第二章《二元一次方程组》单元测试卷（标准难度）（含解析）

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浙教版初中数学七年级下册第二章《二元一次方程组》单元测试卷
考试范围：第二章； 考试时间：100分钟；总分120分，
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
注意：本试卷包含Ⅰ、Ⅱ两卷。第Ⅰ卷为选择题，所有答案必须用2B铅笔涂在答题卡中相应的位置。第Ⅱ卷为非选择题，所有答案必须填在答题卷的相应位置。答案写在试卷上均无效，不予记分。
第I卷（选择题）
一、选择题（本大题共12小题，共36分）
二元一次方程正整数解共有 组．
A. B. C. D.
如果含有两个未知数的方程有一组解是整数，我们称这个方程有整数解请你观察下面的四个方程：

其中有整数解的方程是
A. B. C. D.
已知关于，的二元一次方程，无论取任何实数，该二元一次方程都有一组固定的解，则这组固定的解为
A. B. C. D.
若方程组的解和互为相反数，则的值为
A. B. C. D.
三个同学对问题“若方程组的解是，求方程组的解．”提出各自的想法．甲说：“这个题目好象条件不够，不能求解”；乙说：“它们的系数有一定的规律，可以试试”；丙说：“能不能把第二个方程组的两个方程的两边都除以，通过换元替代的方法来解决”参考他们的讨论，你认为这个题目的解应该是　　
A. B. C. D.
已知关于，的二元一次方程组，给出下列结论中正确的是
当这个方程组的解，的值互为相反数时，；
当时，方程组的解也是方程的解；
无论取什么实数，的值始终不变；
若用表示，则；
A. B. C. D.
如果方程组的解为，那么“”和“”所表示的数分别是
A. ， B. ， C. ， D. ，
若关于，的二元一次方程组的解为则关于，的二元一次方程组的解为
A. B. C. D.
在关于，的二元一次方程组的下列说法中，错误的是
A. 当时，方程的两根互为相反数
B. 不存在自然数，使得，均为正整数
C. ，满足关系式
D. 当且仅当时，解得为的倍
已知关于，的方程组，给出下列结论：是方程组的一个解；当时，，的值互为相反数；，的数量关系是；有最小值，其中正确的是
A. B. C. D.
如图，在长方形中，放入六个形状大小相同的长方形，所标尺寸如图所示，则图中阴影部分面积为
A. B. C. D.
被历代数学家尊为“算经之首”的九章算术是中国古代算法的扛鼎之作．九章算术中记载：“今有五雀、六燕，集称之衡，雀俱重，燕俱轻．一雀一燕交而处，衡适平．并燕、雀重一斤．问燕、雀一枚各重几何？”译文：“今有只雀、只燕，分别聚集而且用衡器称之，聚在一起的雀重，燕轻．将一只雀、一只燕交换位置而放，重量相等只雀、只燕重量为斤．问雀、燕毎只各重多少斤？”设每只雀重斤，每只燕重斤，可列方程组为
A. B.
C. D.
第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共4小题，共12分）
孙子算经是中国传统数学最重要的著作，约成书于四、五世纪．现在传本的孙子算经共三卷．卷上叙述算筹记数的纵横相间制度和筹算乘除法则；卷中举例说明筹算分数算法和筹算开平方法；卷下记录算题，不但提供了答案，而且还给出了解法．其中记载：“今有木，不知长短．引绳度之，余绳四尺五，屈绳量之，不足一尺．问木长几何？”
译文：“用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余尺，将绳子对折再量长木，长木还剩余尺，问长木长多少尺？”设绳长尺，长木为尺，可列方程组为______．
已知二元一次方程：请写出它的正整数解______．
对于实数，，定义运算“”：，例如，因为所以若，满足方程组，则______．
已知是方程的一个解，则的值是______ ．
三、解答题（本大题共8小题，共72分）
已知方程．
用含的代数式表示；
求当，，时，对应的值，并写出方程的三个解．
如图所示，一个大长方形刚好由个相同的小长方形拼成，其上、下两边各有个水平放置的小长方形，中间恰好用若干个小长方形平放铺满．若这个大长方形的长是宽的倍，求的值．
已知，满足方程组且．
试用含的式子表示方程组的解；
求实数的取值范围；
化简．
甲、乙两位同学一起解方程组由于甲看错了方程中的，得到的解为，乙看错了方程中的，得到的解为，试根据上述条件，求解下列问题：
求、的值；
计算．
钱塘江汛期即将来临，防汛指挥部在一危险地带两岸各安置了一探照灯，便于夜间查看江水及两岸河堤的情况．如图，灯射线自顺时针旋转至便立即回转，灯射线自顺时针旋转至便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．若灯转动的速度是秒，灯转动的速度是秒，且、满足假定这一带长江两岸河堤是平行的，即，且．
求、的值；
若灯射线先转动秒，灯射线才开始转动，在灯射线到达之前，灯转动几秒，两灯的光束互相平行？
如图，两灯同时转动，在灯射线到达之前，若射出的光束交于点，过作交于点，则在转动过程中，与的数量关系是否发生变化？若不变，请求出其数量关系；若改变，请求出其取值范围．
已知关于，的方程组和的解相同，求，的值．
已知关于，的二元一次方程组的解，互为相反数，求的值．
高速公路作为一种现代化的公路运输通道，对沿线的物流、资源开发、招商引资、产业结构的调整、横向经济联合起到积极的促进作用．在、两城市间准备修建一条千米的高速公路，若该任务由甲、乙两工程队先后接力完成路基建设，甲工程队每天修建千米，乙工程队每天修建千米，两工程队共需天完成路基建设，求甲、乙两工程队分别修建高速公路路基多少千米？根据题意，小刚同学列出了一个尚不完整的方程组
根据小刚同学所列的方程组，请你分别指出未知数，表示的意义：表示______，表示______；
小红同学设甲工程队修建高速公路路基千米，乙工程队修建高速公路路基千米，请你利用小红同学设的未知数解决问题．
24.为建设节约型、环境友好型社会，克服因干旱而造成的电力紧张困难，切实做好节能减排工作，某地决定对居民家庭用电实行“阶梯电价”电力公司规定：居民家庭每月用电量不超过千瓦时千瓦时俗称度时，实行“基本电价”；当居民家庭月用电量超过千瓦时时，超过部分实行“提高电价”．
小张家年月份用电千瓦时，缴纳电费元；月份用电千瓦时，缴纳电费元．求“基本电价”和“提高电价”分别为多少元千瓦时；
若月份小张家用电千瓦时，请计算小张家月份应缴纳的电费．
答案和解析
1.【答案】
【解析】
【分析】
此题考查了解二元一次方程，关键是求出的范围将看做已知数求出，根据、为正整数得出或或或，代入求出即可．
【解答】
解：，
，
、为正整数，
当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
正整数解为：，共组．
故选B．

2.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查的是二元一次方程的解有关知识， 根据已知条件，运用特殊值法，得出方程有一组整数解即可说明这个方程有整数解．
【解答】
解：，，的系数为偶数，又因为它们是整数，所以乘积一定也为偶数，所以之和绝对不是奇数；
，当时，，正好符合要求，所以它正确；
，当时，，符合要求，所以它有整数解；
当时，，符合要求，所以它有整数解．
这个方程有整数解．

3.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了二元一次方程的解，将原式进行变换后即可求出这个固定解．
【解答】
解：由题意可知： ，
由于无论取任何实数，该二元一次方程都有一个固定的解，
列出方程组
解得：
故选C．

4.【答案】
【解析】解：根据题意增加方程则，将此代入得，，
将，的值代入第二个方程得：，
则，
解得．
故选：．
根据和互为相反数增加一个方程，由此三个方程分别求出，，的值．
此题主要考查了二元一次方程组解的定义．首先理解题意得到第三个方程，然后将此三个方程联立成方程组求解出，，的值．
5.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查了方程组的解法，正确观察已知方程的系数之间的关系是解题的关键．把第二个方程组的两个方程的两边都除以 ，通过换元替代的方法即可得到一个关于 ， 的方程组，即可求解．
【解答】
解：第二个方程组的两个方程的两边都除以 得：
方程组 的解是 ，
解得 ．
故选 C ．
6.【答案】
【解析】
【分析】
此题主要考查了二元一次方程组的解的知识点，方程组的解即为能使方程组中两方程成立的未知数的值．
先用 表示出二元一次方程组的解，然后逐项判断即可．
【解答】
解：解方程组 ，得 ，
当 时， ， ， ， 的值互为相反数，结论 正确；
当 时， ， ，方程 ，结论 错误；
，故无论 取什么实数， 的值始终不变，结论 正确；
，
，
，
，
，整理得 ，结论 正确．
正确．
故选 D ．

7.【答案】
【解析】解：设“”为，“”为，
则方程组为的解是，
代入得：，
解得：，
方程组的解是，代入得：，
解得：，
即“”为，“”为，
故选：．
把方程组的解代入即可求出，再代入求出“”即可．
本题考查了二元一次方程组的解，能理解二元一次方程组的解的含义是解此题的关键．
8.【答案】
【解析】
【分析】
此题考查了二元一次方程组的解，利用了类比的方法，弄清题中方程组解的特征是解本题的关键．
利用关于 、 的二元一次方程组 的解为 得到 ， ，从而求出 、 即可．
【解答】
解： 关于 、 的二元一次方程组 的解为 ，
把关于 ， 的二元一次方程组 看作关于 和 的二元一次方程组，
，解得 ．
关于 ， 的二元一次方程组 为 ．
9.【答案】
【解析】解：、当时，方程组为，
得：，
解得：，
把代入得：，
则，即方程的两根互为相反数，不符合题意；
B、，
得：，
解得：，，
要使为正整数，可得，，，；同理，，，，
当时，，，
所以存在自然数，使得，均为正整数，符合题意；
C.，不符合题意；
D.当时，解得
，，
为的倍，不符合题意．
故选：．
A.当时，方程组变形得到结果，即可作出判断；
B.用含是代数式表示和，当时，，，即可作出判断；
C.用含是代数式表示和，再代入进行计算即可作出判断；
D.用含是代数式表示和，将代入，进行计算即可判断．
本题考查了二元一次方程组的解、二元一次方程的解、解二元一次方程组，解决本题的关键是掌握二元一次方程的相关知识．
10.【答案】
【解析】解：将，代入方程组得：，
解得，故正确；
将代入方程组得：，
得：，即，
将代入得：，
则与互为相反数，故正确；
，
得，，整理得，故错误；
由得，
．
最小值是．
则正确的选项为．
故选：．
将，代入检验即可做出判断；将代入方程组求出方程组的解即可做出判断；消去字母，再整理可得与的关系；用含的式子表示出，再利用二次函数的性质可得最小值．
此题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程成立的未知数的值．
11.【答案】
【解析】解：设小长方形的长为，宽为，
依题意，得：，
解得：，
故选：．
设小长方形的长为，宽为，观察图形，可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出，的值，再利用阴影部分的面积大长方形的面积小长方形的面积，即可求出结论．
本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
12.【答案】
【解析】
【分析】
设每只雀有 斤，每只燕有 斤，根据五只雀、六只燕，共重 斤，雀重燕轻，互换其中一只，恰好一样重，列方程组即可．
本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程组．
【解答】
解：设每只雀有 斤，每只燕有 斤，
由题意得 ，
故选 C ．
13.【答案】
【解析】解：设绳长尺，长木为尺，
依题意得，
故答案为：．
本题的等量关系是：绳长木长；木长绳长，据此可列方程组求解．
此题考查二元一次方程组问题，关键是弄清题意，找准等量关系，列对方程组，求准解．
14.【答案】，，
【解析】解：方程变形得：，
当时，；时，；时，，
则方程的正整数解为：，，．
故答案为：，，．
用表示出，令为正整数求出的值，即可确定出方程的正整数解．
此题考查了解二元一次方程，将看做已知数求出是解本题的关键．
15.【答案】
【解析】解：由题意可知：，
解得：
，
原式
故答案为：
根据二元一次方程组的解法以及新定义运算法则即可求出答案．
本题考查二元一次方程组的解法，解题的关键是熟练运用二元一次方程组的解法以及正确理解新定义运算法则，本题属于基础题型．
16.【答案】
【解析】解：把代入方程得：，
，
故答案为：．
把方程组的解代入到方程中，得到关于的一元一次方程，解方程即可．
本题考查了二元一次方程的解，把方程组的解代入到方程中，得到关于的一元一次方程是解题的关键．
17.【答案】解：，
．
当时，；时，；时，．
故方程的三个解可为
【解析】此题主要考查了解二元一次方程及二元一次方程的解．
将方程移项即可求出用关于的代数式表示；
将的值代入方程中，即可得出对应的的值，就求出了方程的三个解．
18.【答案】解：依题意，设小长方形的长为，宽为，
则大长方形的边长分别为，，
由图可知，
大长方形长为，宽为，
则，
解得，
．
【解析】略
19.【答案】解：
，
得
把代入，
得
；
，
，
．
，
．
【解析】此题综合性较强，综合考查了二元一次方程组、一元一次不等式组及绝对值的性质，是中学阶段的重点内容．
把看作常数，根据加减消元法解方程组即可；
根据列出不等式组，求出的取值范围即可；
根据的取值范围及去绝对值符号的法则去掉绝对值符号再计算即可．
20.【答案】解：根据题意得：
解得：，；
．
【解析】本题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程都成立的未知数的值．
把甲的结果代入方程求出的值，把乙的结果代入方程求出的值即可；
将和的值代入式子中化简求值即可．
21.【答案】解：．
又，．
，；
设灯转动秒，两灯的光束互相平行，
当时，
，
解得；
当时，
，
解得；
当时，
，
解得不合题意
综上所述，当秒或秒时，两灯的光束互相平行；
设灯转动时间为秒，
，
，
又，
，
，
，
：：．
【解析】利用非负数的性质解决问题即可．
分三种情形，利用平行线的性质构建方程即可解决问题．
由参数表示，即可判断．
本题主要考查了解二元一次方程组，平行线的判定与性质，估算无理数的大小以及角的和差关系的运用，解决问题的关键是运用分类思想进行求解．
22.【答案】解：将与联立成方程组
解得
将代入得，
解得；
，
，
由题意得，，
则，
．
【解析】此题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程成立的未知数的值．
联立两方程中不含，的方程求出相同的解即可，再把求出的解代入剩下的方程中求出与的值即可．
此题主要考查了二元一次方程组的解，关键是掌握加减消元法，正确表示出、．
首先用含的式子表示，再根据题意得出，得到即可求出．
23.【答案】甲工程队修建高速公路路基的天数 乙工程队修建高速公路路基的天数
【解析】解：表示甲工程队修建高速公路路基的天数，表示乙工程队修建高速公路路基的天数，
故答案为：甲工程队修建高速公路路基的天数，乙工程队修建高速公路路基的天数；
由题意得：，
解得：，
答：甲工程队修建高速公路路基千米，乙工程队修建高速公路路基千米．
由题意：修建一条千米的高速公路，甲工程队每天修建千米，乙工程队每天修建千米，两工程队共需天完成路基建设，即可得出结论；
修建一条千米的高速公路，甲工程队每天修建千米，乙工程队每天修建千米，两工程队共需天完成路基建设，列出二元一次方程组，解方程组即可．
本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
24.【答案】解：设“基本电价”为元千瓦时，“提高电价”为元千瓦时．
根据题意，得：，
解得：，
答：“基本电价”为元千瓦时，“提高电价”为元千瓦时；
元，
答：小张家月份应缴纳的电费为元．
【解析】设“基本电价”为元千瓦时，“提高电价”为元千瓦时．由题意：小张家年月份用电千瓦时，缴纳电费元；月份用电千瓦时，缴纳电费元．列出二元一次方程组，解方程组即可；
结合题意和的结果列式计算即可．
本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
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