第二章 二元一次方程组单元测试卷（困难）（含答案）

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浙教版初中数学七年级下册第二章《二元一次方程组》单元测试卷
考试范围：第二章； 考试时间：100分钟；总分120分，
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
注意：本试卷包含Ⅰ、Ⅱ两卷。第Ⅰ卷为选择题，所有答案必须用2B铅笔涂在答题卡中相应的位置。第Ⅱ卷为非选择题，所有答案必须填在答题卷的相应位置。答案写在试卷上均无效，不予记分。
第I卷（选择题）
一、选择题（本大题共12小题，共36分）
已知是关于，的二元一次方程，则，的值是
A. B. C. D.
若方程是关于，的二元一次方程，则的值为
A. B. C. D.
若是关于、的二元一次方程，则的值为
A. B. C. 或 D.
已知关于、的方程组，给出下列结论：
是方程组的解；
无论取何值，，的值都不可能互为相反数；
当时，方程组的解也是方程的解；
，都为自然数的解有对．
其中正确的个数为
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
已知，是方程组的解，则的值是
A. B. C. D.
已知关于，的方程组，给出下列结论：是方程组的一个解；当时，，的值互为相反数；当时，方程组的解也是方程的解；间的数量关系是其中正确的是
A. B. C. D.
已知关于，的二元一次方程组，下列结论中正确的是
当这个方程组的解，的值互为相反数时，；
当为正数，为非负数时，；
无论取何值，的值始终不变．
A. B. C. D.
已知是关于，的二元一次方程，则，的值是
A. B. C. D.
已知关于，的方程组为常数，给出下列结论，其中正确的是
是方程组的解；当时，方程组的解也是方程的解；无论取何值，，的值都不可能互为相反数；，都为正整数的解有对．
A. B. C. D.
若，是两个实数，且则等于．
A. B. C. D.
已知关于，的方程组，为常数，给出下列结论，其中正确的是
是方程组的解；当时，方程组的解也是方程的解；无论取何值，，的值都不可能互为相反数；，都为正整数的解有对．
A. B. C. D.
已知方程组的解是，则的解是
A. B. C. D.
第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共4小题，共12分）
现有八个大小相同的矩形，可拼成如图、所示的图形，在拼图时，中间留下了一个边长为的小正方形，则每个小矩形的面积是____．
随着新冠肺炎疫情逐步得到控制，全国各地各类学校逐渐实行复学．我校为了保证师生能够顺利的复学以及返校后师生的身体健康，早在月份学校两次同时购进了医用口罩、消毒液两种防疫医用产品，第一次购进医用口罩的包数比消毒液的瓶数多，第二次购进医用口罩的包数比第一次购进的医用口罩的数量少，结果第二次购买两种医用产品的总数量比第一次购买两种医用产品的总数量多，第二次购买的医用口罩、消毒液两种医用产品的总费用比第一次购买的医用口罩、消毒液两种医用产品的总费用少假设医用口罩、消毒液两种医用产品的单价不变，则消毒液与医用口罩的单价的比值是______．
若是二元一次方程，则的值____．
若关于，方程组的解为，则方程组的解为 ．
三、解答题（本大题共8小题，共72分）
某小区准备新建个停车位，以解决小区停车难的问题．已知新建个地上停车位和个地下停车位共需万元；新建个地上停车位和个地下停车位共需万元．
该小区新建个地上停车位和个地下停车位各需多少万元？
若该小区新建车位的投资金额超过万元而不超过万元，问共有几种建造方案？
对中的几种建造方案中，哪一种方案的投资最少？并求出最少投资金额．
为满足市民对优质教育的需求，某中学决定改善学校的办学条件，计划拆除一部分旧校舍，建造新校舍，拆除旧校舍每平方米需元，建造新校舍每平方米需元，计划在年内拆除旧校舍与建造新校舍共平方米，在实施中为扩大绿化面积，新建校舍只完成了计划的，而拆除校舍则超过了，结果恰好完成了原计划的拆、建的总面积．
求原计划拆、建面积各多少平方米？
为了鼓励增加城市绿化，该市园林部门有规定：若绿公面积不超过平方米，按每平方米元收费，若绿化面积超过平方米，超过部分按每平方米元收费，那么在实际完成的拆建工程中节余的资金用来绿化大约是多少平方米？
阅读下面的学习材料：
我们知道，一般情况下式子与“”是不相等的均为整数，但当，取某些特定整数时，可以使这两个式子相等，我们把使“”成立的数对“，”叫做“好数对”，记作，例如，当时，有成立，则数对“，”就是一对“好数对”，记作
解答下列问题：
通过计算，判断数对“，”是否是“好数对”；
求“好数对”中的值；
请再写出一对上述未出现的“好数对”______，______；
对于“好数对，如果为整数，则______用含的代数式表示．
对任意一个三位数，如果满足各个数位上的数字互不相同，且都不为零，那么称这个数为“相异数”，将一个“相异数”任意两个数位上的数字对调后可以得到三个不同的新三位数，把这三个新三位数的和与的商记为例如，对调百位与十位上的数字得到，对调百位与个位上的数字得到，对调十位与个位上的数字得到，这三个新三位数的和为，，所以．
计算：，；
若，都是“相异数”，其中，都是正整数，规定：，当时，求的最大值．
在学习“二元一次方程的解”时，数学张老师设计了一个数学活动，有、两组卡片，每组各三张，组卡片上分别写有，，；组卡片上分别写有，，每张卡片除正面写有不同数字外，其余均相同．甲从组随机抽取一张记为，乙从组随机抽取一张记为．
若甲抽出的数字是，乙抽出的数字是，它们恰好是方程的解，求的值；
在的条件下，求甲、乙随机抽取一次的数恰好是方程的解的概率请用树状图或列表法求解
阅读材料：善于思考的润冬同学在解方程组时，采用了一种“整体换元”的解法．
解：把，看成一个整体，设，，原方程组可化为
解得：．原方程组的解为．
若方程组的解是，则方程组的解是_________．
仿照润冬同学的方法，用“整体换元”法解方程组．
把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫整体代换或换元思想，请根据上面的思想解决下面问题：若关于，的方程组的解是求关于，的方程组的解．
24.三个同学对问题“若方程组的解是求方程组的解”提出各自的想法．
甲说：“这个题目好象条件不够，不能求解”
乙说：“它们的系数有一定的规律，可以试试”
丙说：“能不能把第二个方程组的两个方程的两边都除以，通过换元替代的方法来解决”．
参考他们的讨论，你能求出这个题目的解吗
答案和解析
1.【答案】
【解析】
【分析】
主要考查二元一次方程的概念，要求熟悉二元一次方程的形式及其特点：含有 个未知数，未知数的项的次数是 的整式方程．
根据二元一次方程的定义 含有 个未知数，未知数的项的次数是 的整式方程 解答．
【解答】
解：根据题意，得
，解得 ；
，解得 ，
即 ；
故选： ．
2.【答案】
【解析】解：根据题意得：，
解得：．
故选：．
二元一次方程满足的条件：含有个未知数，未知数的项的次数是的整式方程．
本题主要考查二元一次方程的概念，要求熟悉二元一次方程的形式及其特点：含有个未知数，未知数的项的次数是的整式方程．
3.【答案】
【解析】
【分析】
此题主要考查了二元一次方程的定义，正确把握定义是解题关键．直接利用二元一次方程的定义进而分析得出答案．
【解答】
解： 是关于 、 的二元一次方程，
， ，
解得： ．
故选 B ．
4.【答案】
【解析】解：将，代入方程组得：，
由得，由得，故不正确．
解方程
得：
解得：
将的值代入得：，
所以，故无论取何值，、的值都不可能互为相反数，故正确．
将代入方程组得：
解此方程得：
将，代入方程，方程左边右边，是方程的解，故正确．
因为，所以、都为自然数的解有，，，，故正确．
则正确的选项有，
故选：．
将，代入检验即可做出判断；
将和分别用表示出来，然后求出来判断；
将代入方程组求出方程组的解，代入方程中检验即可；
有得到、都为自然数的解有对．
此题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程成立的未知数的值．
5.【答案】
【解析】
【分析】
此题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程成立的未知数的值．将与的值代入方程组求出的值，即可确定出的值．
【解答】
解：，是方程组的解
，
解得：，
则
故选D．

6.【答案】
【解析】
【分析】
此题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程成立的未知数的值． 将 ， 代入检验即可做出判断； 将 代入方程组求出方程组的解即可做出判断； 将 代入方程组求出方程组的解，代入方程中检验即可； 消去 得到关于 与 的方程，即可做出判断．
【解答】
解： 将 ， 代入方程组得： ，
解得： ，本选项正确；
将 代入方程组得： ，
得： ，即 ，
将 代入 得： ，
则 与 互为相反数，本选项正确；
将 代入方程组得： ，
解得： ，
将 ， 代入方程 的左边得： ，是方程 的解，本选项正确；
，
由 得： ，
代入 得： ，
整理得： ，本选项错误，
则正确的选项为 ．
故选 C ．
7.【答案】
【解析】解：解方程组得：，
、互为相反数，
，
，
解得：，故正确；
为正数，为非负数，
，
解得：，故正确；
，，
，即的值始终不变，故正确；
故选：．
先求出方程组，根据相反数得出，求出后即可判断；
根据为正数和为非负数得出，求出不等式组的解后即可判断
根据和求出，即可判断．
本题考查了解二元一次方程组，二元一次方程组的解，解一元一次不等式，求代数式的值等知识点，能求出方程组的解是解此题的关键．
8.【答案】
【解析】
【分析】
主要考查二元一次方程的概念，要求熟悉二元一次方程的形式及其特点：含有 个未知数，未知数的项的次数是 的整式方程．
根据二元一次方程的定义 含有 个未知数，未知数的项的次数是 的整式方程 解答．
【解答】
解：根据题意，得
，解得 ；
，解得 ，
即 ；
故选： ．
9.【答案】
【解析】
【分析】
此题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程成立的未知数的值． 将 ， 代入检验即可做出判断； 将 代入方程组求出方程组的解，代入方程中检验即可； 将 和 分别用 表示出来，然后求出 来判断； 有 得到 、 都为正整数的解有 对．
【解答】
解： 将 ， 代入方程组得：
由 得 ，
由 得 ，故 不正确．
将 代入方程组得：
解此方程得：
将 ， 的值代入方程 ，方程左边 右边，是方程的解，故 正确．
解方程
得：
解得：
将 的值代入 得：
所以 ，故无论 取何值， 、 的值都不可能互为相反数，故 正确．
因为 ，所以 、 都为正整数的解有 ， 故 正确．
则正确的选项有 ．
故选： ．
10.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了含有绝对值的二元一次方程组的解法以及代数式求值，解题关键是运用分类讨论的思想去绝对值 解题时，由于 ， 的符号不确定，因此本题要分情况讨论： 当 时， 当 时， 当 时， 当 时，分别把原方程组化成不含绝对值的二元一次方程组，分别求解即可．注意答案的取舍．
【解答】
解： 当 时，原方程组为：
解得： ，但 ，所以此时方程组无解；
当 时，原方程组为：
解得
当 时，原方程组为：
解得： ，但 ，所以此时方程组无解．
当 时，原方程组为：
解得： ，但 ，所以此时方程组无解；
综上得，原方程组的解为
．
故选 C ．
11.【答案】
【解析】
【分析】
此题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程成立的未知数的值． 将 ， 代入检验即可做出判断； 将 代入方程组求出方程组的解，代入方程中检验即可； 将 和 分别用 表示出来，然后求出 来判断； 有 得到 、 都为正整数的解有 对．
【解答】
解： 将 ， 代入方程组得：
由 得 ，
由 得 ，故 不正确．
将 代入方程组得：
解此方程得：
将 ， 的值代入方程 ，方程左边 右边，是方程的解，故 正确．
解方程
得：
解得：
将 的值代入 得：
所以 ，故无论 取何值， 、 的值都不可能互为相反数，故 正确．
因为 ，所以 、 都为正整数的解有 ， 故 正确．
则正确的选项有 ．
故选： ．
12.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查二元一次方程组的解和解二元一次方程组．
先把方程组进行变形， ，再根据 的解，得到 ，即可求出答案．
【解答】
解： ，
方程组 的解是 ，
解得 ，
即 的解是 ．
故选 D ．
13.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了二元一次方程组的应用，考查看图的能力，分别从图中找到矩形的长和宽的关系式，从而可列出方程组求解
设小矩形的宽是 ，长是 ，根据图 可得到长和宽的一个方程，根据图 也可得到一个方程，从而可列出方程组求解．
【解答】
解：设小矩形的长为，宽为，则可列出方程组，
，解得
则小矩形的面积为．
故答案为．

14.【答案】
【解析】解：设第次购买消毒液的数量为，购买消毒液的单价为，口罩的单价为，
则第次购买口罩的数量为，第次购买口罩的数量为，
第次购买消毒液的数量为，由题意得，
，
即，，
所以，，
故答案为：．
设第次购买消毒液的数量为，购买消毒液的单价为，口罩的单价为，然后表示出第次购买口罩的数量为，第次购买口罩、消毒液的数量，然后表示出相应的总价，列方程求解即可．相应的数量关系如下表：
本题考查一元一次方程、二元一次方程组的应用，理清题中的数量关系是正确解答的关键，利用列表法表示数量关系清晰明了，便于理解．
15.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了二元一次方程的定义，代数式求值有关知识，根据二元一次方程的定义得出 且 且 ，求出 后代入，即可求出答案．
【解答】
解： 是二元一次方程，
且 且 ，
解得： ， ，
，
故答案为
16.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了消元法解二元一次方程组及二元一次方程组的解 将 变形为 ，根据 的解为 ，利用换元法求解即可．
【解答】
解：将 变形为
由 的解为 ，
则
解得 ，
故答案为 ．
17.【答案】解：设新建一个地上停车位需万元，新建一个地下停车位需万元，
由题意得：，
解得．
故新建一个地上停车位需万元，新建一个地下停车位需万元；
设新建个地上停车位，
由题意得：，
解得，
因为为整数，所以或，
对应的或，
故一共种建造方案；
当时，投资万元，
当时，投资万元，
故当地上建个车位地下建个车位投资最少，金额为万元．
【解析】设新建一个地上停车位需万元，新建一个地下停车位需万元，根据等量关系可列出方程组，解出即可得出答案．
设新建地上停车位个，则地下停车位个，根据投资金额超过万元而不超过万元，可得出不等式组，解出即可得出答案．
将和分别求得投资金额，然后比较大小即可得到答案．
本题考查了一元一次不等式组及二元一次方程组的应用，解答本题的关键是仔细审题，将实际问题转化为数学方程或不等式的思想进行求解，有一定难度．
18.【答案】解：设原计划拆除校舍平方米，新建校舍平方米，
根据题意得：，
解得：．
答：设原计划拆除校舍平方米，新建校舍平方米．
设在实际完成的拆建工程中节余的资金用来绿化平方米校园，
根据题意得：，
解得：．
答：在实际完成的拆建工程中节余的资金用来绿化平方米的校园．
【解析】设原计划拆除校舍平方米，新建校舍平方米，根据计划与实际均拆、建校舍共平方米，即可得出关于、的二元一次方程组，解之即可得出结论；
设在实际完成的拆建工程中节余的资金用来绿化平方米校园，根据扩大绿化所需的费用等于拆、建校舍节余的资金，即可得出关于的一元一次方程，解之即可得出结论．
本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次方程的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出二元一次方程组；根据扩大绿化所需的费用等于拆、建校舍节余的资金，列出关于的一元一次方程．
19.【答案】不是；
；
；；
、、．
【解析】解：令，，
则，，
，
，
故数对“，”不是“好数对”．
数对“，”是“好数对”，
，
，
解得．
设是一对“好数对”，
则，
，
令，则，
写出一对上述未出现的“好数对”答案不唯一
设是一对“好数对”，
则，应是满足的整数，
如果为整数，
则．
故答案为：、、．
令，，代入验证，判断出“，”是否是“好数对”即可．
首先根据数对“，”是“好数对”，可得：；然后根据解一元一次方程的方法，求出的值是多少即可．
设是一对“好数对”，则，应是满足的整数，不能是和．
设是一对“好数对”，则，应是满足的整数，如果为整数，则．
此题主要考查了解二元一次方程、解一元一次方程的方法和应用，以及“好数对”的含义和判断，要熟练掌握．
20.【答案】解：；
．
，都是“相异数”，，，
，．
，
，
．
，，且，都是正整数，
或或或或或．
是“相异数”，
，．
是“相异数”，
，．
或或，
或或，
或或，
的最大值为．
【解析】本题考查了二元一次方程的应用，解题的关键是：根据的定义式，求出、的值；根据、结合，找出关于、的二元一次方程．
根据的定义式，分别将和代入中，即可求出结论；
由、结合，即可得出关于、的二元一次方程，解之即可得出、的值，再根据“相异数”的定义结合的定义式，即可求出、的值，将其代入中，找出最大值即可．
21.【答案】解：将，代入方程得：，即；
列表得：
所有等可能的情况有种，其中恰好为方程的解的情况有，，，共种情况，
则抽取一次的数恰好是方程的解的概率为．
【解析】将，代入方程计算即可求出的值；
列表得出所有等可能的情况数，找出甲、乙随机抽取一次的数恰好是方程的解的情况数，即可求出所求的概率．
此题考查了列表法与树状图法，用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
22.【答案】解：；
设、；
原方程组化为：
，化简得：
得，；
，
，
将代入得，，
，
所以
即：
得：，
，
得：，
，
所以原方程组的解为：
．
【解析】
【分析】
本题考查二元一次方程组的解法，采用了阅读材料的形式，用“整体代换”的解法使复杂的二元一次方程组变得简单，这种方法应该牢记．
利用整体代换思想可知， ， ，根据阅读材料中的“整体换元”方法，得出 ，解方程组可得；
把 、 看作整体，设 、 ，原方程组化为： ，解出 和 ，再进一步求出 和 即可．
【解答】
根据阅读材料中的“整体换元”方法，设 ， ，
则原方程组可化为
方程组 的解是
解得：
故答案为 ；
见答案．
23.【答案】解：
由题意知：
解得
原方程组的解为
【解析】本题考查了二元一次方程组的解，换元思想，对比两个方程组，可得就是第一个方程组中的，即，同理可得，解出即可．
24.【答案】解：
两边同时除以，得
和方程组的形式一样，
所以
计算得出．
【解析】略
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