浙江省2021—2022学年浙教版数学七年级下册 第1章 平行线 期末考试专题练 （word版、含解析）

2022年浙江省七年级下册数学期末考试专题练-第1章《平行线》（2）
一．选择题（共13小题）
1．（2021春 西湖区期末）如图，AB∥DE，BC⊥CD，则以下说法中正确的是（　　）
A．α，β的角度数之和为定值
B．α随β增大而增大
C．α，β的角度数之积为定值
D．α随β增大而减小
2．（2021 宁波模拟）如图，所有角均为直角，所有线段均不相等，若要知道该图形周长，至少需要知道几条线段的长（　　）
A．3条 B．4条 C．5条 D．6条
3．（2021春 奉化区校级期末）如图所示，直线a∥b，直线c与直线a，b分别交于点D，E，射线DF⊥直线c，若∠1＝32°，则∠2的度数是（　　）
A．67° B．48° C．32° D．58°
4．（2021春 奉化区校级期末）下列说法正确的有（　　）
①两条直线被第三条直线所截，内错角相等
②平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
③平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线平行
④相等的角是对顶角
⑤点A为直线a外一点，点B是直线a上一点，点A到直线a的距离为5，则AB的长度不小于5
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．（2021春 奉化区校级期末）如图，已知长方形纸片ABCD，点E，H在AD边上，点F，G在BC边上，分别沿EF，GH折叠，使点B和点C都落在点P处，若∠FEH+∠EHG＝118°，则∠FPG的度数为（　　）
A．54° B．55° C．56° D．57°
6．（2021春 奉化区校级期末）如图，在三角形ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3cm，AC＝4cm，把三角形ABC沿着直线BC向右平移2.5cm后得到三角形DEF，连接AE，AD，有以下结论：①AC∥DF； ②AD∥CF； ③CF＝2.5cm；④DE⊥AC．其中正确的结论有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
7．（2021春 东阳市期末）如图，直线a、b被直线c所截，与∠1是同位角的（　　）
A．∠2 B．∠3 C．∠4 D．∠5
8．（2021春 奉化区校级期末）如图，l1∥l2∥l3，∠1，∠2，∠3如图所示，则下列各式正确的是（　　）
A．∠3＝∠1+∠2 B．∠2+∠3﹣∠1＝90°
C．∠1﹣∠2+∠3＝180° D．∠2+∠3﹣∠1＝180°
9．（2021春 奉化区校级期末）含30°角的直角三角板与直线a，b的位置关系如图所示，已知a∥b，∠1＝35°．则∠ADC的度数是（　　）
A．35° B．45° C．55° D．65°
10．（2021春 奉化区校级期末）如图，在墙面上安装某一管道需经两次拐弯，拐弯后的管道与拐弯前的管道平行．若第一个弯道处∠B＝142°，则第二个弯道处∠C的度数为（　　）
A．38° B．142° C．152° D．162°
11．（2021春 奉化区校级期末）下面图形中，∠1和∠2是同位角的是（　　）
A．①② B．①③ C．②③ D．②④
12．（2021春 奉化区校级期末）如图，小敏在作业中的一道题：如图1，直线a，b所成的角跑到画板外面去了，你有什么办法量出这两条直线所成的角的度数？小敏的做法是：如图2，画PC∥a，量出直线b与PC的夹角度数，即直线a，b所成角的度数．其依据是（　　）
A．两直线平行，同位角相等
B．同旁内角互补，两直线平行
C．内错角相等，两直线平行
D．同位角相等，两直线平行
13．（2021春 奉化区校级期末）如图，E在线段BA的延长线上，∠EAD＝∠D，∠B＝∠D，EF∥HC，连FH交AD于G，∠FGA的余角比∠DGH大16°，K为线段BC上一点，连CG，使∠CKG＝∠CGK，在∠AGK内部有射线GM，GM平分∠FGC，则下列结论：①AD∥BC；②GK平分∠AGC；③∠E+∠EAG+∠HCK＝180°；④∠MGK的角度为定值且定值为16°，其中正确结论的个数有（　　）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
二．填空题（共9小题）
14．（2021春 慈溪市期末）如图，在三角形ABC中，BC＝6，把三角形ABC沿射线AB方向平移3个单位至三角形EFG处，EG与BC交于点M．若CM＝2，则图中阴影部分的面积为 　 　．
15．（2021春 萧山区期末）如图，将长为acm（a＞2），宽为bcm（b＞1）的长方形ABCD先向右平移2cm，再向下平移1cm，得到长方形A′B′C′D′，则阴影部分的面积为 　 　cm2．（用含a、b的代数式表示，结果要求化成最简）
16．（2021春 镇海区校级期末）如图，已知DE∥BC，CD是∠ACB的平分线，∠A＝60°，∠B＝76°，则∠EDC的度数为 　 　．
17．（2021春 西湖区期末）如图①，将长方形纸带沿EF折叠，∠AEF＝70°，再沿GH折叠成图②，则图②中∠EHB'＝　 　．
18．（2021春 奉化区校级期末）如图，线段AB＝CD，AB与CD相交于点O，且∠AOC＝60°，CE是由AB平移所得，则AC+BD与AB的大小关系是　 　．
19．（2021春 滨江区校级期末）如图a，已知长方形纸带ABCD，将纸带沿EF折叠后，点C、D分别落在H、G的位置，再沿BC折叠成图b，若∠DEF＝72°，则∠GMN＝　 　°．
20．（2021春 奉化区校级期末）图1是一盏可折叠台灯．图2为其平面示意图，底座AO⊥OE于点O，支架AB，BC为固定支撑杆，∠A是∠B的两倍，灯体CD可绕点C旋转调节．现把灯体CD从水平位置旋转到CD′位置（如图2中虚线所示），此时，灯体CD′所在的直线恰好垂直支架AB，且∠BCD﹣∠DCD′＝126°，则∠DCD′＝　 　．
21．（2021春 奉化区校级期末）如图，已知AM∥CN，点B为平面内一点，AB⊥BC于B，过点B作BD⊥AM于点D，点E、F在DM上，连接BE、BF、CF，BF平分∠DBC，BE平分∠ABD，若∠FCB+∠NCF＝180°，∠BFC＝3∠DBE，则∠EBC的度数为　 　．
22．（2021春 奉化区校级期末）如图，C为∠AOB的边OA上一点，过点C作CD∥OB交∠AOB的平分线OE于点F，作CH⊥OB交BO的延长线于点H，若∠EFD＝α，现有以下结论：①∠COF＝α；②∠AOH＝180°﹣2α；③CH⊥CD；④∠OCH＝2α﹣90°．其中正确的是　 　（填序号）．
三．解答题（共10小题）
23．（2021春 上城区期末）如图，政府规划由西向东修一条公路．从A修至B后为了绕开村庄，改为沿南偏东25°方向修建BC段，在C处又改变方向修建CD段，测得∠BCD＝70°，在D处继续改变方向，朝与出发时相同的方向修至E．
（1）补全施工路线示意图，求∠CDE的度数；
（2）原计划在AB的延长线上依次修建两个公交站M，N（均在CD右侧），连结DM和MN，求∠CDM与∠DMN的数量关系．
24．（2021春 乐清市期末）如图，BF交DE于点C，DE∥AB，∠ABC＝∠ADC．
（1）AD与BF平行吗？请说明理由．
（2）若BD平分∠ABC，且∠1+∠2＝110°，求∠DCF的度数．
25．（2021春 浦江县期末）如图，已知AB∥CD，AD∥BE，点C在线段BE上，∠BAE＝87°，∠E＝20°，AE与CD交于点F．
（1）求∠ADC的度数；
（2）连结BF，若∠AFB：∠BFC＝1：2，求∠FBC的度数．
26．（2021春 北仑区期末）如图，点O在直线AB上，OC⊥OD，∠D与∠1互余，F是DE上一点，连接OF．
（1）ED是否平行于AB，请说明理由；
（2）若OD平分∠BOF，∠OFD＝70°，求∠1的度数．
27．（2021春 椒江区期末）如图：BD平分∠ABC，F在AB上，G在AC上，FC与BD相交于点H．∠GFH+∠BHC＝180°，求证：∠1＝∠2．
证明：∵∠BHC＝∠FHD，∠GFH+∠BHC＝180°，
∴∠GFH+∠FHD＝180°
∴FG平行BD
∴　 　
∵BD平分∠ABC，
∴　 　
∴∠1＝∠2
28．（2021春 慈溪市期末）如图，直线CD∥EF，点A，B分别在直线CD，EF上（自左至右分别为C，A，D和E，B，F），∠ABF＝60°．射线AM自射线AB的位置开始，绕点A以每秒1°的速度沿逆时针方向旋转，同时，射线BN自射线BE开始以每秒5°的速度绕点B沿顺时针方向旋转，当射线BN旋转到BF的位置时，两者停止运动．设旋转时间为x秒．
（1）如图1，直接写出下列答案：
①∠BAD的度数；
②射线BN过点A时的x的值．
（2）如图2，求当AM∥BN时的x的值．
（3）若两条射线AM和BN所在的直线交于点P．
①如图3，若P在CD与EF之间，且∠APB＝126°，求x的值．
②若x＜24，求∠APB的度数（直接写出用含x的代数式表示的结果）．
29．（2021春 江干区期末）已知AM∥BN，BD平分∠ABN交AM于点D，E为射线BA上的点，连接ED交BN于C，设∠ABD＝α．
（1）如图1，求∠ADB的度数（用α表示）；
（2）如图2，若F为AD上的点，∠EFD的平分线所在直线分别交BD、ED于点G、H，当HG∥BE时，求∠BEF的度数（用α表示）．
30．（2021春 拱墅区期末）如图，已知AB∥CD，EG平分∠BEF，FG平分∠EFD．
（1）若∠1＝50°，求∠2的度数；
（2）若EH平分∠AEF，判断EH，FG是否平行，并说明理由．
31．（2021春 拱墅区期末）如图，BD是∠ABC的角平分线，∠ABE+∠BCF＝180°．
（1）若∠ABC＝80°，求∠BCF的值；
（2）求证：DE∥CF；
（3）若CB是∠ACF的角平分线，∠ADB＝k∠ABD，求k的值．
32．（2021春 西湖区期末）已知点C在射线OA上．
（1）如图①，CD∥OE，若∠AOB＝90°，∠OCD＝120°，求∠BOE的度数；
（2）在①中，将射线OE沿射线OB平移得O′E'（如图②），若∠AOB＝α，探究∠OCD与∠BO′E′的关系（用含α的代数式表示）；
（3）在②中，过点O′作OB的垂线，与∠OCD的平分线交于点P（如图③），若∠CPO′＝90°，探究∠AOB与∠BO′E′的关系．
2022年浙江省七年级下册数学期末考试专题练-第1章《平行线》（2）
参考答案与试题解析
一．选择题（共13小题）
1．【解答】解：过C点作MF∥AB，
∵AB∥DE，
∴MF∥DE，
∴∠α＝∠BCM，∠β+∠DCM＝180°，
∵BC⊥CD，
∴∠BCD＝90°，
∴∠BCM+∠DCM＝360°﹣∠BCD＝270°，
∴∠α+（180°﹣∠β）＝270°，
∴∠α﹣∠β＝90°，
∴α随β增大而增大，
故选：B．
2．【解答】解：如图：
若要知道该图形周长，至少需要知道4条线段的长：BC、AB，IJ，EF，
∵BC＝AL+KJ+IH+GF+DE，AB＝LK+KK′＝LK+CC′，IJ＝HG+GG′＝HG+C′D′，EF＝DD′，
∴只要知道BC、AB，IJ，EF4条线段的长，就能知道该图形周长．
故选：B．
3．【解答】解：
∵a∥b，
∴∠2＝∠3，
∵DF⊥直线c，
∴∠FDE＝∠1+∠3＝90°，
∵∠1＝32°，
∴∠3＝90°﹣32°＝58°，
∴∠2＝58°．
故选：D．
4．【解答】解：①两直线不一定平行，故错误；
②平行公理，故正确；
③必须是过直线外一点，故错误；
④相等的角不一定是对顶角，故错误；
⑤垂线段最短，故正确．
故选：B．
5．【解答】解：∵四边形ABCD是长方形，
∴AD∥BC，
∴∠FEH＝∠BFE，∠EHG＝∠CGH，
∴∠BFE+∠CGH＝∠FEH+∠EHG＝118°，
由折叠可知：
EF，GH分别是∠BFP和∠CGP的角平分线，
∴∠PFE＝∠BFE，∠PGH＝∠CGH，
∴∠PFE+∠PGH＝∠BFE+∠CGH＝118°，
∴∠BFP+∠CGP＝2（∠BFE+∠CGH）＝236°，
∴∠PFG+∠PGF＝360°﹣（∠BFP+∠CGP）＝360°﹣236°＝124°，
∴∠FPG＝180°﹣（∠PFG+∠PGF）＝180°﹣124°＝56°．
故选：C．
6．【解答】解：∵△ABC沿着直线BC的方向平移2.5cm后得到△DEF，
∴AC∥DF，故①正确；
AD∥CF，故②正确；
CF＝AD＝2.5cm，故③正确；
AB∥DE，
又∵∠BAC＝90°，
∴BA⊥AC，
∴DE⊥AC，故④正确；
故选：D．
7．【解答】解：A、∠2与∠1是同位角，故本选项符合题意；
B、∠3与∠1不是同位角，故本选项不符合题意；
C、∠4与∠1是同位角，故本选项不符合题意；
D、∠5与∠1不是同位角，故本选项不符合题意；
故选：A．
8．【解答】解：∵l1∥l2∥l3，
∴∠1＝∠2+∠4，∠4+∠3＝180°，
∴∠1﹣∠2+∠3＝180°，
故选：C．
9．【解答】解：∵a∥b，
∴∠BDC＝∠1＝35°．
又∵∠ADB＝90°，
∴∠ADC＝90°﹣35°＝55°．
故选：C．
10．【解答】解：如图所示：
∵拐弯后的管道与拐弯前的管道平行，
∴AB∥CD，
∴∠B＝∠C，
又∵∠B＝142°，
∴∠C＝142°，
故选：B．
11．【解答】解：根据同位角的定义，可得图①中，∠1与∠2在两直线的同侧，并且在第三条直线（截线）的同旁，故是同位角，
而图③中，∠1与∠2是两条直线被第三条直线所截形成的同位角．
故选：B．
12．【解答】解：根据两直线平行，同位角相等得到直线a和直线b的夹角与直线b和直线PC的夹角相等．
故选：A．
13．【解答】解：∵∠EAD＝∠D，∠B＝∠D，
∴∠EAD＝∠B，
∴AD∥BC，故①正确；
∴∠AGK＝∠CKG，
∵∠CKG＝∠CGK，
∴∠AGK＝∠CGK，
∴GK平分∠AGC；故②正确；
延长EF交AD于P，延长CH交AD于Q，
∵EF∥CH，
∴∠EPQ＝∠CQP，
∵∠EPQ＝∠E+∠EAG，
∴∠CQG＝∠E+∠EAG，
∵AD∥BC，
∴∠HCK+∠CQG＝180°，
∴∠E+∠EAG+∠HCK＝180°；故③正确；
∵∠FGA的余角比∠DGH大16°，
∴90°﹣∠FGA﹣∠DGH＝16°，
∵∠FGA＝∠DGH，
∴90°﹣2∠FGA＝16°，
∴∠FGA＝∠DGH＝37°，
设∠AGM＝α，∠MGK＝β，
∴∠AGK＝α+β，
∵GK平分∠AGC，
∴∠CGK＝∠AGK＝α+β，
∵GM平分∠FGC，
∴∠FGM＝∠CGM，
∴∠FGA+∠AGM＝∠MGK+∠CGK，
∴37°+α＝β+α+β，
∴β＝18.5°，
∴∠MGK＝18.5°，故④错误，
故选：B．
二．填空题（共9小题）
14．【解答】解：∵三角形ABC沿射线AB方向平移3个单位至三角形EFG，
∴FG＝BC＝6，BF＝3，△ABC≌△EFG，
∴S△ABC＝S△EFG，
即S四边形AEMC+S△EBM＝S△EBM+S梯形BFGM，
∴S四边形AEMC＝S梯形BFGM（6﹣2+6）×3＝15．
故答案为15．
15．【解答】解：由题意，空白部分是矩形，长为（a﹣2）cm，宽为（b﹣1）cm，
∴阴影部分的面积＝ab×2﹣2（a﹣2）（b﹣1）＝（4b+2a﹣4）cm2，
故答案为：（4b+2a﹣4）．
16．【解答】解：∵△ABC中，∠A＝60°，∠B＝76°，
∴∠ACB＝180°﹣60°﹣76°＝44°．
∵CD是∠ACB的平分线，
∴∠BCD∠ACB＝22°．
∵DE∥BC，
∴∠EDC＝∠BCD＝22°．
故答案为：22°．
17．【解答】解：由折叠性质得到，∠AEF＝∠GEF＝70°，
∴∠AEG＝∠AEF+∠GEF＝140°，
∴∠GEH＝180°﹣140°＝40°，
∵EG∥B′H，
∴∠EHB′＝∠GEH＝40°，
故答案为：40°．
18．【解答】解：由平移的性质知，AB与CE平行且相等，
∴四边形ACEB是平行四边形，BE＝AC，
当B、D、E不共线时，
∵AB∥CE，∠DCE＝∠AOC＝60°，
∴AB＝CE，AB＝CD，
∴CE＝CD，
∴△CED是等边三角形，
∴DE＝AB，
根据三角形的三边关系知：BE+BD＝AC+BD＞DE＝AB，
即AC+BD＞AB．
当D、B、E共线时，AC+BD＝AB．
故答案为：AC+BD≥AB．
19．【解答】解：∵AD∥CB，
∴∠EFC+∠DEF＝180°，∠EFB＝∠DEF，
即∠EFC＝180°﹣72°＝108°，∠EFB＝72°，
∴∠BFH＝108°﹣72°＝36°．
∵∠H＝∠D＝90°，
∴∠HMF＝180°﹣90°﹣36°＝54°．
由折叠可得：∠NMF＝∠HMF＝54°，
∴∠GMN＝72°．
故答案为：72．
20．【解答】解：延长OA交CD于点F，延长D'C交AB于点G，
∵CD∥OE，
∴OA⊥CD，
∵AO⊥OE，D'C⊥AB，
∴∠AGC＝∠AFC＝90°，
∴∠GCF+∠GAF＝180°，
∵∠DCD'+∠GCF＝180°，
∴∠DCD'＝∠GAF，
∴∠BAO＝180°﹣∠DCD'，
∴∠B（180°﹣∠DCD'），
∵∠BCD﹣∠DCD'＝126°，
∴∠BCD＝∠DCD'+126°，
在四边形ABCF中，有∠GAF+∠B+∠BCD+∠AFC＝360°，
∴∠DCD'（180°﹣∠DCD'）+∠DCD'+126°+90°＝360°，
解得：∠DCD'＝36°，
故答案为：36°．
21．【解答】解：过点B作BG∥AM，如图：
∵BD⊥AM，
∴∠ABD+∠BAD＝90°，DB⊥BG，即∠ABD+∠ABG＝90°，
又∵AB⊥BC，
∴∠CBG+∠ABG＝90°，
∴∠ABD＝∠CBG，
∵BF平分∠DBC，BE平分∠ABD，
∴∠DBF＝∠CBF，∠DBE＝∠ABE，
∴∠ABF＝∠GBF，
设∠DBE＝α，∠ABF＝β，则
∠ABE＝α，∠ABD＝2α＝∠CBG，∠GBF＝β＝∠AFB，∠BFC＝3∠DBE＝3α，
∴∠AFC＝3α+β，
∵∠AFC+∠NCF＝180°，∠FCB+∠NCF＝180°，
∴∠FCB＝∠AFC＝3α+β，
△BCF中，由∠CBF+∠BFC+∠BCF＝180°，可得
（2α+β）+3α+（3α+β）＝180°，①
由AB⊥BC，可得
β+β+2α＝90°，②
由①②联立方程组，解得α＝15°，
∴∠ABE＝15°，
∴∠EBC＝∠ABE+∠ABC＝15°+90°＝105°．
故答案为：105°．
22．【解答】解：∵CD∥OB，∠EFD＝α，
∴∠EOB＝∠EFD＝α，
∵OE平分∠AOB，
∴∠COF＝∠EOB＝α，故①正确；
∠AOB＝2α，
∵∠AOB+∠AOH＝180°，
∴∠AOH＝180°﹣2α，故②正确；
∵CD∥OB，CH⊥OB，
∴CH⊥CD，故③正确；
∴∠HCO+∠HOC＝90°，∠AOB+∠HOC＝180°，
∴∠OCH＝2α﹣90°，故④正确．
故答案为①②③④．
三．解答题（共10小题）
23．【解答】解：（1）补全施工路线如图1所示．过C作l⊥AB的延长线于G，过D作直线m⊥AB的延长线于H，
则l∥m，
根据平行线的性质可得：∠BCG＝25°，∠CDH＝∠GCD＝70°﹣∠BCG＝70°﹣25°＝45°，
又∠HDE＝90°，
∴∠CDE＝∠CDH+∠HDE＝45°+90°＝135°．
（2）如图1所示，
设∠DMN＝x，∠CDM＝y，
由于DE∥FN，
∴∠EDM＝180°﹣∠DMN＝180°﹣x，
又∠CDM＝y＝∠CDE﹣∠EDM＝135°﹣（180°﹣x）＝x﹣45°，
则x﹣y＝45°，
即∠DMN﹣∠CDM＝45°．
24．【解答】解：（1）AD∥BF，理由如下：
∵DE∥AB，
∴∠ABC＝∠BCE，
∵∠ABC＝∠ADC，
∴∠BCE＝∠ADC，
∴AD∥BF．
（2）∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠1∠ABC，
∵DE∥AB，
∴∠DCF＝∠ABC＝2∠1，
∵∠1+∠2＝110°，∠DCF+∠2＝180°，
∴∠1＝70°，
∴∠DCF＝140°．
25．【解答】解：（1）∵AD∥BE，∠E＝20°，
∴∠DAE＝∠E＝20°，
∵∠BAE＝87°，
∴∠BAD＝107°，
∵AB∥CD，
∴∠ADC＝73°；
（2）∵∠AFC＝∠DAE+∠D＝93°，
又∵∠AFB：∠BFC＝1：2，
∴∠AFB＝31°，
∴∠FBC＝∠AFB﹣∠E＝11°．
26．【解答】解：（1）ED∥AB，理由如下：
∵∠D与∠1互余，
∴∠D+∠1＝90°，
∵OC⊥OD，
∴∠COD＝90°，
∴∠D+∠1+∠COD＝180°，
∴∠D+∠AOD＝180°，
∴ED∥AB；
（2）解：∵ED∥AB，
∴∠BOF+∠OFD＝180°，
∵∠OFD＝70°，
∴∠BOF＝110°，
∵OD平分∠BOF，
∴∠BOD∠BOF＝55°，
∴∠1＝180°﹣∠COD﹣∠BOD＝180°﹣90°﹣55°＝35°．
27．【解答】证明：∵∠BHC＝∠FHD，∠GFH+∠BHC＝180°，
∴∠GFH+∠FHD＝180°．
∴FG∥BD．
∴∠1＝∠ABD．
∵BD平分∠ABC，
∴∠2＝∠ABD
∴∠1＝∠2．
故答案为：∠1＝∠ABD；∠2＝∠ABD．
28．【解答】解：（1）①∵CD∥EF，∠ABF＝60°，
∴∠ABF+∠BAD＝180°．
∴∠BAD＝180°﹣∠ABF＝180°﹣60°＝120°．
②∵当射线BN旋转到BF的位置时，两者停止运动，
∴当x＝180°÷5°＝36时，两者停止运动．
此时，射线AM在∠BAD的内部．
由题意知：0≤x≤36．
∵∠ABE+∠ABF＝180°，
∴∠ABE＝180°﹣∠ABF＝180°﹣60°＝120°．
当射线BN旋转到BA所在直线时，则射线BN过点A．
∴射线BN旋转的角度为120．
∴（5x）°＝120°．
∴x＝24（符合题意）．
（2）当AM∥BN时，∠NBA＝∠MAB．
∴∠EBA﹣∠EBN＝∠MAB．
∴120°﹣5° x＝1° x．
∴x＝20（符合题意）．
（3）①若P在CD与EF之间，则x＞24．
由题意可得：∠EBP＝（5x）°，∠BAP＝（1x）°＝x°，∠APB＝126°．
∴∠ABP＝∠EBP﹣∠EBA＝（5x）°﹣120°．
又∵∠ABP+∠BAP+∠APB＝180°，
∴（5x）°﹣120°+x°+126°＝180°．
∴x＝29（符合题意）．
②如图4，当0＜x＜20时，∠APB＝120°﹣6°x，
如图5，当20＜x＜24时，∠APB＝6°x﹣120°．
29．【解答】解：（1）∵BD平分∠ABN，∠ABD＝α，
∴∠ABD＝∠DBC＝α，
又∵AM∥BN，
∴∠ADB＝∠DBC＝α；
（2）∵BD平分∠ABN，∠ABD＝α，
∴∠ABC＝2∠ABD＝2α，
∵AM∥BN，
∴∠ABC＝∠EAF＝2α，
∵GH∥BE，
∴∠BEF＝∠HFE，
∵FH平分∠EFD，
∴∠EFD＝2∠EFH，
又∵∠EFD＝∠EAF+∠BEF，
∴2∠BEF＝2α+∠BEF，
∴∠BEF＝2α．
30．【解答】解：（1）∵AB∥CD，
∴∠BEF+∠EFD＝180°，
∵EG平分∠BEF，FG平分∠EFD，
∴∠1∠BEF，∠2∠EFD，
∴∠1+∠2（∠BEF+∠EFD）＝90°，
∵∠1＝50°，
∴∠2＝40°；
（2）EH∥FG，理由如下：
∵AB∥CD，
∴∠AEF＝∠EFD，
∵FG平分∠EFD，EH平分∠AEF，
∴∠EFG∠EFD，∠HEF∠AEF，
∴∠EFG＝∠HEF，
∴EH∥FG．
31．【解答】（1）解：∵∠ABE+∠ABD＝180°，∠ABE+∠BCF＝180°，
∴∠ABD＝∠BCF，
∵BD是∠ABC的角平分线，∠ABC＝80°，
∴∠ABD∠ABC＝40°，
∴∠BCF＝40°．
（2）证明：∵∠ABE+∠ABD＝180°，∠ABE+∠BCF＝180°，
∴∠ABD＝∠BCF，
∵BD是∠ABC的角平分线，
∴∠ABD＝∠DBC，
∴∠DBC＝∠BCF，
∴DE∥CF．
（3）解：由（2）知，DE∥CF，
∴∠ADB＝∠ACF，
∵CB是∠ACF的角平分线，
∴∠ACF＝2∠BCF，
∴∠ADB＝2∠BCF，
由（1）知∠ABD＝∠BCF，
∴∠ADB＝2∠ABD，
∵∠ADB＝k∠ABD，
∴k＝2．
32．【解答】解：（1）∵CD∥OE，
∴∠AOE＝∠OCD＝120°，
∴∠BOE＝360°﹣∠AOE﹣∠AOB＝360°﹣90°﹣120°＝150°；
（2）∠OCD+∠BO′E′＝360°﹣α．
证明：如图②，过O点作OF∥CD，
∵CD∥O′E′，
∴OF∥O′E′，
∴∠AOF＝180°﹣∠OCD，∠BOF＝∠E′O′O＝180°﹣∠BO′E′，
∴∠AOB＝∠AOF+∠BOF＝180°﹣∠OCD+180°﹣∠BO′E′＝360°﹣（∠OCD+∠BO′E′）＝α，
∴∠OCD+∠BO′E′＝360°﹣α；
（3）∠AOB＝∠BO′E′．
证明：∵∠CPO′＝90°，
∴PO′⊥CP，
∵PO′⊥OB，
∴CP∥OB，
∴∠PCO+∠AOB＝180°，
∴2∠PCO＝360°﹣2∠AOB，
∵CP是∠OCD的平分线，
∴∠OCD＝2∠PCO＝360°﹣2∠AOB，
∵由（2）知，∠OCD+∠BO′E′＝360°﹣α＝360°﹣∠AOB，
∴360°﹣2∠AOB+∠BO′E′＝360°﹣∠AOB，
∴∠AOB＝∠BO′E′．