初中数学浙教版七年级下册4.1 因式分解 同步训练
一、基础夯实
1．把一个多项式化成几个整式的 的形式,这种变形叫做因式分解,也可称为分解因式.结构特征:左边是一个 ;右边是几个 的形式.
【答案】积；多项式；整式的积
【知识点】因式分解的定义
【解析】【解答】解：把一个多项式化成几个整式的乘积的形式,这种变形叫做因式分解,也可称为分解因式.结构特征:左边是一个多项式，;右边是几个整式的积的形式
【分析】根据提分解因式的定义即可得出答案。
2．因式分解与 是互逆的.
即:几个整式相乘 一个多项式.
【答案】整式乘法
【知识点】因式分解的定义
【解析】【解答】解：因式分解与整式的乘法是互逆的。
【分析】根据因式分解的意义i整式乘法的意义即可得出答案。
3．对于(a+b)(a-b)=a2-b2,从左到右的变形是 ,从右到左的变形是 .
【答案】整式乘法；因式分解
【知识点】多项式乘多项式；因式分解的定义
【解析】【解答】解：(a+b)(a-b)=a2-b2,从左到右的变形是因式分解，,从右到左的变形是整式乘法。
故答案为：整式乘法、因式分解
【分析】观察等式的左边是因式的乘积形式，右边是多项式，根据因式分解的意义，即可得出从左到右的变形是因式分解，,从右到左的变形是整式乘法。
4．（2017八上·德惠期末）给出六个多项式：①x2+y2；②﹣x2+y2；③x2+2xy+y2；④x4﹣1；⑤x（x+1）﹣2（x+1）；⑥m2﹣mn+ n2．其中，能够分解因式的是 （填上序号）．
【答案】②③④⑤⑥
【知识点】因式分解的定义
【解析】【解答】解：①x2+y2不能因式分解，故①错误；
②﹣x2+y2利用平方差公式，故②正确；
③x2+2xy+y2完全平方公式，故③正确；
④x4﹣1平方差公式，故④正确；
⑤x（x+1）﹣2（x+1）提公因式，故⑤正确；
⑥m2﹣mn+ n2完全平方公式，故⑥正确；
故答案为：②③④⑤⑥．
【分析】根据因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式，可得答案．
5．（2020八上·乌海期末）下列各式从左到右的变形中，是分解因式的是（ ）
A．m(a+b+c)=ma+mb+mc B．x2+5x=x(x+5)
C．x2+5x+5=x(x+5)+5 D．a2+1=a(a+ )
【答案】B
【知识点】因式分解的定义
【解析】【解答】解：A、C中变形后右边的结果不是乘积的形式，故A、C不属于因式分解；
B：运用提公因式法进行的因式分解，故B正确；
D：不是在整式范围内进行的分解，不属于因式分解，故D错误。
故答案为：B.
【分析】根据因式分解的定义进行判断即可．
6．下列各式从左到右的变形中，为因式分解的是（ ）
A．x（a-b）=ax-bx B．x2-1+y2=（x-1）（x+1）+y2
C．y2-1=（y+1）（y-1） D．ax+by+c=x（a+b）+c
【答案】C
【知识点】因式分解的定义
【解析】【解答】A、x（a-b）=ax-bx ，不是因式分解，故A不符合题意；
B、x2-1+y2=（x-1）（x+1）+y2 ，不是因式分解，故B不符合题意；
C、y2-1=（y+1）（y-1），是因式分解，故C符合题意；
D、ax+by+c=x（a+b）+c，不是因式分解，故D不符合题意；
故答案为：C.
【分析】因式分解就是把多项式分解成几个整式的乘积形式，再对各选项逐一判断，可得是因式分解的选项。
7．下列由左到右的变形，不是因式分解的是（ ）
A．am+bm=m（a+b） B．x2+2x+1=（x+1）2
C．a2-b2+1=（a+b）（a-b）+1 D．a3-a=a（a+1）（a-1）
【答案】C
【知识点】因式分解的定义
【解析】【解答】解：A：am+bm=m（a+b），本选项是因式分解；
B：x2+2x+1=（x+1）2 ，本选项是因式分解；
C：a2-b2+1=（a+b）（a-b）+1 ，结果不是几个整式的乘积的形式，所以不是因式分解；
D：a3-a=a（a+1）（a-1），本选项是因式分解.
故答案为：C.
【分析】因式分解就是把一个多项式写成几个整式的乘积的形式。因此，要确定从左到右的变形中是否为因式分解，只需根据定义判断即可。
8．（2019八上·武威月考）下列各式因式分解正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】因式分解的定义
【解析】【解答】A. ，故答案为：A错误；
B. ，故答案为：B错误；
C. ，故答案为：C错误；
D. ，分解正确.
故答案为：D.
【分析】因式分解就是把多项式变形成几个整式的积的形式，根据提公因式法和公式法进行判断求解.
9．下列从左到右的变形：（1）15x2y=3x 5xy；（2）（a+b）（a﹣b）=a2﹣b2；（3）a2﹣2a+1=（a﹣1）2；（4）x2+3x+1=x（x+3+ ）其中是因式分解的个数是（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】B
【知识点】因式分解的定义
【解析】【解答】解：（1）不是对多项式进行变形，故错误；（2）多项式的乘法，故错误；（3）正确；（4）结果不是整式，故错误．
故答案为：B．
【分析】因式分解就是把多项式分解成几个整式积的形式，根据定义即可进行判断.
10．下列从左到右的变形中,是否属于因式分解 说明理由.
（1）24x2y=4x·6xy;
（2）(x+5)(x-5)=x2-25;
（3）9x2-6x+1=3x(3x-2)+1;
（4）x2+1=x .
【答案】（1）解：因式分解是针对多项式来说的,故不是因式分解.
（2）解：右边不是整式积的形式,故不是因式分解.
（3）解：右边不是整式积的形式,故不是因式分解.
（4）解：右边不是整式积的形式,故不是因式分解
【知识点】因式分解的定义
【解析】【分析】根据因式分解的意义，左边是多项式的形式，右边是几个整式的乘积形式，可对各个小题作出判断即可。
二、提高特训
11．（2018八上·武汉月考）已知二次三项式2x2＋bx＋c因式分解的结果为2(x－3)(x＋1)，则b，c的值为（ ）
A．b＝3，c＝－1 B．b＝－6，c＝2
C．b＝－6，c＝4 D．b＝－4，c＝－6
【答案】D
【知识点】单项式乘多项式；多项式乘多项式；因式分解的定义
【解析】【解答】解：∵2（x-3）（x+1）=2（x2-2x-3）=2x2-4x-6，∴b=-4，c=-6；
故答案为：D.
【分析】将 2(x－3)(x＋1) 利用多项式乘以多项式的乘法法则及单项式乘以多项式的乘法法则展开，再合并同类项得2x2-4x-6，根据因式分解的定义可知：2x2-4x-6与 2x2＋bx＋c 应该相等，从而比较即可得出答案。
12．如果二次三项式x2+px﹣6可以分解为（x+q）（x﹣2），那么（p﹣q）2的值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．9
【答案】C
【知识点】因式分解的定义
【解析】【解答】解：∵（x+q）（x﹣2）=x2+（q﹣2）x﹣2q，
∴p=q﹣2，﹣2q=﹣6，
解得p=1，q=3，
∴（p﹣q）2=（1﹣3）2=4．
故答案为：C．
【分析】根据多项式的乘法运算，把（x+q）（x-2）展开，再根据对应项的系数相等进行求解即可.
13．若代数式x2+ax可以分解因式，则常数a不可以取（ ）
A．﹣1 B．0 C．1 D．2
【答案】B
【知识点】因式分解的定义
【解析】【解答】解：∵代数式x2+ax可以分解因式，
∴常数a不可以取0．
故答案为：B．
【分析】根据因式分解的定义，就是将一个多项式分解为几个整式的积的形式，从而可知x2+ax能分解因式的话，必须是多项式，故a≠0，从而得出答案。
14．（2020八上·张掖期末）如果 可以因式分解为 （其中 ， 均为整数），则 的值是 ．
【答案】2或4
【知识点】多项式乘多项式；因式分解的定义
【解析】【解答】∵ 可以因式分解为 ，
∴ ，
∴x2+(a+3)x+3a-2=x2+(m+n)x+mn，
∴ ，
∴a=m+n-3，
∴ ，
整理得： ，
∵其中 ， 均为整数，
∴ 或 ，
当m-3=1时，m=4，n=1，a=2，
当m-3=-1时，m=2，n=5，a=4，
当m-3=2时，m=5，n=2，a=4，
当m-3=-2时，m=1，n=4，a=2，
∴ 的值是 或 ，
故答案为 或
【分析】将原式展开得：a+3=m+n、3a-2=mn，消去a得到mn=3m+3n-11，进一步整理得（m-3）（3-n）=2，进而求得m-3=±1，±2，据此可以分别求得m、n的值，然后可以求得a的值即可．
1 / 1初中数学浙教版七年级下册4.1 因式分解 同步训练
一、基础夯实
1．把一个多项式化成几个整式的 的形式,这种变形叫做因式分解,也可称为分解因式.结构特征:左边是一个 ;右边是几个 的形式.
2．因式分解与 是互逆的.
即:几个整式相乘 一个多项式.
3．对于(a+b)(a-b)=a2-b2,从左到右的变形是 ,从右到左的变形是 .
4．（2017八上·德惠期末）给出六个多项式：①x2+y2；②﹣x2+y2；③x2+2xy+y2；④x4﹣1；⑤x（x+1）﹣2（x+1）；⑥m2﹣mn+ n2．其中，能够分解因式的是 （填上序号）．
5．（2020八上·乌海期末）下列各式从左到右的变形中，是分解因式的是（ ）
A．m(a+b+c)=ma+mb+mc B．x2+5x=x(x+5)
C．x2+5x+5=x(x+5)+5 D．a2+1=a(a+ )
6．下列各式从左到右的变形中，为因式分解的是（ ）
A．x（a-b）=ax-bx B．x2-1+y2=（x-1）（x+1）+y2
C．y2-1=（y+1）（y-1） D．ax+by+c=x（a+b）+c
7．下列由左到右的变形，不是因式分解的是（ ）
A．am+bm=m（a+b） B．x2+2x+1=（x+1）2
C．a2-b2+1=（a+b）（a-b）+1 D．a3-a=a（a+1）（a-1）
8．（2019八上·武威月考）下列各式因式分解正确的是（ ）
A． B．
C． D．
9．下列从左到右的变形：（1）15x2y=3x 5xy；（2）（a+b）（a﹣b）=a2﹣b2；（3）a2﹣2a+1=（a﹣1）2；（4）x2+3x+1=x（x+3+ ）其中是因式分解的个数是（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
10．下列从左到右的变形中,是否属于因式分解 说明理由.
（1）24x2y=4x·6xy;
（2）(x+5)(x-5)=x2-25;
（3）9x2-6x+1=3x(3x-2)+1;
（4）x2+1=x .
二、提高特训
11．（2018八上·武汉月考）已知二次三项式2x2＋bx＋c因式分解的结果为2(x－3)(x＋1)，则b，c的值为（ ）
A．b＝3，c＝－1 B．b＝－6，c＝2
C．b＝－6，c＝4 D．b＝－4，c＝－6
12．如果二次三项式x2+px﹣6可以分解为（x+q）（x﹣2），那么（p﹣q）2的值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．9
13．若代数式x2+ax可以分解因式，则常数a不可以取（ ）
A．﹣1 B．0 C．1 D．2
14．（2020八上·张掖期末）如果 可以因式分解为 （其中 ， 均为整数），则 的值是 ．
答案解析部分
1．【答案】积；多项式；整式的积
【知识点】因式分解的定义
【解析】【解答】解：把一个多项式化成几个整式的乘积的形式,这种变形叫做因式分解,也可称为分解因式.结构特征:左边是一个多项式，;右边是几个整式的积的形式
【分析】根据提分解因式的定义即可得出答案。
2．【答案】整式乘法
【知识点】因式分解的定义
【解析】【解答】解：因式分解与整式的乘法是互逆的。
【分析】根据因式分解的意义i整式乘法的意义即可得出答案。
3．【答案】整式乘法；因式分解
【知识点】多项式乘多项式；因式分解的定义
【解析】【解答】解：(a+b)(a-b)=a2-b2,从左到右的变形是因式分解，,从右到左的变形是整式乘法。
故答案为：整式乘法、因式分解
【分析】观察等式的左边是因式的乘积形式，右边是多项式，根据因式分解的意义，即可得出从左到右的变形是因式分解，,从右到左的变形是整式乘法。
4．【答案】②③④⑤⑥
【知识点】因式分解的定义
【解析】【解答】解：①x2+y2不能因式分解，故①错误；
②﹣x2+y2利用平方差公式，故②正确；
③x2+2xy+y2完全平方公式，故③正确；
④x4﹣1平方差公式，故④正确；
⑤x（x+1）﹣2（x+1）提公因式，故⑤正确；
⑥m2﹣mn+ n2完全平方公式，故⑥正确；
故答案为：②③④⑤⑥．
【分析】根据因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式，可得答案．
5．【答案】B
【知识点】因式分解的定义
【解析】【解答】解：A、C中变形后右边的结果不是乘积的形式，故A、C不属于因式分解；
B：运用提公因式法进行的因式分解，故B正确；
D：不是在整式范围内进行的分解，不属于因式分解，故D错误。
故答案为：B.
【分析】根据因式分解的定义进行判断即可．
6．【答案】C
【知识点】因式分解的定义
【解析】【解答】A、x（a-b）=ax-bx ，不是因式分解，故A不符合题意；
B、x2-1+y2=（x-1）（x+1）+y2 ，不是因式分解，故B不符合题意；
C、y2-1=（y+1）（y-1），是因式分解，故C符合题意；
D、ax+by+c=x（a+b）+c，不是因式分解，故D不符合题意；
故答案为：C.
【分析】因式分解就是把多项式分解成几个整式的乘积形式，再对各选项逐一判断，可得是因式分解的选项。
7．【答案】C
【知识点】因式分解的定义
【解析】【解答】解：A：am+bm=m（a+b），本选项是因式分解；
B：x2+2x+1=（x+1）2 ，本选项是因式分解；
C：a2-b2+1=（a+b）（a-b）+1 ，结果不是几个整式的乘积的形式，所以不是因式分解；
D：a3-a=a（a+1）（a-1），本选项是因式分解.
故答案为：C.
【分析】因式分解就是把一个多项式写成几个整式的乘积的形式。因此，要确定从左到右的变形中是否为因式分解，只需根据定义判断即可。
8．【答案】D
【知识点】因式分解的定义
【解析】【解答】A. ，故答案为：A错误；
B. ，故答案为：B错误；
C. ，故答案为：C错误；
D. ，分解正确.
故答案为：D.
【分析】因式分解就是把多项式变形成几个整式的积的形式，根据提公因式法和公式法进行判断求解.
9．【答案】B
【知识点】因式分解的定义
【解析】【解答】解：（1）不是对多项式进行变形，故错误；（2）多项式的乘法，故错误；（3）正确；（4）结果不是整式，故错误．
故答案为：B．
【分析】因式分解就是把多项式分解成几个整式积的形式，根据定义即可进行判断.
10．【答案】（1）解：因式分解是针对多项式来说的,故不是因式分解.
（2）解：右边不是整式积的形式,故不是因式分解.
（3）解：右边不是整式积的形式,故不是因式分解.
（4）解：右边不是整式积的形式,故不是因式分解
【知识点】因式分解的定义
【解析】【分析】根据因式分解的意义，左边是多项式的形式，右边是几个整式的乘积形式，可对各个小题作出判断即可。
11．【答案】D
【知识点】单项式乘多项式；多项式乘多项式；因式分解的定义
【解析】【解答】解：∵2（x-3）（x+1）=2（x2-2x-3）=2x2-4x-6，∴b=-4，c=-6；
故答案为：D.
【分析】将 2(x－3)(x＋1) 利用多项式乘以多项式的乘法法则及单项式乘以多项式的乘法法则展开，再合并同类项得2x2-4x-6，根据因式分解的定义可知：2x2-4x-6与 2x2＋bx＋c 应该相等，从而比较即可得出答案。
12．【答案】C
【知识点】因式分解的定义
【解析】【解答】解：∵（x+q）（x﹣2）=x2+（q﹣2）x﹣2q，
∴p=q﹣2，﹣2q=﹣6，
解得p=1，q=3，
∴（p﹣q）2=（1﹣3）2=4．
故答案为：C．
【分析】根据多项式的乘法运算，把（x+q）（x-2）展开，再根据对应项的系数相等进行求解即可.
13．【答案】B
【知识点】因式分解的定义
【解析】【解答】解：∵代数式x2+ax可以分解因式，
∴常数a不可以取0．
故答案为：B．
【分析】根据因式分解的定义，就是将一个多项式分解为几个整式的积的形式，从而可知x2+ax能分解因式的话，必须是多项式，故a≠0，从而得出答案。
14．【答案】2或4
【知识点】多项式乘多项式；因式分解的定义
【解析】【解答】∵ 可以因式分解为 ，
∴ ，
∴x2+(a+3)x+3a-2=x2+(m+n)x+mn，
∴ ，
∴a=m+n-3，
∴ ，
整理得： ，
∵其中 ， 均为整数，
∴ 或 ，
当m-3=1时，m=4，n=1，a=2，
当m-3=-1时，m=2，n=5，a=4，
当m-3=2时，m=5，n=2，a=4，
当m-3=-2时，m=1，n=4，a=2，
∴ 的值是 或 ，
故答案为 或
【分析】将原式展开得：a+3=m+n、3a-2=mn，消去a得到mn=3m+3n-11，进一步整理得（m-3）（3-n）=2，进而求得m-3=±1，±2，据此可以分别求得m、n的值，然后可以求得a的值即可．
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