浙教版数学七年级下册 阅读材料 实验与归纳推理 教案

实验与归纳推理 课型：新授课 课时：一课时 年级：七年级
一、教材分析
《实验与归纳推理》，是浙教版七年级下册第五章《分式》后的阅读材料，属于拓展和选学内容。本节课的主要内容是直线分圆实验，以此为载体，呈现实验和归纳推理的全过程.本节课的学习，对学生面临复杂问题时策略的形成以及学生归纳能力的培养都起着重要作用.
教学目标
知识技能：运用实验与归纳推理解决生活中的问题，掌握用表格整理数据，进行有序观察；
过程方法：经历实验方案的形成和操作过程，感受验证的必要性，渗透化归思想；
问题解决：培养从生活中抽象出数学问题的能力，经历从简单到复杂解决问题的过程，培养和发展通过观察数的特征，对数进行拆分得到猜想的能力；
情感态度：经历实验过程中思维的冲突，感受数学思考过程中的合理性和严谨性. 建立积极的面对未知生活的良好心态.
三、教学重难点
项目 教学重点 教学难点
内容 实验方案的形成和操作过程 会验证实验中得到的猜想
依据 教材编排以及本课的教学目标 学生的认知特点
四、教法学法
教法：
这节课主要将“启发思考 ”与“动手操作”相结合进行教学.围绕本节课内容，引导学生经历从动手实验直观感知，到观察数据形成猜想，最后验证归纳出规律的过程，学生积极参与，培养提出问题、分析问题、解决问题的能力.
学法：
让每一个学生积极参与课堂，在一个个思维冲突中推动知识的建构，通过“自主探究”、“合作交流”等方式，由“学会”变成“会学”和“乐学”，主动经历数学知识形成的过程.
五、教学过程
环节一 情境引入，激发兴趣
引入： 同学们，你们看过《奔跑吧，兄弟》吗？其中有一集是嘉宾穿越红外线网。红外线网把空间分得越细，游戏难度肯定越高吧？那么，怎样会最细呢？
【设计意图】从学生喜闻乐见的综艺节目入手，勾起学生兴趣，点燃课堂气氛.
抽象出数学问题：为了研究这个问题，我们先从简单的平面入手，如果把这扇门看成一个圆，假设这里有10条红外线，即10条直线，平面被分得最细就是分得的块数最多，那么我们的问题就是：10条直线最多能将圆分成几块？
【设计意图】将生活问题转化为数学问题，渗透建模思想，同时学生明确本节课要解决的问题，带着目的开始研究。
环节二 动手实验，制定规则
【活动一】从简单入手，两直线割圆.
请你在圆形纸片上画2条直线，看看能分成几块。
收集学生不同的画法并展示：
教师提问：2条的时候块数已经不一样，那么我们的问题的答案是不是就不唯一了？
学生活动：关注到必须研究“最多”。
教师提问：你觉得两条直线呈现怎样的位置关系，块数最多？后面两幅图中的直线相交吗？交点在哪里？
学生活动：观察直线的位置关系，刚开始可能只是觉得相交就最多，通过和后两幅图的比较，归纳出必须“两两相交于圆内”。
【设计意图】当问题是“10条”比较复杂时，学生会提出从简单的1条2条入手，从而形成实验的策略：“从简单到复杂”进行实验；当画出的块数不一样时，学生思维产生冲突，感受到研究“最多”的必要性；通过展示学生不同的画法，学生在比较中归纳出要想最多，交点必须在圆内。
【活动二】三条直线割圆，完善画法法则
加第3条直线，最多能分成几块？你准备在哪副图上加？为什么？
学生活动：选择在前面4块的基础上加，产生以下两种画法：
教师提问：同样都是两两相交于圆内，第二种情况为什么块数更多？
预设学生回答：和前两条形成两个交点。
学生活动：通过观察和比较同样都是两两相交，但块数不同的两种情况，发现为了得到“最多”要形成尽可能多的交点，即排除交点重合的情况。
小 结：1.为了得到最多，制定了画法规则：①两两相交于圆内②交点不重合
2.表格能帮助我们整理数据，更好的进行有序观察。
【设计意图】之所以强调“加”第三条直线，而不是画三条直线，目的是让学生加的时候有
所选择，在最多的基础上加，后面总是建立在前面画法的基础之上，同时也为后面的汉诺塔问题用“化归”方法解决做铺垫；学生感受到只用两条直线所归纳的画法规则太片面，需要进一步实验；在动手操作和观察比较中，学生主动完成了画法规则的制定。
环节三 发现规律，解决问题
【活动一】继续实验，产生猜想
学生活动：（投影实验单）展示实验过程：4条的时候，最多画出7块；5条的时候最多画出16块。
教师提问：你是怎么得到的？那6条呢？
预设学生回答：我是画出来的，6条太多了，画乱了。
教师提问：谁知道6条究竟能分成几块，你是怎么想的？
学生活动：（投影实验单）发现规律：
直线条数 最多块数
1 2=1+1
2 4=2+2
3 7=4+3
4 11=7+4
5 16=11+5
6 22=16+6
最后总结出：增加的块数=直线条数
教师总结：计算差值，对数进行拆分，他成功算出了6条时最多有22块。
【设计意图】学生通过画一画能数出4条、5条的情况，但6条产生了困难，“逼”着他们回头观察表格中的数据，从而形成了“增加的块数=直线条数”这一猜想；观察数据特征，对数进行拆分是捕捉数据规律的常用方法。
【活动二】验证猜想，归纳规律
教师追问：你能解释这个猜想的合理性吗？
学生活动：回到图形，还原数据形成的过程，通过画图规则进行解释。
预设学生回答：第3条加上去，和前两条有2个交点，截出3条新的线段，多了3块；第4条加上后，和前3条有3个交点，截出4条新的线段，多了4块。
教师提问：那么当加到第n条时，总块数怎么表示？
学生活动：直线条数 最多块数
1 2=1+1
2 4=2+2=1+1+2
3 7=4+3=1+1+2+3
4 11=7+4=1+1+2+3+4
……
当时，
教师提问：千金难买回头看，谁来帮我们梳理一下解决问题的全过程？
学生边回答教师边完善板书。
【设计意图】教师追问猜想的合理性，学生感受到因为实验的次数是有限的，通过观察数据得到的猜想必须进行验证；通过总结解决问题的全过程，进一步明晰运用实验与归纳推理解决数学问题的基本步骤。
环节四 学以致用，破解汉诺塔预言
观看汉诺塔的预言视频。
【活动一】提出问题，制定策略
提出问题：最快到底需要多少时间？假设一秒移动一次，最快就是意味着步数最少，那么我们的问题就是：从下到上由大到小的64片金片，最少需要几步移到另一根针上？
教师提问：怎么解决这个问题？就像前面的割圆问题，我们需要建立解决问题的大致框架，请小组合作，制定解决问题的具体步骤。
学生活动：小组讨论，填写实验单，投影实验单并分享制定的具体步骤：
①制定“最少步数”的规则②列表格，从简单到复杂进行实验③观察数据……
教师板书： 规则
块数 最少步数
1
2
3
……
【设计意图】学生观看汉诺塔的预言视频，一方面激起了对世界末日论的强烈好奇心，另一方面明确了操作的规定：一次只移动一片，不管在哪根柱上，小片必须在大片上面；通过小组合作，明晰了解决问题的大致框架，这既是对前面所学的回顾和巩固，也有利于后面实验的顺利开展。
【活动二】动手实验，归纳推理
每个小组发放一份汉诺塔。
学生活动：小组合作，动手实验，从简单入手，探究问题。
小组展示1：（生边电脑演示汉诺塔边说）当只有1片的时候，最少需要一步；当有2片的时候，最少需要3步；当有3片的时候，最少需要7步；当有4片的时候，操作过程遇到困难。
小组展示2：（生边实物演示汉诺塔边说）（预设）把前三片当做一个整体，把这个整体移到B柱需要7步,一步救出最底层，最后再把这个整体移回C柱，又需要7步，所以需要15步。
教师追问：在梵天的规定下，这样移一定是最少步数吗？为什么？
预设生回答：把4块的问题，转化成相对简单的3块的问题，再2块，2块这么移是最少的
了。这样递推下去……
教师提炼并板书：化归，这就是我们要寻找的操作规则！
进一步提问：5块呢？6快呢？他们之间有什么联系？64片的时候呢？
师：我们不妨回头观察数据，前面我们说到可以对数进行拆分，观察这串数的特征，你会怎么拆分呢？
学生观察并思考：
1
3
7=3+1+3
15=7+1+7
31=15+1+15
63=31+1+31
……
【设计意图】学生通过动手操作，容易得到3块时的最少步数，但4块时遇到困难，这个时候学生不得不思考策略，回顾操作原理发现只需关注最底下的那块，可以将前3块看做整体，把4块问题化归为3块的问题；教师追问这样操作是否一定最少，“逼”着学生思考操作原理后面的化归思想
【活动三】破解预言，珍惜当下
这个数到底等于多少呢？假如1秒移动一次，到底需要多少年，怎么计算？
=18 446 744 073 709 551 615
将一年折算成秒，除一除:
365.24×24×60×60=31 556 736秒
地球存在至今不过45亿年.看来5845亿年是个非常漫长的时间，世界一时半会还毁灭不了，让我们一起积极面对未知的生活！！享受数学带给我们的思维的激荡！！！
【设计意图】将“次”转化为“秒”，再折算成“年”，学生感受到末日来临之前还有一段非常漫长的时间，我们需要珍惜当下，更积极地面对生活,在高潮中结束课堂。
六、板书设计
实验与归纳推理
提出问题
规则
实验 表格 整理数据
（简单 复杂） 观察 数的特征 对数进行拆分
（化归思想）
猜想
验证
归纳 规律
应用