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浙江版2022-2023学年度下学期七年级数学下册第1章平行线（解析版）
1.4平行线的性质（1）
【知识重点】
两条平行线被第三条直线所截，同位角相等.
简单地说，两直线平行，同位角相等.
【经典例题】
例1、如图，直线l1∥l2，并被直线l3所截，若∠1＝125°，则∠2＝ °．
【答案】55
【知识点】平行线的性质；邻补角
【解析】如图，
∵l1∥l2，∠1＝125°，
∴∠3＝∠1＝125°，
∴∠2＝180° ∠3＝55°．
故答案为：55．
例2、如图，直线ab，直线AB分别与直线a，b相交于点C和点B，过点C作射线CD⊥AB于C，若∠1＝57°，则∠2的度数是 ．
【答案】33°
【知识点】角的运算；平行线的性质
【解析】如图，标出E，F，
∵直线ab，
∴∠1=∠ACF=57°，
∴∠ACE=180°－∠ACF=123°，
∵∠ACD=90°，
∴∠2=123°－90°=33°，
故答案为：33°．
【分析】根据平行线的性质可得∠1=∠ACF=57°，则∠ACE=180°－∠ACF=123°，再根据∠ACD=90°可得∠2=123°－90°=33°。
例3、如图，BD平分∠ABC，F在AB上，G在AC上，FC与BD相交于点H，∠3+∠4＝180°．试说明∠1=∠2（请通过填空完善下列推理过程）
理由：因为∠3+∠4＝180°（已知），
∠FHD＝∠4（ ）．
所以∠3+ ▲ ＝180°
所以 ▲ （ ）．
所以∠1＝ ▲ （ ）．
因为BD平分∠ABC．
所以∠ABD＝ ▲ （ ）．
所以 ▲ ．
【答案】解：补充后的推理过程如下所示：
理由：因为∠3+∠4＝180°（已知），
∠FHD＝∠4（对顶角相等）．
所以∠3+∠FHD＝180°
所以FGBD（同旁内角互补，两直线平行）．
所以∠1＝∠ABD（两直线平行，同位角相等 ）．
因为BD平分∠ABC．
所以∠ABD＝∠2（角平分线的定义）．
所以 ∠1＝∠2．
【知识点】平行线的判定与性质；角平分线的定义
【解析】【分析】利用平行线的判定与性质证明求解即可。
【基础训练】
1．如图．直线，∠1＝70°，那么∠2的度数是()
A．40° B．50° C．60° D．70°
【答案】D
【解析】，，
，
故答案为：D．
2．如图，直线AB∥CD，∠EFB=60°，则∠CGE的度数是（ ）
A．130° B．110° C．120° D．60°
【答案】C
【解析】∵AB∥CD，∠EFB=60°，
∴∠EGD=∠EFB=60°，
∴∠CGE=180°-60°=120°．
故答案为：C．
【分析】利用平行线的性质可得∠EGD=∠EFB=60°，再利用邻补角可得∠CGE=180°-60°=120°。
3．如图，∠1=∠2，∠3=30°，则∠4等于（ ）
A．120° B．130° C．145° D．150°
【答案】D
【解析】如图
∵∠1=∠2，
∴a∥b，
∴∠5=∠3=30°，
∴∠4=180°﹣∠5，=150°，
故答案为：D.
【分析】利用同位角相等，两直线平行，可证得a∥b，再利用两直线平行，同位角相等，可求出∠5的度数，然后利用邻补角的定义求出∠4的度数.
4．如图，直线a∥b，直线c与直线a，b分别交于点A，B，AD⊥b于点D，若∠1=57°，则∠2的度数为（ ）
A．30° B．32° C．33° D．40°
【答案】C
【解析】∵a∥b，∠1=57°，
∴∠ABD=∠1=57°，
∵AD⊥b，
∴∠ADB=90°，
∴∠2=180°-∠ADB-∠ABD=180°-90°-57°=33°．
故答案为：C．
【分析】利用平行线的性质可得∠ABD=∠1=57°，再结合∠ADB=90°，利用角的运算求出∠2=180°-∠ADB-∠ABD=180°-90°-57°=33°即可。
5．如图，直线a，b被直线c所截，且，，则的度数为
【答案】130
【解析】∵，
∴，
∴，
故答案为：．
6．如图，已知CD平分∠ACB，DE∥AC，∠1=30°，则∠2= 度.
【答案】60
【知识点】平行线的性质；角平分线的定义
【解析】∵CD平分∠ACB，∠1=30°，
∴∠ACB=2∠1=60°；
∵DE∥AC，
∴∠ACB=∠2=60°.
故答案为：60.
【分析】由角平分线定义可求得∠ACB的度数，再根据两直线平行同位角相等得∠2=∠ACB可求解.
7．已知：如图，BC∥AE，∠C=∠A，求证：CD∥AF．
【答案】证明：∵，
∴∠A=∠FBC，
∵∠A=∠C，
∴∠C=∠FBC，
∴，
【解析】【分析】根据二直线平行，同位角相等，得出 ∠A=∠FBC， 等量代换得出 ∠C=∠FBC，根据内错角相等，两直线平行，即可证明结论 .
8．如图，E点为DF上的点，B为AC上的点， ∠1=∠2， ∠C=∠D．
试说明：AC//DF．
证明：∵ ∠1=∠2．（已知）
∠1=∠3 ，∠2=∠4（ ）
∴∠3=∠4（ ）
∴ ▲ // ▲ （ ）
∴ ∠C=∠ABD（ ）
又 ∵ ∠C=∠D（已知）
∴∠D=∠ABD（ ）
∴AC//DF（ ）
【答案】证明：∵∠1=∠2．（已知）
∠1=∠3，∠2=∠4（对顶角相等）
∴∠3=∠4（等量代换）
∴（内错角相等，两直线平行）
∴∠C=∠ABD（两直线平行，同位角相等）
又∵∠C=∠D（已知）
∴∠D=∠ABD（等量代换）
∴（内错角相等，两直线平行）．
故答案为：对顶角相等，等量代换，内错角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等；等量代换，内错角相等，两直线平行
【解析】【分析】由已知条件和对顶角相等可得∠3=∠4，根据平行线的判定“内错角相等，两直线平行”可得BD∥CE，由平行线的性质“两直线平行，同位角相等”可得∠C=∠ABD，结合已知可得∠D=∠ABD，根据平行线的判定“内错角相等，两直线平行”可得DF∥AC.
【培优训练】
9．如图，，，，那么 °
【答案】29
【解析】∵，
∴，
∵，
∴．
故答案为：29
【分析】根据平行线的性质可得∠DFE=∠A=56°，根据三角形外角的性质可得∠E=∠DFE-∠C，据此即得结论.
10．如图，已知直线AB∥CD，∠C=115°，∠A=25°，则∠E=（ ）
A．70° B．80° C．90° D．100°
【答案】C
【解析】方法1：
∵AB∥CD，∠C=115°，
∴∠EFB=∠C=115°．
又∠EFB=∠A+∠E，∠A=25°，
∴∠E=∠EFB-∠A=115°-25°=90°；
方法2：
∵AB∥CD，∠C=115°，
∴∠CFB=180°-115°=65°．
∴∠AFE=∠CFB=65°．
在△AEF中，∠E=180°-∠A-∠AEF=180°-25°-65°=90°．
故选C．
11．如图，已知∠1=110°，∠2=70°，∠4=115°，则∠3的度数为（ ）
A．65 B．70 C．97 D．115
【答案】D
【解析】因为∠2=∠5=70°，∠1=110°，所以a∥b，则∠4=∠3，故∠3度数可求．
【解答】
∵∠2=∠5=70°，∠1=110°，
∴∠1+∠5=180°，
∴a∥b（同旁内角互补两直线平行)，
∴∠4=∠3，
∵∠4=115°，
∴∠3=115°．
故选D．
12．如图，AB∥CD，若∠2是∠1的两倍，则∠2等于 （ ）
A．60° B．90° C．120° D．150°
【答案】C
【解析】∵AB∥CD，
∴∠1=∠3，
∵∠2+∠3=180°，
∴∠1+∠2=180°，
∵∠2是∠1的两倍，
∴3∠1=180°，
∴∠1=60°．
∴∠2=120
故选C．
13．如图，把一张长方形纸片ABCD沿EF折叠后ED与BC交于点G，D，C分别在M，N的位置上，若∠EFG＝55°，则∠2﹣∠1＝ ．
【答案】40°
【解析】∵∠EFG＝55°
∴∠EFC=125°
∵折叠，
∴∠EFC=∠EFN=125°
∴∠NFC=360°-∠EFC-∠EFN=110°
∵长方形纸片的对边平行，
∴AD∥BC，ME∥FN
∴∠NFC=∠MGF=∠2=110°
∠MGF=∠GED=110°
∴∠1=70°，
∴∠2-∠1=110°-70°=40.
故答案为：40°.
14．如图，在折线中，已知，延长、交于点，猜想与的关系，并说明理由．
【答案】解：．理由如下：
延长交于点，
因为，
所以，
所以，
又，
所以，
所以，
所以．
．
【解析】【分析】根据平行线的判定由
可得
，再利用平行线的性质可得
，再结合
可得
，所以
，再利用等量代换可得
。
15．完成下面的证明：
已知：如图，，CD平分，EF平分．
求证：．
证明：∵，
∴ ▲ （ ）．
∵CD平分，EF平分，
∴∠1= ▲ ，∠2= ▲ ．
∴∠ ▲ =∠ ▲ ．
∴（ ）．
【答案】证明：∵AC∥DE，
∴∠ACB＝∠DEB（两直线平行，同位角相等），
∵CD平分∠ACB．EF平分∠DEB，
∴∠1∠ACB，∠2∠DEB，
∴∠1＝∠2，
∴CD∥EF（同位角相等，两直线平行）．
故答案为：DEB；两直线平行，同位角相等；∠ACB；∠DEB；1；2；同位角相等，两直线平行．
【解析】根据二直线平行，同位角相等，得出∠ACB＝∠DEB，结合角平分线定义，求出∠1＝∠2， 最后根据同位角相等，两直线平行，即可得出结论.
16．完成下面的证明过程：
已知：如图，，，求证：．
证明：已知，
，
，
已知，
等量代换，
，
【答案】AB；EF；同旁内角互补，两直线平行；EFC；两直线平行，同位角相等；EFC；内错角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等
【解析】证明：∵∠1+∠2＝180°（已知），
∴AB∥EF（同旁内角互补，两直线平行），
∴∠B＝∠EFC（两直线平行，同位角相等），
∵∠B＝∠3（已知），
∴∠3＝∠EFC（等量代换），
∴DE∥BC（内错角相等，两直线平行），
∴∠AED＝∠C（两直线平行，同位角相等），
故答案为：AB；EF；同旁内角互补，两直线平行；EFC；两直线平行，同位角相等；EFC；内错角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等．
【分析】由同旁内角互补，两直线平行得到AB∥EF，从而得∠B＝∠EFC，进而得∠3＝∠EFC，由内错角相等，两直线平行得DE∥BC，再由两直线平行，同位角相等得∠AED＝∠C.
【直击中考】
17．（2022·河池）如图，平行线a，b被直线c所截，若∠1＝142°，则∠2的度数是（ ）
A．142° B．132° C．58° D．38°
【答案】A
【解析】∵，
∴.
故答案为：A.
【分析】根据平行线的性质：两直线平行，同位角相等可得∠1=∠2，据此解答.
18．（2022·岳阳）如图，已知，于点，若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】，，
则，
∵，
∴.
故答案为：C.
19．（2022·长沙）如图，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】平行线的性质
【解析】如图，设交于点，
，，
故答案为：C.
【分析】设AE、CE交于点G，根据平行线的性质可得∠DGE=∠BAE，∠DCF=∠DGE，据此解答.
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浙江版2022-2023学年度下学期七年级数学下册第1章平行线
1.4平行线的性质（1）
【知识重点】
两条平行线被第三条直线所截，同位角相等.
简单地说，两直线平行，同位角相等.
【经典例题】
例2、如图，直线l1∥l2，并被直线l3所截，若∠1＝125°，则∠2＝ °．
例2、如图，直线ab，直线AB分别与直线a，b相交于点C和点B，过点C作射线CD⊥AB于C，若∠1＝57°，则∠2的度数是 ．
例3、如图，BD平分∠ABC，F在AB上，G在AC上，FC与BD相交于点H，∠3+∠4＝180°．试说明∠1=∠2（请通过填空完善下列推理过程）
理由：因为∠3+∠4＝180°（已知），
∠FHD＝∠4（ ）．
所以∠3+ ＝180°
所以 （ ）．
所以∠1＝ （ ）．
因为BD平分∠ABC．
所以∠ABD＝ （ ）．
所以 ．
【基础训练】
1．如图．直线，∠1＝70°，那么∠2的度数是()
A．40° B．50° C．60° D．70°
2．如图，直线AB∥CD，∠EFB=60°，则∠CGE的度数是（ ）
A．130° B．110° C．120° D．60°
3．如图，∠1=∠2，∠3=30°，则∠4等于（ ）
A．120° B．130° C．145° D．150°
4．如图，直线a∥b，直线c与直线a，b分别交于点A，B，AD⊥b于点D，若∠1=57°，则∠2的度数为（ ）
A．30° B．32° C．33° D．40°
5．如图，直线a，b被直线c所截，且，，则的度数为
6．如图，已知CD平分∠ACB，DE∥AC，∠1=30°，则∠2= 度.
7．已知：如图，BC∥AE，∠C=∠A，求证：CD∥AF．
8．如图，E点为DF上的点，B为AC上的点， ∠1=∠2， ∠C=∠D．
试说明：AC//DF．
证明：∵ ∠1=∠2．（已知）
∠1=∠3 ，∠2=∠4（ ）
∴∠3=∠4（ ）
∴ // （ ）
∴ ∠C=∠ABD（ ）
又 ∵ ∠C=∠D（已知）
∴∠D=∠ABD（ ）
∴AC//DF（ ）
【培优训练】
9．如图，，，，那么 °
10．如图，已知直线AB∥CD，∠C=115°，∠A=25°，则∠E=（ ）
A．70° B．80° C．90° D．100°
11．如图，已知∠1=110°，∠2=70°，∠4=115°，则∠3的度数为（ ）
A．65 B．70 C．97 D．115
12．如图，AB∥CD，若∠2是∠1的两倍，则∠2等于 （ ）
A．60° B．90° C．120° D．150°
13．如图，把一张长方形纸片ABCD沿EF折叠后ED与BC交于点G，D，C分别在M，N的位置上，若∠EFG＝55°，则∠2﹣∠1＝ ．
14．如图，在折线中，已知，延长、交于点，猜想与的关系，并说明理由．
15．完成下面的证明：
已知：如图，，CD平分，EF平分．
求证：．
证明：∵，
∴ （ ）．
∵CD平分，EF平分，
∴∠1= ，∠2= ．
∴∠ =∠ ．
∴（ ）．
16．完成下面的证明过程：
已知：如图，，，求证：．
证明：已知，
，
，
已知，
等量代换，
，
【直击中考】
17．如图，平行线a，b被直线c所截，若∠1＝142°，则∠2的度数是（ ）
A．142° B．132° C．58° D．38°
18．如图，已知，于点，若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
19．如图，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
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