初中数学浙教版七年级下册2.5 三元一次方程组及其解放（选学） 同步练习
一、单选题
1．（2020七上·重庆月考）如图所示，两个天平都平衡，则三个苹果的重量等于多少个香蕉的重量？答（ ）个.
A．2 B．3 C．4 D．5
2．（2020七下·越秀期中）下列方程组中，是三元一次方程组的是（ ）
A． B．
C． D．
3．解方程组 ，若要使计算简便，消元的方法应选取（ ）
A．先消去x B．先消去y
C．先消去z D．以上说法都不对
4．已知方程组 ，若消去z，得二元一次方程组不正确的为（ ）
A． B．
C． D．
5．（2018八上·启东开学考）桌面上有甲、乙、丙三个杯子，三杯内原本均装有一些水．先将甲杯的水全部倒入丙杯，此时丙杯的水量为原本甲杯内水量的2倍多40毫升；再将乙杯的水全部倒入丙杯，此时丙杯的水量为原本乙杯内水量的3倍少180毫升．若过程中水没有溢出，则原本甲、乙两杯内的水量相差多少毫升？（ ）
A．80 B．110 C．140 D．220
6．三角形的周长为18cm，第一边与第二边的长度和等于第三边长度的2倍，而它们长度的差等于第三条边长的 ，这个三角形的各边长为（ ）
A．7、5、8 B．7、5、6 C．7、1、9 D．7、8、4
7．（2016七下·十堰期末）甲、乙、丙三人共解100道数学题，每人都只会做其中的60道题，且三人合在一起，这100道都能解答出来，将其中只有一人会做的题目叫做难题，三人都会做的题叫容易题，则难题比容易题多（ ）
A．30道 B．25道 C．20道 D．15道
8．（2020七下·余杭期末）我国古代数学家张丘建在《张丘建算经）里，提出了“百钱买百鸡”这个有名的数学问题.用100个钱买100只鸡，公鸡每只五个钱，母鸡每只三个钱，小鸡每个钱三只.问公鸡，小鸡各买了多少只？在这个问题中，小鸡的只数不可能是（ ）
A．87 B．84 C．81 D．78
二、填空题
9．（2020七下·淮阳期末）有A、B、C三种商品，如果购5件A、2件B、3件C共需513元，购3件A、6件B、5件C共需375件，那么购A、B、C各一件共需 元.
10．（2020·朝阳）已知关于x、y的方程 的解满足 ，则a的值为 .
11．（2017七下·云梦期末）一个三位数，十位、百位上的数的和等于个位上的数，百位上的数的6倍等于个位、十位上的数的和，且个位、十位、百位上的数的和是14，则这个三位数是 .
12．（2020七下·奉化期中）已知 ，则 .
13．（2020八上·湛江开学考）火锅是重庆的一张名片，深受广大市民的喜爱.重庆某火锅店采取堂食、外卖、店外摆摊（简称摆摊）三种方式经营，6月份该火锅店堂食、外卖、摆摊三种方式的营业额之比为3：5：2.随着促进消费政策的出台，该火锅店老板预计7月份总营业额会增加，其中摆摊增加的营业额占总增加的营业额的 ，则摆摊的营业额将达到7月份总营业额的 ，为使堂食、外卖7月份的营业额之比为8：5，则7月份外卖还需增加的营业额与7月份总营业额之比是 .
三、综合题
14．解三元一次方程组：
（1）
（2） ．
15．（2020八下·大庆期中）甲、乙两人同解方程组 ，甲正确解得 ，乙因抄错C解得 ，求A、B、C的值．
16．（2019七下·广丰期末）有一场足球比赛，共有九支球队参加，采取单循环赛，其记分和奖励方案如下表：
标准 胜一场 平一场 负一场
积分 3 1 0
奖励（元／人） 2000 800 0
甲队参加完了全部8场比赛，共得积分16分．
（1）求甲队胜负的所有可能情况；
（2）若每一场比赛，每一个参赛队员均可得出场费500元，求甲队参加了所有8场比赛的队员的个人总收入（奖金加上出场费）．
17．（2019七下·丹江口期中）某工程由甲乙两队合做6天完成，厂家需付甲乙两队共16800元；乙丙两队合做10天完成，厂家需付乙丙两队共17000元；甲丙两队合做7.5天完成，厂家需付甲丙两队共15750元.
（1）求甲、乙、丙三队每天工钱各多少元？
（2）求甲、乙、丙各队单独完成全部工程各需多少天？
（3）若要求不超过15天完成全部工程，问可由哪队单独完成此项工程花钱最少？
18．（2019七下·鼓楼期中）解二元一次方程组的关键是“消元”，即把“二元”转化为“一元”，同样，我们可以用“消元”的方法解三元一次方程组．下面，我们就来解一个三元一次方程组：
解方程组
小曹同学的部分解答过程如下：
解：______+______，得3x+4y=10，④
______+______，得5x+y=11，⑤
______与______联立，得方程组
（1）请你在方框中补全小曹同学的解答过程：
（2）若m、n、p、q满足方程组 ，则m+n-2p+q= ．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【解答】解：设一个苹果的重量为x，一只香蕉的重量为y，一个三角形的重量为z，
∴2x=5z，2y=3z，
∴ ，
∴3x=5y，
故答案为：D.
【分析】设一个苹果的重量为x，一只香蕉的重量为y，一个三角形的重量为z，利用两个天平建立关于x，y，z的方程组，分别用含x,y的式子表示出z，从而可得到x与y之间的数量关系.
2．【答案】C
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【解答】解： A.4个未知数，不符合题意；
B.2个未知数，不符合题意；
C.有三个未知数，每个方程的次数是1，是三元一次方程组，符合题意；
D.方程的次数为2，不符合题意；
故答案为：C．
【分析】利用三元一次方程组的定义判断即可．
3．【答案】B
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【解答】 的系数为1或1，故先消去 ．故B符合题意.
故答案为：B.
【分析】经观察发现，3个方程中先消去y，即可得到一个关于x、z的二元一次方程组，再用加减消元法和代入法解方程即可.三元一次方程组的解法，先把“三元”转化为“二元”、把“二元”转化为“一元”的消元的思想方法，从而进一步理解把“未知”转化为“已知”，把复杂问题转化为简单问题的思想方法.
4．【答案】D
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【解答】解：在方程组 中，①＋②得 ，①×2＋③得 ， ②×2－③得 ，所以由④与⑤可以组成A，由④与⑥可以组成B，由⑤与⑥可以组成C，故D不符合题意．
故答案为：D.
【分析】利用加减消元法消去z，把三元一次方程组转化成二元一次方程组.
5．【答案】B
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【解答】设甲、乙、丙三个杯子原来有水aml，bml.cml， .
故答案为：B.
【分析】设甲、乙、丙三个杯子原来有水aml，bml.cml，根据甲杯的水全部倒入丙杯，此时丙杯的水量为原本甲杯内水量的2倍多40毫升，列出方程a+c=2a+40，将乙杯的水全部倒入丙杯，此时丙杯的水量为原本乙杯内水量的3倍少180毫升．列出方程a+b+c=3b 180，组成方程组，再解即可得出a，b的关系。
6．【答案】B
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【解答】解：设三角形的三边长分别是a、b、c。
依题意得：
解得
答：这个三角形的三边长分别为7cm、5cm、6cm
故答案为：B
【分析】设三角形的三边长分别是a、b、c，根据三角形的周长为18cm列出a+b+c=18，根据第一边与第二边的长度和等于第三边长度的2倍列出a+b=2c，第一边与第二边的长度的差等于第三边长度的，列出a+b=c，将三个方程组成方程组，求解得出答案。
7．【答案】C
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【解答】解：设只有1人解出的题目数量为x，有2人解出的题目数量为y，有3人解出的题目数量为z，
那么3人共解出的题次为：x+2y+3z=60×3①，
除掉重复的部分，3人共解出的题目为：x+y+z=100②，
②×2﹣①得：x﹣z=20．
故选C．
【分析】设只有1人解出的题目数量为x，有2人解出的题目数量为y，有3人解出的题目数量为z，根据“每人都只会做其中的60道题，且三人合在一起，这100道都能解答出来”即可列出关于x、y、z的三元一次方程组，②×2﹣①即可得出结论．
8．【答案】A
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【解答】解：设公鸡、母鸡、小鸡分别为x、y、z 只，由题意得：
有两个方程，三个未知量，称为不定方程组，有多种解.
令②×3－①得：7x+4y=100；
所以
令 =t， (t为整数)所以x=4t
把x=4t代入7x+4y=100得到：y=25-7t
易得z=75+3t
所以：x=4t，y=25-7t，z=75+3t
A.当z=87时，t=4，则x=16，y=﹣3，不符合实际；
B.当z=84时，t=3，则x=12，y=4，符合实际；
C.当z=81时，t=2，则x=8，y=11，符合实际；
D.当z=78时，t=1，则x=4，y=18，符合实际；
故答案为：A.
【分析】根据题意列出三元一次方程组，根据方程组的解再结合实际题意一一验证即可.
9．【答案】111
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【解答】设购进A商品 x件，B商品y件，C商品z件，
则 ，可得 ，
解得 ，
故答案为：111.
【分析】根据题意设购进A商品 x件，B商品y件，C商品z件，从而列出方程组进行求解即可得解.
10．【答案】5
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【解答】解： ，
①+②，得
3x+3y=6-3a，
∴x+y=2-a，
∵ ，
∴2-a=-3，
∴a=5.
故答案为：5.
【分析】①+②可得x+y=2-a，然后列出关于a的方程求解即可.
11．【答案】257
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【解答】设个位、十位、百位上的数字分别为x、y、z，根据题意可列方程组：
解得
所以这个两位数是257.
故答案为：257.
12．【答案】7
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【解答】解：
方程②×2，得4x+10y+8z=30 ③，
方程③-①，得3x+3y-3z=21 ④，
方程④÷3，得，x+y-z=7.
故答案为：7.
【分析】将方程②×2-①，得3x+3y-3z=21，方程两边同时除以3即可求解.
13．【答案】1：8
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【解答】解：设6月份堂食、外卖、摆摊三种方式的营业额分别为3a，5a，2a，7月份总的增加的营业额为5x，则摆摊增加的营业额为2x， 7月份总的营业额为20b，则7月份摆摊的营业额为7b，堂食的营业额为8b，外卖的营业额为5b，根据题意得
，
解得，
∴7月份外卖还需增加的营业额与7月份总营业额的比为（5b-5a）：20b=1：8，
故答案为：1：8.
【分析】设6月份堂食、外卖、摆摊三种方式的营业额分别为3a，5a，2a，7月份总的增加的营业额为5x，则摆摊增加的营业额为2x， 7月份总的营业额为20b，则7月份摆摊的营业额为7b，堂食的营业额为8b，外卖的营业额为5b，根据题意列出方程组，将a、b用x表示，进而求解.
14．【答案】（1）解： ，①+②得：5x+2y=16④，②+③得：3x+4y=18⑤，
④×2﹣⑤得：7x=14，即x=2，把x=2代入④得：y=3， 把x=2，y=3代入③得：z=1，
则方程组的解为 ；
（2）解： ，②﹣③得：x+3z=5④，④﹣①得：2z=2，即z=1，
把z=1代入④得：x=2，把z=1，x=2代入③得：y=4，
则方程组的解为 ．
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【分析】解三元一次方程组时，利用加减消元法消去一个未知数，转化为二元一次方程组，再解出方程组的解即可。
15．【答案】把 代入原方程组，得 ，
把 代入Ax+By=2，得：2A﹣6B=2．
可组成方程组 ，
解得 ．
【知识点】三元一次方程组解法及应用；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】根据方程组的解的定义得到关于A、B、C的方程组，再进一步运用加减消元法求解．
16．【答案】（1）设甲队胜 场、平 场、负 场，以题意得方程组
解得 ，得整数解 或
即甲队胜负的所有可能情况有：“4胜4平”或者“5胜1平2负”.
（2）若是4胜4平，甲队参加了所有8场比赛的队员的个人总收入为：
2000×4+800×4+500×8=15200（元）
若是5胜1平2负，甲队参加了所有8场比赛的队员的总收入为：
2000×5+800+500×8=14800（元）．
答：若是4胜4平，总收入为15200元；若是5胜1平2负，总收入为14800元.
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【分析】（1）设甲队胜 场、平 场、负 场，依题意得方程组 ，讨论求出整数解即可；（2）由（1）可得由两种情况，根据奖励规则可分别求出总收入.
17．【答案】（1）解：设甲、乙、丙三队每天工钱分别为a元，b元，c元，
依题意得， ，
解得， ，
答：甲、乙、丙三队每天工钱分别为1600元、12000元和500元
（2）解：设甲、乙、丙各队单独完成全部工程分别需要x天，y天，z天，
依题意得， ，
解得， ，
经检验， 是原方程组的解.
答：甲、乙、丙各队单独完成全部工程分别需要10天、15天、30天；
（3）解：甲队单独完成需付工钱1600×10=16000（元），
乙队单独完成需付工钱1200×15=18000（元），
丙队不能在规定时间内完工，
因此，甲队能在规定时间内完工并且花费最少.
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【分析】（1）设甲、乙、丙三队每天工钱分别为a元，b元，c元，根据题意找出等量关系列出三元一次方程组，然后求解即可；（2）设甲、乙、丙各队单独完成全部工程分别需要x天，y天，z天，根据题意列出分式方程组，然后求解即可；（3）由（1）、（2）中所求，分别计算出甲、乙、丙各队单独完成所需的费用，即可求解.
18．【答案】（1）___①___+___②___，得3x+4y=10，④
___②___+____③__，得5x+y=11，⑤
___⑤___与___④___联立，得方程组
（2）-2.
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【解答】解：（1）方程组
小曹同学的部分解答过程如下：
解：①+②，得3x+4y=10，④
②+③，得5x+y=11，⑤
⑤与④联立，得方程组
解得：
把 代入①得：2+1+z=2，
解得：z=-1，
∴原方程组的解是
故答案为①，②，②，③，⑤，④．
（ 2 ）
②-①×2得：p-3q=8④，
③-①×3得：-5p-2q=-6⑤，
由④与⑤组成方程组
解得： ，
代入①得：m+n=4
∴m+n-2p+q=-2
故答案为-2．
【分析】（1）根据每一步得到的方程反推其计算的由来，得到二元一次方程组后用代入消元或加减消元法解出x和y，再代回原方程组求z．（2）把（m+n）看作整体，解关于（m+n）、p、q的三元一次方程组．
1 / 1初中数学浙教版七年级下册2.5 三元一次方程组及其解放（选学） 同步练习
一、单选题
1．（2020七上·重庆月考）如图所示，两个天平都平衡，则三个苹果的重量等于多少个香蕉的重量？答（ ）个.
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】D
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【解答】解：设一个苹果的重量为x，一只香蕉的重量为y，一个三角形的重量为z，
∴2x=5z，2y=3z，
∴ ，
∴3x=5y，
故答案为：D.
【分析】设一个苹果的重量为x，一只香蕉的重量为y，一个三角形的重量为z，利用两个天平建立关于x，y，z的方程组，分别用含x,y的式子表示出z，从而可得到x与y之间的数量关系.
2．（2020七下·越秀期中）下列方程组中，是三元一次方程组的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【解答】解： A.4个未知数，不符合题意；
B.2个未知数，不符合题意；
C.有三个未知数，每个方程的次数是1，是三元一次方程组，符合题意；
D.方程的次数为2，不符合题意；
故答案为：C．
【分析】利用三元一次方程组的定义判断即可．
3．解方程组 ，若要使计算简便，消元的方法应选取（ ）
A．先消去x B．先消去y
C．先消去z D．以上说法都不对
【答案】B
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【解答】 的系数为1或1，故先消去 ．故B符合题意.
故答案为：B.
【分析】经观察发现，3个方程中先消去y，即可得到一个关于x、z的二元一次方程组，再用加减消元法和代入法解方程即可.三元一次方程组的解法，先把“三元”转化为“二元”、把“二元”转化为“一元”的消元的思想方法，从而进一步理解把“未知”转化为“已知”，把复杂问题转化为简单问题的思想方法.
4．已知方程组 ，若消去z，得二元一次方程组不正确的为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【解答】解：在方程组 中，①＋②得 ，①×2＋③得 ， ②×2－③得 ，所以由④与⑤可以组成A，由④与⑥可以组成B，由⑤与⑥可以组成C，故D不符合题意．
故答案为：D.
【分析】利用加减消元法消去z，把三元一次方程组转化成二元一次方程组.
5．（2018八上·启东开学考）桌面上有甲、乙、丙三个杯子，三杯内原本均装有一些水．先将甲杯的水全部倒入丙杯，此时丙杯的水量为原本甲杯内水量的2倍多40毫升；再将乙杯的水全部倒入丙杯，此时丙杯的水量为原本乙杯内水量的3倍少180毫升．若过程中水没有溢出，则原本甲、乙两杯内的水量相差多少毫升？（ ）
A．80 B．110 C．140 D．220
【答案】B
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【解答】设甲、乙、丙三个杯子原来有水aml，bml.cml， .
故答案为：B.
【分析】设甲、乙、丙三个杯子原来有水aml，bml.cml，根据甲杯的水全部倒入丙杯，此时丙杯的水量为原本甲杯内水量的2倍多40毫升，列出方程a+c=2a+40，将乙杯的水全部倒入丙杯，此时丙杯的水量为原本乙杯内水量的3倍少180毫升．列出方程a+b+c=3b 180，组成方程组，再解即可得出a，b的关系。
6．三角形的周长为18cm，第一边与第二边的长度和等于第三边长度的2倍，而它们长度的差等于第三条边长的 ，这个三角形的各边长为（ ）
A．7、5、8 B．7、5、6 C．7、1、9 D．7、8、4
【答案】B
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【解答】解：设三角形的三边长分别是a、b、c。
依题意得：
解得
答：这个三角形的三边长分别为7cm、5cm、6cm
故答案为：B
【分析】设三角形的三边长分别是a、b、c，根据三角形的周长为18cm列出a+b+c=18，根据第一边与第二边的长度和等于第三边长度的2倍列出a+b=2c，第一边与第二边的长度的差等于第三边长度的，列出a+b=c，将三个方程组成方程组，求解得出答案。
7．（2016七下·十堰期末）甲、乙、丙三人共解100道数学题，每人都只会做其中的60道题，且三人合在一起，这100道都能解答出来，将其中只有一人会做的题目叫做难题，三人都会做的题叫容易题，则难题比容易题多（ ）
A．30道 B．25道 C．20道 D．15道
【答案】C
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【解答】解：设只有1人解出的题目数量为x，有2人解出的题目数量为y，有3人解出的题目数量为z，
那么3人共解出的题次为：x+2y+3z=60×3①，
除掉重复的部分，3人共解出的题目为：x+y+z=100②，
②×2﹣①得：x﹣z=20．
故选C．
【分析】设只有1人解出的题目数量为x，有2人解出的题目数量为y，有3人解出的题目数量为z，根据“每人都只会做其中的60道题，且三人合在一起，这100道都能解答出来”即可列出关于x、y、z的三元一次方程组，②×2﹣①即可得出结论．
8．（2020七下·余杭期末）我国古代数学家张丘建在《张丘建算经）里，提出了“百钱买百鸡”这个有名的数学问题.用100个钱买100只鸡，公鸡每只五个钱，母鸡每只三个钱，小鸡每个钱三只.问公鸡，小鸡各买了多少只？在这个问题中，小鸡的只数不可能是（ ）
A．87 B．84 C．81 D．78
【答案】A
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【解答】解：设公鸡、母鸡、小鸡分别为x、y、z 只，由题意得：
有两个方程，三个未知量，称为不定方程组，有多种解.
令②×3－①得：7x+4y=100；
所以
令 =t， (t为整数)所以x=4t
把x=4t代入7x+4y=100得到：y=25-7t
易得z=75+3t
所以：x=4t，y=25-7t，z=75+3t
A.当z=87时，t=4，则x=16，y=﹣3，不符合实际；
B.当z=84时，t=3，则x=12，y=4，符合实际；
C.当z=81时，t=2，则x=8，y=11，符合实际；
D.当z=78时，t=1，则x=4，y=18，符合实际；
故答案为：A.
【分析】根据题意列出三元一次方程组，根据方程组的解再结合实际题意一一验证即可.
二、填空题
9．（2020七下·淮阳期末）有A、B、C三种商品，如果购5件A、2件B、3件C共需513元，购3件A、6件B、5件C共需375件，那么购A、B、C各一件共需 元.
【答案】111
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【解答】设购进A商品 x件，B商品y件，C商品z件，
则 ，可得 ，
解得 ，
故答案为：111.
【分析】根据题意设购进A商品 x件，B商品y件，C商品z件，从而列出方程组进行求解即可得解.
10．（2020·朝阳）已知关于x、y的方程 的解满足 ，则a的值为 .
【答案】5
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【解答】解： ，
①+②，得
3x+3y=6-3a，
∴x+y=2-a，
∵ ，
∴2-a=-3，
∴a=5.
故答案为：5.
【分析】①+②可得x+y=2-a，然后列出关于a的方程求解即可.
11．（2017七下·云梦期末）一个三位数，十位、百位上的数的和等于个位上的数，百位上的数的6倍等于个位、十位上的数的和，且个位、十位、百位上的数的和是14，则这个三位数是 .
【答案】257
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【解答】设个位、十位、百位上的数字分别为x、y、z，根据题意可列方程组：
解得
所以这个两位数是257.
故答案为：257.
12．（2020七下·奉化期中）已知 ，则 .
【答案】7
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【解答】解：
方程②×2，得4x+10y+8z=30 ③，
方程③-①，得3x+3y-3z=21 ④，
方程④÷3，得，x+y-z=7.
故答案为：7.
【分析】将方程②×2-①，得3x+3y-3z=21，方程两边同时除以3即可求解.
13．（2020八上·湛江开学考）火锅是重庆的一张名片，深受广大市民的喜爱.重庆某火锅店采取堂食、外卖、店外摆摊（简称摆摊）三种方式经营，6月份该火锅店堂食、外卖、摆摊三种方式的营业额之比为3：5：2.随着促进消费政策的出台，该火锅店老板预计7月份总营业额会增加，其中摆摊增加的营业额占总增加的营业额的 ，则摆摊的营业额将达到7月份总营业额的 ，为使堂食、外卖7月份的营业额之比为8：5，则7月份外卖还需增加的营业额与7月份总营业额之比是 .
【答案】1：8
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【解答】解：设6月份堂食、外卖、摆摊三种方式的营业额分别为3a，5a，2a，7月份总的增加的营业额为5x，则摆摊增加的营业额为2x， 7月份总的营业额为20b，则7月份摆摊的营业额为7b，堂食的营业额为8b，外卖的营业额为5b，根据题意得
，
解得，
∴7月份外卖还需增加的营业额与7月份总营业额的比为（5b-5a）：20b=1：8，
故答案为：1：8.
【分析】设6月份堂食、外卖、摆摊三种方式的营业额分别为3a，5a，2a，7月份总的增加的营业额为5x，则摆摊增加的营业额为2x， 7月份总的营业额为20b，则7月份摆摊的营业额为7b，堂食的营业额为8b，外卖的营业额为5b，根据题意列出方程组，将a、b用x表示，进而求解.
三、综合题
14．解三元一次方程组：
（1）
（2） ．
【答案】（1）解： ，①+②得：5x+2y=16④，②+③得：3x+4y=18⑤，
④×2﹣⑤得：7x=14，即x=2，把x=2代入④得：y=3， 把x=2，y=3代入③得：z=1，
则方程组的解为 ；
（2）解： ，②﹣③得：x+3z=5④，④﹣①得：2z=2，即z=1，
把z=1代入④得：x=2，把z=1，x=2代入③得：y=4，
则方程组的解为 ．
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【分析】解三元一次方程组时，利用加减消元法消去一个未知数，转化为二元一次方程组，再解出方程组的解即可。
15．（2020八下·大庆期中）甲、乙两人同解方程组 ，甲正确解得 ，乙因抄错C解得 ，求A、B、C的值．
【答案】把 代入原方程组，得 ，
把 代入Ax+By=2，得：2A﹣6B=2．
可组成方程组 ，
解得 ．
【知识点】三元一次方程组解法及应用；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】根据方程组的解的定义得到关于A、B、C的方程组，再进一步运用加减消元法求解．
16．（2019七下·广丰期末）有一场足球比赛，共有九支球队参加，采取单循环赛，其记分和奖励方案如下表：
标准 胜一场 平一场 负一场
积分 3 1 0
奖励（元／人） 2000 800 0
甲队参加完了全部8场比赛，共得积分16分．
（1）求甲队胜负的所有可能情况；
（2）若每一场比赛，每一个参赛队员均可得出场费500元，求甲队参加了所有8场比赛的队员的个人总收入（奖金加上出场费）．
【答案】（1）设甲队胜 场、平 场、负 场，以题意得方程组
解得 ，得整数解 或
即甲队胜负的所有可能情况有：“4胜4平”或者“5胜1平2负”.
（2）若是4胜4平，甲队参加了所有8场比赛的队员的个人总收入为：
2000×4+800×4+500×8=15200（元）
若是5胜1平2负，甲队参加了所有8场比赛的队员的总收入为：
2000×5+800+500×8=14800（元）．
答：若是4胜4平，总收入为15200元；若是5胜1平2负，总收入为14800元.
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【分析】（1）设甲队胜 场、平 场、负 场，依题意得方程组 ，讨论求出整数解即可；（2）由（1）可得由两种情况，根据奖励规则可分别求出总收入.
17．（2019七下·丹江口期中）某工程由甲乙两队合做6天完成，厂家需付甲乙两队共16800元；乙丙两队合做10天完成，厂家需付乙丙两队共17000元；甲丙两队合做7.5天完成，厂家需付甲丙两队共15750元.
（1）求甲、乙、丙三队每天工钱各多少元？
（2）求甲、乙、丙各队单独完成全部工程各需多少天？
（3）若要求不超过15天完成全部工程，问可由哪队单独完成此项工程花钱最少？
【答案】（1）解：设甲、乙、丙三队每天工钱分别为a元，b元，c元，
依题意得， ，
解得， ，
答：甲、乙、丙三队每天工钱分别为1600元、12000元和500元
（2）解：设甲、乙、丙各队单独完成全部工程分别需要x天，y天，z天，
依题意得， ，
解得， ，
经检验， 是原方程组的解.
答：甲、乙、丙各队单独完成全部工程分别需要10天、15天、30天；
（3）解：甲队单独完成需付工钱1600×10=16000（元），
乙队单独完成需付工钱1200×15=18000（元），
丙队不能在规定时间内完工，
因此，甲队能在规定时间内完工并且花费最少.
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【分析】（1）设甲、乙、丙三队每天工钱分别为a元，b元，c元，根据题意找出等量关系列出三元一次方程组，然后求解即可；（2）设甲、乙、丙各队单独完成全部工程分别需要x天，y天，z天，根据题意列出分式方程组，然后求解即可；（3）由（1）、（2）中所求，分别计算出甲、乙、丙各队单独完成所需的费用，即可求解.
18．（2019七下·鼓楼期中）解二元一次方程组的关键是“消元”，即把“二元”转化为“一元”，同样，我们可以用“消元”的方法解三元一次方程组．下面，我们就来解一个三元一次方程组：
解方程组
小曹同学的部分解答过程如下：
解：______+______，得3x+4y=10，④
______+______，得5x+y=11，⑤
______与______联立，得方程组
（1）请你在方框中补全小曹同学的解答过程：
（2）若m、n、p、q满足方程组 ，则m+n-2p+q= ．
【答案】（1）___①___+___②___，得3x+4y=10，④
___②___+____③__，得5x+y=11，⑤
___⑤___与___④___联立，得方程组
（2）-2.
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【解答】解：（1）方程组
小曹同学的部分解答过程如下：
解：①+②，得3x+4y=10，④
②+③，得5x+y=11，⑤
⑤与④联立，得方程组
解得：
把 代入①得：2+1+z=2，
解得：z=-1，
∴原方程组的解是
故答案为①，②，②，③，⑤，④．
（ 2 ）
②-①×2得：p-3q=8④，
③-①×3得：-5p-2q=-6⑤，
由④与⑤组成方程组
解得： ，
代入①得：m+n=4
∴m+n-2p+q=-2
故答案为-2．
【分析】（1）根据每一步得到的方程反推其计算的由来，得到二元一次方程组后用代入消元或加减消元法解出x和y，再代回原方程组求z．（2）把（m+n）看作整体，解关于（m+n）、p、q的三元一次方程组．
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