第一章 平行线单元测试卷（困难）（含答案）

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浙教版初中数学七年级下册第一章《平行线》单元测试卷
考试范围：第一章； 考试时间：100分钟；总分120分，
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
注意：本试卷包含Ⅰ、Ⅱ两卷。第Ⅰ卷为选择题，所有答案必须用2B铅笔涂在答题卡中相应的位置。第Ⅱ卷为非选择题，所有答案必须填在答题卷的相应位置。答案写在试卷上均无效，不予记分。
第I卷（选择题）
一、选择题（本大题共12小题，共36分）
若与是同旁内角，，则
A. B.
C. 或 D. 的大小不定
某城市有四条直线型主干道分别为，，，，和相交，和相互平行且与、相交成如图所示的图形，则共可得同旁内角对．
A.
B.
C.
D.
如图，和为同位角的是
A. B.
C. D.
如图，给出下列条件：；；；且其中，能推出的是
A.
B.
C.
D.
有下列说法：
过一点有且只有一条直线与已知直线平行；
若，则可以取的值有个；
关于，的方程组，将此方程组的两个方程左右两边分别对应相加，得到一个新的方程，其中当每取一个值时，就有一个方程，而这些方程总有一个公共解，则这个公共解是；
不能用平方差公式进行计算，其中正确的有
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
下列条件中，能说明的条件有个
；；；
；；．
A. B. C. D.
一辆汽车在笔直的公路上行驶，两次拐弯后，仍在原来的方向上平行前进，那么两次拐弯的度数是
A. 第一次右拐，第二次左拐 B. 第一次左拐，第二次右拐
C. 第一次左拐，第二次左拐 D. 第一次右拐，第二次右拐
如图，一副三角尺按如图所示放置，度，则为
A.
B.
C.
D.
已知：如图，，则，，之间的关系是
A.
B.
C.
D.
如图，在边长为的等边三角形中，为边上一点，且点，分别在边，上，且，为边的中点，连接交于点若，则的长为
A.
B.
C.
D.
如图，将边长为的等边沿方向向右平移得到，若与重叠部分面积为，则此次平移的距离是
A. B. C. D.
如图，在中，，将沿着射线的方向平移，得到，连接、，若，，则的长为
A. B. C. D.
第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共4小题，共12分）
大正方形的边长为厘米，小正方形的边长为厘米，起始状态如图所示．大正方形固定不动，把小正方形以厘米秒的速度向右沿直线平移，设平移的时间为秒，两个正方形重叠部分的面积为平方厘米．当时，小正方形平移的时间为 秒．
如图是重叠的两个直角三角形，将其中一个直角三角形沿方向平移得到三角形，如果，，，则图中阴影部分的面积是________．
将一副三角板如图所示摆放，直线，现将三角板绕点以每秒的速度顺时针旋转，同时三角板绕点以每秒的速度顺时针旋转，设时间为秒，如图，，，且，若边与三角板的一条直角边边，平行时，则所有满足条件的的值为______．
如图，与是同旁内角的角共有____________个．
三、解答题（本大题共8小题，共72分）
探索与发现：在同一平面内，
若直线，，则直线与的位置关系是 ，请说明理由
若直线，，，则直线与的位置关系是 直接填结论，不需要证明
现在有条直线，，，，，且有，，，，，请你探索直线与的位置关系．
逻辑推理将复杂的平面图形分解成若干个基本图形是解决疑难问题的法宝在学习几何的过程中，多总结、归纳几何基本图形，一定会得到意想不到的收获数学大师罗增儒在著作数学解题学引论中也专门阐述了把复杂的数学问题分解为基本问题来研究，化繁为简，化整为零是一种常见的数学解题思想．



在相交线与平行线这章中，有一个基本图形：三线八角如图，在这个基本图形中，有 对同位角， 对内错角， 对同旁内角
如图，平面内三条直线，，两两相交，交点分别为、、，图中一共有 对同旁内角
平面内四条直线两两相交，最多可以形成 对同旁内角
平面内条直线两两相交，最多可以形成 对同旁内角．
如图所示，，根据这一条件，你能得到吗？请写出过程．
将一副三角板中的两块直角三角尺的直角顶点按如图方式叠放在一起其中，，；：
若，则的度数为____．
若，则的度数为______．
由猜想与的数量关系，并说明理由．
当且点在直线的上方时，这两块三角尺是否存在一组边互相平行？若存在，请直接写出角度所有可能的值不必说明理由；若不存在，请说明理由．
把下面的证明过程补充完整．
已知：如图，中，于点，于点，且．
求证：．
证明：于点，于点，已知
，垂直定义
等量代换
______
______
又，已知
______
______．
______
已知直线，为平面内一点，连接，．
当点在直线的上方时，
如图，已知，时，求的度数．
如图，和的角平分线交于点，求证：；
若在直线，之间，和的角平分线交于点，且，求的度数．
如图所示，已知，试判断直线和直线的位置关系．并说明理由．
已知，是等边三角形，将一块含有角的直角三角板如图放置，让三角板在所在的直线上向右平移，如图，当点与点重合时，点恰好落在三角形的斜边上．
利用图证明：；
在三角板的平移过程中，在图中线段是否始终成立假定，与三角板斜边的交点为、？如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：同旁内角只是一种位置关系，并没有一定的大小关系，只有两直线平行时，同旁内角才互补．
故选D．
两直线平行时同旁内角互补，不平行时无法确定同旁内角的大小关系．
本题考查了同位角、内错角、同旁内角．特别注意，同旁内角互补的前提条件是两直线平行．
2.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了同旁内角在题中的应用，在较复杂图形中确定“三线八角”可从截线入手，分类讨论，做到不重复不遗漏 观察图形，确定不同的截线分类讨论，如分 、 被 所截， 、 被 所截， 被 所截， 、 被 所截， 、 被 所截， 、 被 所截 、 被 所截、 、 被 所截来讨论．
【解答】
解： 、 被 所截，有两对同旁内角，其它同理，
故一共有同旁内角 对．
故选 D ．
3.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查的是同位角的定义的有关知识，根据同位角的特征：两条直线被第三条直线所截形成的角中，两个角都在两条被截直线的同侧，并且在第三条直线 截线 的同旁，由此判断即可．
【解答】
解： 和 是同位角，故 A 正确；
B. 和 不是同位角，故 B 错误；
C. 和 不是同位角，故 C 错误；
D. 和 不是同位角，故 D 错误．
故选 A ．
4.【答案】
【解析】
【分析】
利用平行线的判定方法判断即可得到正确的选项． 此题考查了平行线的判定，熟练掌握平行线的判定方法是解本题的关键．
【分析】
解： ，
，本选项符合题意；
， ，本选项不符合题意；
，
，本选项符合题意；
，
，
，
，
，本选项符合题意，
则符合题意的选项为 ．
故选 D ．

5.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了有理数的乘方、 指数幂的意义、二元一次方程的解、平行公理等知识点，利用平行公理对 判断，利用平方差公式的特点对 分析， 通过 指数、底数为 ，底数为 对代数式进行分类讨论得结果， 抓住 取每一个值方程的解都相同，求出 、 的值．
【解答】
解： 点不能在直线上，应该是过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故本选项不正确；
当 、 时， ，故本选项不正确；
新方程为 ，
每取一个值时，就有一个方程，而这些方程总有一个公共解，
当 时， ，
当 时，
所以公共解是
不能用平方差公式进行判断，故不正确；
综上正确的说法是 个．
故选 B
6.【答案】
【解析】
【分析】
此题考查平行线的判定，正确识别“三线八角”中的同位角、内错角、同旁内角是正确答题的关键，不能遇到相等或互补关系的角就误认为具有平行关系，只有同位角相等、内错角相等、同旁内角互补，才能推出两被截直线平行 根据平行线的判定定理逐一判断，排除错误答案．
【解答】
解： ，可得 ，错误；
，可得 ，正确；
，不能判断 ，错误；
，不能判断 ，错误；
，可得 ，正确；
，可得 ，错误；
综上诉述 共 个正确．
故选 B ．
7.【答案】
【解析】解：如图：
可得与平行，但方向相反，
平行，且方向向同，
A、不平行．
故选：．
首先根据题意画出图形，由同位角相等，两直线平行，即可求得答案，注意排除法在解选择题中的应用．
此题考查了平行线的判定．注意同位角相等，两直线平行定理的应用，注意数形结合思想的应用．
8.【答案】
【解析】解：过点作平行线交于，
由题意易知，，
，
，
，
．
故选：．
过点作平行线交于，根据平行线的性质求出，求出，根据平行线的性质、平角的概念计算即可．
本题考查的是平行线的性质、三角形内角和定理的应用，掌握两直线平行、内错角相等是解题的关键．
9.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查平行线的判定和性质，掌握平行线的判定和性质是解题的关键，即 两直线平行 同位角相等， 两直线平行 内错角相等， 两直线平行 同旁内角互补， ， 分别过 、 作 的平行线 和 ，由平行线的性质可得到 ，可求得答案
【解答】
解：如图，分别过 、 作 的平行线 和 ，
，
，
， ， ，
，
又 ，
，
又 ，
，
，
即 ．
故选 C ．
10.【答案】
【解析】解：等边三角形边长为，，
，，
等边三角形中，，
，
，
，
，
，，
如图，连接，则中，，
，
是等边三角形，
，
垂直平分，
，，
中，，，
为的中点，
，
，
故选：．
根据等边三角形边长为，在中求得的长，再根据垂直平分，在中求得，最后根据线段和可得的长．
本题主要考查了三角形的综合应用，解决问题的关键是掌握等边三角形的性质、平行线的性质、线段垂直平分线的判定等．熟练掌握这些性质是解题的关键．
11.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查了平移的性质以及等边三角形的判定和性质，和直接三角形的性质根据平移的性质可得≌，，可知是等边三角形，然后根据所对直角边是斜边的一般，根据勾股定理和三角形面积公式即可求出，从而可得平移距离．
【解答】
解：是由向右平移得到的
≌，
又是等边三角形，
，
是等边三角形，
设，
则的高，
则，
，则，
．
故选B．

12.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查平移的性质、等边三角形的判定和性质以及直角三角形的性质等先根据平移的性质得出，，，在根据已知条件，判定是等边三角形，根据等边三角形的性质得出，等量代换得出根据三角形内角和定理求出再根据直角性性质求出最后求出．
【解答】
解：沿着射线的方向平移，
，，，
又，
是等边三角形，
，
，
，
，
又，
．
．
．
故选A．

13.【答案】或
【解析】
【分析】
本题考查了平移的性质，主要利用了长方形的面积，难点在于分两种情况解答．
先求出重叠部分长方形的宽，再分重叠部分在大正方形的左边和右边两种情况讨论求解．
【解答】
解：当 时，重叠部分长方形的宽 ，
重叠部分在大正方形的左边时， 秒，
重叠部分在大正方形的右边时， 秒，
综上所述，小正方形平移的时间为 或 秒．
故答案为 或 ．
14.【答案】
【解析】
【分析】
考查了平移的性质，解答此题的关键是明确阴影部分的面积等于梯形 的面积，据此即可解答．因为四边形 是一个梯形，因为两个直角三角形是完全重合的，所以阴影部分的面积等于梯形 的面积，又因为 ，据此求出 ，再利用梯形的面积公式计算即可解答．
【解答】
解：平移后： ，
答：图中阴影部分面积为 ．
故答案为： ．
15.【答案】或
【解析】
【分析】
本题考查了平行线的性质，解决本题的关键是掌握平行线的性质．
根据题意得 ， ， 如图 ，当 时，延长 交 于点 ，分两种情况讨论： 在 上方时， 在 下方时， ，列式求解即可； 当 时，延长 交 于点 ， 在 上方时， ， 在 下方时， ，列式求解即可．
【解答】
解：由题意得， ， ，
如图 ，当 时，延长 交 于点 ，
在 上方时，
， ， ，
，
，
，
，
，即 ，
，
在 下方时， ，
， ， ，
，
，
，
，
，即 ，
不符合题意，舍去 ，
当 时，延长 交 于点 ，
在 上方时， ，
， ，
，
，
，
，
，即 ，
，
在 下方时， ，
， ， ，
，
，
，
，
，即 ，
不符合题意，舍去 ，
综上所述：所有满足条件的 的值为 或 ．
故答案为： 或 ．
16.【答案】
【解析】解：与是同旁内角的有：、、，共个．
故答案为：．
同旁内角：两个内角都在截线的同一侧，且在两条被截线之间，具有这样位置关系的一对角互为同旁内角．
本题主要考查了同旁内角的定义．解答此类题确定三线八角是关键，可直接从截线入手．对平面几何中概念的理解，一定要紧扣概念中的关键词语，要做到对它们正确理解，对不同的几何语言的表达要注意理解它们所包含的意义．
17.【答案】解：．
理由如下：如图，因为，所以，
因为，所以，所以．
同的解法，如图，直线与的位置关系是．
直线与的位置关系是，
直线与的位置关系是，
直线与的位置关系是，
直线与的位置关系是，
直线与的位置关系是，
位置关系以四次为一个循环，规律：下标除以余数为或时与垂直，下标除以余数为或时与平行，
，
．
【解析】见答案
18.【答案】解：
【解析】解：直线，被直线所截，在这个基本图形中，形成了对同位角，对内错角，对同旁内角．
平面内三条直线，，两两相交，图形可分为三个基本图形，故共有对同旁内角．
平面内四条直线两两相交，最多可以形成对同旁内角．
平面内条直线两两相交，最多可以形成对同旁内角．
19.【答案】解：可以得到，
过作，
又，
，
，
，
，
．
【解析】过作，再由条件可得，根据内错角相等，两直线平行可得，，进而可得．
此题主要考查了平行线的判定，关键是掌握平行线的判定定理，正确作出辅助线．
20.【答案】解：；
；
与的数量关系是：．
理由：，
；
存在，当时，，理由如下，如图所示：
，，
，
；
当时，，理由如下，如图所示：
，，
，
又，
；
当时，，理由如下，如图所示：
，
，
又，
，
；
当时，，理由如下，如图所示：
，
，
，
，
；
当时，理由如下：
延长交于，如图所示：
，
，
，
，
，
，
．
故当时，；
当时，；
当时，；
当时，；
当时，．
【解析】
【分析】
本题主要考查角的计算，互余的性质，平行线的判定以及分类讨论的思想 关键是理清图中角的和差关系．
首先计算出 的度数，再用 即可求出 的度数；
首先计算出 的度数，再计算出 即可；
根据 中的计算结果可得 ，再根据图中的角的和差关系进行推理即可；
根据平行线的判定方法可得．
【解答】
解： 由互余 ，
由角的和差得 ．
故答案为 ；
， ，
，
．
故答案为 ；
见答案；
见答案．
21.【答案】同位角相等，两直线平行 两直线平行，同位角相等 等量代换 两直线平行，同旁内角互补
【解析】证明：，，垂足分别为、已知
垂直的定义，
同位角相等，两直线平行．
已证
两直线平行，同位角相等
又已知，
等量代换，
，内错角相等，两直线平行
两直线平行，同旁内角互补
故答案为：
：同位角相等，两直线平行；
：两直线平行，同位角相等；
：等量代换；
：；
：两直线平行，同旁内角互补．
由，，得到，根据平行线的判定和性质得到由等量代换得到，证出，从而证得结论．
本题考查了平行线的判定与性质，属于基础题，关键是正确利用平行线的性质与判定定理证明．
22.【答案】解：如图，
，
，
，
；
，
设交于．
平分，平分，
，，
，，
，
；
如图，过作，过作，
，
，
，，，，
，，
平分，平分，
，，
如图
过作，过作
，
，
，，，
和的角平分线交于点
，
【解析】本题考查了平行线的性质，三角形的外角性质的应用，主要考查学生的推理能力，题目比较好，但是有一定的难度．
根据平行线的性质推出同位角相等，再根据三角形的内角和得出；再代入，求，即可；
先根据角平分线定义得，，再根据三角形内角和得出即可；
分类讨论法：
第一种：过作，过作，先根据平行线的性质求出，直接代入求解
第二种：过作，过作，先根据平行线的性质求出，直接代入求解
23.【答案】解；，理由如下：
，，
，
，
，
，
，
．
【解析】由条件可得到可证得，可得到，结合条件可证明．
本题主要考查平行线的判定和性质，掌握两直线平行同旁内角互补是解题的关键．
24.【答案】解：是等边三角形，
，．
．
，
，
，
．
成立．
是等边三角形，
，．
．
，
．
，
．
又，，
．
【解析】根据等边三角形的性质，得，结合三角形外角的性质，得，则，从而证明结论；
根据中的证明方法，得到根据中的结论，知，从而证明结论．
此题综合运用了等边三角形的性质、三角形的外角性质以及等腰三角形的判定及性质．
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