是否分解彻底了。正确分解：4x2–y2=(2x+y)(2x-y )= (x2+y2) (x+y)(x-y )问题在哪里？=4 (3a+2b)(a+3b)补充分解：体会.分享说说你这节课的收获和体验让大家与你分享吧!分解因式的步骤：
(1)优先考虑提取公因式法
(2)其次看是否能用公式法
（如平方差公式）
(3)务必检查是否分解彻底了
大显身手1.分解因式：
（1）4x3-x
( 2 ) a4-81
（3）(3x－4y）2－（4x+3y）2
（4）16（3m－2n）2－25（m－n）2
?
2、计算
（1）9992－9982
（2）25 × 2652－1352 × 25拓展提高3、若n为整数，则（2n＋1)2－(2n－1)2能被
8整除吗?请说明理由.4. 运用本节所学的知识，把9991分解成两个
整数的积.5、计算 (1－ 1/22 ) ·(1 －1/32 ) ·(1 －1/42) …
(1 －1/20052 ) ·(1 －1/20062 )的值,
从中你可以发现什么规律? 从前有一位张老汉向地主租了一块 “十字型”土地（尺寸如图）。为便于种植，他想换一块相同面积的长方形土地。 同学们，你能帮助张老汉算出这块长方形土地的长和宽吗？ 学以致用通过本节课的学习,你有哪些收获?小结与反思分解因式的步骤：
(1)优先考虑提取公因式法
(2)其次看是否能用公式法 （如平方差公式）
(3)务必检查是否分解彻底了1、作业本6.3
2、课内作业作业： 在日常生活中如上网等都需要密码.
有一种因式分解法产生的密码方便记忆又不易破译.
例如用多项式x4-y4因式分解的结果来设置密码, 当取x=9,y=9时,可得一个六位数的密码“018162”.你想知道这是怎么来的吗?小明选用多项式4x3-xy2，取x=10,y=10时。用上述方法产生的密码是什么?(写出一个即可)知识探究大显身手 杭州湾跨海大桥打下的一根用特殊材料制成的桩管
(横截面如图所示),它的外半径为R米,内半径为r米.已知外半径与内半径和为2米,外半径与内半径差为0.3米,
求横截面面积(结果保留 )Rr英国数学家狄摩根在青年时代,曾有人他:“今年多大年龄？”狄摩根想了想说：“今年，我的年龄和我弟弟年龄的平方差是141，你能算出我的年龄和我弟弟的年龄吗？”假设狄摩根的年龄为x岁，他弟弟的年龄为 y岁，你能算出他们的年龄吗？拓展训练:再 见课件19张PPT。4.3用乘法公式分解因式（2）辨析真伪求新知!上节课后老师布置了作业，要求把下列各式分解因式。小刚的答案如下，请你们先来改改看，好吗？ ？一“提”二“套”三“检验”套平方差公式提公因式现在我们把完全平方公式反过来，可得：完全平方公式：加上（或减去）和（或差）类比旧知探新知!积的两倍语言表述： 两个数的平方和，加上（或减去）这两个数的积的两倍，等于这两数和（或者差）的平方．形如 的多项式称为完全平方式.如：222是a表示2y，
b表示1否否否是a表示2y，
b表示3x是a表示(a+b)，
b表示1填一填多项式a表示x，
b表示3是抢答： 请在下列单项式中任选其中三个,作为一个多项式的三项,构造出一个完全平方式:
以同桌为单位，进行交流，判断正确与否？如果不妥试着加以纠正。聪明才智共 式编a2, 4b2, ab, a2b2, 4ab, 4, -4a分解因式：例1：判断一个多项式是不是一个完全平方式是用完全平方公式分解因式的关键。辨析真伪求新知!上节课后老师布置了作业，要求把下列各式分解因式。小刚的答案如下，请你先来改改看，好吗？ ？分解因式：练一练：分解因式： 一路下来，我们看过我们听过，我们想过我们做过，我对过我错过，有过激烈的争议也有过意外的收获，亲爱的同学们，你想说些什么吗？你说我讲共交流学而时习之,不亦悦乎因式分解的几种方法：（１）提取公因式法：（２）公式法：一“提”、二“套”、三“检验”闯关一闯关二闯关三闯关四闯关五温馨提示：闯关越后越有挑战性哦！敢挑战吗？祝你成功！闯关一闯关二闯关三闯关四温馨提示：闯关越后越有挑战性哦！敢挑战吗？祝你成功！真棒！闯关五1.下面因式分解对吗？为什么？2.按照完全平方公式填空：3.你能用口算求出
20052-4010× 2003+20032 的值吗？4、如果x2+mxy+9y2是一个完全平方式，那么m的值为（ ）
A、6 B、±6 C、3 D、±3 B5、我们知道4x2+1不是完全平方式，有没有合适的项，你能给它补成完全平方式吗？
