2021-2022学年浙教版数学七下2.5 三元一次方程组及其解法（选学）同步练习

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2021-2022学年浙教版数学七下2.5 三元一次方程组及其解法（选学）同步练习
一、单选题
1．（2021七下·防城月考）方程组 的解是(　　)
A． B．
C． D．
2．（2021七下·长寿期末）若实数 满足 ，则 （　　）
A． B． C． D．不能确定值
3．（2021七下·遂宁期末）若 ， ，则x＋y＋z的值等于（　　）
A．0 B．2 C．1 D．无法求出
4．（2021八上·温岭竞赛）有铅笔、练习本、圆珠笔三种学习用品．若购铅笔3支，练习本7本，圆珠笔1支共需31元；若购铅笔4支，练习本10本，圆珠笔1支共需42元．现购铅笔，练习本，圆珠笔各1个，共需（　　）
A．12元 B．10.5元 C．9.5元 D．9元
5．（2021七下·仁寿期末）6月18日最开始是京东的周年庆，相当于淘宝的双十一活动，在2013年之前，京东就将每年的6月18日定为年庆.2013年后，618就成了各大电商平台的网购节了.在618当日，小李在某电商平台上选择了甲乙丙三种商品，当购物车内选3件甲，2件乙，1件丙时显示价格为420元；当选2件甲，3件乙，4件丙时显示价格为580元，那么购买甲、乙、丙各一件时应该付款（　　）
A． 580元 B．500元 C．420元 D．200元
6．（2021七下·澄海期末）甲、乙、丙三种商品，若购买甲2件、乙4件、丙3件，共需220元钱，购甲3件、乙1件、丙2件共需235元钱，那么购甲、乙、丙三种商品各一件共需（　　）
A．85元 B．89元 C．90元 D．91元
7．（2021七下·杭州期中）为确保信息安全，信息需要加密传输，发送方由明文→密文（加密）（解密），接收方由密文→明文（解密），已知加密规则为：明文a，b，c，对应密文a+1，-a+2b+4，b+3c+9，如果接收方收到密文7，12，22，则解密得到的明文为（　　）
A．6，2，7 B．2，6，7 C．6，7，2 D．7，2，6
8．（2021七下·射洪月考）在抗击疫情网络知识竞赛中，为奖励成绩突出的学生，学校计划用200元钱购买A、B、C三种奖品，A种每个10元，B种每个20元，C种每个30元，在C种奖品不超过两个且钱全部用完的情况下，购买方案有（　　）
A．12种 B．14种 C．15种 D．16种
9．（2021八上·杭州期末）某宾馆有单人间，双人间，三人间三种客房供游客选择居住，现某旅游团有20名旅客同时安排游客居住在该宾馆，若每个房间都住满，共租了9间客房，则居住方案（　　）
A．1种 B．2种 C．3种 D．4种
10．（2021七上·嘉兴期末）小明和小亮在一起探究一个数学活动.首先小亮站立在箱子上，小明站立在地面上（如图1），然后交换位置（如图2），测量的数据如图所示，想要探究的问题有：①小明的身高；②小亮的身高；③箱子的高度；④小明与小亮的身高和.根据图上信息，你认为可以计算出的是（　　）
A．① B．② C．③ D．④
二、填空题
11．（2021七下·巴南期末）“端午节”是我国的传统佳节，民间历来有吃粽子的习俗.某超市准备了515个豆沙粽，525个火腿粽和若干个腊肉棕，将这些粽子分成了A，B，C三类礼品盒进行包装.A类礼品盒里有4个豆沙粽，4个火腿粽和6个腊肉粽；B类礼品盒里有3个豆沙粽，5个火腿粽和6个腊肉粽；C类礼品盒里有6个豆沙粽，4个火腿粽和4个腊肉粽.已知A，B，C三类礼品盒的数量都为正整数，并且A类礼品盒少于44盒，B类礼品盒少于49盒.如果所有礼品盒里的腊肉粽的总个数为m，则m=　 　
12．（2021八下·綦江期末）全球棉花看中国，中国棉花看新疆．新疆长绒棉花是世界顶级棉花，品质优，产量大，常年供不应求．綦江区某超市为了支持新疆棉花，在“五一节”进行促销活动，将新疆棉制成 、 、 三种品牌毛巾混装成甲、乙、丙三种礼包销售，其中甲礼包含1条 品牌毛巾、2条 品牌毛巾；乙礼包含2条 品牌毛巾、2条 品牌毛巾， 2条 品牌毛巾；丙礼包含2条 品牌毛巾、2条 品牌毛巾，每个礼包的售价等于礼包各条毛巾售价之和，5月1日当天，超市对 、 、 三个品牌毛巾的售价分别打8折、 折、 折销售，5月2日恢复原价，小明发现5月1日一个甲礼包的售价等于5月2日一个乙礼包售价的 ，5月1日一个乙礼包的售价比5月2日一个丙礼包售价少2.4元，若 、 、 三个品牌的毛巾原价都是正整数，且 品牌毛巾的原价不超过14元，则小明在5月1日购买的二个甲礼包和一个乙礼包，应该付　 　元．
13．（2021七下·苏州期末）“洞庭碧螺春，品香醉天下.”洞庭碧螺春产于苏州市太湖洞庭山，以形美、色艳、香浓、味醇“四绝”驰名中外.如图，若将一壶碧螺春茶倒满2个小杯，则还剩 壶；若倒满1个小杯后再全部倒入1个大杯中，则只能倒满这个大杯的 .1个小杯与1个大杯的容积之比为　 　.
14．（2021七下·卧龙期末）如图，在正方形 的每个顶点上写一个数，然后把它的每条边的两个端点上的数加起来，将结果写在这条边上，若 边上的数字是3， 边上的数字是7， 边上的数字是10，则 边上的数字是　 　.
15．（2021七下·万州期末）农历五月初五，中国传统节日端午节.某超市为了吸引顾客，在端午节当天推出由白粽、豆沙粽、蛋黄粽三种不同的粽子搭配而成的A、B两种礼盒，其中，A种礼盒含4个白粽、3个豆沙粽、3个蛋黄粽；B种礼盒含2个白粽、4个豆沙粽、4个蛋黄粽.每种礼盒的成本价分别为三种粽子的成本价之和（包装成本忽略不计），已知每盒A种礼盒的总成本为1个白粽成本的13倍，每盒A种礼盒的利润率为20%，每盒B种礼盒的利润率为25%，则当销售A、B两种礼盒的数量之比为7：26时，则该超市销售这两种礼盒的总利润率为　 　.
16．（2021七下·渝北期末）“吃了端午粽，才把棉衣送”，每逢农历的五月初五端午节，大家都会阖家团聚，品尝端午粽，尽享天伦之乐.今年端午节前夕某商场结合当地的情况，对A， ， 三种粽子进行搭配销售，并推出甲、乙两种盒装粽子，每一种盒装粽子的成本是该盒中所有A， ， 三种粽子的成本之和（盒子的费用不计）.每盒甲由3个A，1个 ，1个 组成；每盒乙由2个A，3个 ，3个 组成.每盒甲中所有A， ， 的成本之和是1个A成本的4倍，每盒乙的利润率为20%，每盒乙的售价比每盒甲的售价高20%.该商场在端午节这天销售这两种盒装粽子的总销售额为14700元，总利润率为22.5%.则该商场在端午节这天销售甲种盒装粽子的总利润是　 　元.
三、综合题
17．（2021七下·吴中期末）对于未知数为 ， 的二元一次方程组，如果方程组的解 ， 满足 ，我们就说方程组的解 与 具有“邻好关系”.
（1）方程组 的解 与 是否具有“邻好关系” 说明你的理由：
（2）若方程组 的解 与 具有“邻好关系”，求 的值：
（3）未知数为 ， 的方程组 ，其中 与 、 都是正整数，该方程组的解 与 是否具有“邻好关系” 如果具有，请求出 的值及方程组的解：如果不具有，请说明理由.
18．（2021七下·盐城期末）（阅读感悟）
对于方程组的问题，有时候要求的结果不是每个未知数的值，而是求关于未知数的代数式的值.如已知实数 、 满足 ，求 和 的值.
方法一：解方程组，分别求出 、 的值，代入代数式求值；
方法二：仔细观察两个方程中未知数的系数之间的关系，通过适当变形整体求代数式的值.解法如下：
①－②，得： ；①＋②×2，得： .
比较：方法一运算量较大，是常规思路；方法二运算较为简单，这种解题思路就是通常所说的“整体思想”.
（问题解决）
（1）已知二元一次方程组 ，则 　 　； 　 　.
（2）某班级因组织活动购买奖品.买13支铅笔、4块橡皮、2本笔记本共需48元；买25支铅笔、7块橡皮、3本笔记本共需84元.则购买5只铅笔、5块橡皮、5本笔记本共需　 　元.
（3）对于实数 、 ，定义新运算： ，其中 、 、 是常数，等式右边是通常的加减法和乘法运算.已知 ， ，那么 的值是　 　.
19．（2021七下·綦江期末）对于一个三位数 ，如果 满足：它的百位数字、十位数字之和与个位数字的差等于8，那么称这个数 为“快乐数”.例如： ， ， 是“快乐数”； ， ， 不是“快乐数”.
（1）判断844，735是否为“快乐数”？并说明理由；
（2）若将一个“快乐数” 的个位数的3倍放到百位，原来的百位数变成十位数，原来的十位数变成个位数，得到一个新的三位数 （例如：若 ，则 ），若 也是一个“快乐数”，求满足条件的所有 的值.
20．（2021·黄冈模拟）某体育彩票经销商计划用45000元从省体彩中心购进彩票20扎，每扎1 000张，
已知体彩中心有A、B、C三种不同价格的彩票，进价分别是A彩票每张1.5元，B彩票每张2元，C彩票每张2.5元.
（1）若经销商同时购进两种不同型号的彩票20扎，并将45000元恰好用完，请你帮助经销商设计进票方案：
（2）若销售A型彩票一张获手续费0.2元，B型彩票一张获手续费0.3元，C型彩票一张获手续费0.5元.在问题(1)设计的购进两种彩票的方案中，为使销售完时获得的手续费最多，你选择哪种进票方案？
（3）若经销商准备用45 000元同时购进A、B、C三种彩票20扎，请你帮助经销商设计一种进票方案.（直接写出答案）
21．（2021八上·成华期末）阅读理解：已知实数x，y满足3x﹣y＝5…①，2x＋3y＝7…②，求x﹣4y和7x＋5y的值.仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题可以通过适当变形整体求得代数式的值，如由①﹣②可得x﹣4y＝﹣2，由①＋②×2可得7x＋5y＝19.这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”.利用“整体思想”，解决下列问题：
（1）已知二元一次方程组 ，则x﹣y＝　 　，x＋y＝　 　；
（2）买20支铅笔、3块橡皮、2本日记本共需32元，买39支铅笔、5块橡皮、3本日记本共需58元，求购买5支铅笔、5块橡皮5本日记本共需多少元？
（3）对于实数x，y，定义新运算：x*y＝ax＋by＋c，其中a，b，c是常数，等式右边是实数运算.已知3*5＝15，4*7＝28，求1*1的值.
22．（2021八上·永安期末）有些关于方程组的问题，欲求的结果不是每一个未知数的值，而是关于未知数的代数式的值，如以下问题∶
已知实数x、y满足 ①， ②，求 和 的值.
本题常规思路是将①②两式联立组成方程组，解得x、y的值再代入欲求值的代数式得到答案，常规思路运算量比较大.其实，仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形整体求得代数式的值，如由①②可得 ，由①＋② 可得 .这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”.解决问题∶
（1）已知二元一次方程组 则 　 　， 　 　.
（2）某班级组织活动购买小奖品，买13支铅笔、5块橡皮、2本日记本共需31元，买25支铅笔、9块橡皮、3本日记本共需55元，则购买3支铅笔、3块橡皮、3本日记本共需多少元？
（3）对于实数x、y，定义新运算∶ ，其中a、b、c是常数，等式右边是通常的加法和乘法运算.已知 ， ，那么 　 　.
23．（2021八上·云阳期末）我国古代民间把正月正、二月二、三月三、五月五、六月六、七月七、九月九这“七重”列为吉庆日；“七”在生活中表现为时间的阶段性，比如一周有“七天”……在数的学习过程中，有一类自然数具有的特性也和“七”有关.
定义：对于四位自然数 ，若其千位数字与个位数字之和等于7，百位数字与十位数字之和也等于7，则称这个四位自然数 为“七巧数”.
例如：3254是“七巧数”，因为 ， ，所以3254是“七巧数”； 1456不是“七巧数”，因为 ，但 ，所以1456不是“七巧数”.
（1）若一个“七巧数”的千位数字为 ，则其个位数字可表示为　 　（用含 的代数式表示）；
（2）最大的“七巧数”是　 　，最小的“七巧数”是　 　；
（3）若 是一个“七巧数”，且 的千位数字加上十位数字的和，是百位数字减去个位数字的差的3倍，请求出满足条件的所有“七巧数” .
24．（2020·扬州）阅读感悟：
有些关于方程组的问题，欲求的结果不是每一个未知数的值，而是关于未知数的代数式的值，如以下问题：
已知实数x、y满足 ①， ②，求 和 的值.
本题常规思路是将①②两式联立组成方程组，解得x、y的值再代入欲求值的代数式得到答案，常规思路运算量比较大.其实，仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形整体求得代数式的值，如由①②可得 ，由①② 可得 .这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”.
解决问题：
（1）已知二元一次方程组 ，则 　 　， 　 　；
（2）某班级组织活动购买小奖品，买20支铅笔、3块橡皮、2本日记本共需32元，买39支铅笔、5块橡皮、3本日记本共需58元，则购买5支铅笔、5块橡皮、5本日记本共需多少元？
（3）对于实数x、y，定义新运算： ，其中a、b、c是常数，等式右边是通常的加法和乘法运算.已知 ， ，那么 　 　.
25．（2019七下·广丰期末）有一场足球比赛，共有九支球队参加，采取单循环赛，其记分和奖励方案如下表：
标准 胜一场 平一场 负一场
积分 3 1 0
奖励（元／人） 2000 800 0
甲队参加完了全部8场比赛，共得积分16分．
（1）求甲队胜负的所有可能情况；
（2）若每一场比赛，每一个参赛队员均可得出场费500元，求甲队参加了所有8场比赛的队员的个人总收入（奖金加上出场费）．
26．某货运公司接到 吨物资运载任务，现有甲、乙、丙三种车型的汽车供选择，每辆车的运载能力和运费如表：
车型 甲 乙 丙
汽车运载量(吨/辆) 5 8 10
汽车运费(元/辆) 400 500 600
（1）甲种车型的汽车 辆，乙种车型的汽车 辆，丙种车型的汽车 辆，它们一次性能运载　 　吨货物．
（2）若全部物资都用甲、乙两种车型的汽车来运送，需运费 元，求需要甲、乙两种车型的汽车各多少辆？
（3）为了节省运费，该公司打算用甲、乙、丙三种车型的汽车共 辆同时参与运送，请你帮货运公司设计派车方案；并求出各种派车方案的运费．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【解答】 解：
②－③得：x+y=0 ④
④×2+①得：x=1
将x=1代入④得：y=-1
原方程组的解为
故答案为：B
【分析】根据三元一次方程组的解法直接求解即可得出答案。
2．【答案】A
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【解答】
①×3得： ③，
②×2得： ④，
③-④得： =-3，
故答案为：A.
【分析】观察两个方程系数的特点，利用①×3-②×2，可求出x+y+6z的值.
3．【答案】C
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【解答】解：两式相加得：5x+5y+5z=5
两边同除以5，得x+y+z=1
故答案为：C.
【分析】将两个式子相加，然后除以5即可得到x+y+z的值.
4．【答案】D
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【解答】解：铅笔x元一支，练习本y元一本，圆珠笔z元一支，根据题意得
由①×3-②×2得
x+y+z=9.
∴现购铅笔，练习本，圆珠笔各1个，共需9元.
故答案为：D.
【分析】抓住已知条件： 购铅笔3支，练习本7本，圆珠笔1支共需31元；若购铅笔4支，练习本10本，圆珠笔1支共需42元 ，这是两个等量关系，再设铅笔x元一支，练习本y元一本，圆珠笔z元一支，可得到关于x，y，z的方程，解方程可得到x+y+z的值.
5．【答案】D
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【解答】解：设购买甲、乙、丙各一件分别要x元、y元、z元，则购买甲、乙、丙各一件时应该付款（x+y+z）元，
由题意得：
（1）+（2）得：5x+5y+5z=1000；
化简得：x+y+z=200；
即购买甲、乙、丙各一件时应该付款200元.
故答案为：D
【分析】设购买甲、乙、丙各一件分别要x元、y元、z元，则购买甲、乙、丙各一件时应该付款（x+y+z）元，根据两个相等关系“ 3件甲商品+2件乙商品+1件丙商品=420元；2件甲商品+3件乙商品+4件丙商品=580元 ”可得两个关于x、y、z的方程组，将两个方程相加即可求解.
6．【答案】D
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【解答】解：设甲单件x元、乙单件y元、丙单件z元，根据题意，
得： ，
两方程相加，得： ，即 ，
答：购甲、乙、丙三种商品各一件共需91元，
故答案为：D．
【分析】根据题意列出三元一次方程，化简得到三件商品的总和。
7．【答案】C
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【解答】解：由题意得，
解得a=6，b=7，c=2，
故答案为：C.
【分析】依据题意列出三元一次方程即可求解.
8．【答案】B
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【解答】解：设A种买x个，B种买y个，C中买z个，依题意得 ，
得 ，
由于x、y、z只取正整数，所以需使 被2整除且 为正数，且 ，
当 ， ， ，8种，
当 ， ， ，6种，
∴ 的正整数解有14组 . ，
所以购买方案共有14种.
故答案为：B.
【分析】设A种买x个，B种买y个，C中买z个，根据题意列出方程：10x+20y+ 30z =200，变形后根据x、y、z均为正整数，且C种奖品不超过两个分别讨论，确定解的个数，即可得出所有可能的方案数.
9．【答案】C
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【解答】解：设租一人间x间，租二人间y间，租三人间z间，
依题意得： ，
解得：y+2z=11，y=11-2z.
∵x，y，z是正整数，
当z=1时，y=9，x=-1（不符合题意，舍去）；
当z=2时，y=7，x=0（不符合题意，舍去）；
当z=3时，y=5，x=1；
当z=4时，y=3，x=2；
当z=5时，y=1，x=3；
当z=6时，y=-1，x=4；（不符合题意，舍去）,
∴居住方案有3种.
故选C.
【分析】设租一人间x间，租二人间y间，租三人间z间，依题意得： ，然后表示出y与z的关系式，根据x、y、z都为整数即可确定出x、y、z的取值，进而确定居住方案的种类.
10．【答案】C
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【解答】解：设小亮身高为x，小明身高为y，木箱高度为a
根据图1信息，可得：x+a=y+48①
根据图2信息，可得：y+a=x+24②
由①+②可得：x+y+2a=x+y+48+24，解得：a=36
∴箱子的高度可以求出.
故答案为：C.
【分析】设小亮身高为x，小明身高为y，木箱高度为a，根据图1信息得出小亮身高+木箱高度=小明身高+48①，根据图2信息得出小明身高+木箱高度=小亮身高+24②，利用①+②即可求出结论.
11．【答案】640
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【解答】解：设A类包装有x个，B类包装有y个，C类包装有z个，
根据题意得 .
由①-②，得 ④，
由①×3-③×2，得 ⑤，
则 ，则 ，
由 得 ，解得 .
根据题意可知，x，y，z，m都是正整数，且根据③可知m为偶数，
经代入验算可知，只有当 时，满足题意.
故答案为：640.
【分析】设A类包装有x个，B类包装有y个，C类包装有z个，利用已知条件可得到关于x，y，z，m的四元一次方程组，利用含m的代数式分别表示出x，y，再根据A，B，C三类礼品盒的数量都为正整数，并且A类礼品盒少于44盒，B类礼品盒少于49盒，建立关于m的不等式组，然后求出不等式组的解集，可得到符合题意的m的值.
12．【答案】58.4
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【解答】解：设 、 、 三种品牌的毛巾的单价分别为每条 元， 元， 元，则
且 为正整数，
消去 可得：
所以小明在5月1日购买的二个甲礼包和一个乙礼包需要付钱：
（元）
故答案为：58.4元
【分析】设 、 、 三种品牌的毛巾的单价分别为每条 元， 元， 元，根据优惠条件得出5月1日打折后的价格，然后根据题意列出三元一次方程组，消去x，得出z和y的关系式，结合正整数和y≤14的条件求出三种毛巾的价格，最后求小明在5月1日购买的二个甲礼包和一个乙礼包需要付钱数即可.
13．【答案】3:10
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【解答】解：设壶的容积为V，小杯容积为a，大杯容积为b，
由题意可得： ，
把②代入①中，得 ，
化简可得： ，
故答案为：3:10.
【分析】设壶的容积为V，小杯容积为a，大杯容积为b， 根据“若将一壶碧螺春茶倒满2个小杯，则还剩 壶；若倒满1个小杯后再全部倒入1个大杯中，则只能倒满这个大杯的 ”，列出方程组，求解即可.
14．【答案】6
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【解答】解：设A端点数为x，B点为y，则C点为：7-y，D点为：z，
根据题意可得：x+y=3①，
C点为：7-y，
故z+7-y=10②，
故①+②得：
x+y+z+7-y=10+3，
故x+z=6，
即AD上的数是：6.
故答案为：6.
【分析】设A端点数为x，B点为y，D点为z，可得C点为7-y，从而求出x+y=3①，z+7-y=10②，
利用①+②可求出x+z，即得结论.
15．【答案】
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【解答】解：设白粽成本为a元/个、豆沙粽成本为b元/个、蛋黄粽成本为c元/个，
则A种礼盒成本为：4a+3b+3c=13a，即b+c=3a，
B种礼盒成本为：2a+4b+4c=2a+4 3a=14a，
当销售A、B两种礼盒的数量之比为7：26时，
A种礼盒的利润： ，其总成本为： ，
B种礼盒的利润： ，其总成本为： ，
则该超市销售这两种礼盒的总利润率为
.
故答案为： .
【分析】设白粽成本为a元/个、豆沙粽成本为b元/个、蛋黄粽成本为c元/个，可得每盒A种礼盒成本为4a+3b+3c=13a，即b+c=3a，再表示出每盒B种礼盒成本为：2a+4b+4c=2a+4 3a=14a，由当销售A、B两种礼盒的数量之比为7：26时，表示出每种礼盒的利润及总成本，根据该超市销售这两种礼盒的总利润率为 进行计算即可.
16．【答案】1500
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【解答】设A， ， 三种粽子的成本分别为x元、y元、z元，甲盒销售a盒，乙盒销售b盒，
∵甲盒中所有 ， ， 的成本之和是1个A成本的4倍，
∴甲盒成本为3x+y+z=4x，
∴y+z=x，
∴乙盒成本为2x+3y+3z=2x+3(y+z)=5x，
∵每盒乙的利润率为20%，
∴乙盒售价为5x(1+20%)=6x，
∵每盒乙的售价比每盒甲的售价高20%，
∴甲盒售价为 =5x，
∵总利润率为22.5%，
∴5xa+6xb=(4xa+5xb)(1+22.5%)，
整理得： ，
∵两种盒装粽子的总销售额为14700元，
∴5xa+6xb=14700，
∴5xa+ =14700，
∴xa=1500，
∴甲种盒装粽子的总利润为（5x-4x）a=xa=1500(元)，
故答案为：1500.
【分析】设A、B、C三种粽子的成本分别为x元、y元、z元，甲盒销售a盒，乙盒销售b盒，然后表示出甲盒成本、乙盒成本、乙盒售价以及甲盒售价，由总利润可得b与a的关系式，然后根据两种盒装粽子的总销售额可得xa的值，据此求解.
17．【答案】（1）解：方程组
由②得： ，即满足 .
方程组的解 ， 具有“邻好关系”；
（2）解：方程组
①-②得： ，即 .
方程组的解 ， 具有“邻好关系”，
，即
或
（3）解：方程两式相加得： ，
， ， 均为正整数，
， ， （舍去）， （舍去），
在上面符合题宜的两组解中，只有 时， .
，方程组的解为
【知识点】解二元一次方程组；三元一次方程组解法及应用
【解析】【分析】（1）将方程组中的方程 ②变形可得到x-y=1，即可退出|x-y|=1，由此可作出判断.
（2）利用“邻好关系”的定义，将①-②可得到x-y=3-2m，由此可建立关于m的方程，解方程求出m的值.
（3）将两方程相加可得到（2+a）y=12，再根据a，x，y为正整数，可达到符合题意的x，y，a的值；再根据“邻好关系”的定义，可得到a，x，y的值.
18．【答案】（1）2；
（2）60
（3）-11
【知识点】三元一次方程组解法及应用；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：（1）∵ ，
由①②，得 ；
由①+②，得 ，
∴ ；
故答案为：2； ；
（2）设买1支铅笔为a元，买1块橡皮为b元，买1本笔记本为c元，
由题意得：
，
①×2 ②得：a+b+c=12，
∴5a+5b+5c=60，
故答案为：60；
（3） ，
由 得： ，
∴ .
故答案为： .
【分析】（1）将两个方程相加可得x+y的值，将两个方程相减可得x-y的值；
（2）设买1支铅笔为a元，买1块橡皮为b元，买1本笔记本为c元，则13a+4b+2c=48，25a+7b+3c=84，利用第一个方程的2倍减去第二个方程可得a+b+c的值，据此解答；
（3）由定义的新运算可得3a+5b-c=15，4a+7b-c=28，利用第一个方程的3倍减去第二个方程的2倍可得a+b-c的值，据此解答.
19．【答案】（1）解：884是“快乐数”，735不是“快乐数”；
理由如下：
，
是“快乐数”；
，
不是“快乐数”.
（2）解：设这个“快乐数” ，则 （ ， ， ，且 ， ， 为整数）
根据题意得： ，
化简得：
，且 为整数，
或 或
满足条件的所有 的值为：721，642，563.
【知识点】三元一次方程组解法及应用；有理数的加减混合运算
【解析】【分析】（1）利用快乐数的定义：一个三位数它的百位数字、十位数字之和与个位数字的差等于8，分别对844，735进行判断即可.
（2） 设这个“快乐数” ，则 （ ， ， ，且 ， ， 为整数） 可得到关于a，b，c的三元一次方程组，可将方程组转化为a=-c+8，b=2c，利用a，b，c的取值范围，可得到符合题意的数m.
20．【答案】（1）解：若设购进A种彩票x张，B种彩票y张，
根据题意得：x+y=1000×20；1.5x+2y=45000，
解得：x=﹣10000，y=30000，
∴x＜0，不合题意；
若设购进A种彩票x张，C种彩票y张，
根据题意得：x+y=1000×20；1.5x+2.5y=45000，
解得：x=5000，y=15000，
若设购进B种彩票x张，C种彩票y张，
根据题意得：2x+2.5y=45000；x+y=1000×20.
解得：x=10000，y=10000，
综上所述，若经销商同时购进两种不同型号的彩票共有两种方案可行，
即A种彩票5扎，C种彩票15扎或B种彩票与C种彩票各10扎
（2）解：若购进A种彩票5扎，C种彩票15扎，
销售完后获手续费为0.2×5000+0.5×15000=8500（元），
若购进B种彩票与C种彩票各10扎，
销售完后获手续费为0.3×10000+0.5×10000=8000（元），
∴为使销售完时获得手续最多选择的方案为A种彩票5扎，C种彩票15扎；
（3）解：共有4种进票方案，具体如下：
方案1：A种1扎，B种8扎，C种11扎；
方案2：A种2扎，B种6扎，C种12扎；
方案3：A种3扎，B种4扎，C种13扎；
方案4：A种4扎，B种2扎，C种14扎.
【知识点】二元一次方程组的其他应用；三元一次方程组解法及应用
【解析】【解答】解：（3）若经销商准备用45000元同时购进A、B、C三种彩票20扎.
设购进A种彩票m扎，B种彩票n扎，C种彩票h扎.
由题意得：m+n+h=20；1.5×1000m+2×1000n+2.5×1000h=45000，即h=m+10，
∴n=﹣2m+10，
∵m、n都是正数
∴1≤m＜5，
又m为整数共有4种进票方案，具体如下：
方案1：A种1扎，B种8扎，C种11扎；
方案2：A种2扎，B种6扎，C种12扎；
方案3：A种3扎，B种4扎，C种13扎；
方案4：A种4扎，B种2扎，C种14扎.
【分析】（1）因为彩票有A，B，C三种不同型号，而经销商同时只购进两种，所以要将A，B，C两两组合，分三种情况：A，B；A，C；B，C，每种情况都可以根据下面两个相等关系列出方程，两种不同型号的彩票扎数之和＝20，购买两种不同型号的彩票钱数之和＝45000，然后根据实际含义确定他们的解．
（2）根据上一问分别求出每一种情况的手续费，然后进行比较，可以得出结果．
（3）有两个等量关系：A彩票扎数＋B彩票扎数＋C彩票扎数＝20，购买A彩票钱数＋购买B彩票钱数＋购买C彩票钱数＝45000．设三个未知数，用含有同一个未知数的代数式去表示另外的两个未知数，然后根据三个未知数的取值范围都小于20，得出一元一次不等式组，求出解集，最后根据实际含义确定解．
21．【答案】（1）-1；5
（2）设铅笔的单价为 元，橡皮的单价为 元，日记本的单价为 元，
依题意，得： ，
由 ①②可得 ，
.
答：购买5支铅笔、5块橡皮、5本日记本共需30元.
（3）依题意，得： ，
由 ①②可得： ，
即 .
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【解答】解：（1） .
由①②可得： ，
由 ①② 可得： .
故答案为： ；5；
【分析】（1）利用①②可得出 的值，利用 ①② 可得出 的值；
（2）设铅笔的单价为 元，橡皮的单价为 元，日记本的单价为 元，根据“买20支铅笔、3块橡皮、2本日记本共需32元，买39支铅笔、5块橡皮、3本日记本共需58元”，即可得出关于 ， ， 的三元一次方程组，由 ①②可得除 的值，再乘5即可求出结论；
（3）根据新运算的定义可得出关于 ， ， 的三元一次方程组，由 ①②可得出 的值，即 的值.
22．【答案】（1）4；2
（2）解：设购买1支铅笔x元、1块橡皮y元、1本日记本z元，
根据题意得
①②得： ，
∴ ，
答：购买3支铅笔、3块橡皮、3本日记本共需21元.
（3）24
【知识点】解二元一次方程组；三元一次方程组解法及应用
【解析】【解答】解：（1）
①-②得 ，
①+②得 ，
∴ ；
故答案为：4，2；
（3） ， ，
①-②得 ，
②×3-①×2得 ，
，
.
【分析】（1）方程组中2个方程分别相加、相减即可得出答案；
（2）设购买1支铅笔x元、1块橡皮y元、1本日记本z元 ，利用共需31元和55元列方程组，求得即可得出答案；
（3） 利用新定义运算 ，得方程组,求得,进而结合新定义运算即可的值.
23．【答案】（1）7-a
（2）7700；1076
（3）解：设m的千位数字为a，百位数字为b，十位数字为c，个位数字为d，
则 ，
把②③代入①，可得：7-d+7-b=3b-3d，既：4b-2d=14，
∴d=2b-7，
∴百位数字为b，个位数字为2b-7，十位数字为7-b，
∵2b-7≥0且7-b≥0，
∴3.5≤b≤7，
当b=4时，则d=1，a=6，c=3，m=6431，
当b=5时，则d=3，a=4，c=2，m=4523，
当b=6时，则d=5，a=2，c=1，m=2615，
当b=7时，则d=7，a=0，c=0，不符合题意，
∴ 满足条件的所有“七巧数” 为：6431，4523，2615.
【知识点】列式表示数量关系；三元一次方程组解法及应用
【解析】【解答】解：（1）∵一个“七巧数”的千位数字为 ，
∴其个位数字可表示为：7-a，
故答案为：7-a；
（2）由题意可得：最大的“七巧数”是：7700，最小的“七巧数”是：1076，
故答案为：7700，1076；
【分析】（1）根据七巧数的定义，即可得到答案；
（2）根据七巧数的定义，即可得到答案；
（3）设m的千位数字为a，百位数字为b，十位数字为c，个位数字为d，根据题意得到a，b，c，d之间的数量关系，进而求出b的范围，即可求解.
24．【答案】（1）-1；5
（2）解：设每支铅笔x元，每块橡皮y元，每本日记本z元，则
①×2，得40x+6y+4z=64③
③-②，得x+y+z=6
∴5(x+y+z)=30
∴购买5支铅笔、5块橡皮、5本日记本共需30元
答：购买5支铅笔、5块橡皮、5本日记本共需30元
（3）-11
【知识点】解二元一次方程组；三元一次方程组解法及应用
【解析】【解答】解：（1）
①-②，得x-y=-1
①+②，得3x+3y=15
∴x+y=5
故答案为：-1，5（3）∵
∴①， ②，
∴②-①，得 ③
∴④
①+②，得 ⑤
⑤-④，得
∴
故答案为：-11
【分析】（1）已知 ，利用解题的“整体思想”，①-②即可求得x-y，①+②即可求得x+y的值；（2）设每支铅笔x元，每块橡皮y元，每本日记本z元，根据题意列出方程组，根据（1）中“整体思想”，即可求解；（3）根据 ，可得 ， ， ，根据“整体思想”，即可求得 的值.
25．【答案】（1）设甲队胜 场、平 场、负 场，以题意得方程组
解得 ，得整数解 或
即甲队胜负的所有可能情况有：“4胜4平”或者“5胜1平2负”.
（2）若是4胜4平，甲队参加了所有8场比赛的队员的个人总收入为：
2000×4+800×4+500×8=15200（元）
若是5胜1平2负，甲队参加了所有8场比赛的队员的总收入为：
2000×5+800+500×8=14800（元）．
答：若是4胜4平，总收入为15200元；若是5胜1平2负，总收入为14800元.
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【分析】（1）设甲队胜 场、平 场、负 场，依题意得方程组 ，讨论求出整数解即可；（2）由（1）可得由两种情况，根据奖励规则可分别求出总收入.
26．【答案】（1）74
（2）设甲车型的汽车有x辆，乙车型的汽车有y辆，根据题意有
解得
所以甲车型的汽车有8辆，乙车型的汽车有10辆；
（3）设甲车型的汽车有a辆，乙车型的汽车有b辆，丙车型的汽车有c辆，根据题意有
消去c得
∵a,b,c都是正整数，且a,b,c均不为0，
∴ 或
∴派车方案有两种：甲车型的汽车有2辆，乙车型的汽车有10辆，丙车型的汽车有3辆；甲车型的汽车有4辆，乙车型的汽车有5辆，丙车型的汽车有6辆；
当 时，运费为： （元）；
当 时，运费为： （元）；
综上所述，派车方案有两种：甲车型的汽车有2辆，乙车型的汽车有10辆，丙车型的汽车有3辆，运费为7600元；甲车型的汽车有4辆，乙车型的汽车有5辆，丙车型的汽车有6辆，运费为7700元．
【知识点】三元一次方程组解法及应用；二元一次方程组的应用-和差倍分问题
【解析】【解答】（1）甲种车型的汽车 辆，乙种车型的汽车 辆，丙种车型的汽车 辆，它们一次性能运载货物的数量为： （吨）；
【分析】（1）用每种车型的数量×各自的运载量，然后将结果相加即可得出答案；（2）设甲车型的汽车有x辆，乙车型的汽车有y辆，根据题意列出二元一次方程组，解方程组即可得出答案；（3）设甲车型的汽车有a辆，乙车型的汽车有b辆，丙车型的汽车有c辆，根据题意列出方程，再根据a,b,c都是正整数且a,b,c均不为0，即可确定a,b,c的值，进而可确定派车方案的运费．
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2021-2022学年浙教版数学七下2.5 三元一次方程组及其解法（选学）同步练习
一、单选题
1．（2021七下·防城月考）方程组 的解是(　　)
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【解答】 解：
②－③得：x+y=0 ④
④×2+①得：x=1
将x=1代入④得：y=-1
原方程组的解为
故答案为：B
【分析】根据三元一次方程组的解法直接求解即可得出答案。
2．（2021七下·长寿期末）若实数 满足 ，则 （　　）
A． B． C． D．不能确定值
【答案】A
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【解答】
①×3得： ③，
②×2得： ④，
③-④得： =-3，
故答案为：A.
【分析】观察两个方程系数的特点，利用①×3-②×2，可求出x+y+6z的值.
3．（2021七下·遂宁期末）若 ， ，则x＋y＋z的值等于（　　）
A．0 B．2 C．1 D．无法求出
【答案】C
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【解答】解：两式相加得：5x+5y+5z=5
两边同除以5，得x+y+z=1
故答案为：C.
【分析】将两个式子相加，然后除以5即可得到x+y+z的值.
4．（2021八上·温岭竞赛）有铅笔、练习本、圆珠笔三种学习用品．若购铅笔3支，练习本7本，圆珠笔1支共需31元；若购铅笔4支，练习本10本，圆珠笔1支共需42元．现购铅笔，练习本，圆珠笔各1个，共需（　　）
A．12元 B．10.5元 C．9.5元 D．9元
【答案】D
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【解答】解：铅笔x元一支，练习本y元一本，圆珠笔z元一支，根据题意得
由①×3-②×2得
x+y+z=9.
∴现购铅笔，练习本，圆珠笔各1个，共需9元.
故答案为：D.
【分析】抓住已知条件： 购铅笔3支，练习本7本，圆珠笔1支共需31元；若购铅笔4支，练习本10本，圆珠笔1支共需42元 ，这是两个等量关系，再设铅笔x元一支，练习本y元一本，圆珠笔z元一支，可得到关于x，y，z的方程，解方程可得到x+y+z的值.
5．（2021七下·仁寿期末）6月18日最开始是京东的周年庆，相当于淘宝的双十一活动，在2013年之前，京东就将每年的6月18日定为年庆.2013年后，618就成了各大电商平台的网购节了.在618当日，小李在某电商平台上选择了甲乙丙三种商品，当购物车内选3件甲，2件乙，1件丙时显示价格为420元；当选2件甲，3件乙，4件丙时显示价格为580元，那么购买甲、乙、丙各一件时应该付款（　　）
A． 580元 B．500元 C．420元 D．200元
【答案】D
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【解答】解：设购买甲、乙、丙各一件分别要x元、y元、z元，则购买甲、乙、丙各一件时应该付款（x+y+z）元，
由题意得：
（1）+（2）得：5x+5y+5z=1000；
化简得：x+y+z=200；
即购买甲、乙、丙各一件时应该付款200元.
故答案为：D
【分析】设购买甲、乙、丙各一件分别要x元、y元、z元，则购买甲、乙、丙各一件时应该付款（x+y+z）元，根据两个相等关系“ 3件甲商品+2件乙商品+1件丙商品=420元；2件甲商品+3件乙商品+4件丙商品=580元 ”可得两个关于x、y、z的方程组，将两个方程相加即可求解.
6．（2021七下·澄海期末）甲、乙、丙三种商品，若购买甲2件、乙4件、丙3件，共需220元钱，购甲3件、乙1件、丙2件共需235元钱，那么购甲、乙、丙三种商品各一件共需（　　）
A．85元 B．89元 C．90元 D．91元
【答案】D
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【解答】解：设甲单件x元、乙单件y元、丙单件z元，根据题意，
得： ，
两方程相加，得： ，即 ，
答：购甲、乙、丙三种商品各一件共需91元，
故答案为：D．
【分析】根据题意列出三元一次方程，化简得到三件商品的总和。
7．（2021七下·杭州期中）为确保信息安全，信息需要加密传输，发送方由明文→密文（加密）（解密），接收方由密文→明文（解密），已知加密规则为：明文a，b，c，对应密文a+1，-a+2b+4，b+3c+9，如果接收方收到密文7，12，22，则解密得到的明文为（　　）
A．6，2，7 B．2，6，7 C．6，7，2 D．7，2，6
【答案】C
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【解答】解：由题意得，
解得a=6，b=7，c=2，
故答案为：C.
【分析】依据题意列出三元一次方程即可求解.
8．（2021七下·射洪月考）在抗击疫情网络知识竞赛中，为奖励成绩突出的学生，学校计划用200元钱购买A、B、C三种奖品，A种每个10元，B种每个20元，C种每个30元，在C种奖品不超过两个且钱全部用完的情况下，购买方案有（　　）
A．12种 B．14种 C．15种 D．16种
【答案】B
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【解答】解：设A种买x个，B种买y个，C中买z个，依题意得 ，
得 ，
由于x、y、z只取正整数，所以需使 被2整除且 为正数，且 ，
当 ， ， ，8种，
当 ， ， ，6种，
∴ 的正整数解有14组 . ，
所以购买方案共有14种.
故答案为：B.
【分析】设A种买x个，B种买y个，C中买z个，根据题意列出方程：10x+20y+ 30z =200，变形后根据x、y、z均为正整数，且C种奖品不超过两个分别讨论，确定解的个数，即可得出所有可能的方案数.
9．（2021八上·杭州期末）某宾馆有单人间，双人间，三人间三种客房供游客选择居住，现某旅游团有20名旅客同时安排游客居住在该宾馆，若每个房间都住满，共租了9间客房，则居住方案（　　）
A．1种 B．2种 C．3种 D．4种
【答案】C
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【解答】解：设租一人间x间，租二人间y间，租三人间z间，
依题意得： ，
解得：y+2z=11，y=11-2z.
∵x，y，z是正整数，
当z=1时，y=9，x=-1（不符合题意，舍去）；
当z=2时，y=7，x=0（不符合题意，舍去）；
当z=3时，y=5，x=1；
当z=4时，y=3，x=2；
当z=5时，y=1，x=3；
当z=6时，y=-1，x=4；（不符合题意，舍去）,
∴居住方案有3种.
故选C.
【分析】设租一人间x间，租二人间y间，租三人间z间，依题意得： ，然后表示出y与z的关系式，根据x、y、z都为整数即可确定出x、y、z的取值，进而确定居住方案的种类.
10．（2021七上·嘉兴期末）小明和小亮在一起探究一个数学活动.首先小亮站立在箱子上，小明站立在地面上（如图1），然后交换位置（如图2），测量的数据如图所示，想要探究的问题有：①小明的身高；②小亮的身高；③箱子的高度；④小明与小亮的身高和.根据图上信息，你认为可以计算出的是（　　）
A．① B．② C．③ D．④
【答案】C
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【解答】解：设小亮身高为x，小明身高为y，木箱高度为a
根据图1信息，可得：x+a=y+48①
根据图2信息，可得：y+a=x+24②
由①+②可得：x+y+2a=x+y+48+24，解得：a=36
∴箱子的高度可以求出.
故答案为：C.
【分析】设小亮身高为x，小明身高为y，木箱高度为a，根据图1信息得出小亮身高+木箱高度=小明身高+48①，根据图2信息得出小明身高+木箱高度=小亮身高+24②，利用①+②即可求出结论.
二、填空题
11．（2021七下·巴南期末）“端午节”是我国的传统佳节，民间历来有吃粽子的习俗.某超市准备了515个豆沙粽，525个火腿粽和若干个腊肉棕，将这些粽子分成了A，B，C三类礼品盒进行包装.A类礼品盒里有4个豆沙粽，4个火腿粽和6个腊肉粽；B类礼品盒里有3个豆沙粽，5个火腿粽和6个腊肉粽；C类礼品盒里有6个豆沙粽，4个火腿粽和4个腊肉粽.已知A，B，C三类礼品盒的数量都为正整数，并且A类礼品盒少于44盒，B类礼品盒少于49盒.如果所有礼品盒里的腊肉粽的总个数为m，则m=　 　
【答案】640
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【解答】解：设A类包装有x个，B类包装有y个，C类包装有z个，
根据题意得 .
由①-②，得 ④，
由①×3-③×2，得 ⑤，
则 ，则 ，
由 得 ，解得 .
根据题意可知，x，y，z，m都是正整数，且根据③可知m为偶数，
经代入验算可知，只有当 时，满足题意.
故答案为：640.
【分析】设A类包装有x个，B类包装有y个，C类包装有z个，利用已知条件可得到关于x，y，z，m的四元一次方程组，利用含m的代数式分别表示出x，y，再根据A，B，C三类礼品盒的数量都为正整数，并且A类礼品盒少于44盒，B类礼品盒少于49盒，建立关于m的不等式组，然后求出不等式组的解集，可得到符合题意的m的值.
12．（2021八下·綦江期末）全球棉花看中国，中国棉花看新疆．新疆长绒棉花是世界顶级棉花，品质优，产量大，常年供不应求．綦江区某超市为了支持新疆棉花，在“五一节”进行促销活动，将新疆棉制成 、 、 三种品牌毛巾混装成甲、乙、丙三种礼包销售，其中甲礼包含1条 品牌毛巾、2条 品牌毛巾；乙礼包含2条 品牌毛巾、2条 品牌毛巾， 2条 品牌毛巾；丙礼包含2条 品牌毛巾、2条 品牌毛巾，每个礼包的售价等于礼包各条毛巾售价之和，5月1日当天，超市对 、 、 三个品牌毛巾的售价分别打8折、 折、 折销售，5月2日恢复原价，小明发现5月1日一个甲礼包的售价等于5月2日一个乙礼包售价的 ，5月1日一个乙礼包的售价比5月2日一个丙礼包售价少2.4元，若 、 、 三个品牌的毛巾原价都是正整数，且 品牌毛巾的原价不超过14元，则小明在5月1日购买的二个甲礼包和一个乙礼包，应该付　 　元．
【答案】58.4
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【解答】解：设 、 、 三种品牌的毛巾的单价分别为每条 元， 元， 元，则
且 为正整数，
消去 可得：
所以小明在5月1日购买的二个甲礼包和一个乙礼包需要付钱：
（元）
故答案为：58.4元
【分析】设 、 、 三种品牌的毛巾的单价分别为每条 元， 元， 元，根据优惠条件得出5月1日打折后的价格，然后根据题意列出三元一次方程组，消去x，得出z和y的关系式，结合正整数和y≤14的条件求出三种毛巾的价格，最后求小明在5月1日购买的二个甲礼包和一个乙礼包需要付钱数即可.
13．（2021七下·苏州期末）“洞庭碧螺春，品香醉天下.”洞庭碧螺春产于苏州市太湖洞庭山，以形美、色艳、香浓、味醇“四绝”驰名中外.如图，若将一壶碧螺春茶倒满2个小杯，则还剩 壶；若倒满1个小杯后再全部倒入1个大杯中，则只能倒满这个大杯的 .1个小杯与1个大杯的容积之比为　 　.
【答案】3:10
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【解答】解：设壶的容积为V，小杯容积为a，大杯容积为b，
由题意可得： ，
把②代入①中，得 ，
化简可得： ，
故答案为：3:10.
【分析】设壶的容积为V，小杯容积为a，大杯容积为b， 根据“若将一壶碧螺春茶倒满2个小杯，则还剩 壶；若倒满1个小杯后再全部倒入1个大杯中，则只能倒满这个大杯的 ”，列出方程组，求解即可.
14．（2021七下·卧龙期末）如图，在正方形 的每个顶点上写一个数，然后把它的每条边的两个端点上的数加起来，将结果写在这条边上，若 边上的数字是3， 边上的数字是7， 边上的数字是10，则 边上的数字是　 　.
【答案】6
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【解答】解：设A端点数为x，B点为y，则C点为：7-y，D点为：z，
根据题意可得：x+y=3①，
C点为：7-y，
故z+7-y=10②，
故①+②得：
x+y+z+7-y=10+3，
故x+z=6，
即AD上的数是：6.
故答案为：6.
【分析】设A端点数为x，B点为y，D点为z，可得C点为7-y，从而求出x+y=3①，z+7-y=10②，
利用①+②可求出x+z，即得结论.
15．（2021七下·万州期末）农历五月初五，中国传统节日端午节.某超市为了吸引顾客，在端午节当天推出由白粽、豆沙粽、蛋黄粽三种不同的粽子搭配而成的A、B两种礼盒，其中，A种礼盒含4个白粽、3个豆沙粽、3个蛋黄粽；B种礼盒含2个白粽、4个豆沙粽、4个蛋黄粽.每种礼盒的成本价分别为三种粽子的成本价之和（包装成本忽略不计），已知每盒A种礼盒的总成本为1个白粽成本的13倍，每盒A种礼盒的利润率为20%，每盒B种礼盒的利润率为25%，则当销售A、B两种礼盒的数量之比为7：26时，则该超市销售这两种礼盒的总利润率为　 　.
【答案】
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【解答】解：设白粽成本为a元/个、豆沙粽成本为b元/个、蛋黄粽成本为c元/个，
则A种礼盒成本为：4a+3b+3c=13a，即b+c=3a，
B种礼盒成本为：2a+4b+4c=2a+4 3a=14a，
当销售A、B两种礼盒的数量之比为7：26时，
A种礼盒的利润： ，其总成本为： ，
B种礼盒的利润： ，其总成本为： ，
则该超市销售这两种礼盒的总利润率为
.
故答案为： .
【分析】设白粽成本为a元/个、豆沙粽成本为b元/个、蛋黄粽成本为c元/个，可得每盒A种礼盒成本为4a+3b+3c=13a，即b+c=3a，再表示出每盒B种礼盒成本为：2a+4b+4c=2a+4 3a=14a，由当销售A、B两种礼盒的数量之比为7：26时，表示出每种礼盒的利润及总成本，根据该超市销售这两种礼盒的总利润率为 进行计算即可.
16．（2021七下·渝北期末）“吃了端午粽，才把棉衣送”，每逢农历的五月初五端午节，大家都会阖家团聚，品尝端午粽，尽享天伦之乐.今年端午节前夕某商场结合当地的情况，对A， ， 三种粽子进行搭配销售，并推出甲、乙两种盒装粽子，每一种盒装粽子的成本是该盒中所有A， ， 三种粽子的成本之和（盒子的费用不计）.每盒甲由3个A，1个 ，1个 组成；每盒乙由2个A，3个 ，3个 组成.每盒甲中所有A， ， 的成本之和是1个A成本的4倍，每盒乙的利润率为20%，每盒乙的售价比每盒甲的售价高20%.该商场在端午节这天销售这两种盒装粽子的总销售额为14700元，总利润率为22.5%.则该商场在端午节这天销售甲种盒装粽子的总利润是　 　元.
【答案】1500
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【解答】设A， ， 三种粽子的成本分别为x元、y元、z元，甲盒销售a盒，乙盒销售b盒，
∵甲盒中所有 ， ， 的成本之和是1个A成本的4倍，
∴甲盒成本为3x+y+z=4x，
∴y+z=x，
∴乙盒成本为2x+3y+3z=2x+3(y+z)=5x，
∵每盒乙的利润率为20%，
∴乙盒售价为5x(1+20%)=6x，
∵每盒乙的售价比每盒甲的售价高20%，
∴甲盒售价为 =5x，
∵总利润率为22.5%，
∴5xa+6xb=(4xa+5xb)(1+22.5%)，
整理得： ，
∵两种盒装粽子的总销售额为14700元，
∴5xa+6xb=14700，
∴5xa+ =14700，
∴xa=1500，
∴甲种盒装粽子的总利润为（5x-4x）a=xa=1500(元)，
故答案为：1500.
【分析】设A、B、C三种粽子的成本分别为x元、y元、z元，甲盒销售a盒，乙盒销售b盒，然后表示出甲盒成本、乙盒成本、乙盒售价以及甲盒售价，由总利润可得b与a的关系式，然后根据两种盒装粽子的总销售额可得xa的值，据此求解.
三、综合题
17．（2021七下·吴中期末）对于未知数为 ， 的二元一次方程组，如果方程组的解 ， 满足 ，我们就说方程组的解 与 具有“邻好关系”.
（1）方程组 的解 与 是否具有“邻好关系” 说明你的理由：
（2）若方程组 的解 与 具有“邻好关系”，求 的值：
（3）未知数为 ， 的方程组 ，其中 与 、 都是正整数，该方程组的解 与 是否具有“邻好关系” 如果具有，请求出 的值及方程组的解：如果不具有，请说明理由.
【答案】（1）解：方程组
由②得： ，即满足 .
方程组的解 ， 具有“邻好关系”；
（2）解：方程组
①-②得： ，即 .
方程组的解 ， 具有“邻好关系”，
，即
或
（3）解：方程两式相加得： ，
， ， 均为正整数，
， ， （舍去）， （舍去），
在上面符合题宜的两组解中，只有 时， .
，方程组的解为
【知识点】解二元一次方程组；三元一次方程组解法及应用
【解析】【分析】（1）将方程组中的方程 ②变形可得到x-y=1，即可退出|x-y|=1，由此可作出判断.
（2）利用“邻好关系”的定义，将①-②可得到x-y=3-2m，由此可建立关于m的方程，解方程求出m的值.
（3）将两方程相加可得到（2+a）y=12，再根据a，x，y为正整数，可达到符合题意的x，y，a的值；再根据“邻好关系”的定义，可得到a，x，y的值.
18．（2021七下·盐城期末）（阅读感悟）
对于方程组的问题，有时候要求的结果不是每个未知数的值，而是求关于未知数的代数式的值.如已知实数 、 满足 ，求 和 的值.
方法一：解方程组，分别求出 、 的值，代入代数式求值；
方法二：仔细观察两个方程中未知数的系数之间的关系，通过适当变形整体求代数式的值.解法如下：
①－②，得： ；①＋②×2，得： .
比较：方法一运算量较大，是常规思路；方法二运算较为简单，这种解题思路就是通常所说的“整体思想”.
（问题解决）
（1）已知二元一次方程组 ，则 　 　； 　 　.
（2）某班级因组织活动购买奖品.买13支铅笔、4块橡皮、2本笔记本共需48元；买25支铅笔、7块橡皮、3本笔记本共需84元.则购买5只铅笔、5块橡皮、5本笔记本共需　 　元.
（3）对于实数 、 ，定义新运算： ，其中 、 、 是常数，等式右边是通常的加减法和乘法运算.已知 ， ，那么 的值是　 　.
【答案】（1）2；
（2）60
（3）-11
【知识点】三元一次方程组解法及应用；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：（1）∵ ，
由①②，得 ；
由①+②，得 ，
∴ ；
故答案为：2； ；
（2）设买1支铅笔为a元，买1块橡皮为b元，买1本笔记本为c元，
由题意得：
，
①×2 ②得：a+b+c=12，
∴5a+5b+5c=60，
故答案为：60；
（3） ，
由 得： ，
∴ .
故答案为： .
【分析】（1）将两个方程相加可得x+y的值，将两个方程相减可得x-y的值；
（2）设买1支铅笔为a元，买1块橡皮为b元，买1本笔记本为c元，则13a+4b+2c=48，25a+7b+3c=84，利用第一个方程的2倍减去第二个方程可得a+b+c的值，据此解答；
（3）由定义的新运算可得3a+5b-c=15，4a+7b-c=28，利用第一个方程的3倍减去第二个方程的2倍可得a+b-c的值，据此解答.
19．（2021七下·綦江期末）对于一个三位数 ，如果 满足：它的百位数字、十位数字之和与个位数字的差等于8，那么称这个数 为“快乐数”.例如： ， ， 是“快乐数”； ， ， 不是“快乐数”.
（1）判断844，735是否为“快乐数”？并说明理由；
（2）若将一个“快乐数” 的个位数的3倍放到百位，原来的百位数变成十位数，原来的十位数变成个位数，得到一个新的三位数 （例如：若 ，则 ），若 也是一个“快乐数”，求满足条件的所有 的值.
【答案】（1）解：884是“快乐数”，735不是“快乐数”；
理由如下：
，
是“快乐数”；
，
不是“快乐数”.
（2）解：设这个“快乐数” ，则 （ ， ， ，且 ， ， 为整数）
根据题意得： ，
化简得：
，且 为整数，
或 或
满足条件的所有 的值为：721，642，563.
【知识点】三元一次方程组解法及应用；有理数的加减混合运算
【解析】【分析】（1）利用快乐数的定义：一个三位数它的百位数字、十位数字之和与个位数字的差等于8，分别对844，735进行判断即可.
（2） 设这个“快乐数” ，则 （ ， ， ，且 ， ， 为整数） 可得到关于a，b，c的三元一次方程组，可将方程组转化为a=-c+8，b=2c，利用a，b，c的取值范围，可得到符合题意的数m.
20．（2021·黄冈模拟）某体育彩票经销商计划用45000元从省体彩中心购进彩票20扎，每扎1 000张，
已知体彩中心有A、B、C三种不同价格的彩票，进价分别是A彩票每张1.5元，B彩票每张2元，C彩票每张2.5元.
（1）若经销商同时购进两种不同型号的彩票20扎，并将45000元恰好用完，请你帮助经销商设计进票方案：
（2）若销售A型彩票一张获手续费0.2元，B型彩票一张获手续费0.3元，C型彩票一张获手续费0.5元.在问题(1)设计的购进两种彩票的方案中，为使销售完时获得的手续费最多，你选择哪种进票方案？
（3）若经销商准备用45 000元同时购进A、B、C三种彩票20扎，请你帮助经销商设计一种进票方案.（直接写出答案）
【答案】（1）解：若设购进A种彩票x张，B种彩票y张，
根据题意得：x+y=1000×20；1.5x+2y=45000，
解得：x=﹣10000，y=30000，
∴x＜0，不合题意；
若设购进A种彩票x张，C种彩票y张，
根据题意得：x+y=1000×20；1.5x+2.5y=45000，
解得：x=5000，y=15000，
若设购进B种彩票x张，C种彩票y张，
根据题意得：2x+2.5y=45000；x+y=1000×20.
解得：x=10000，y=10000，
综上所述，若经销商同时购进两种不同型号的彩票共有两种方案可行，
即A种彩票5扎，C种彩票15扎或B种彩票与C种彩票各10扎
（2）解：若购进A种彩票5扎，C种彩票15扎，
销售完后获手续费为0.2×5000+0.5×15000=8500（元），
若购进B种彩票与C种彩票各10扎，
销售完后获手续费为0.3×10000+0.5×10000=8000（元），
∴为使销售完时获得手续最多选择的方案为A种彩票5扎，C种彩票15扎；
（3）解：共有4种进票方案，具体如下：
方案1：A种1扎，B种8扎，C种11扎；
方案2：A种2扎，B种6扎，C种12扎；
方案3：A种3扎，B种4扎，C种13扎；
方案4：A种4扎，B种2扎，C种14扎.
【知识点】二元一次方程组的其他应用；三元一次方程组解法及应用
【解析】【解答】解：（3）若经销商准备用45000元同时购进A、B、C三种彩票20扎.
设购进A种彩票m扎，B种彩票n扎，C种彩票h扎.
由题意得：m+n+h=20；1.5×1000m+2×1000n+2.5×1000h=45000，即h=m+10，
∴n=﹣2m+10，
∵m、n都是正数
∴1≤m＜5，
又m为整数共有4种进票方案，具体如下：
方案1：A种1扎，B种8扎，C种11扎；
方案2：A种2扎，B种6扎，C种12扎；
方案3：A种3扎，B种4扎，C种13扎；
方案4：A种4扎，B种2扎，C种14扎.
【分析】（1）因为彩票有A，B，C三种不同型号，而经销商同时只购进两种，所以要将A，B，C两两组合，分三种情况：A，B；A，C；B，C，每种情况都可以根据下面两个相等关系列出方程，两种不同型号的彩票扎数之和＝20，购买两种不同型号的彩票钱数之和＝45000，然后根据实际含义确定他们的解．
（2）根据上一问分别求出每一种情况的手续费，然后进行比较，可以得出结果．
（3）有两个等量关系：A彩票扎数＋B彩票扎数＋C彩票扎数＝20，购买A彩票钱数＋购买B彩票钱数＋购买C彩票钱数＝45000．设三个未知数，用含有同一个未知数的代数式去表示另外的两个未知数，然后根据三个未知数的取值范围都小于20，得出一元一次不等式组，求出解集，最后根据实际含义确定解．
21．（2021八上·成华期末）阅读理解：已知实数x，y满足3x﹣y＝5…①，2x＋3y＝7…②，求x﹣4y和7x＋5y的值.仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题可以通过适当变形整体求得代数式的值，如由①﹣②可得x﹣4y＝﹣2，由①＋②×2可得7x＋5y＝19.这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”.利用“整体思想”，解决下列问题：
（1）已知二元一次方程组 ，则x﹣y＝　 　，x＋y＝　 　；
（2）买20支铅笔、3块橡皮、2本日记本共需32元，买39支铅笔、5块橡皮、3本日记本共需58元，求购买5支铅笔、5块橡皮5本日记本共需多少元？
（3）对于实数x，y，定义新运算：x*y＝ax＋by＋c，其中a，b，c是常数，等式右边是实数运算.已知3*5＝15，4*7＝28，求1*1的值.
【答案】（1）-1；5
（2）设铅笔的单价为 元，橡皮的单价为 元，日记本的单价为 元，
依题意，得： ，
由 ①②可得 ，
.
答：购买5支铅笔、5块橡皮、5本日记本共需30元.
（3）依题意，得： ，
由 ①②可得： ，
即 .
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【解答】解：（1） .
由①②可得： ，
由 ①② 可得： .
故答案为： ；5；
【分析】（1）利用①②可得出 的值，利用 ①② 可得出 的值；
（2）设铅笔的单价为 元，橡皮的单价为 元，日记本的单价为 元，根据“买20支铅笔、3块橡皮、2本日记本共需32元，买39支铅笔、5块橡皮、3本日记本共需58元”，即可得出关于 ， ， 的三元一次方程组，由 ①②可得除 的值，再乘5即可求出结论；
（3）根据新运算的定义可得出关于 ， ， 的三元一次方程组，由 ①②可得出 的值，即 的值.
22．（2021八上·永安期末）有些关于方程组的问题，欲求的结果不是每一个未知数的值，而是关于未知数的代数式的值，如以下问题∶
已知实数x、y满足 ①， ②，求 和 的值.
本题常规思路是将①②两式联立组成方程组，解得x、y的值再代入欲求值的代数式得到答案，常规思路运算量比较大.其实，仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形整体求得代数式的值，如由①②可得 ，由①＋② 可得 .这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”.解决问题∶
（1）已知二元一次方程组 则 　 　， 　 　.
（2）某班级组织活动购买小奖品，买13支铅笔、5块橡皮、2本日记本共需31元，买25支铅笔、9块橡皮、3本日记本共需55元，则购买3支铅笔、3块橡皮、3本日记本共需多少元？
（3）对于实数x、y，定义新运算∶ ，其中a、b、c是常数，等式右边是通常的加法和乘法运算.已知 ， ，那么 　 　.
【答案】（1）4；2
（2）解：设购买1支铅笔x元、1块橡皮y元、1本日记本z元，
根据题意得
①②得： ，
∴ ，
答：购买3支铅笔、3块橡皮、3本日记本共需21元.
（3）24
【知识点】解二元一次方程组；三元一次方程组解法及应用
【解析】【解答】解：（1）
①-②得 ，
①+②得 ，
∴ ；
故答案为：4，2；
（3） ， ，
①-②得 ，
②×3-①×2得 ，
，
.
【分析】（1）方程组中2个方程分别相加、相减即可得出答案；
（2）设购买1支铅笔x元、1块橡皮y元、1本日记本z元 ，利用共需31元和55元列方程组，求得即可得出答案；
（3） 利用新定义运算 ，得方程组,求得,进而结合新定义运算即可的值.
23．（2021八上·云阳期末）我国古代民间把正月正、二月二、三月三、五月五、六月六、七月七、九月九这“七重”列为吉庆日；“七”在生活中表现为时间的阶段性，比如一周有“七天”……在数的学习过程中，有一类自然数具有的特性也和“七”有关.
定义：对于四位自然数 ，若其千位数字与个位数字之和等于7，百位数字与十位数字之和也等于7，则称这个四位自然数 为“七巧数”.
例如：3254是“七巧数”，因为 ， ，所以3254是“七巧数”； 1456不是“七巧数”，因为 ，但 ，所以1456不是“七巧数”.
（1）若一个“七巧数”的千位数字为 ，则其个位数字可表示为　 　（用含 的代数式表示）；
（2）最大的“七巧数”是　 　，最小的“七巧数”是　 　；
（3）若 是一个“七巧数”，且 的千位数字加上十位数字的和，是百位数字减去个位数字的差的3倍，请求出满足条件的所有“七巧数” .
【答案】（1）7-a
（2）7700；1076
（3）解：设m的千位数字为a，百位数字为b，十位数字为c，个位数字为d，
则 ，
把②③代入①，可得：7-d+7-b=3b-3d，既：4b-2d=14，
∴d=2b-7，
∴百位数字为b，个位数字为2b-7，十位数字为7-b，
∵2b-7≥0且7-b≥0，
∴3.5≤b≤7，
当b=4时，则d=1，a=6，c=3，m=6431，
当b=5时，则d=3，a=4，c=2，m=4523，
当b=6时，则d=5，a=2，c=1，m=2615，
当b=7时，则d=7，a=0，c=0，不符合题意，
∴ 满足条件的所有“七巧数” 为：6431，4523，2615.
【知识点】列式表示数量关系；三元一次方程组解法及应用
【解析】【解答】解：（1）∵一个“七巧数”的千位数字为 ，
∴其个位数字可表示为：7-a，
故答案为：7-a；
（2）由题意可得：最大的“七巧数”是：7700，最小的“七巧数”是：1076，
故答案为：7700，1076；
【分析】（1）根据七巧数的定义，即可得到答案；
（2）根据七巧数的定义，即可得到答案；
（3）设m的千位数字为a，百位数字为b，十位数字为c，个位数字为d，根据题意得到a，b，c，d之间的数量关系，进而求出b的范围，即可求解.
24．（2020·扬州）阅读感悟：
有些关于方程组的问题，欲求的结果不是每一个未知数的值，而是关于未知数的代数式的值，如以下问题：
已知实数x、y满足 ①， ②，求 和 的值.
本题常规思路是将①②两式联立组成方程组，解得x、y的值再代入欲求值的代数式得到答案，常规思路运算量比较大.其实，仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形整体求得代数式的值，如由①②可得 ，由①② 可得 .这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”.
解决问题：
（1）已知二元一次方程组 ，则 　 　， 　 　；
（2）某班级组织活动购买小奖品，买20支铅笔、3块橡皮、2本日记本共需32元，买39支铅笔、5块橡皮、3本日记本共需58元，则购买5支铅笔、5块橡皮、5本日记本共需多少元？
（3）对于实数x、y，定义新运算： ，其中a、b、c是常数，等式右边是通常的加法和乘法运算.已知 ， ，那么 　 　.
【答案】（1）-1；5
（2）解：设每支铅笔x元，每块橡皮y元，每本日记本z元，则
①×2，得40x+6y+4z=64③
③-②，得x+y+z=6
∴5(x+y+z)=30
∴购买5支铅笔、5块橡皮、5本日记本共需30元
答：购买5支铅笔、5块橡皮、5本日记本共需30元
（3）-11
【知识点】解二元一次方程组；三元一次方程组解法及应用
【解析】【解答】解：（1）
①-②，得x-y=-1
①+②，得3x+3y=15
∴x+y=5
故答案为：-1，5（3）∵
∴①， ②，
∴②-①，得 ③
∴④
①+②，得 ⑤
⑤-④，得
∴
故答案为：-11
【分析】（1）已知 ，利用解题的“整体思想”，①-②即可求得x-y，①+②即可求得x+y的值；（2）设每支铅笔x元，每块橡皮y元，每本日记本z元，根据题意列出方程组，根据（1）中“整体思想”，即可求解；（3）根据 ，可得 ， ， ，根据“整体思想”，即可求得 的值.
25．（2019七下·广丰期末）有一场足球比赛，共有九支球队参加，采取单循环赛，其记分和奖励方案如下表：
标准 胜一场 平一场 负一场
积分 3 1 0
奖励（元／人） 2000 800 0
甲队参加完了全部8场比赛，共得积分16分．
（1）求甲队胜负的所有可能情况；
（2）若每一场比赛，每一个参赛队员均可得出场费500元，求甲队参加了所有8场比赛的队员的个人总收入（奖金加上出场费）．
【答案】（1）设甲队胜 场、平 场、负 场，以题意得方程组
解得 ，得整数解 或
即甲队胜负的所有可能情况有：“4胜4平”或者“5胜1平2负”.
（2）若是4胜4平，甲队参加了所有8场比赛的队员的个人总收入为：
2000×4+800×4+500×8=15200（元）
若是5胜1平2负，甲队参加了所有8场比赛的队员的总收入为：
2000×5+800+500×8=14800（元）．
答：若是4胜4平，总收入为15200元；若是5胜1平2负，总收入为14800元.
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【分析】（1）设甲队胜 场、平 场、负 场，依题意得方程组 ，讨论求出整数解即可；（2）由（1）可得由两种情况，根据奖励规则可分别求出总收入.
26．某货运公司接到 吨物资运载任务，现有甲、乙、丙三种车型的汽车供选择，每辆车的运载能力和运费如表：
车型 甲 乙 丙
汽车运载量(吨/辆) 5 8 10
汽车运费(元/辆) 400 500 600
（1）甲种车型的汽车 辆，乙种车型的汽车 辆，丙种车型的汽车 辆，它们一次性能运载　 　吨货物．
（2）若全部物资都用甲、乙两种车型的汽车来运送，需运费 元，求需要甲、乙两种车型的汽车各多少辆？
（3）为了节省运费，该公司打算用甲、乙、丙三种车型的汽车共 辆同时参与运送，请你帮货运公司设计派车方案；并求出各种派车方案的运费．
【答案】（1）74
（2）设甲车型的汽车有x辆，乙车型的汽车有y辆，根据题意有
解得
所以甲车型的汽车有8辆，乙车型的汽车有10辆；
（3）设甲车型的汽车有a辆，乙车型的汽车有b辆，丙车型的汽车有c辆，根据题意有
消去c得
∵a,b,c都是正整数，且a,b,c均不为0，
∴ 或
∴派车方案有两种：甲车型的汽车有2辆，乙车型的汽车有10辆，丙车型的汽车有3辆；甲车型的汽车有4辆，乙车型的汽车有5辆，丙车型的汽车有6辆；
当 时，运费为： （元）；
当 时，运费为： （元）；
综上所述，派车方案有两种：甲车型的汽车有2辆，乙车型的汽车有10辆，丙车型的汽车有3辆，运费为7600元；甲车型的汽车有4辆，乙车型的汽车有5辆，丙车型的汽车有6辆，运费为7700元．
【知识点】三元一次方程组解法及应用；二元一次方程组的应用-和差倍分问题
【解析】【解答】（1）甲种车型的汽车 辆，乙种车型的汽车 辆，丙种车型的汽车 辆，它们一次性能运载货物的数量为： （吨）；
【分析】（1）用每种车型的数量×各自的运载量，然后将结果相加即可得出答案；（2）设甲车型的汽车有x辆，乙车型的汽车有y辆，根据题意列出二元一次方程组，解方程组即可得出答案；（3）设甲车型的汽车有a辆，乙车型的汽车有b辆，丙车型的汽车有c辆，根据题意列出方程，再根据a,b,c都是正整数且a,b,c均不为0，即可确定a,b,c的值，进而可确定派车方案的运费．
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