第4章 因式分解全章教案

初中数学同步培优教材
目录
因式分解.............................................
§4.1 因式分解的概念.................................
§4.2 因式分解的方法...............................
§4.3 因式分解的应用...............................
§4.4 总结与反思...................................
封底 ...............................................
七下第4章 因式分解
章节概述：因式分解分三节内容，因式分解的概念，因式分解的方法，因式分解的应用。此章是代数式中的重要内容，它与前一章整式和后一章分式联系极为密切。因式分解的最终目标是将一个多项式化为几个因式积的形式，因而这一章的重点主要侧重讲解因式分解的方法，如提取公因式法，公式法，十字相乘法，分组分解法等。
§4.1 因式分解的概念
知识要点：
1.因式分解的概念；
2.因式分解与整式乘法的关系。
例1：（1）计算下列各式：
①；
②；
③；
④；
⑤；
⑥；
⑦；
⑧。
（2）根据上面的算式填空：
①；
②；
③；
④；
⑤；
⑥；
⑦；
⑧。
解析：本题主要是认识整式乘法的互逆变形，引出因式分解的概念：把一个多项式化成几个整式的积的形式。答案：略。
即时练习：根据乘法与因式分解互为逆运算，你能完成下列的填空吗？如果能，请填出满足条件的因式。
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
例2：下列各式从左到右的变形哪些是整式乘法？哪些是因式分解？哪些都不是？
①；
②；
③；
④；
⑤；
⑥；
⑦；
⑧；
⑨。
解析：本题主要考查因式分解与整式乘法的区别。因式分解的概念：把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做因式分解。因式分解与整式乘法是互逆的，结果的特征是因式分解是积的形式，整式的乘法是和的形式。答案：整式乘法：①⑤；因式分解：③④⑥⑦；都不是：②⑧⑨。
即时练习：下列各式从左到右的变形中，是因式分解的是（ ）
A、
B、
C、
D、
例3：判断下列因式分解是否正确，对的打“√”，错的打“×”。
（1）-----（ ）
（2）-----（ ）
（3）-----（ ）
（4）-----（ ）
（5）-----（ ）
（6）-----（ ）
解析：因式分解的过程是一种恒等变形的过程，在变形前后，式子的值始终保持不变，判断因式分解是否正确，其基本判断方法是对分解的结果进行乘法运算，看能否还原。答案：略。
即时练习：下列分解因式正确的是（ ）
A、
B、
C、
D、
A组
1、下面式子从左边到右边的变形是因式分解的是（ ）
A、 B、
C、 D、
2、下列各式的因式分解中，正确的是（ ）
A、 B、
C、 D、
3、若，则的值是______。
4、计算等于______。
5、若为完全平方式，则=______。
6、两个同学将同一个二次三项式分解因式，甲因看错了一次项系数而分解成；乙因看错了常数项而分解成，则将原多项式因式分解后的正确结果应该是______。
7、观察下列算式：，，，，
（1）把你从中发现的规律用等式表示出来；
（2）根据你发现的规律计算。
8、仔细阅读下面例题，解答问题：
例题：已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及的值。
解：设另一个因式为，得
，
则
解得：，
另一个因式为，的值为
问题：仿照以上方法解答下面问题：
已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及的值。
B组
1、已知为正整数，试判断是奇数还是偶数，请说明理由。
2、如果有两个因式和，则=（ ）
A、7 B、8 C、15 D、21
3、多项式被除，余数为2，则=______。
§4.2 因式分解的方法
知识要点：
1.因式分解的范围。
2.提取公因式法。
3.公式法。
4.十字相乘法。
5.分组分解法。
4.2.1因式分解的范围
例1：在实数范围内分解因式：。
解析：因式分解范围在未说明的情况下是在有理数范围内分解因式，但说明范围时一定要根据题目要求分解因式。答案：。
即时练习：在有理数范围内分解因式：。
4.2.2提取公因式法
例2：把下列多项式分解因式：
（1）
（2）
解析：本题考查了提取公因式法分解因式。具体方法：当各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项系数的最大公约数；字母取各项的相同的字母，而且各字母的指数取次数最低的。如果多项式的第一项是负的，一般要提出“”号，使括号内的第一项的系数成为正数。提出“”号时，多项式的各项都要变号。答案：（1）；（2）。
即时练习：把下列多项式分解因式：
（1）
（2）
4.2.3公式法
例3：（1）分解因式的结果为。
（2）分解因式的结果为。
解析：本题考查了运用法平方差公式分解因式。平方差公式：。答案：略。
即时练习：（1）将分解因式的结果为，则的值为。
（2）计算的值是。
（3）对于任意自然数，都能被被24整除。
例4：（1）因式分解：。
（2）若是一个完全平方式，那么应为（ ）
A、2 B、4 C、 D、
解析：本题考查了运用完全平方公式分解因式。能运用完全平方公式分解因式的多项式必须是三项式，其中有两项能写成两个数（或式）的平方和的形式，另一项是这两个数（或式）的积的2倍。完全平方公式：；。在运用完全平方公式分解因式时，若能提取公因式，则先提取公因式。答案：略。
即时练习：（1）若是完全平方式，则。
（2）把代数式分解因式，结果正确的是（ ）
A、 B、
C、 D、
（3），，求的值。
例5：因式分解；；
解析：本题考查了运用立方和、立方差公式分解因式。立方和公式： ；立方差公式：。PS：。答案：略。
即时练习：（1）填空：。
（2）。
（3），，求：的值。
4.2.4十字相乘法
例6：5可以分解成两数的乘积，如：，；6也可以分解成两数的乘积，如，，将分解后的数交叉相乘后再相加，求出结果。请按照表格，列出所有的可能性，完成表格。
交叉相乘再相加
解析：本题主要用凑数的方法引入十字相乘法。十字相乘法简单来讲就是：十字左边相乘等于二次项系数，右边相乘等于常数项，交叉相乘再相加等于一次项系数。其实就是运用乘法公式的逆运算来进行因式分解。答案：略。
例7：用十字相乘法分解因式：
（1） （2） （3） （4）
（5）
解析：本题考查了运用十字相乘法分解因式。对于二次项系数为1的二次三项式，直接利用公式进行分解。对于二次项系数不为1的二次三项式，在运用十字相乘法时只需满足，即可分解因式为。答案：略。
即时练习：
（1）用十字相乘法分解因式：
① ② ③ ④
⑤
（2）方程的解为。
（3）若一元二次方程的两个实数根分别是，，则
。
4.2.5分组分解法
例8：用分组法分解因式：
（1） （2） （3）
（4） （5）
（6） （7）
（8） （9） （10）
（11）
解析：本题考查了用分组分解法分解因式。能分组分解的多项式有四项或六项或大于四项。一般的分组分解有1-3分法，2-2分法，2-3分法，2-4分法，然后运用提取公因式法、公式法、十字相乘法对其分解因式。在对某些多项式分解因式时，需要恢复那些被合并或相互抵消的项，即把多项式中的某一项拆成两项或多项，或者在多项式中添上两个仅符合相反的项，前者称为拆项，后者称为添项。拆项、添项的目的是使多项式能用分组分解法进行因式分解。题（1）为1-3分法，（2）（3）为2-2分法，（4）（5）为2-3分法，（6）（7）为3-3分法，（8）需添，项，则，（9）将拆成，则，（10）将8拆成9与，则，（11）将拆成，拆成，则。答案：略。
即时练习：用分组分解法分解因式。
（1） （2） （3）
（4） （5） （6）
（7） （8）
思考：化简：
例9：求方程的整数解。
解析：本题考查了判断二元方程的整数解问题；得到用一个字母表示另一个字母的形式是解决本题的关键；注意约数不要忘记是负数的可能。。答案：略。
即时练习：求方程的解。
例10：已知，是一个关于，，的一次多项式，且，试求的表达式。
解析：本题综合考查因式分解。由可得：，，，从而将降幂。答案：略：
即时练习：已知、、是三角形的三条边，求证：代数式的值一定是负数。
A组
1、分解因式，合理地提取的公因式为______。
2、下列多项式中，能用公式法分解因式的是（ ）
A、 B、 C、 D、
3、观察下列等式的规律，并根据这种规律写出第（5）个等式。
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）____________________________________________。
4、若，则，。
5、如果，那么等于（ ）
A、 B、 C、 D、
6、不能用十字相乘法分解的是（ ）
A、 B、 C、 D、
7、若，则，。
8、已知，则的值为（ ）
A、4 B、3 C、1 D、0
9、选取适当的方法分解因式：
（1） （2） （3）
（4） （5） （6）
（7） （8） （9）
（10） （11）
10、用分组分解法分解因式：
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
（7）
（8）
（9）
（10）
B组
1、已知是完全平方式，且、都不为零，则与的关系为（ ）
A、互为倒数或互为负倒数 B、互为相反数 C、相等的数 D、任意有理数
2、已知：，则。
3、已知，求代数式的值。
4、若能分解为两个一次因式的积，则的值为（ ）
A、1 B、 C、 D、
5、分解因式：
（1） （2）
（3）
6、证明：若是7的倍数，其中，都是整数，则是49的倍数。
§4.3 因式分解的应用
知识要点：
1.待定系数法
2、数的简便运算
3、图形面积推出因式分解
4、解一元一次方程
5、双十字相乘法。
例1：用待定系数法分解因式：（1）
解析：本题考查了待定系数法分解因式，将一个多项式表示成另一种含有待定系数的新的形式，这样就得到一个恒等式，然后根据恒等式的性质得出系数应满足的方程或方程组，其后通过解方程或方程组便可求出待定的系数，或找出某些系数所满足的关系式。本题是关于的四次多项式，可考虑用待定系数法将其分解为两个二次式之积。设。答案：。
即时练习：若多项式能被整除，则。
例2：某同学在计算时，把写成后，发现可以连续运用平方差公式计算：。请借鉴该同学的经验，计算：
解析：本题主要考查了因式分解在数的简便运算中的应用。根据题意，需要，而，则。答案：略。
即时练习：计算：（1）
（2）
例3：如果是完全平方式，求正整数。
解析：本题考查了完全平方式的概念。本题分3种情况讨论的取值，把化简为完全平方式的形式，根据化简后的式子得出。
（1），则，则；
（2），则，则；
（3），则，则。
答案：2或11或14。
即时练习：把多项式加上一个什么单项式就可以进行因式分解？你能把分解因式吗？
例4：根据几何图形的面积关系可以说明完全平方公式，实际上还有一些等式也可以用这种方式加以说明，例如：，就可以用图1的面积关系来说明。
①根据图2写出一个等式；
②已知等式：，请你画出一个相应的几何图形加以说明。
解析：本题主要考查了完全平方式的几何背景，应从整体和部分两方面来理解完全平方公式的几何意义，主要围绕图形面积展开分析。答案：略。
即时练习：给你多个长方形和正方形卡片，形状如图所示：
请你运用拼图的方法，选取相应种类和数量的卡片，拼成一个矩形，使它的面积为，根据你所拼成的图形分解多项式。
例5：根据因式分解解方程：
解析：本题考查了用因式分解解一元二次方程。因为，所以，则当或者时，方程成立。答案：，。
即时练习：
例6：已知，求的值。
解析：本题考查了用配方法分解因式。由可得
，。
答案：4。
即时练习：分解因式（1） （2）
例7：分解形如的二次六项式。在草稿纸上，将分解成乘积作为一列，分解成乘积作为第二列，分解成乘积作为第三列，如果，，，即第1，2列和第2，3列都满足十字相乘规则，则原式。
用双十字相乘法分解因式：
解析：本题主要考查了双十字相乘法因式分解。
因为，，，所以
。答案：略。
即时练习：（1） （2）
例8：因式分解：
解析：本题主要考查了无理数的因式分解。答案：略。
即时练习：
A组
1、在关于的二次三项式中，当时，其值为0；当时，其值为0；当时，其值为10，求这个二次三项式。
2、
3、计算：（1） （2） （3）
4、如图所示，由一个边长为的小正方形与两个长与宽分别为、的小矩形拼接成矩形，则整个图形表达出一些有关多项式分解因式的等式，请你写出任意三个等式。
（1）_______________________________；
（2）_______________________________；
（3）_______________________________。
5、如图（1）所示的边长为的大正方形中有一个边长为的小正方形，小明将图（1）的阴影部分拼成一个矩形，如图（2）。这个过程可以验证一个乘法公式，该公式是______。
图（1） 图（2）
6、解方程：（1） （2）
7、用配方法分解因式：
8、用双十字相乘法分解因式：
9、因式分解：（提示：）
10、下面是某同学对多项式进行因式分解的过程。
解：设
原式=（第一步）
=（第二步）
=（第三步）
=（第四步）
回答下列问题：
（1）该同学第二步到第三步运用了因式分解的______。
A、提取公因式 B、平方差 C、两数和的完全平方公式 D、两数差的完全平方公式
（2）该同学因式分解的结果是否测底______，若不测底，请直接写出因式分解的最后结果。
（3）请你模仿以上方法尝试对多项式进行因式分解。
B组
1、已知多项式的系数都是整数，若是奇数，证明这个多项式不能分解为两个整系数多项式的乘积。
2、若、、是一个三角形的三边，证明。
§4.4 总结与反思
因式分解是在学习有理数和整数四则运算的基础上进行的，它为以后学习分式运算、解方程和方程组及代数式和三角函数式的恒等变形提供了必要的基础。由于进行因式分解时要灵活综合运用学过的有关数学基础知识，并且因式分解的途径多，技巧性强，逆向思维对中学生来讲具有一定的深广度，所以因式分解又是发展学生智能、培养能力、深化学生逆向思维的良好载体。本章主要强化因式分解概念的理解，着重讲解用提取公因式法、公式法、十字相乘法、分组分解法分解因式。因式分解需注意：（1）分解要彻底；（2）最后结果只有小括号；（3）最后结果中多项式首项系数为正。因式分解方法选取：先看有无公因式，再看能否套公式，十字相乘试一试，分组分解要合适。