第4 . 1节 二元一次方程
一、背景介绍及教学资料
《二元一次方程》是浙教版义务教育课程标准实验教科书数学七年级下册第四章的第一节概念课。本节课是在学生学习了一元一次方程及其应用后而学习的内容，它是学习二元一次方程组和其他方程组的基础。并且是同学们进一步学习数学其他内容和科学等其他学科的必备基础。
有关教学资料可以查阅“中国基础教育网”。网址：.www.cbe21.com
二、教学设计
1课时
【教学内容分析】
本节课提出了二元一次方程和二元一次方程的解的概念，学习把二元一次方程化为用一个未知数的代数式表示另一个未知数的形式，是一节起始课。二元一次方程的解的不确定性和相关性比较抽象，是一个难点。这节课是二元一次方程组及其解法的基础。
【教学目标】
1、了解二元一次方程的概念，了解二元一次方程的解的含义。
2、会检验一对数是不是二元一次方程的解，会把二元一次方程化为用一个未知数的代数式表示另一个未知数的形式。
3、通过对实际问题的分析，使学生进一步体会方程是刻画现实世界的有效数学模型。同时培养学生探究、创新的精神和合作交流的意识。
【教学重点、难点】
重点是二元一次方程的意义和二元一次方程的解的意义。
难点是二元一次方程的解的不确定性和相关性。即二元一次方程的解有无数个，但不是任意的两个数是它的解。
【教学准备】
几张漂亮的邮票，多媒体、实物投影仪等
【教学过程】
教学环节 教师活动 学生活动 设计意图
创设情境提出问题 同学们喜欢邮票吗？邮票既是一种邮资凭证，有是一种很有价值的收藏品，方寸之间记录着祖国的历史足迹，展示美丽山河和多彩的风情，给人以丰富的知识和美的享受，陶冶人们的精神世界。我们就来看看一个和邮票有关的问题合作学习（1）小红到邮局寄挂号信，需要邮资3元8角，小红有票额为6角和8角的邮票若干张，问各需多少张这两种面额的邮票？这个问题中，有几个未知数？能列一元一次方程求解吗？ 欣赏美丽的邮票合作探讨，产生认知上的冲突。 用美丽的邮票引出数学问题，吸引学生的注意力，进一步加强学生的兴趣。同时问题（1）不能用一元一次方程解决使学生产生认知上的冲突，引发认知的渴求。
尝试探索引出新知 如果设需要票额为6角的邮票x张，8角的邮票y张，你能列出方程吗？（2）在高速公路上，一辆轿车行驶2时的路程比一辆卡车行使3时的路程还多20千米。如果设轿车的速度是a千米/时，卡车的速度是b千米/时，你能列出怎样的方程？归纳指出：像 这样，含有两个未知数，且含有未知数的项的次数都是一次的方程叫做二元一次方程。 思考、讨论、探索解决问题得出：交流不同的表达形式 通过对实际问题的分析，使学生进一步体会方程是刻画现实世界的有效数学模型。
反馈练习巩固概念 做一做根据题意列出方程：（1）买5kg苹果和3kg梨共需23.6元，求苹果和梨的单价。设苹果的单价为x元/kg，梨的单价为y元/kg；（2）七年级一班男生人数的2倍比女生人数的多7人，求男生、女生的人数。设男生人数为x人，女生人数为y人。2、下列各式是二元一次方程的是（ ）（A）（B）（C）（D）3、你能编拟一个所列方程为：的实际问题吗？ 1、2、自主学习并口答3、合作交流，讨论补充 巩固所学的指示，及时反馈。同时培养学生探究、创新的精神和合作交流的意识。
探究归纳发展能力 例：已知方程。用关于x的代数式表示y；求当，对应的y的值，指出：使二元一次方程两边的值相等的一对未知数的值，叫做二元一次方程的一个解。例如，把x=0，y=5代入方程，，所以x=0，y=5就是方程的一个解，记做。（3）你能写出方程的三个解吗？想一想：（1）方程的解有多少个？（2）它的正整数解呢？ 合作交流，要用x的代数式表示y，只要把方程看做未知数x的一元一次方程。分组竞赛，互不重复，交流体会：只要确定一个未知数得值，即可确定另一个的值。从而得出二元一次方程的解有无数个，但不是任意的两个数是它的解。 让学生学会把二元一次方程化为用一个未知数的代数式表示另一个未知数的形式。利用小组竞赛、合作交流形式突破难点。
反馈练习及时调控 检验下列各组数是不是方程的解：（1）（2）（3）2、已知二元一次方程。用含y的代数式表示x; 根据给出的y的值，求出对应的x的值，填入图内：写出方程的五个解。 练习1、2（1）学生板演。师生共同评定正确答案；2（2）、（3）口答。 遵循教材安排，根据实际情况设计练习题以随时反馈教学效果
回顾小结布置作业 通过这节课的学习，你有什么收获？必做题：课本第88页A组；课本第89页B组.选作题：（1）以为解的二元一次方程的个数有（ ）A、有且只有一个； B、只有两个；C、有无数个；D不会超过100个。（2）已知是二元一次方程，则 ， 。（3）若x、y都是质数，则二元一次方程 的解有（ ）A、1组； B、2组； C、3组； D无数组． 讨论、整理、口答相互补充。 引导学生思考、交流、梳理所学知识，建立起符合自身认识特点的知识结构其中“必做题”属于基本要求，面向全体学生，“选做题”面向较好学生，拓展学生数学思维，增强实践。
【设计思想】
这节课是用美丽的邮票引出数学问题，因为问题（1）不能一元一次方程解决使学生产生认知上的冲突，引发认知的渴求。让学生经历从实际问题中抽象出二元一次方程的过程，体会方程的模型思想。
在自主探究学习的基础上，通过小组交流，讨论、合作，给每个学生发表意见的机会，起到了相互交流和补充的作用，也使学生体会到成功的喜悦，感受数学与生活的密切联系。
通过设置一些开放题型如“你能编拟一个所列方程为：的实际问题吗？” 等使学生感受到了数学源之于生活又为生活服务的道理，学生可从已有的生活经验出发，选择不同的取材，不同的内容而编写出丰富多彩的题来。
在教学中弱化概念，强调建模思想，使学生经历知识的形成过程与运用过程。这是与传统教材的最大区别。
乐成公立寄宿学校 陈苏玲
第4 . 2节二元一次方程组
一、背景介绍及教学资料
本节课是在学生学习了二元一次方程的基础上，通过用天平直观形象的展示抽象出二元一次方程组的概念，体会方程组的模型思想，进一步让学生经历体会从实际问题中抽象出数学问题，培养学生良好的数学应用意识。为进一步学习二元一次方程组的解法奠定基础。
有关教学资料可以查阅“中国基础教育网”。网址：.www.cbe21.com
二、教学设计
1课时
【教学内容分析】
本节课提出二元一次方程组和二元一次方程组解的概念，并利用列表尝试的方法求简单二元一次方程组的解。为接下去学习二元一次方程组的解法作准备。
【教学目标】
1、 了解二元一次方程组的概念和二元一次方程组解的含义。
2、会检验一对数是不是二元一次方程组的解，会利用列表尝试的方法求简单二元一次方程组的解。
3、通过对实际问题的分析，使学生进一步体会方程组是刻画现实世界的有效数学模型，同时培养学生观察、归纳、概括能力。
【教学重点、难点】
重点是二元一次方程组的意义和二元一次方程组解的概念。
难点是利用列表尝试的方法求简单二元一次方程组的解。
【教学准备】
多媒体、实物投影仪。
【教学过程】
教学环节 教师活动 学生活动 设计意图
创设情境提出问题 图中画的是什么？问题展示：一个苹果和一个梨的质量合计200g这个苹果的质量加上一个10g的砝码恰好与这个梨的质量相等，问苹果和梨的质量各为多少g 这个问题中，如果设苹果和梨的质量分别为x g和y g，你能列出几条方程？请把它们列出来。 学生欣赏被称为被称为“现代绘画之父”的法国保罗·塞尚的作品交流讨论得出：方程和 引发学生兴趣。经历从实际问题中抽象出二元一次方程组的过程，体会方程的模型思想”
尝试探索引出新知 做一做1、（1）已知方程，填写下表：x。。。859095100105。。。y。。。。。。提问：你能从中确定苹果和梨子的质量吗？（2）已知方程，填写下表：x。。。859095100105。。y。。。。。问题：现在你能找出苹果和梨的质量分别为多少g吗？ 为什么？指出：两个方程中x，y的值必须同时满足上述两个方程，因此可以把两个方程合起来，写成：像这样由两个一次方程组成，并且含有两个未知数的方程组，叫做二元一次方程组问题：（1）方程组中每条方程的解都适合方程组吗？（2）什么是方程组的解呢？（3）你能说出这个方程组的解吗？ 自主探索，口答就方程而言有无数组解，也就是说苹果和梨子的质量不能唯一的确定。自主探索，口答合作思考、讨论、探索解决问题得出，因为方程和方程中，x，y都表示同一个未知数，也就是说，x，y的值必须同时满足上述两个方程， 讨论交流得出：同时满足二元一次方程组中各个方程的解，叫做这个二元一次方程组的解是 。 通过自主探索体会从实际问题中抽象出二元一次方程组及二元一次方程解的不确定性，与二元一次方程组的解的唯一性的辩证关系。
反馈练习巩固概念 1、把下列各组数的题序填入图中适当的位置：（1）（2）（3）（4）将下列方程组的解和相应的方程组用线段连起来： 自主练习口答比一比，看谁连得快 进一步体会方程组的解与其中各方程解之间的关系。激发兴趣提高能力
应用探究发展能力 例 小聪全家外出旅游，估计需要胶卷底片120张，商店里有两种型号的胶卷：A型每卷36张底片，B型每卷12张底片，小聪一共买了4卷胶卷，刚好有120张底片。如果设两种胶卷分别买了x卷和y卷，请根据问题中的条件列出关于x，y的方程组，并用列表尝试的方法求两种胶卷的数量。指出： 因为x，y必须取正整数（为什么？） x的最小可能性是多少？所以可以列表尝试如下： x123 y 36x+12y 分组讨论，交流解：根据条件可列出关于x，y的方程组因为胶卷是整卷卖的x的最小取值是1。 x123 y3 36x+12y 显然，只有x=3，y=1符合这个方程组，所以方程组的解是答：小聪买了A型胶卷3卷，B型胶卷1卷。 综合运用知识养学生探究、创新的精神和合作交流的意识。
反馈练习及时调控 1，已知两个自然数的和是67，差是3。设这两个自然数分别是x，y，请列出关于x，y的方程组，并用列表尝试的方法求出这两个自然数。2、探究活动把一根长为1.2m的铁丝折成一个长方形，长方形的长和宽有多少种不同的取法？要使取法只有一种，你准备增加什么条件？ 设折成的长方形的长与宽分别为x，y，根据题设和你所增加的条件列出方程组 自主练习分组合作，交流探讨，尝试让学生自编习题， 1、针对难点设计练习题以随时反馈教学效果，2，尝试让学生自编习题，提高学生探索问题分析问题能力
回顾小节布置作业 通过这节课的学习，你有什么收获？必做题：课本第92页A组；B组。选作题：（1）、下列属二元一次方程组的是（ ）（A）；（B）；（C）；（D）2、用8块相同的长方形地砖拼成一个矩形，每个小长方形的长宽如图，请列出关于x、y的方程组，你能求出所拼成的矩形的面积吗？ 讨论、整理、口答相互补充。 引导学生思考、交流、梳理所学知识。“必做题”属于基本要求，面向全体学生，“选做题”面向较好学生，拓展学生数学思维，增强实践。
【设计思想】
本节课通过被称为被称为“现代绘画之父”的法国保罗·塞尚的作品引发学生兴趣，导入课题。用天平直观形象的展示抽象出二元一次方程组的过程，体会方程组的模型思想，进一步让学生经历体会从实际问题中抽象出数学问题，发展学生灵活运用有关知识解决实际问题的能力，培养学生良好的数学应用意识。同时综合运用探索、启发等几种方法。体会从实际问题中抽象出二元一次方程组及二元一次方程解的不确定性，与二元一次方程组的解的唯一性的辩证关系。并结合多媒体、实物投影仪等现代教学手段实施教学，体现直观性。使学生进一步体会方程组是刻画现实世界的有效数学模型。通过合作探索：“把一根长为1.2m的铁丝折成一个长方形，长方形的长和宽有多少种不同的取法？要使取法只有一种，你准备增加什么条件？” 尝试让学生自编习题，提高学生探索问题分析问题能力。从而较好地完成二元一次方程组和二元一次方程组的解的概念的建构，达到教学目标。
乐成公立寄宿学校 陈苏玲
x
y
0
2
-2
1
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14.3 解二元一次方程组 （1）
教学内容分析：本节课是在学生已具备的知识基础——二元一次方程的解与二元一次方程组的解的概念，而如何求出二元一次方程组的解，是学生最关心的、最迫切想知道的。本课要解决的就是让学生掌握用代入法解二元一次方程组，体验数学的化
归思想。求二元一次方程的解是学生必须掌握的技能，也为下面利用二元一次方程组解应用题打下基础。
教学目标：
1、解解二元一次方程组的“消元”思想，体会学习数学中的“化未知为已知”，“化复杂为简单”的化归思想。
2、了解代入法的概念，掌握代入法的基本步骤。
3、会用代入法求二元一次方程组的解。
教学重点、难点：重点是了解代入法的一般步骤，会用代入法解二元一次方程，难点是对代入消元法解方程组过程的理解及例2中当方程组设有一个字每系数为1（或－1）时，如何用一个未知数代替另一个未知数。
教学准备：多媒体动画显示梨换成苹果与砝码的过程（也可用投影片抽拉，或实物演示）
教学过程：
一、创设情景，引出课题
1、看课文的节前语，提出一个中国古代的问题，今有鸡兔同笼、上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几头？
根据学生列出的方程组 问：如何求它的解？
2、引出课题：4.3 解二元一次方程组
二、直观显示，体验转化
1、用多媒体（或投影片抽拉或实物演示）显示用（y）代替苹果和砝码（x＋10）把方程组中的二元转化为一元的过程。
2、合作学习，求出x、y的值。
3、让学生谈谈如何求二元一次方程组的解。
4、归纳：①解二元一次方程组的基本思路是“消元”即二元→一元，②用“代入”的方法进行“消元”，这种解方程组的方法称为代入消元法，简称代入法。
三、学习新知，形成体系
2y－3x=1 ①
1、典例讲解：例1，解方程组
x＝y－1 ②
先让学生议论：如何用代入法解方程组？
师归纳：关键是把“二元”→“一元”，用y－1代替x代入①式中的x（可以动画显示y－1代替x的过程）
解：把②代入①，得
2y－3(y－1)＝1
2y－3y＋3＝1
（求得y后，让学生讨论：如何求x，代入②还是代入①简便 ）
把y＝2代入②，得x＝2－1＝1
∴方程组的解是
注意：把2y-3(y-1)＝1中的（y－1），x＝2－1＝1中的2用彩色粉笔处理。
问：且不是原方程的解，应如何检验？
生：把解代入方程组。
师：解方程组与解方程一样，要养成口头检验的良好习惯。
2、做一做，P94做一做（1），（2）。
2y－7x=8 ①
3、典例讲解：例2，解方程组
3x－8y－10＝0 ②
问：方程组的两个方程中未知数系数都不是1（或－1）
如何实现用一个未知数表示另一个未知数。
生： （或）
师指出：一般选择系数相对较小的未知数，用另一个未知数的代数式表示，这样代入后能使计算简便。
解：由①得2x＝8＋7y，即 ③
把③代入②得
∴
∴
（讨论：求x的值时，把代入方程①②③中都可，代入哪个方程比较简便？）
把代入③，得
∴方程组的解是
4、合作学习：观察刚才用代入法解方程组的过程，用代入法解二元一次方程组的一般步骤怎样？
归纳：用代入消解二元一次方程组的一般步骤是：（投影显示，师用彩色粉笔在例2的解题过程中标上序号）。
（1）将方程组中的一个方程变形，使得一个未知数用能含有另一个未知数的代数式表示。
（2）用这个代数式代替另一个方程中相应的未知数，得到一个一元一次方程，求得一个未知数的值。
（3）把这个未知数的值代入代数式，求得另一个未知数的值。
（4）写出方程组的解。
5、做一做，P95，课内练习（1）～（4）。
投影显示学生解题过程。
根据学生练习中存在的问题指出：①用一个未知数表示另一个未知数要注意移项变号，②得一元一次方程后，要注意去分母、去括号、移项等出现的错误。
6、解决本节课开头提出的问题。
四、归纳小结，充实结构
问：这节课同学们有什么收获？
可以围绕以下几个问题讨论：
1、解二元一次方程组的基本思想是“消元”即消去一个未知数。
2、代入法的一般步骤。
3、养成口头检验的良好习惯。
4、在解题过程中，常会出现什么错误？
五、布置作业
教科书P95作业题、作业本，或根据学生的实际情况，从下列的各选题中选做。
备选例题
解方程组
2x－3y=7 ①
备选练习：1、用代入解方程组 时，消去x数，得到y的
3x+2y＝4 ②
一元一次方程。
正确的是（ ）
A、3（7＋3y）+2y=4 B、
C、 D、
2、解方程组：（1） （2）
3、已知二元一次方程组的两个解为和
求a、b的值
设计思想：
1、本教案是按：“问题情境——直观体验——归纳总结——应用提高”这模式呈现教学内容的。符合学生的认知规律与学习规律。
2、本节课的重点是让学生学会“代入消元”，体验化归，本节课运用了多种手段，如直观演示、合作讨论、及时归纳等，意在把课堂交给学生，成为学习的主体，这些手段也有助于学生知识体系的自主构建，达到课堂教学效果的优化。
4.3 解二元一次方程组 （2）
教学内容分析：通过上节课的学习，学生已体验到解二元一次方程组的基本思路是消元，可以通过代入法来达到消元的目的，但也发现当方程组的两个方程中没有字母的系数为1（或－1）时，用一个未知数的代数或表示另一个未知数代入另一个数，计算比较麻烦，这样本节课的加减消元法可使消元的手段变得简单，本节课要使学生掌握用加减法解二元一次方程组。这样学生解二元一次方程组的技能已形成，为下面解应用题，为后来的解二元一次方程组打下基础。
教学目标：1、体会加减消元法形成的思路。
2、了解加减消元法解二元一次方程组一般步骤。
3、掌握用加减法解二元一次方程组。
4、初步形成用便捷的消元法（即加减法和代入法）来解题。
教学重点、难点：重点是了解加减法的一般步骤，会用加减法解二元一次方程。难点是如例4那样没有未知数的系数相同（或相反数），要通过将一个（或两个）方程乘以一个常数以达到未知数系数相同（或相反）。
教学准备：多媒体动画显示拿掉“正方形”和“圆柱体”天平仍平衡的过程（或投影片抽拉或实物演示）。
教学过程：
一、复习旧知 练习引入
1、你是如何用代入法解二元一次方程组的？
2x+3y=100 ①
2、解方程组
4x+3y=130 ②
投影显示学生的解题过程，对把（100－2x）作为3y整体代入的同学要及时表扬与激励。
二、直观显示 体验转化
1、同多媒体（投影片抽拉或实物）显示天平的一边拿掉2个小立方体和3个小圆柱，右边拿掉100克的砝码，天平仍显示平衡。
2、合作学习：如何使方程组 达到消元的目的。
3、让学生发表对解本题的体会（①方法的不同；②比较两种解法哪个更便捷）。
4、归纳：通过将方程组中的两个方程相加式相减，消去其中的一个未知数，转化为一元一次方程，这种解二元一次方程组的方法叫做加减消元法（简称加减法）。
三、学习新知 自主建构
2s+3t＝2 ①
1、典例选讲例3，解方程组
2s－6t＝－1 ②
先让学生观察讨论：如何使用加减法，然后学生发表意见，师在黑板上演算：
解：①－②得9t＝3 ∴t＝
把t＝代入①，（代入②可以吗？），得
∴
∴方程组的解是
2、做一做，P97的做一做
3、归纳：将两方程相加还是相减看什么？（相同字母数相同用减法，相同字母系数相反用加法）。
3x－2y＝11 ①
4、典例选讲：例4，解方程组
2x＋3y＝16 ②
先让学生观察，然后问：本题与上面刚刚所做的二道题有什么区别？应用什么方法来解？（如果学生有回答用代入法来解，可以让学生先动手用代入法来解一解，再问：本题能否用加减法？如何使x或y的系数变为相等或相反？）
解：①×3，得，9x－6y＝33 ③
②×2，得，4x＋6y＝32 ④
③＋④，得，13x＝65
∴x＝5
把x＝5代入①，得3×5－2y＝11
解得y＝2
归纳：①方程变形时，要乘以相同字母的最小公倍数；②方程左边乘以某一个常数时，不能忘了右边的常数也要乘。
变式：本题如果消去x，那么如何将方程变形？
5、学生合作讨论：归纳解二元一次方程组的一般步骤。
（1）将其中一个未知数的系数化成相同（或互为相反数）。
（2）通过相减（或相加）消去这个未知数，得一个一元一次方程。
（3）解这个一元一次方程，得到这个未知数的值。
（4）将求得的未知数值代入原方程组中的任一个方程，求得另一个未知数的值。
（5）写出方程组的解。
6、做一做：P98课内练习。
7、探究活动。（P98课本的探究活动）
探究后让学生发表解本题的心得，哪种解法简便，为什么？
四、归纳小节 充实提高
问：这节课大家有什么收获？
或以围绕以下几个问题开展讨论：
1、解二元一次方程组有两种消元途径——代入法、加减法。
2、加减法的一般步骤。
3、用加减法解题常会出现什么错误？
4、解二元一次方程组用加减法还是用代入法简便，应如何选择？
五、布置作业
教科书P99作业题，作业本，或根据学生的实际情况，从下列的备选题中选做。
备选例题：
例1、解二元一次方程组
例2、已知 是方程组 的解，求a、b的值。
备选练习：
1、解下列二元一次方程组：
（1） （2）
2、关于x、y的二元一次方程组 与 的解相同，求a、b的值。
3、一个两位数的十位数字与个位数字的和为7，如果将十位数字与个位数字对调后，所得的数比原数小27，求原来的两位数。
假设原来的两位数的个位数字为x，十位数字为y，则原来的两位数可表示为
，十位数字与个位数字对调后的数为 ，则可列方程组： 。
设计思想：
1、本教案试图运用练习质疑，直观演示，尝试体验，合作学习等多种手段，让学生理解消元的另一种技能——加减法，并能用加减法解二元一次方程组。
2、本教案意在让学生真正成为学习的主体，观察、尝试练习，合作讨论、探究学习等都把时间还给学生，体现建构主义的教学观。
4.4 解二元一次方程组的应用 （1）
教学内容分析：本节课一方面在列方程（组）的建模过程中，强化了方程的模型思想，培养了学生列方程（组）解决实际问题的意识和能力，另一方面，将解方程组的技能训练与实际问题的解决融为一体，在实际问题的解决中，进一步提高学生解方程组的能力。本节课也是上册一元一次方程的应用的延续和发展，进一步培养学生初步的抽象、想象、逻辑思维能力；同时，利用列表、画线段图等手段能帮助学生提高分析问题和解决问题的能力，而这些能力的形成，无疑是拿到了解决实际问题的“金钥匙”。
教学目标：
1、了解列二元一次方程组与列一元一次方程组的异同。
2、经历和体验方程组解决实际问题的过程，了解应用二元一次方程组解决实际问题的一般步骤。
3、学会用二元一次方程组解决实际问题。
4、会用列表、画线段图等手段帮助分析理解实际问题。
教学重点：让学生经历和体验二元一次方程组解决实际问题的过程，会用列方程组解决实际问题。
教学难点：在实际问题中找等量关系、列方程组。
教学准备：多媒体显示游泳池中的数学问题的情境、例题及步骤的归纳等。
教学过程：
一、创设情景，合作学习，引入课题
合作学习：游泳池中的数学问题。
1、出示情景（多媒体显示实际情景）。
2、复习解决问题的常用手段，用算术方法求解与列一元一次方程来求解。讨论得出用以上两种方法解这个问题，很难求解。
3、合作学习、解决问题（展示学生的解题过程）。
4、讨论：（1）本题用什么知识来解决问题？（引出课题）
（2）列二元一次方程解决问题与列一元一次方程解决问题，有什么异同，有什么优点？
归纳：列二元一次方程解决问题，能使问题变得简单，比较容易找出等量关系，
但必须设两个未知数，找出两条等量关系，列两条不同的方程。
二、分析问题 解决问题 归纳步骤
（一）典型例题，例1的教学
1、能不能用刚才合作学习中得来的知识解决实际问题？（出示例1）
2、让学生分析题中的已知与未知，并问：如何找等量关系。
3、给学生提供表格（书中的分析）帮助学生分析数量关系，让学生自觉地得出两条等量关系：盖式纸盒中正方形的张数＋横式纸盒中正方形的张数＝1000张，竖式纸盒中长方形的张数＋横式纸盒中长方形的张数＝2000张。
4、师生共同完成解题过程。
x+2y=1000 ①
解：设做竖式纸盒x个，横式纸盒y个，根据题意，得
4x+3y＝2000 ②
①×4－②得，5y＝2000 ∴y＝400
把y＝400代入①，得x＋800＝1000 ∴x＝2000
∴方程组的解为
经检验这个解满足方程组，且符合题意。
答：做竖式纸盒200个，横式纸盒400个，恰好将库存的纸板用完。
5、合作讨论，应用二元一次方程组解决实际问题的基本步骤：
理解问题——制订计划——执行计划——回顾反思（多媒体显示）。
其中理解问题指审题，搞清已知和未知，分析数量关系；制订计划是指考虑如何根据等量关系设元，列出方程组，执行计划是指列出方程算求解，得到原数；回顾反思是指回顾解题过程，检验答案的正确性以及是否符合题意。
6、归纳指出：本题的等量关系不很明显，可通过列表格的形式帮助我们理解问题与制订计划。
（二）做一做。
1、例1的变式练习（课内练习1）。
指出：回顾反思是解决问题必不可少的一部分。
2、练习2
指出：运用线段图能帮助我们分析数量关系，更好地理解问题、解决问题。下面是本题的线段图。
设甲、乙两人每时分别走x千米、y千米，
则（1）
（2）
三、自主建构，形成系统，拓展提高。
（一）通过以上几个问题的解决，让学生谈谈对解决问题的感悟与体验，可以从以下几个方面展开：
1、列表与画线段图能有效地帮助我们分析问题，找等量关系。
2、应用二元一次方程组解决实际问题的基本步骤。
3、列二元一次方程组的关键是什么？（找等量关系）应注意什么？
4、要注重理解问题与回顾反思的重要性。
（二）做一做。
解决一个配套问题：作业是第2题，学生解决后指出：配套问题主要是如何配套，如本题中挖出的土＝运出的土，当然这也是一个等量关系。
四、布置作业
教科书104页的作业题与作业本上的练习。也可根据实际情况，从下列的备选中选做。
备选例题：《一千零一夜》中有这样一段文字：有一群鸽子，其中一部分在树上欢歌，另一部分在地上觅食。树上的一只鸽子对地上觅食的鸽子说：“若从你们中飞上来一只，则树下的鸽子就是整个鸽群的；若从树上飞下去一只，则树上、树下的鸽子就一样多了”。你知道树上、树下各有多少鸽子？
备选练习：
1、两列火车从相距910千米的甲、乙两地同时相向出发，10小时后相遇，如果第一列火车比第二列火车先出发4小时20分，那么在第二列火车出发8小时后相遇，问两列火车每小时各行多少千米？
2、某服装厂加工一批运动服，每15米布料能裁上衣10件或裁裤子13条，现有布料345米，为了使上衣和裤子配套，裁上衣和裤子的布料各是多少米？
设计思想：
1、本教案采用“问题情景——建立模型——解释、应用与拓展”的模式展开教学。充分利用学生身边的实际问题，尽可能增加教学过程的趣味性、实践性，利用多媒体辅助手段丰富学生的学习资料，生动活泼地展示所学内容，强调学生的动脑思考和主动参与，通过集体讨论、小组活动，以合作学习促进学生的自主探究。
2、教师是学生学习的组织者、促进者、合作者，学生是学习的主人，在教师的指导下主动地、富有个性地学习，用自己的大脑去亲自探索，用自己的心灵亲自去体验、去感悟。
4.4 解二元一次方程组的应用 （4）
教学内容分析：本节课在上节课掌握利用二元一次方程组解决实际问题的基本步骤与方法后，进一步让学生体会方程是刻画现实世界的有效数学模型的一节课，教学内容涉及待定系数法，利用二元一次方程求字母系数，与后面的函数联系密切，应让学生切实掌握，教学内容中有要我们所求的量较多（多于两个）时如何列二元一次方程组解决，对学生的能力要求较高，有利于学生分析问题、解决问题能力的提高。
教学目标：
1、掌握利用二元一次方程组求字母系数（待定系数法）。
2、进一步掌握利用二元一次方程解决实际问题。
3、学会利用二元一次方程组对信息量较大，所求未知量较多的实际问题的分析与解决。
教学重点、难点：重点是让学生熟练掌握利用二元一次方程组解决实际问题，难点是对信息量大，所求未知量较多的实际问题时（例2）的分析与体会。
教学准备：多媒体制作几个例题及解答，待定系数法步骤的归纳。
教学过程：
一、利用二元一次方程组，求关系式中的字母系数。
1、出示例2，并分析例2，①从所求出发，求p、q两个字母的值，必须列出两条方程，②从已知出发，如何利用及两对已知量，当t＝100℃时，l＝2.002米和当t＝500℃时，l＝2.01米。
③求得字母系数后，就可得到p与t的关系式，那么第（2）题中，已知p＝2.016米时，如何求t的值。
100p+q=2.002 ①
2、解：根据题意得
500p+q=2.01
②－①得 400p=0.008
解得p=0.00002
把p=0.00002代入① 得0.002＋q＝2.002
解得 q＝2
答：p=0.00002 q＝2
得t＝0.00002＋2，金属棒加热后，长度伸长到2.016米，即当t＝2.016时，2.016＝0.00002t
∴t＝800℃
答：此时金属棒的温度是800℃
3、变式：上题中当这根金属棒加热到200℃时，它的长度是多少？
解：由（1）得t＝0.00002t＋2
当t=200时，t＝0.00002×200＋2＝2.004米
答：此时它的长度是2.004米
4、合作讨论：例2的解题步骤？
讨论归纳：①代入（将已知的量 代入关系式）
②列（列出二元一次方程组）
③解（解这个二元一次方程组）
④回代（把求得p、q值重新回代到关系式中，使关系式只有两个相关的量，如只有t与t）
指出：这种求字母系数的方法称为待定系数法。
5、做一做：：（可选用后面的补充例题1或补充练习1或作业题第3题）
二、利用二元一次方程组解决信息量大，未知数多（多于2个）的实际问题。
1、复习上节课中应用二元一次方程组解决实际问题的基本步骤。
生回答：理解问题——制订计划——执行计划——回顾反思。
2、出示例3，理解例3（理解问题）
①师生共同找例3的特征
特征一：信息量多（有3条信息）关系复杂（有多个量参与）
特征二：所求的量多（4个成份质量和所占的百分比）
②找题中的等量关系a、蛋白质含量＋脂含量＝总质量×50%
b、矿物质含量＝2×脂肪含量
c、蛋白质含量＋碳水化合物合量＝总含量×83%
d、碳水化合物含量＋矿物质含量＝总质量×50%
……
3、分析如何设元与列式（制订计划）
①如何设元是本题的一个关键问题先让学生讨论设那两个量为未知数更有利于解题。
生讨论得出：设蛋白质和脂肪的含量较好，因为两者与其他未知量均有数量关系②利用哪些等量关系列式？
生讨论得出：利用上面所找的等量关系的a与d。
4、解：（执行计划）
（1）略
（2）问：如何制作扇形统计图
归纳：已知百分比，可先求得角度的大小，再画图，
画图（略）。
5、检验所求答案是否符合题意，并反思本例对我们有什么启示？
归纳：解信息量大，关系复杂的实际问题时，要仔细分析题意，找出等量关系，
利用它们的数量关系适当地设元，然后列方程组解题。
三、分小组 合作探究：
内容：书本P106的探究活动。
分组讨论，汇报结果，教师评价。
四、归纳小节，谈谈本节课的收获
可以围绕以下几个问题，展开讨论：
1、如何求一些公式中的字母系数（待定系数法）它的一般步骤是怎样的？
2、怎样解决一些信息量大，关系比较复杂的实际问题？
五、布置作业
教科书中的作业题、作业本或根据学生的实际情况可以从下列的备选题中选做。
备选例题：为了学生的身体健康，学生课桌、凳的高度都是按一定的关系科学设计的，小明对学校所添置的一批课桌、凳进行观察研究，发现它们可以根据人的身高调节高度，于是他测量了一套课桌、凳上相对应的四档高度，得到如下数据：
档次高度 第一档 第二档 第三档 第四档
凳高x（cm） 37.0 40.0 42.0 45.0
桌高y（cm） 70.0 74.8 78.0 82.8
（1）小明经过数据探究，发现：桌高y与凳高x符合关系或y=kx+b，请求出k与b的值。
（2）小明回家后，测量了家里的写字台和凳子，写字台的高度为77cm，凳子的高度为43.5cm，请你判断它们是否配套？说明理由。
备选练习：1、在某地，人们发现某种蟋蟀1min，所叫次数x与当地温度T之间的关系或为T＝ax＋b，下面是蟋蟀所叫次数与温度变化情况对照表：
蟋蟀叫的次数（x） … 84 98 119 …
温度（℃）T … 15 17 20 …
（1）根据表中的数据确定a、b的值。
（2）如果蟋蟀1min叫63次，那么该地当时的温度约为多少摄氏度？
2、某山区有23名中、小学生因贫困失学需要捐助，资助一名中学生的学习费用需要a元，一名小学生的学习费用要b元，某校积极捐款，初中各年级学生捐款数额与用其恰好捐助贫困中学生和小学生人数的部分情况如下表：
年级 捐款数额（元） 捐助贫困中学生人数（名） 捐助贫困小学生人数（名）
初一年级 4000 2 4
初二年级 4200 3 3
初三年级 7400
（1）求a、b的值。
（2）初三年级学生的捐款解决了其余贫困中小学生的学习费用，请将初三年级学生可捐助的贫困中、小学生人数直接填入上表中（不需写出计算过程）。
设计思想：
1、这套教材的特点之一是适当地体现现代建构主义的教学思想，本教案正是试图利用这一思想，让学生自主学习，合作探究，发展学生的“最近发展区”。对复杂问题的理解，要尽量顺着学生的经验与思路，用有针对性的、适宜的策略，引导和启发学生进行自我建构，如例2、例3的教学都试图体现这一点。
2、这套教材的另一特点是活动教学的思想，如本教案中的做一做，探究活动，都试图让学生在数学学习过程中亲身参与、独立探索、动手实践和合作交流，在有意义的活动中建构自己的数学知识，获得对数学的理解，发展数学能力。
加减法的具体实施，开始阶段让学生掌握这种打“抄稿”的形式，能减少学生计算的错误。
把代哪条方程，可以让学生多去尝试，然后体会代入系数绝对值较小的方程中比较便捷。
本例题的教学要注意与学生的互动，让学生去尝试、体验，能让学生完成知识的自我构建。
这种错误是学生最容易发生的，教学中一定要强调。
让学生合作讨论得出，能让学生“意会”就行。
如果时间不够，本题也可以作为作业，配套问题作为日常生活中常碰到的问题，要让学生掌握解此类问题的关键就是“配套”。
本题是针对本节课的例设计的，除了能带助学生理清此类问题的等量关系外，也增强人文气息。
两个练习一个是行程问题一个是配套问题，如果学生这两方面掌握得不理想，可选用。
用我国一个古代问题作为情景引入，既激发学生的求知欲，也体现了人文精神。
用多媒体（或投影片抽拉），能让学生直观地看出“消元”的过程能让学生深刻地体验到转化的过程，展示了“直观教学”的优势。
用动画（或投影片抽拉）显示方程②中的（y－1）代替方程①中的x的过程：进一步让学生体会“消元”是如何进行的。
要求学生口头检验其方程组的解，能培养学生良好的学习习惯与思维品质。
这一组练习是刚刚学习的代入法的应用，讲解时可指出2x＋y＝2中如何用一个未知数表示另一个未知数。
用x表示y，还是用y表示x，应让学生思考、体会，然后选择。
把和用彩笔代替，抓住了本节课的重点与难点，从例1到例2是一个从易到难的过程，体现了循序渐进的教学原则。
这里的合作学习，让学生充分观察、讨论，然后自觉地归纳出步骤，比教师一步一步地解析给学生听，要好得多，能让学生完成知识的自我建构。
这里的练习，教师要及时发现学生的错误，选取一些典型性的错误，及时提出。
自主归纳，能有效地让学生把新知纳入自己的知识结构，当然，教师的强调、补充、修正是必不可少的。
设计说明
本题既对上节课的复习，也是本节课的引例，起着承上启下的作用。
要及时鼓励学生的求异思维与造新思维，激发学生的学习热情。
要让学生理解加减法，不是件容易的事，通过实物或多媒体能给学生以直观的形象，把形象思维与抽象思维有机结合，避免了学生机械的模仿。
如果学生基础好，解题能力强，那么可选取一些题让学生“吃饱”如例1可用多种方法解题，如果学生错误较多，可用练习（1）进行防 练习2、3两题是针对作业题与第5题的设计的。
可以与上节课的加减法相比较，让学生形成辨别用何种方法便捷的能力。
对学生归纳得不完整的地方，老师均可修正、补充、强调。
例1先将（a＋b）与（a－b）看成一个整体，运用整体思想解题，先求a＋b、a－b的值，再求a、b的值。
例2主要让学生自主掌握练系数解题的步骤。
第1题是加强学生用加减法解二元一次方程组的技能。
第2题是运用待定系数法解题，第3题主要是针对课后作业的组题设计的。
例1的教学不但要让学生能运用列表分析数量关系，更要让学生体会到列二元一次方程组解决问题的一般步骤，体会方程（组）是刻画现实世界的有效数学模型。
这里的合作学习，也可提示学生列一元一次方程组解决问题的一般步骤。
知识系统的形成能有效地培养学生的应用能力。
这里的变式，其实主要让学生体验回顾反思是解决问题必不可少的一部分。
除列表外，画线段图也是帮助我们理解问题、制订计划的有效手段。
一节课的感悟或收获，能帮助学生知识技能的自主构建，也是学生开拓创新的基础。
本例题与下面的练习1给出的已知量多于2对应让学生掌握解决本类问题的便捷方法是：选数据时可选小一些。所求的字母系数是否正确，可代入另外未用到的对应量检验。
设计说明
运用学生日常碰到的情景引入，能激发学生的学习热情，通过类比，能使学生体验列二元一次方程组的优势所在。
设两个未知数，找两条等量关系，列两条方程是运用列方程组，解应用题的关键所在，应让学生有所领悟。
设计说明
不是教师硬塞给学生一些知识，而是让学生经过分析，自觉得出应怎样做，就能有效地把知识“内化”为学生自己的知识技能。
规范的范例 书写是培养学生正确表达的榜样，当然，不要教师只顾自己板演，尽量让更多的学生参加，边讨论边书写
这个变式是一种常碰到的形式。
及时归纳，能充实学生的知识结构形成解决问题的经验。
对于“待定系数法”可以指出，也可以不必指出。
这几个练习都包含着给出的条件多于两对，要让学生体验：怎样解比较便捷？怎样检验你所求的关系式是正确的？
理解复杂的实际问题，是一个难点，应让学生仔细审题，识别明、暗信息，挑选有用信息。
制订计划时如何设元是解决多个（两个以上）未知量的问题时一个关键问题，而这一步必须建立在理解的基础上。
统计图这个知识学生学过的时间比较长，应适当复习。
合作探究，反思解题心得，能进一步让学生掌握对复杂实际问题解决的技能。
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