整式的乘除[下学期]

第五章 整 式 的 乘 除
第5章 整式的乘除
目录
TOC \o "1-3" \h \z 5.1 同底数幂的乘法（1） 2
5.1 同底数幂的乘法（2） 3
5.1 同底数幂的乘法（3） 4
5.2 单项式的乘法（教参） 5
5.3 多项式的乘法 8
5.4 乘法公式（1） 9
5.4 乘法公式（2） 11
5.5 整式的化简 14
5.6 同底数幂的除法(1) 15
5.6 同底数幂的除法(2) 17
5.7 整式的除法 19
5.1 同底数幂的乘法（1）
〖教学目标〗
◆1、理解同底数幂的乘法法则的由来，掌握同底数幂相乘的乘法法则。
◆2、学会并熟练地运用同底数幂的乘法法则进行计算。
◆3、体验在得到同底数幂的乘法法则过程中，是一个从特殊到一般，从具体到抽象，逐步地进行概括抽象的认识过程。
〖教学重点与难点〗
◆教学重点：掌握并正确应用同底数幂的乘法法则
◆教学难点：理解同底数幂的乘法法则是由乘法的概念加以具体到抽象的概括抽象的过程。
〖教学过程〗
（一）创设情境，引出课题
1、我们已经学习了整式加、减运算，在实际中，我们还需掌握整式的乘法和除法运算。例如：有一个长方形的桌面，因工作需要，在原来的长比宽多1.5米的基础上，长与宽再分别增加1米，那么这张桌面的面积增加5平方米，试求这张桌面原来的长与宽各是多少米？
2、师生共同讨论：设桌面宽为x米，长为y米，则有：
y-x=1.5 (1)
(y+1)(x+1)-xy=5 (2)
由(1)得y=1.5+x，代入(2)得：（x+1）(1.5+x+1)-x(1.5+x)=5
∴(x+1)(x+2.5)-x(x+1.5)=5
教师归纳：要解这个方程，须研究两个整式的相乘法则，为了研究整式的乘法与除法，我们先从最简单的乘法说起——同底数幂的乘法。
（二）交流对话，探求新知
1、设问：什么叫幂？（23=2×2×2=8）
学生答：am(a≠0,m为正整数)
2、设问：am表示a的m次幂，其中a、m分别叫什么？
学生答：am中a叫底数，m叫指数
3、教师归纳：幂是乘方的结果，同底数幂相乘，是指乘法中，两个乘数是幂的形式，并且这两个幂的底数相同的乘法。如23×22（引导学生得出结论：23×22=2×2×2×2×2=25）
4、学生完成下列练习
（14）103×104； （2）a3×a4
(学生答：103×104= 103+4=107 ；a3·a4=a3+4=a7 )
5、由a3·a4归纳a可以是任一代数式，再由学生归纳出同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加。公式：am·an =am+n并且推广至：am·an·ap= am+n+p(a≠0，m，n，p均为正整数)
6、运用同底数幂的乘法法则
例1、计算：
（1）108×103 （2）x3·x5 (3)76×74 (4) y·y2·y3
例2、化简：
（1）（-2）8×（-2）7 （2）（a-b）2·(a-b) ·(a-b)3
例3、我国自行研制的“神威5”计算机的峰值运算速度达到每秒3840亿次，如果按这个速度工作一整天，那么它能运算多少次（结果保留3个有效数字）？
（三）变式练习，激发情智
化简（s-t）2 (t-s) [-(t-s)3]
（四）整理知识，形成结构
1、运用同底数幂的乘法法则时，关键是要分清底数是否相同，尤其是底数有负号或幂是负数时要格外仔细。
2、当运用法则计算完毕时，一般运算结果的底数是正数或正分数。
（五）布置作业，巩固应用
作业题
5.1 同底数幂的乘法（2）
教学内容 §1.4 幂的乘方
教学目标 知识与技能目标经历探索幂的乘方的运算性质的过程，进一步体会幂的意义；了解幂的乘方的运算性质，并能解决一些实际问题。
过程与方法目标在探索幂的乘方的运算性质的过程中，发展推理能力和有条理的表达能力；学习幂的乘方的运算性质，提高解决问题的能力。
情感与态度目标在发展推理能力和有条理的表达能力的同时，进一步体会学习数学的兴趣，培养学习数学的信心，感受数学的内在美。
教学重点 幂的乘方的运算性质及其应用
教学难点 幂的运算性质的灵活运用
教学方法 引导—探究相结合
教学用具 多媒体演示
教 学 过 程
教师活动环节 学生活动环节 设计意图
一、引导回顾 搭建桥梁前面我们学习了同底数幂的乘法，那么同底数幂相乘的法则又是如何呢？ 一、参与回顾=同底数幂相乘：底数不变，指数相加 参与回顾旧知识为新课作准备
二、创设情境 诱发主动但我们发现我们所学的知识还是不够用的，比如：若甲球的半径是乙球的n倍，那么甲球的n3倍。地球、木星、太阳可以近似地看做是球体。木星、太阳的半径分别是地球的10倍和102倍，它们的体积分别是地球的多少倍？103易得而（102）3＝？ 二、投入情境（102）3　＝102102102＝106 让学生体会数学是源于生活实践的且是为生活服务的，当出现新的问题也就促进了数学的进步。
三、引入课题 激发探究合作学习：计算下列各式，并说明理由。（62）4　（a2）3　（am）2　（am）n　总结：（am）n=amn　（m，n都是正整数） 三、主动探究（am）n=amn 幂的乘方　底数不变，指数相乘 学会探索新知，学会总结。
四、诱向深入 拓展思维例3计算下列各式，结果用幂的形式表示：(1)（107）3 (2)（a4）8 (3)〔（-3）6〕3 (4) （y4）3 ·y(5)2（a2）5 - （a5）3 四、深入思考完成练习并请三位同学板演，师生共同评定正确答案。 通过练习加深对所学知识的认识。
五、展示应用 评价自我随堂练习：课本P115 五、展示能力完成练习并请三位同学板演，师生共同评定正确答案 检查学生掌握情况
六、链接知识 归纳小结[提问]请同学用自己的话说出幂的乘方的运算法则及其注意点。 六、建构体系底数不变，指数相乘 学会总结
七、知识留恋 课后韵味布置作业： 七、应用品味作业本5.1 《新课程怎样学》
5.1 同底数幂的乘法（3）
〖教学目标〗
◆1、理解积的乘方法则。
◆2、会计算积的乘方。
◆3、会进行简单的幂的混合运算。
〖教学重点与难点〗
◆教学重点：积的乘方法则
◆教学难点：积的乘方法则的推导过程
〖教学过程〗
一、创设情景，引入新课：
1、计算：(1) (53 )9 = (2) 53×93= 那么（5×9）3=？
（计算第（1）（2）两题既复习了同底数幂的乘法的前两个课时，又为后面新课的引入作了铺垫，同时把三节课的知识贯穿在一起。）
2、引导学生根据乘方的意义和同底数幂的乘法法则填空：
（5×9）3=（5×9）（5×9）（5×9）
=（5×5×5）（9×9×9）
=5( )×9( )
那么（5×9）4=———————————————————=——————————————=5( )×9( )
（5×9）（5×9）（5×9）（5×9），（5×5×5×5）（9×9×9×9）
（5×9）5=？
（5×9）6=？
依次类推，（5×9）n=
3、假如我把（5×9）n中的5和9分别用字母a和b来代替，（ab）n=anbn成立吗？
你能运用所学的知识来验证吗？
4、点明这节课的学习内容：积的乘方
积的乘方的法则：积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。
即(ab)n=anbn (n为正整数)
5、想一想：（abc）n=----------.为什么？
二、应用新知，体验成功
1、例题一：计算下列各式：
（1）(2b)5；（2）(3x)6;(3)(2/3ab)4;(4)(-x3y2)3
在教学中提醒学生注意不要遗漏系数的乘方。
2、完成第118页的课内练习1、2
3、例题二：填空 a3b6=( )3 81m4n2=( )2
在教学中强调积的乘方的法则，注意确定积的每一个因式。
4、完成第118页的课内练习3，第119页的第三题
5、例题三：你能口算2.59×48吗？结果是多少？那么0.12516×816呢？由此你获得了什么 启示？
强调积的乘方的法则的逆用，anbn=(ab)n
6、完成第119页的第四题
三、知识综合，攀登高峰
1计算(-x)3.(2x)2
2已知am=5，an=1/2,求代数式(a2m+3n)2的值
3完成例5
四、小结：
1、积的乘方的法则内容，提醒学生注意不要遗漏系数的乘方。
2、强调积的乘方的法则的逆用，anbn=(ab)n
五、作业：精选5.2第三课时
5.2 单项式的乘法（教参）
〖教学目标〗
◆1．经历探索单项式的乘法运算法则的过程，掌握单项式与单项式、单项式与多项式相乘的法则．
◆2．理解单项式的乘法运算的算理，体会乘法的交换律、结合律及分配律的作用，发展有条理的思考及语言表达能力．
◆3．会运用单项式的乘法解决简单的实际问题．
〖教学重点与难点〗
◆教学重点：本节教学的重点是单项式与单项式相乘的运算．
◆教学难点：例2涉及的数、式较为复杂，运算时容易出差错，是本节教学的难点．
〖教学过程〗
一、创设情境，引出课题
同学们，你们到过北京天安门广场吗(投影天安门广场的照片) 它位于北京市中心，是 世界上最大的城中广场，可容纳100万人．你们能想像它有多大吗 如果要估算天安门广场的面积，你会想用什么办法呢
学生的回答可能有：步测法、根据天安门广场的地图测量计算、上互联网查询资料等(由 此引出课题)．
二、引出新知，探究示例
1．单项式与单项式的乘法．
探究活动一(出示投影)：现在有一位旅行者准备用步长测量天安门广场的面积．他先从 南走到北，记下所走的步数为1100步；再从东走到西，记下所走的步数为625步，然后根据自己 的步长来估算广场的面积．假设这位旅行者的步长为0．8m，那么广场的面积大约是多少m2？列式后学生可能会有两种计算的过程：
①(1100×0.8)×(625×0.8)＝880×500=440000(m2)；
②(1100×0.8)×(625×0.8)＝(1100×625)×0.82=440000(m2)．
设计以下问题：
①其中第二种运算的依据是什么
答：其中第二种运算的依据是乘法交换律和结合律．
②如果用字母。表示该旅行者的步长，你能用含。的代数式表示广场的面积吗 并且可以把这个代数式表达得更简单些吗
答：1100a·625a=687500a2．
③通过解决上述问题，你认为两个单项式相乘应怎样运算 运算的依据是什么
答：1100a·625a=(1100×625)×a2=687500a：．
通过这一系列问题的解决引导学生总结——两个单项式相乘，根据乘法交换律和结合律，可以把它们的系数、同底数幂分别相乘．
运用结论，计算例题(出示投影)：
例1 计算：(1)3b 3·b2； 　　(2)(2×104)(6×103)·107；
(3)(－6ay3)(－a2)； 　 (4) (－3x)3(5x2y)．
在这里教师把课本例题出现的顺序作适当的调整，目的是通过第(1)(2)题，对以上学生得出的两个单项式相乘的结论进行理解和体验；通过第(3)题让学生进一步探究来完善单项式乘法的方法．如果只在一个单项式里单独出现的字母，应连同它的指数，作为积的因式，教师同时板书完整的法则；第(4)题让学生体会明确运算顺序：若遇到乘方与乘法混合运算时，通常先乘方后乘法．
解（1）3b 3·b2＝（3×）（b 3·b2）＝b 5
单项式与单项式相乘，把它们的系数、同底数幂分别相乘．
　　(2) (2×104)(6×103)·107＝(2×6)·（104×103×107）＝1.2×1015
有理数的乘法也可以应用单项式与单项式相乘的规律计算．
　　(3) (－6ay3)(－a2)＝[(－6) ×(－1)](a·a2) ·y3＝6 a3 y3
(学生归纳，教师板书)单项式的乘法法则：单项式与单项式相乘，把它们的系数、同底数幂分别相乘，其余字母连同它的指数不变，作为积的因式．
(4) (－3x)3(5x2y) ＝(－27x3) (5x2y) ＝－135 x5y．
遇到乘方与乘法混合运算时，通常先乘方后乘法．
练习反馈：课本课内练习第1，2题．
2，单项式与多项式的乘法．
合作探索学习二(出示投影)：一幅电脑画的尺寸如图：
(1)请用两种不同的方法表示画面的面积；
(2)这两种不同的方法表示的面积应当相等，你能用运算律解释它们相等吗
(3)通过上面的讨论，你能总结出单项式与多项式相乘的运算规律吗
(让学生以同桌合作的形式进行探索，然后表达交流．)
答：(1)a(b－2m)；ab－2am(或ab－am－am)；
(2)a(b－2m)＝ab＋a·(－2m)＝ab－2am；运用分配律，可以把左边的单项式与多项式相乘展开得到右边的多项式．
(3)单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加．
分配律的运用从小学就开始了，对学生来说并不陌生，因此这一环节应放手让学生自主探究，通过生生合作得㈩单项式与多项式的乘法法则．在这里要提醒学生注意：对于式子a(b－2m)，(b－2m)应看做是省略加号的和式b＋ (－2m)，这样又同时复习有理数的运算．最后师生共同总结得出单项式与多项式相乘法则(学生归纳，教师板书)．
应用结论，计算例题(出示投影)：
例2计算：(1)2a2b（ab－3ab2）；(2)（x－xy）·(—12y)．
教师在示范过程中引导学生在解题时注意下面几点：
1．单项式与多项式相乘，积是多项式，其项数与多项式的项数相同；
2．运算时要注意积的符号，多项式的每一项都包括它前面的符号．尤其是当单项式的符号是“—”时，多项式各项的符号要变号．
练习反馈：课本课内练习第3题．
三、分层训练，能力升级(视学情而定)
1．一住户的结构示意图如图所示，这家主人打算把卧室以外的部分都铺上地砖，至少需要多少平方米的地砖 如果某种地砖的价格是a元／平方米，那么购买所需地砖至少需要多少元
答：11mn；11amn．
本题的设计意图是使学生能初步应用单项式乘法解决简单的实际问题．
2．计算：(1)a(x－6y) 4·a3·(x－6y)5；
(2)－3xy(5xy2)+3 y2（x2y—2x3）
(3)6mn2(2－mn4)＋(－ mn3)2．
本题的设计意图说明：
1．第(1)题运用整体思想，把(x—如)看成一个整体，结果保留它的幂形式；
2．第(2)(3)题是单项式与单项式、单项式与多项式的混合运算，在这里第一要注意运
算的顺序；第二要注意结果出现同类项时要合并同类项．
四、小结
让学生谈谈通过这节课的学习，有哪些收获或困惑 教师及时总结内容并解疑答惑．
五、布置作业
1．课本分层作业题．
2．设计题：选择一个场地(如家里的客厅、卧室，学校的教室、运动场，田地等)，用步长估测它的面积．设你的步长为a米，将你估测的场地面积用含a的代数式表示，然后测出你的步长a，将你估测的方法与结果写一份简要的报告，与同伴交流．
5.3 多项式的乘法
〖教学目标〗
◆1、经历探索多项式的乘法运算法则的过程，掌握多项式与多项式相乘的法则。
◆2、会运用单项式与单项式，单项式与多项式，多项式与多项式相乘的法则，化简整式。
◆3、会用多项式的乘法解决简单的实际问题。
〖教学重点与难点〗
◆教学重点：多项式与多项式相乘的运算。
◆教学难点：例2包含了多种运算，过程比较复杂是本节的难点。
〖教学过程〗
一、创设情境，引出课题
小明找来一张铅画纸包数学课本，已知课本长a厘米，宽b厘米，厚c厘米，小明想将课本封面与封底的每一边都包进去m厘米，问如果你是小明你会在铅画纸上裁下一块多大面积的长方形？
二、引出新知，探究示例
1、合作探索学习：有一家厨房的平面布局如图1
（1）请用三种不同的方法表示厨房的总面积。
（2）这三种不同的方法表示的面积应当相等，你能用运算律解释吗？
（3）通过上面的讨论，你能总结出单项式与多项式相乘的运算规律吗？
（让学生以同桌合作的形式进行探索，然后表达交流）
答：(1)总面积：(a+n)(b+m)；a(b+m)+n(b+m)或b(a+n)+m(a+n)；ab+am+nb+nm
(2)总面积相等，由此可得到(a+n)(b+m)=a(b+m)+n(b+m)……①
=ab+am+nb+nm……②
第①步运用分配律把(b+m)看成一个数，第②步再运用分配律。
(3)由(a+n)(b+m)=ab+am+nb+nm师生共同总结得出多项式与多项式相乘的法则：
（学生归纳，教师板书）
2、运用新知，计算例题
例1：计算
（1）(x+y)(a+2b) （2）(3x-1)(x+3) （3）(x-1)2
解：(1)(x+y)(a+2b)=x a+x (2b)+y a+y (2b)=ax+2bx+ay+2by
(2)(3x-1)(x+3)=3x2+9x-x-3=3x2+8x-3
(3)(x-1)2=(x-1)(x-1)=x2-x-x+1=x2-2x+1
教师在示范过程中引导学生注意这三题都按多项式相乘的法则进行，运算过程中注意符号，防止漏乘，结果要合并同类项。
反馈练习：课内练习1
例2，先化简，再求值：(2a-3)(3a+1)-ba(a-4)，其中a=
解：(2a-3)(3a+1)-ba(a-4)=6a2+2a-9a-3-6a2+24a=17a-3
当a=时，原式=17a-3=17×()-3=-19-3=-22
注意的几点：(1)必须先化简，再求值，注意符号及解题格式。
(2)当代入的是一个负数时，添上括号。
(3)在运算过程中，把带分数化为假分数来计算。
反馈练习：1、计算当y=-2时，(3y+2)(y-4)-(y-2)(y-3)的值。
2、课内练习2、3。
三、分层训练，能力升级
1、填空
（1）(2x-1)(x-1)=
（2）x(x2-1)-(x+1)(x2+1)=
（3）若(x-a)(x+2)=x2-6x-16，则a=
（4）方程y(y-1)-(y-2)(y+3)=2的解为
2、某地区有一块原长m米，宽a米的长方形林区增长了200米，加宽了15米，则现在这块地的面积为 平方米。
3、某人以一年期的定期储蓄把2000元钱存入银行，当年的年利率为x，第二年的年利率减少10%，则第二年到期时他的本利和为多少元？
四、小结
让学生谈谈通过这节课的学习，有哪些收获与疑问？教师及时总结内容并解答疑惑。
五、布置作业
课本的分层作业题。
5.4 乘法公式（1）
【教学目标】
知识目标：1、观察总结平方差公式的特点和结果。并能判断多项式相乘是否能运用平方差公式计算。
2、掌握平方差公式，并能从广泛意义上理解公式中字母的含义。
3、会运用平方差公式进行多项式的乘法运算。
4、会用平方差公式进行简便计算。
过程与方法：通过运用多项式乘以多项式法则，观察、猜想、验证、平方差公式应用的条件和结论，并初步学会运用平方差公式。
情感态度与价值观：通过“合作学习”，使学生体验数学有关结论的形成过程，养成良好的数学学习思考的习惯。
【教学重点、难点】
重点：掌握平方差公式
难点：构造图形来解释平方差公式，需要较强的综合运用数学的能力，是本节的教学难点。
【教学准备】电脑、投影
【教学过程】
1、 设情景，引出课题：
昨天我们学习了多项式相乘的法则。（学生回忆）。今天老师在一本参考书上看到这样一些多项式相乘和相乘的结果，请同学们观察他们的特点，并猜想下面的多项式相乘的结果。
（1）（x+2）（x-2）=x２－４　　（２）（3-a）（3+a）=9-a２
（3）（5m+2n）（5m-2n）=25m２- 4n２
小组合作：
1、 这些多项式相乘有特点吗？有什么特殊？
2、 他们的结果有什么特点？和等式左边的多项式有什么联系？
3、 运用你观察的结论，猜想下列多项式相乘的结果。并用所学的知识进行验证。
（a）（a+2）（a-2）=
（b）（3-x）（3+x）=
（c）（2m+n）（2m-n）=
（d）（a+b）（a-b）=
二、交流对话，探索新知：
1、 请学习小组的代表根据所观察的结论进行总结：
（1） 等式的左边是两个数（字母）的和乘以这两个数（字母）的差。
（2） 等式的右边是这两个数（字母）的平方差。
2、以（a+b）（a-b）为例，师生共同猜想结论，并共同验证：
（a+b）（a-b）= a２ - ab +ab-b２ =a２-b２
教师揭示，这就是代数中重要的乘法公式之一：平方差公式。并结合投影片讲清公式与特征的对应关系及用语言叙述此公式。
平方差公式
做一做：
将图甲中阴影部分的小长方形变换到图乙位置，你能根据两个图形的面积关系直观地说明平方差公式吗？
图甲 图乙
想一想：要把图乙的面积算出来，我们可以用小学的什么知识完成。（用割补法）
对照公式说出下列各题中的数（字母）与公式中的字母的对应关系并计算，教师以适当点评。
计算：
(a+b)（a-b） a b a２-b２ 最后结果
（y+3）（y-3） y２- 3２ y２- 9２
（a+3b）（a-3b） 3b
（1–5b）（1+5b） 1
（-x+2）（-x-2）
例1、用平方差公式计算：
（1）（3x+5y）（3x-5y）
（2）
例2、（1）103×97 （2）59.5×60.2
分析：把相乘的两个数写成两数和与两数差的形式，这样就可以使用平方差公式。
三、课堂练习：p127 1、2、3、4、 p127 5、6、7（注意引导学生观察相乘两个式子的特点，能否使用今天所学的平方差公式，平方差公式公式中的a、b表示的是什么数字（字母）
四、 归纳小结，反思提高：
1 通过本课的探讨学习，你获得了哪些新知识，你认为有哪些方面的进步。
（让学生进行总结，通过学生个人回顾、合作交流）
2、平方差公式及语言叙述
3、公式中的字母一定是数字吗？
4、公式中的字母a和字母b如何区分？特点是什么？是否是前面的一定是a ，后面的一定是b？
五、布置作业：作业本
5.4 乘法公式（2）
【教学目标】
1、掌握完全平方公式。
2、会用完全平方公式进行多行式的乘法运算。
【重点和难点】
1、重点是完全平方公式。
2、从两数和的完全平方公式到两数差的完全平方公式的推理方法，学生不容易理解，是本节教学的难点。
【教学过程】
一、创设情景，引入新课
1、让学生运用多项式与多项式相乘的法则，完成下列的运算：
① (a+b)2 ② (2+x)2 ③ (2a+x)2
2、让学生观察右边的图形，然后能否发现有什么规律？
能写出(a+b)2的结果吗？
即 (a+b)2=a2+2ab+b2
让学生用文字语言叙述上面的关系式：两数和的平方，等于这两数
的平方和，加上这两数积的2倍。
3、做做P.128
二、动手交流，探讨公式
1、提问：能否用两数和的完全平方公式，推出两数差的完全平方公式？
(a-b)2可看成哪二数和的完全平方？让学生动手运用两数和的完全平方公式算出结果，即(a-b)2=a2-2ab+b2。让学生通过交流，自己用文字语言概括出两数差的完全平方公式，即两数差的平方，等于这两数的平方和，减去这两数积的2倍。然后与两数和的完全平方公式作比较，让学生自己找出它们的相同之处和区别。
公式 相同点 区别
(a+b)2=a2+2ab+b2 结果都是3项结果都有a2+b2 和平方中间一项是2ab，差平方中间一项是-2ab。
(a-b)2=a2-2ab+b2
2、强调指出公式中字母的广泛含义，它可以是数，也可以是单项式，甚至可以是一个更复杂的代数式。
三、师生互动，运用公式
例1：用完全平方公式计算
① (x+2y)2 ； ② (2a-5)2 ； ③ (-2s+t)2 ； ④ (-3x-4y)2
分析：第①、②两题可直接用和、差平方公式计算；第③题可先把它变成(t-2s)2 ，然后再计算，也可以把-2s看成一项，用和平方公式计算；第④题可看成-3x与4y差的平方，也可以看成-3x与-4y和的平方。
解：（1）（x+2y）2 = x2+2·x·2y+(2y ) 2
= x2+4xy+4y2.
(2 ) (2a–5 ) 2 = (2a) 2–2·2a·5+52
= 4a2–20a+25.
(3 ) (–2s+t ) 2= ( t–2s) 2
= t2–2·t·2s + (2s) 2
= t2–4ts + 4s2.
(4 ) (–3x–4y) 2 = (–3x) 2 –2·(–3x)·4y + (4y ) 2
= 9x2+24xy+16y2
例2：一花农有4块正方形茶花苗圃，边长分别为30.1m，29.5m，30m，27m，现将这4块苗圃的边长都增加1.5m，求各苗圃的面积分别增加了多少m2？
分析：本题如直接计算，比较麻烦。可设原正方形苗圃的边长为am，边长增加1.5m后，新正方形的边长为(a+1.5)m，则面积增加了(a+1.5)2-a2，注意应该先把式子化简，再代入求值。
解：设原正方形苗圃的边长为am，边长增加1.5m后，新正方形的边长为（a+1.5）m..
（a+1.5）2–a 2= a2+3a+2.25–a2 = 3a+2.25.
当a = 30.1时， 3a+2.25 = 3×30.1+2.25 = 92.55；
当a = 29.5时， 3a+2.25 = 3×29.5+2.25 = 90.75.
类似地，当a = 30，a = 27时，3a+2.25的值分别为92.25，83.25.
所以4块茶花苗圃的面积分别增加了92.55m2，90.75m2，92.25m2，83.25m2.
例3：计算：（2x＋y–3z）2
分析：可把2x＋y看成一项，用差平方公式计算，然后再用和平方公式计算，也可以把它看成2x与y–3z的和平方，再用差平方公式计算。
解：（2x＋y–3z）2　＝（2x）2＋2×2x (y–3z) + (y–3z) 2
　 = 4x2 + 4xy–12xz +y2–2×y×3z + (3z) 2
= 4x2+y2 + 9z 2+ 4xy–12xz–6 yz
四、练习反馈，巩固新知
1、课内练习：P.130， 1、2
① 第1题中的第①小题错在与平方差公式混淆。第②小题中间一项漏乘2。
② 第2题叫6个学生上来板演。
2、计算：①(2x-1)(-1+2x)；②(-2x-y)(2x-y) ；③(ab-1)(-ab+1)，让三个学生上来做，发现错误，教师及时指正。
五、梳理知识，归纳小结
① 两数和平方公式：(a+b)2=a2+2ab+b2
② 两数差平方公式：(a-b)2=a2-2ab+b2
③ 特别要注意公式乘开以后都有三项及怎样确定中间一项的符号。
六、布置作业，体验成功
P130：1、3、4、5、6
5.5 整式的化简
【教学目标】
1 掌握整式的加、减、乘、乘方混合运算顺序。　
2 会利用加、减、乘、乘方运算将整式化简。
3 会利用加、减、乘、乘方运算解决简单实际问题。
【教学重点 难点】
重点：整式的化简。
难点：例２的问题情景比较复杂，且涉及平均变化率的概念，是本节的难点。
【教学准备】电脑、投影
【教学过程】
一 创设情景。
用多媒体出示“合作学习”内容（略）
由“合作学习”图形的面积计算为背景，让学生经历列代数式－化简－求值过程。使学生在活动中体验，领悟特征实质；引导学生探索，整合知识系统。教师在以下环节中应予指导：
（１）如何用a、b的代数式表示两个正方形的边长，根据已知点M是AB的中点，可得：AM＝(1/2)AB=BM=2a，
∴AP=2a+b； BP=2a－b
则S＝（2a＋b）2 －（2a－b）2
（2）当a＝4，b＝1/2时，求s的值的时候，是直接代入，还是先将整式（2a＋b）2 －（2a－b）2化简后再代入？让学生动手后进行比较和选择。
（3）概括整式化简过程一般运算顺序？
二 例题设计：
例1：化简：（1）（2x－1）（2x+1）－（4x+3）（x－6）
（2）（2a+3b）2－4a（a+3b+1）
分析：例1是整式的化简。教学中要着重讲清以下几点：
（1） 先观察所要化简的整式，其中含有哪些运算？哪些运算的顺序；
（2） 各种运算应遵循怎样的运算法则？乘法公式是否适用？
（3） 结果的形式应保持最简，有同类项的必须合并同类项。
师生双边活动，教师板演。
例2：甲、乙两家超市3月份的销售额均为a万元，在4月和5月这两个月中，甲超市的销售额平均每月增长x%，而乙超市的销售额平均每月减少x%。
（1） 5月份甲超市的销售额比乙超市多多少？
(2)如果a=150，x=2，那么5月份甲超市的销售额比乙超市多多少万元？
分析：讲解例2的关键是使学生理解4月份的销售额，5月份的销售额与平均每月增长x%或下降率x%之间的关系。教学中可作如下处理：
（1） 指出平均增长率（或下降率）并不是各个月的实际增长率（或下降率）的平均数，而是一种假设：假设每个月的增长率都相同。如甲超市3月份的销售额为a万元，假设平均每月增长x%，则4月份的销售额为a（1+x%），5月份的销售额为a（1+x%）（1+x%）。不过要真正使学生理解平均增长率（或下降率）与一般算术平均数概念之间的区别，要等到学习一元二次方程之后，通过实际的计算来达到；
（2） 总结出原来的量，变化后的量与平均变化率（包括增长或减少）之间的一般关系式（以后还有较多的应用，且简单易记）：S=a（1+x%）n(a表示原量，S表示变化后的量，x%表示平均变化率，n表示平均变化率，n表示所经过的时段数，如月数，年数)。例2的具体列式、运算过程可以在教师的启发下，由学生自己来完成。在小结时继续强调应用整式解决实际问题的基本过程：列代数式－化简－求值。
三．课内练习：P：133中1、2。探究与提高(视课堂教学实际选择使用或留作课外思考题)：(板演)
四．探究活动：略
五．小结归纳：1 通过本课的探讨学习，你获得了哪些新知识，你认为有哪些方面的进步。
（让学生进行总结，通过学生个人回顾、合作交流，总结本节课的所作所听所感，让知识系统化、合理化。）
2 进一步让学生掌握整式的加、减、乘、乘方混合运算顺序，会利用加、减、乘、乘方运算将整式化简。
3 让学生体验用加、减、乘、乘方运算解决简单实际问题。
六．布置作业：P133课本5.5节作业题的A组、B组、C组
5.6 同底数幂的除法(1)
【教学目标】
知识技能目标 理解同底数幂相除的法则。会用该法则进行同底数幂相除的运算。
过程情感目标 经历同底数幂相除法则的推导过程并体验其运用。
【教学重点和难点】
重点 同底数幂相除。
难点 同底数幂相除法则的推导过程和对限制条件的理解。
【教学过程】
（1） 创设情境
细胞在分裂时，第①次1个变成2个；第②次2个细胞各自再分裂后变成4个，即22=22；第③次4个细胞各自再分裂后变成8个，即222=23。
⑴经第次分裂后细胞数m=_____个，经第次分裂后细胞数n=_____个。
⑵上述n是m的多少倍？
但怎么求220÷212呢？这是关于同底数幂相除的新问题，下面就让我们一起来探究吧。（给出课题）
（2） 探究新知
1. 我们先来考察几个较简单的情形。从简单到复杂是研究疑难问题的一种思想方法。
25÷22＝＝ 25–2 23
另一方面，从乘除法的相互关系看：∵22___=25，∴25÷22=___
a5÷a2＝＝ a5–2 a3
同底数幂相乘的法则怎样？你能从上述归纳出同底数幂相除的一般方法吗？
2. 同底数幂相除的法则是：同底数幂相除，底数不变，指数相减。
?am÷an=am–n (a≠0，m,n都是正整数且m>n)
3. 说明：
⑴一般地有：
⑵a≠0。
⑶m,n都是正整数且m>n。
（3） 示例和训练
1. 课本P135例1及“课内练习”1,2。
〖例1〗计算：
⑴ a9÷a3 ⑵ 212÷27 ⑶ (–x)4÷(–x) ⑷
2. 小结幂的运算法则：
Ⅰ.am·an=am+n 同底数的幂相乘，底数_____，指数_____。如a2·a3=____。
Ⅱ. (am)n=am·n 幂的乘方，底数_____，指数_____。如(a2)3=____。
Ⅲ. (a·b)n=an·bn 积的乘方，等于把积的每一个因式分别____，再把所得的幂____。
如(–3b3)2=______=___。
Ⅳ.am÷an=am–n (a≠0，m,n都是正整数且m>n)同底数的幂相除，底数_____，指数_____。如a20÷a12=____。
3. 课本P135例2及“课内练习”3。
〖例2〗计算：
⑴a5÷a4·a2 ⑵(–x)7+x2 ⑶(ab)5÷(ab)2 ⑷(a+b)6÷(a+b)4
说明：注意⑵的底数符号和⑶⑷所体现的整体思想方法。
4. 对下列算式：①a2a3=a6 ②(a3)2=a9 ③a3+a3=2a6 ④a3÷a3=0 ⑤(x3y)2=x6y
⑥3x2·4x2=12x2 。其中正确的个数有………………………………………………( )
(A) 0个 (B) 1个 (C) 2个 (D) 3个
5. 计算:
⑴x(–x2y)3
⑵(–2)2n+1–2·(–2)2n
⑶(–2a2)3·(3b3)2÷(–2ab2)2
6. 若am=2，an=3，求a3m–2n的值。
评注：求要会逆用幂的运算法则。
（4） 小结
⑴判断：a6÷a2=a6÷2=a3；
⑵请你概述本课所学的基本知识；
⑶在am÷an=am–n中，能否m=n如a3÷a3，或m（5） 作业
5.6 同底数幂的除法(2)
【教学目标】
知识技能目标 理解零指数幂、负整数指数幂的概念；学会用零指数幂和负整数指数幂的概念进行简单计算；会用科学记数法表示绝对值较少的数。
【教学重点和难点】
重点 零指数幂和负整数指数幂的概念。
难点 认识零指数幂和负整数指数幂的产生过程。
【教学过程】
（1） 创设情景，引出课题
1.提问：同底数幂相除的法则怎样？
2.设问：怎样计算a3÷a3，a2÷a5呢？同底数幂相除的法则能否推广到m=n或m（2） 交流对话，探究新知
1.探究m=n的情况
⑴怎样计算：53÷53呢
一方面，仿照同底数幂相除的法则计算：53÷53=53–3=50，这里出现了零指数，50该等于多少呢？另一方面，53÷53=125÷125=1。所以合理的解析是50=1。
⑵类似地探究：a3÷a3 (a≠0)
⑶教师讲述：为使同底数幂相除法则在m=n时仍能适用，我们规定：任何不等于零的数的零次幂都等于1。即a0=1（a≠0）
说明：零的零次幂没有意义。
⑷口答：(–1)0，(–2)0
2.探究m⑴怎样计算：32÷35
一方面，仿照同底数幂相除的法则计算：32÷35=32–5=3–3，这里出现了负指数，3–3该等于多少呢？另一方面，32÷35= = = 。所以合理的结果是3–3= 。
⑵类似地探究：a2÷a5 (a≠0)
⑶教师讲述：为使同底数幂相除法则在m说明：零的负次幂没有意义。
⑷计算：3–2， 2–1， (–3)–2， (–2)–3， (–1)–1
评注：注意符号！
（3） 应用新知，深化理解
1.基本题型
〖例1〗用分数或整数表示下列各负整数指数幂的值：
⑴ 10–3 ⑵ (–0.5)–3 ⑶ (–3)–4
〖例2〗计算：
⑴ 950(–5)–1 ⑵ 3.610–3 ⑶ a3÷(–10)0 ⑷ (–3)5÷36
说明：按课本讲解、板书，强调运算顺序。
2.拓展
规定了零指数幂与负整数指数幂的意义，就把指数从正整数推广到了整数。正整数指数幂的各种运算法则对整数指数幂都适用。如a2b–3 = a2+(–3) = a–1 = ，a3÷a–1 = a3– (–1) = a4
〖例3〗计算：
⑴ a(a2)–3÷a–5 ⑵ (ab2)–3÷(2a2b–1)2
3.应用性探究
设问：在函数型计数器中，输入0.00050.00007后，显示为3.510–08 ,这表示什么意思呢？
先请口答：100=___，10–1=____，10–2=_____，10–3=______，10–4=_______。
你能发现用10的负整数指数幂表示这样较小的数的规律吗？
用科学记数法表示325000=________。你能用类似的方法表示0.000325吗？
〖例4〗把下列各数表示成a10n (1≤a<10,n为整数)的形式：
⑴0.000325 ⑵ 0.0000501 ⑶ –0.00043
（4） 课内练习
完成“课内练习”1，2，3
（5） 课堂小结
1.零指数幂和负整数指数幂的概念；
2.用科学记数法表示数的一般形式是a10 n (1≤a<10,n为整数)。
（6） 作业。
见作业本
5.7 整式的除法
〖教学目标〗
◆1、经历探索整式除法运算法则的过程，会进行简单的整式除法运算；
◆2、理解整式除法运算的算理，发展有条理的思考及表达能力。
◆3、使学生熟练地掌握单项式除以单项式,多项式除以单项式的法则，并能准确地进行运算。
〖教学重点与难点〗
◆教学重点：理解单项式除以单项式,多项式除以单项式的运算法则是本节的重点。
◆教学难点：确实弄清单项式除法、多项式除以单项式的导出过程是本节的难点。
〖教学方法〗启发式教学 、合作学习、探索讨论、归纳总结。
〖教学手段〗现代课堂教学手段，课件。
〖教学过程〗
（一）、 从学生原有认知结构提出问题
1．叙述用字母表示幂的运算性质：
(1)am×an= (2) (an)m= (3)(ab)n=
(4) am÷an= (5) a0= (a≠) (6) a-p=
2．计算：
(1)a20÷a10 (2) ( c)4 ÷( c)2
(3) (a2)3 ·(-a3 )÷(a3)5 ； (4) (x4)6 ÷(x6)2 ·(-x4 )2
（二）、师生共同研究单项式除以单项式的运算法则
1．创设情景，引入新课
（1）月球距离地球大约3.84×108千米，杨立伟乘坐的“神州五号”飞船的速度约为1.12×104千米／时，如果他乘坐此飞船飞行月球这么远的距离，大约需要多少时间？
2．类比探索
（1） （2）
（3）
提醒：可以用类似于分数约分的方法来计算。
3．观察归纳寻找法则(议一议)
讨论：通过上面的计算，该如何进行单项式除以单项式的运算？
★ 结论：单项式相除，把系数、同底数幂分别相除后，作为商的因式；对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数一起作为商的一个因式。
4． 例题讲解：
1、计算:（1） ; （2）
2、计算: (3)； （4）.
补充计算2的目的是:运算顺序;整体思想.
5．巩固练习:
1计算：
（1） （2）
（3）
（三）、师生共同研究多项式除以单项式的运算法则
1.法则的推导．
引例：(１４a3－７a2)÷７a =(？)
分析：
利用除法是乘法的逆运算的规定，我们可将上式化为
７a·( ？ )= １４a3－７a2．
原乘法运算： 乘式 乘式 积
(现除法运算)：(除式) (待求的商式) (被除式)
然后充分利用单项式乘多项式的运算法则，引导学生对“待求的商式”做大胆的猜测：大体上可以从结构(应是单项式还是多项式)、项数、各项的符号能否确定、各具体的项能否“猜”出几方面去思考．根据课上学生领悟的情况，考虑是否由学生完成引例的解答．
解：(１４a3－７a2)÷７a
=１４a3÷７a －７a2÷７a
=2a2-a．
以上的思想，可以概括为“法则”：
(am+bm+cm)÷m = am÷m+bm÷m+cm÷m
法则的语言表达是
多项式除以单项式,先把这个多项式的每一项除以这个单项式,再把所得的商相加
2．巩固法则．
例1 计算：
(l) (3x2y-xy2+xy)÷(xy)
　　= -3x2y ÷(xy )+ xy2÷(xy) -xy ÷xy
= -6x+2y-1
6.课内练习:P143
小 结：
(1)弄清单项式除法的含义及法则;
(2)多项式除以单项式是利用相应法则，转化为单项式除以单项式而求得结果的． 要特别注意:当除式的系数为负数时，商式的各项符号与被除多项式各项的符号相反(先要确定符号)；
作 业： 课本P143习题
教学后记：
n
a
m
右侧
矮柜
矮柜
b
（a + b） × （a - b） = a２- b２
两数和 两数差 两数平方差
两数和与这两数差的积等于这两数的平方差
b
a
a
b
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