浙教版数学七年级下册 4.3用乘法公式分解因式（2）课件(共19张PPT)

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第四章 因式分解
4.3 用乘法公式分解因式（2）
1、说一说平方差公式？
两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积.
即： a2-b2=(a+b)(a-b)
2、利用平方差公式分解因式的多项式有什么特征？
（1）两项；
（2）两项符号相反；
（3）两项可写成数或式的平方形式.
注意：多项式的因式分解要分解到不能再分解为止.
你还记得乘法的完全平方公式吗？
(a±b)2=a2±2ab+b2
公式反过来成立吗？
a2±2ab+b2=(a±b)2
由乘法的完全平方公式：(a+b)2=a2+2ab+b2，(a-b)2=a2-2ab+b2，
可得：
a2+2ab+b2＝(a+b)2， a2-2ab+b2＝(a-b)2
两数的平方和，加上（或者减去）这两数的积的2倍，等于这两数和（或者差）的平方.
完全平方公式
注意：我们把多项式a2+2ab+b2及a2-2ab+b2叫做完全平方式.
多项式9x2-6x+1能用完全平方公式吗？
a2+2ab+b2＝(a+b)2，a2-2ab+b2＝(a-b)2
分解因式吗 如果能的话，a,b分别表示什么
9x2-6x+1
=（3x）2-2·（3x）·1+12
a2-2ab+b2
完全平方式
=（a-b）2
=（3x-1）2
做一做：填写下表
多项式 是否是完全平方式 表示成(a±b)2的形式 a表示什么 b表示什么
是
是
不是
不是
是
是
完全平方式a2+2ab+b2，a2-2ab+b2的特点：
（1）有三部分组成；
（2）其中有两部分分别是某两个数（或式）的平方，且这两部分同号．
（3）另一部分是上述两数（或式）的乘积的2倍，符号可正可负．
一般地，利用公式 a2-b2=(a+b)(a-b)，或a2±2ab+b2=(a±b)2把一个多项式分解因式的方法，叫做公式法.
公式法
注意：公式中的a，b可以是数，也可以是整式.
例3：把下列各式分解因式:
(1)4a2+12ab+9b2. (2) -x2+4xy-4y2. (3) 3ax2+6axy+3ay2.
解： (1) 4a2+12ab+9b2 =(2a)2+2·(2a)·(3b)+(3b)2
=(2a+3b)2.
(2) -x2+4xy-4y2 =-(x2-4xy+4y2)
=-(x-2y)2.
=-[x2-2·x·(2y)+(2y)2]
(3) 3ax2+6axy+3ay2 =3a(x2+2xy+y2)
=3a(x+y)2.
[教材例3变式题] 将下列各式分解因式:
(1)x3-2x2+x;　　　(2)16a4-8a2+1.
解: (1)x3-2x2+x=x(x2-2x+1)=x(x-1)2.
(2)16a4-8a2+1=(4a2)2-2×4a2×1+12
=(4a2-1)2
=(2a+1)2(2a-1)2.
因式分解的一般步骤
(1)观察多项式是否存在公因式;
(2)若提取公因式后的式子是两项或三项,则考虑是否符合平方差公式或完全平方公式的特点;
(3)检查每个因式是否分解彻底.
[教材补充例题] 已知x(x-1)-(x2-y)=-3,求x2+y2-2xy的值.
解: ∵x(x-1)-(x2-y)=-3,
∴x2-x-x2+y=-3,即x-y=3,
∴x2+y2-2xy=(x-y)2=9.
有些计算题可利用因式分解的方法来进行计算,以简化运算过程.
例4：分解因式:(2x+y)2-6(2x+y)+9.
分析：把(2x+y)看做一个整体,多项式就是一个关于(2x+y)的完全平方式.
解： (2x+y)2-6(2x+y)+9
=[(2x+y)-3]2
=(2x+y)2-2·(2x+y)·3+32
=(2x+y-3)2.
特征
运用完全平方公式简化运算
完全平方公式
运用完全平方公式分解因式
1.下列二次三项式是完全平方式的是 (　　)
A.x2-8x-16 B.x2+8x+16
C.x2-4x-16 D.x2+4x+16
2.已知x2-10x+m是一个完全平方式,则m的值为 (　　)
A.10 B.20 C.25 D.50
B
C
3.分解因式:(1)[2019·永康期末] x2+14x+49;
(2)81-18a+a2;
(1)(x+7)2
(2)(9-a)2　
4.利用因式分解计算下列各题:
(1)972+97×6+32;
(2)1072-107×14+49.
解:(1)972+97×6+32=972+2×97×3+32=(97+3)2=10000.
(2)1072-107×14+49=1072-2×107×7+72
=(107-7)2=10000.
5.计算:32×2020+42×2020+72×2020.
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