浙教版数学七年级下册 2.5 三元一次方程组及其解法(选学) 教案

《三元一次方程组及其解法》教学设计
课型：新授课 课时：一课时 年级：七年级
一、教材分析
《三元一次方程组及其解法》是浙教版七年级下册第二章《二元一次方程组》的选学内容.在此之前，学生已经学习了一元一次方程和二元一次方程组的解法及应用，已经具备了用消元法解方程组的基本技能，这节课主要引导学生通过类比学习，将三元一次方程组转化为二元一次方程组，再转化为一元一次方程去解决问题.
二、教学目标
1. 通过类比二元一次方程组的知识，学生了解三元一次方程组的概念并学会解简单的三元一次方程组.
2. 经历三元一次方程组解法归纳提炼的过程，学生认识在求解三元一次方程组时，关键在于观察方程特征，“优选消元对象”和“优选消元方法”，并进一步熟练“加减消元法”和“代入消元法”.
3. 经历三元一次方程组的求解过程，将未知转化为已知，学生感受类比思想和转化思想是探索新知识的重要方法.
4. 经历优化三元一次方程组解法的过程，学生体验整体思想在解方程组过程中的便利.
教学重点 教学难点
三元一次方程组的概念及其一般解法 优化三元一次方程组解法：根据方程的特征，选择恰当的消元对象和消元方法去解三元一次方程组
三、教学重难点
四、教法学法
教法：
这节课主要采用“启发式”与“探究式”的教学方法，并以多媒体教学的快捷和直观作为辅助来展开教学.围绕本节课的知识，引导学生经历从概念建立到解法归纳提炼的过程，学生积极参与，培养类比学习、分析、解决、优化问题的能力.
学法：
让每位学生都能参与课堂的知识构建，通过“合作学习”、“自主探究”等方式，充分调动学生学习积极性，做到真正动口、动手、动脑，高效并快乐地去体验数学活动过程.
五、教学过程
环节一 创设情境，引入三元
【情境引入】
利用学生实际生活问题作为引入，教师展示三幅图，并给出三个信息，学生根据信息，列出相关方程.
引入：我给大家带来了三筐球，这里都是篮球，个数我不知道，可以记为？足球个数记为？排球个数记为？
预设：学生体验将球的个数符号化的过程，设未知数x，y，z.
预设：根据信息1：列方程.
根据信息2：列方程.
根据信息3：列方程：.
提问：这是什么方程？
预设：二元一次方程.
回顾：二元代表2个未知数，一次代表含未知数项的次数是1次.
提问：这是什么方程？
预设：三元一次方程.
【概念引出】
在你眼里什么是三元一次方程？
预设：学生大脑回忆，类比二元一次方程概念，总结得到三元一次方程的概念.
小结：三元一次方程——“三元”即三个未知数，“一次”即含未知数项的次数为1次.
过渡：因为这三条方程都符合以上三条信息，我们可以将他们用大括号联立形成方程组： ,这方程组有什么特征？
预设：学生观察方程组特征，类比已学二元一次方程组的概念，总结出三元一次方程组的特征，含3个未知数，3条方程组成，含未知数的项次数都是一次.
小结：由三个一次方程组成，并且共含有三个未知数的方程组叫做三元一次方程组.
补充提问：是不是三元一次方程组的每一条方程都是三元一次方程？
小结：所以三元一次方程组中的方程并非每条方程都是三元一次方程.
引出课题：今天我们就来探究三元一次方程组及其解法.（板书课题:2.5三元一次方程组及其解法）
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设计意图：从学生熟悉的实际生活背景引入，教师引导学生观察每条方程的特征，再通过类比二元一次方程组，归纳得出三元一次方程组的概念，意在培养学生用类比思想方法探索新事物的能力，也为后续学习做铺垫.
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环节二 小组合作，探究解法
【活动探究】
通过类比二元一次方程组的解法，合作探究三元一次方程组的解法.
预设1：利用代入法消元：消，将①变形:代入②和③.
小结1：代入消元法的步骤：
1．定（确定消元对象） 2. 变（表达式） 3. 代（代入其他两条方程）.
注意点：由原方程演变的新方程不能代入原方程.
预设2：利用加减消元法:消.
小结2：加减消元法的步骤：1. 定（确定消元对象） 2. 变（消元对象的系数） 3. 加减（每条方程都要用一次）.
预设3：利用①+③－②×2，整体消去和.
小结3：消元对象可以是一个未知数也可以是一个整体.
总结：不管利用代入消元法还是加减消元法，我们的一般步骤是：1.定, 2.变,3.消，最终的目的都是消元，将三元一次方程组转化成二元一次方程组，最后再转化成一元一次方程，求出各个未知数的值.
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设计意图：在本环节的探究活动过程，不同的学生会用不同的消元方法解三元一次方程组。通过交流讨论，教师以代入消元法和加减消元法为重点板书解析，并引导学生从具体的解题过程中，提炼归纳出消元的一般步骤：定（消元对象、消元方法）、变（表达式、系数）、消（加减、消元）.
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环节三 巩固练习，优化解法
【巩固练习】
解三元一次方程组：
【学生展示】
利用多媒体手机屏幕镜像同步学生的解题过程，学生上台解说自己的解题过程
预设1：利用②变式，代入法消元：消a.
预设2：利用①变式，代入法消元：消b.
点评：代入法选择表达式时，选择系数简单且不会出现分数的方程变.
预设3：利用加减消元法：消b.
预设4：利用加减消元法：消c.
预设5：利用加减消元法：消a.
……
提问：对比这么多同学不一样的解法，在解方程过程中，方法选择上有什么经验分享吗？
预设1：如果选择代入法 观察合适的方程变表达式，要选择恰当的消元对象.
预设2：如果有相同的系数、或者互为相反数的系数，选择加减消元法，比较简单.
小结：在解三元一次方程组之前，策略是最重要的.首先要先观察方程组的特征，尤其观察系数的特征，根据系数特征，再确定消元对象和消元方法.（板书补充）优选消元方法和消元对象，会让你的解题带来简便.
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设计意图：给出对应练习，学生先独立思考，及时巩固三元一次方程组的一般解法。再通过学生上台展示不同解法，产生思维的碰撞，学生体验了代入消元法和加减消元法的在题目中的优越性，深刻体会到解方程前观察系数特征，“优选消元对象”和“优选消元方法”的重要性。此外，在观察系数特征过程当中，培养了学生的数学感知能力，为接下来环节四的“整体思想”作铺垫.
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环节四 提高拓展，灵活运用
过渡：数学来源于生活应用于生活，请同学们用三元一次方程组的知识解决一个实际问题.
【实际应用】
若买1个篮球和1个排球总价为120元； 买2个足球和1个排球总价为130元；买3个篮球、2个足球和2个排球总价为390元,则买1个篮球，1个足球和1个排球的总价为_______元.
预设1:学生列出三元一次方程组，用一般解法去解方程组，求解，耗时且正确率低.
预设2：学生将三条方程，相加得到4x+4y+4z=640，利用整体思想求得x+y+z=160.
小结：其实在解三元一次方程组时，也可以利用整体思想来进行简便运算.想要找到整体，首先还是要先观察系数之间的关系.（强调做题之前，先观察方程各项系数特征）
追问：你能快速求出x、y、z的值吗？
预设：学生借助x+y+z=160这条新方程，利用加减消元法求解，再次感受整体思想在解方程组中带来的便利.
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设计意图：本环节主要是课堂的提升，利用整体思想进行简便地解方程，此外，通过这道题目，继续强化学生在解方程组前先观察系数特征，并确定好消元对象和消元方法，不要盲目解题，混淆思路.
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环节五 课堂小结，分享收获
本节课，我在知识上收获了_______________；我在思想方法上收获了_______________.
预设：三元一次方程概念、三元一次方程组的概念、解三元一次方程组的方法；用三元一次方程组解决实际生活问题；通过类比学习以后解多元方程的方法；类比思想、整体思想、转化思想……
总结：通过本节课的学习，我们收获了一种学习新事物的重要方法，先观察事物特征，通过类比学习，将陌生问题与已有知识和经验进行比较，将新知识转化成已有知识，从而解决问题.
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设计意图：本环节引导学生从知识点和思想方法两个方面来回顾总结课堂的内容，并对课堂内容进行升华提炼.
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环节六 分层作业，课后巩固
【必做作业】
配套作业本.
【选做作业】
思考：篮球、足球和排球共18个,篮球比足球个数的m倍多1个,篮球和足球的个数和比排球少4个，则正整数m的值为_____________.
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设计意图：为了使不同的学生在数学上得到不同的发展，采取布置分层作业，必做作业是帮助学生巩固基础知识和基本技能；选做作业是为学有余力的学生设置的，主要是三元一次方程组的整数解问题以及分类讨论思想.
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