浙教版数学七年级下册 2.1 二元一次方程 教案

2.1 二元一次方程
一、教材分析
本章是在学习了一元一次方程，初步感受了方程的模型作用，并积累了一些利用方程解决实际问题经验的基础上展开的，是一元一次方程的继续和发展，同时又是今后学习一般线性方程组、函数等内容的基础，本章具有承上启下的作用，从一元到二元是人类认识客观世界的进步，进一步感受模型化数学思想及数学的科学价值和人文价值，提高分析问题、解决问题的能力，增强数学学习的兴趣和自信.
《2.1二元一次方程》为章节起始课，对二元一次方程定义及其解的掌握有助于后续二元一次方程组的学习，二元一次方程转化成一元一次方程或方程变形为接下来解二元一次方程组做了铺垫.二元一次方程在实际问题中的应用对解有不同的限制要求，这也为二元一次方程组的应用埋下伏笔.
概念解析 （1） 二元一次方程：含有两个未知数，且含未知数的项的次数都是一次的方程.
（2）二元一次方程的解：使二元一次方程两边的值相等的一对未知数的值
思想方法 （1）类比：类比一元一次方程的学习思路及其定义研究二元一次方程.
（2）化归：将二元一次方程转化成一元一次方程，从而解决问题.
本节课的知识类型：概念型
教学重点：二元一次方程及其解的概念
二、教学目标
1.了解二元一次方程的概念.
2.了解二元一次方程的解的概念以及解的不唯一性.
3.会将一个二元一次方程变形成用关于一个未知数的代数式表示另一个未知数的形式.
三、教学问题诊断
1.知识基础：学生已经学习了一元一次方程，初步感受了数学建模的思想.掌握了方程的定义、方程的解、一元一次方程的定义、一元一次方程的解、一元一次方程的解法及其实际应用，表明学生已具备学习二元一次方程的知识储备；同时，在学习过程中通过观察比较具有一定的类比推理、转化新知的能力.
2.课标要求：（1）能根据具体问题中的数量关系列出二元一次方程，体会二元一次方程是刻画现实世界数量关系的有效模型.
（2）经历二元一次方程求解过程,能将二元一次方程转化为一元一次方程求解.
（3）能对方程进行变形，会用一个字母表示另一个字母.
（4）能根据具体问题的实际意义，对二元一次方程进行合理求解.
3.问题预设：(1) 二元一次方程解的不唯一性的突破，以及不同实际意义下求对应二元一次方程的正数解、非负整数解等的理解.
(2) 二元一次方程的变形：用一个字母表示另一个字母.
4.解决策略：(1) 对于二元一次方程的解，先通过学生举例，初步感知解的组成是由一对未知数，且不止一对；再类比一元一次方程的解检验，通过不同解的具体检验过程充分理解解的不唯一；最后通过表格快速计算，突破解有无数组.
(2) 对于二元一次方程的求解，借助表格在代入求值的基础上，步步逼近方程的变形，让学生体会到用一个字母表示另一个字母的便捷.
四、技术支持
平板、PPT：课堂练习和检测采用平板，借助乐课网教学系统采集与分析数据.
PPT投影播放并借助乐课网教学系统发起快速问答、同步展示学生答题过程.
五、教学设计
教学目标：
了解二元一次方程的概念.
了解二元一次方程解的概念和解的不唯一性.
学会将二元一次方程变形，用一个字母的代数式来表示另一个字母.
教学重点：二元一次方程及其解的概念.
教学难点：二元一次方程变形成用一个字母的代数式表示另一个字母.
教学方法：采用启发式、讨论式、活动式教学.
教学过程：
一、引入（复习一元一次方程的学习思路，从实际背景列方程，对比一元一次方程，引出二元一次方程概念）
课前热身：根据题意，列方程.
①一条长为10cm的长绳，围成如图所示日字框.
②小红买了票额为6角的邮票x张，和票额为8角的邮票y张，付了3元.
③一件衣服的原价为x元，现在按照8折销售的售价为72元
④长方形的长为a，宽为b，面积为20.
学生列出方程：① ② ③ ④
【设计意图】通过类比一元一次方程定义的三个要素(①整式方程②含有一个未知数③未知数的次数为1),学生观察并发现得到二元一次方程定义的三个要素(①整式方程②含有两个未知数③未知数的项的次数都为1)
概念辨析：判断下列是否为二元一次方程（判断并说明理由）
①× ②× ③√ ④×
【平板技术】概念辨析题，采用平板教学发起快速判断.
从而快速搜集学生答题数据，有效指导学生错题的讲解，进行一对一（一对多）的个性化点评.
【设计意图】帮助学生巩固二元一次方程定义中的易错点：①未知数的项的次数②整式方程.
二、二元一次方程的解（回顾一元一次方程的解，类比学习二元一次方程的解）
第一步：方程①→巩固这个一元一次方程求解与检验解的方法.
第二步：方程②→类比一元一次方程解的定义，得出二元一次方程的解的定义.初步感受二元一次方程的解是由一对未知数的值组成，并且
不唯一.
第三步：学生尝试给出的解，师生共同完成解的检验过程.
→通过仔细验证进一步发现与体会二元一次方程解的不唯一.
第四步：体会二元一次方程的解，引导对写出的多组不同的解进行思考.
→加深对二元一次方程的解中未知数一一对应和无数组的特点的理解.
【平板技术】教师板演二元一次方程解的检验过程后，利用平板发起课件题，学生在平板上完成对其他两组解的检验过程，同时点对点进行两位学生解题过程的同屏演示.
通过对学生点对点作业的点评，促进生生之间、师生之间的线上互动
【设计意图】通过一元一次方程的解进行导入然后层层推进，帮助学生理解二元一次方程的解与一元一次方程的解相比不同的两个关键点：未知数成对、无数组.
三、二元一次方程的解法(学生交流分享快速写解的思维过程与方法)
【学生活动1】请用自己的方法快速写出的3组解
写出的三组解分别为：① ② ③
解法1：
先固定x的值，当时，代入方程得，解得(先代后解)
（回答过程中板书充分展示解方程移项、系数化为1等变形过程，为后面铺垫）
当时，代入方程得，解得
当时，代入方程得，解得.
【方法小结】：对于二元一次方程，当一个未知数的值给定后，代入方程则可转化为一元一次方程.
解法2：更快的算法是，不需要每次都把带进去，求关于的一元一次方程.
可以先把方程变为，当时，.（先表后代）
（变形依据:等式的基本性质）当时，.
当时，.
【方法小结】：先用含一个字母的代数式表示另一个字母，再代入未知数求解时更加便捷.
【学生活动2】体会以上两种快速求解的方法，请再快速而又准确地写出的3
组解
【方法小结】：学生充分感知用一个字母表示另一个字母，用来求解二元一次方程.加深对方程方程变形的理解.
【设计意图】：经历二元一次方程求解的两种常用方法：(1)将二元一次方程通过代入一个未知数的值转化为关于另一个未知数的一元一次方程,进而求解.(2)先将二元一次方程进行变形，用一个字母表示另一个字母，再代入求值.通过两种方法的对比，体会用一个字母表示另一个字母的便捷，为后续解二元一次方程组打基础.
四、二元一次方程的应用
回顾所列方程的实际日字框的背景，表格中满足的解只有一组并再给这个方程赋予实际意义.
解法1：两种不同的规格的本子，分别买2本、3本,合计共花费10元，问两种本子的单价各多少元？（这里x、y要求满足：正数）
解法2：两种不同的规格的本子，单价分别为2元/本、3元/本,合计共花费10元，问两种本子各多少本？（这里x、y要求满足：非负整数（自然数））
【设计意图】通过对实际问题的具体分析进一步加深对二元一次方程解无数组的理解，让学生学会在不同情景下辨证地思考实际问题的解是：正数解、非负整数解、正整数解等一些不同的要求，并领悟实际意义下二元一次方程解的无限与有限.
五、课堂练习
1. 已知方程是关于的二元一次方程，则 的值为（ ）
A、2 B、4 C、6 D、8
2. 已知关于的方程.
（1）当x=-2时，求y的值.
（2）你还可以写出满足第(1)组解的其他方程吗？
3. 小红买了票额为6角的邮票x张，和票额为8角的邮票y张，付了3元.
请你帮小红设计购买方案.
如果规定两种邮票共买4张，你还能得出什么？
【平板技术】选择题借助平板快速统计分析数据，帮助教师掌握学生答题情况，了解本节课教学目标的达成度.
【设计意图】第1题巩固二元一次方程的定义；第2题巩固二元一次方程的解；第3题巩固二元一次方程在实际问题中的求解并引出后面要学习的二元一次方程组.
六、课堂小结
学生小结：请以“大家好,我是二元一次方程……”,围绕今天所学知识,给二元一次方程写一段有趣的自述.
要点总结：①本节课从实际问题中的方程入手，用类比一元一次方程学习了二元一次方程.能够将生活中的相关实际问题进行数学建模，化归成方程问题解决.
②二元一次方程与一元一次方程类比学习，在定义以及解方面的异同点.
③二元一次方程通常意义下的无数组解，与实际背景意义下无限到有限的改变.
师生共同欣赏：“一切问题都可以转化为数学问题，一切数学问题都可以转化为代数问题，而一切代数问题又都可以转化为方程问题，因此，一旦解决了方程问题，一切问题将迎刃而解！”——笛卡尔
【设计意图】通过学生自述以及教师引导进行课堂小结，学生学会对所学知识进行归纳总结，帮助自身形成二元一次方程的知识网络.
七、分层作业布置
A、B组必做题，C组选做题.