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浙教版2022-2023学年数学七年级下册第2章 二元一次方程组
2.3解二元一次方程组(1)
【知识重点】
1.消元
二元一次方程组中有两个未知数,如果消去其中一个未知数,那么就把二元一次方程组转化为我们熟悉的一元一次方程.进而可以先求出一个未知数,然后再求另一个未知数.这种将未知数的个数,由多化少,逐一解决的思想,叫做消元思想.
2.代入消元法:
把二元一次方程组中一个方程的一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来,再代入另一个方程,实现消元,进而求得这个二元一次方程组的解,这种解方程组的方法称为代入消元法,简称代入法.
3.用代入法解二元一次方程组的一般步骤是:
(1)将方程组中的一个方程变形,使得一个未知数能用另一个未知数的代数式表示;
(2)用这个代数式代替另一个方程中相应的未知数,得到一个一元一次方程,求得一个未知数的值;
(3)把这个未知数的值代入代数式,求得另一个未知数的值;
(4)写出方程组的解.
【经典例题】
【例1】已知x=2﹣t,y=3t﹣1,用含x的代数式表示y,可得y= .
【例2】用代入法解方程组 由②得y= ③,把③代入①,得 ,解得x= ,再把求得的x值代入②得,y= .原方程组的解为 .
【例3】解方程组:
【基础训练】
1.解方程组时,把①代入②,得( )
A. B.
C. D.
2.用代入消元法解方程组 使代入后化简比较容易的变形是( )
A.由①得 B.由①得
C.由②得 D.由②得y=2x-5
3.代入法解方程组时,代入正确的是( )
A. B.
C. D.
4.若方程组中的是的2倍,则等于( )
A. B.8 C. 7 D. 6
5.若方程组,则у= .(用含x的代数式表示)
6.已知二元一次方程组 ,用代入消元法消去x,得到关于y的一元一次方程为 .
7.二元一次方程组 的解是 .
8.
(1)完成框图中解方程组的过程:
(2)上面框图所表示的解方程组的方法是: .
9.解下列方程组
10.解方程组:
【培优训练】
11.在用代入消元法解二元一次方程组时,消去未知数x后,得到的方程为( )
A. B.
C. D.
12.若方程组的解 x 和 y 的值相等,则 K 的值等于( )
A.4 B.10 C.11 D.12
13.现有方程组,消去m,得x与y的关系式为( )
A.3x+2y=1 B.x+4y=1 C.5x+6y=1 D.x-6y=-1
14.在解关于x,y的方程组 时,小明由于将方程①的“ ”,看成了“+”,因而得到的解为 ,则原方程组的解为( )
A. B. C. D.
15.已知关于x,y 的 二元一次方程组 的解互为相反数,则k的值是 .
16.已知关于x,y的方程组的解满足x﹣y=3,则k的值为 .
17.方程组的解满足x+2y>14,则k的取值范围为
18.方程组的解为 .
19.先阅读,再解方程组.
解方程组时,可由①得③,然后再将③代入②,得,解得,从而进一步得这种方法被称为“整体代入法”.
请用上述方法解方程组
20.阅读材料:善思考的小军在解方程组时,采用了一种“整体代入”的解法:
解:将方程②变形:4x+10y+y=5,即2(2x+5y)+y=5③;
把方程①代入③,得:2×3+y=5,所以y=-1;
把y=-1代入①得,x=4,所以方程组的解为.
请你模仿小军的“整体代入”法解方程组
【直击中考】
21.二元一次方程组的解是 .
22.对于二元一次方程组,将①式代入②式,消去可以得到( )
A. B. C. D.
23. 解方程组:
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浙教版2022-2023学年数学七年级下册第2章 二元一次方程组(解析版)
2.3解二元一次方程组(1)
【知识重点】
1.消元
二元一次方程组中有两个未知数,如果消去其中一个未知数,那么就把二元一次方程组转化为我们熟悉的一元一次方程.进而可以先求出一个未知数,然后再求另一个未知数.这种将未知数的个数,由多化少,逐一解决的思想,叫做消元思想.
2.代入消元法:
把二元一次方程组中一个方程的一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来,再代入另一个方程,实现消元,进而求得这个二元一次方程组的解,这种解方程组的方法称为代入消元法,简称代入法.
3.用代入法解二元一次方程组的一般步骤是:
(1)将方程组中的一个方程变形,使得一个未知数能用另一个未知数的代数式表示;
(2)用这个代数式代替另一个方程中相应的未知数,得到一个一元一次方程,求得一个未知数的值;
(3)把这个未知数的值代入代数式,求得另一个未知数的值;
(4)写出方程组的解.
【经典例题】
【例1】已知x=2﹣t,y=3t﹣1,用含x的代数式表示y,可得y= .
【答案】5-3x
【解析】∵x=2-t,
∴t=2-x,
代入y=3t-1得,y=3(2-x)-1=5-3x,
即y=5-3x.
故答案为:5-3x.
【分析】先用含t的代数式表示出x,再将其代入 y=3t﹣1中进行整理化简,即可解答.
【例2】用代入法解方程组 由②得y= ③,把③代入①,得 ,解得x= ,再把求得的x值代入②得,y= .原方程组的解为 .
【答案】4x-1;x+2(4x-1)=7;1;3;
【解析】由②得, ③,
把③代入①得, ,
解得 ,
再把求得的 值代入②得, ,
则原方程组的解为 .
故答案为:(1) ,(2) ,(3) ,(4)3,(5) .
【分析】由于②中y系数较简单,利用②求出y,然后代入①求出x值,接着将x值代入②,求出y值即可.
【例3】解方程组:
【答案】解:
由①得:③
把③代入②:
解得:
把代入③得:
所以方程组的解是
【解析】【分析】利用代入消元法解二元一次方程组,先由第一个方程把x用含y的代数式表示,再代入第二个方程求出y的值,将y的值代入第一个方程求出x的值,从而即可得出方程组的解.
【基础训练】
1.解方程组时,把①代入②,得( )
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】,
把①代入②,得4y-3(2y-1)=10,
化简得,
故答案为:B.
2.用代入消元法解方程组 使代入后化简比较容易的变形是( )
A.由①得 B.由①得
C.由②得 D.由②得y=2x-5
【答案】D
【解析】 用代入消元法解方程组 能使代入后化简比较容易的变形是由②得y=2x 5.
故答案为:D.
3.代入法解方程组时,代入正确的是( )
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】,
将①代入②得:,
故答案为:B.
4.若方程组中的是的2倍,则等于( )
A. B.8 C. 7 D. 6
【答案】D
【解析】由题意可得方程组,
把③代入①,得
2y+4=y,
∴y=-4,
把y=-4代入①,得
x=-8,
把x=-8和y=-4代入②,得
-16+4=2a,
∴a=-6,
∴
可知a=-6.
故答案为:D.
5.若方程组,则у= .(用含x的代数式表示)
【答案】
【解析】,
将代入,得,
,
,
.
故答案为:.
6.已知二元一次方程组 ,用代入消元法消去x,得到关于y的一元一次方程为 .
【答案】2y=2
【解析】∵2x=3y-1,
∴5y=3y-1+3=3y+2,
∴2y=2,
故答案为:2y=2.
7.二元一次方程组 的解是 .
【答案】
【解析】∵
∴将②代入①得:
∴6x=x+1+9
∴x=2,③
将③代入②得y=1,
∴
故答案为: .
8.
(1)完成框图中解方程组的过程:
(2)上面框图所表示的解方程组的方法是: .
【答案】(1)
(2)代入消元法
【解析】(1)填写如下:
;(2)框图所表示的解方程组的方法是:代入消元法,
故答案为:代入消元法.
9.解下列方程组
【答案】解:
由①得:,
又③代入②的:,
∴y=﹣1,
代入③得:x=﹣1,
∴原方程组的解为
10.解方程组:
【答案】解:
(代入消元法)
解:由②得③,
把③代入①,得,
解得,
把代入③,解得,
原方程组的解是.
【培优训练】
11.在用代入消元法解二元一次方程组时,消去未知数x后,得到的方程为( )
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】,
由①得③,
把③代入②得:
.
故答案为:A.
12.若方程组的解 x 和 y 的值相等,则 K 的值等于( )
A.4 B.10 C.11 D.12
【答案】C
【解析】把y=x代入4x+3y=1得:7x=1,
解得x=,
∴y=x=.
把y=x=得:k+ (k 1)=3,
解得:k=11.
故答案为:C.
13.现有方程组,消去m,得x与y的关系式为( )
A.3x+2y=1 B.x+4y=1 C.5x+6y=1 D.x-6y=-1
【答案】D
【解析】,
①代入②得,
即,
,
即.
故答案为:D.
14.在解关于x,y的方程组 时,小明由于将方程①的“ ”,看成了“+”,因而得到的解为 ,则原方程组的解为( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】将代入方程②得:4=b+2,
∴b=2,
∵小明将方程①的“-”看成了“+”,解得的解为,
∴2a+4=8,
∴a=2,
∴原方程组为,
将②代入①得:2y+2-4y=8,
解得y=-3,
∴2x=2×(-3)+2,
∴x=-2,
∴原方程组的解为.
故答案为:C.
15.已知关于x,y 的 二元一次方程组 的解互为相反数,则k的值是 .
【答案】-1
【解析】∵二元一次方程组的解互为相反数,
∴x=-y,
∴-y+2y=-1,
∴y=-1,
∴x=1,
∴2×1+3×(-1)=k,
∴解得:k=-1.
故答案为:-1.
16.已知关于x,y的方程组的解满足x﹣y=3,则k的值为 .
【答案】1
【解析】∵x﹣y=3,
∴x=y+3,
∵关于x,y的方程组,
∴,
整理得:,
把④代入③得:2y﹣4(3﹣y)=0,
解得:y=2,
把y=2代入④得:k=3﹣2=1,
故答案为:1.
17.方程组的解满足x+2y>14,则k的取值范围为
【答案】k<﹣2
【解析】,
①+②得:3x=9k,
解得:x=3k,
把x=3k代入②得:3k-y=8k,
解得:y=﹣5k,
∴x+2y=﹣7k,
∵x+2y>14,
∴﹣7k>14.
∴k<﹣2,
故答案为:k<﹣2.
18.方程组的解为 .
【答案】
【解析】根据题意可得:,解得故答案为.
19.先阅读,再解方程组.
解方程组时,可由①得③,然后再将③代入②,得,解得,从而进一步得这种方法被称为“整体代入法”.
请用上述方法解方程组
【答案】解:由①,得,③
把③代入②,得,解得.
把代入③,得,解得.
故原方程组的解为
20.阅读材料:善思考的小军在解方程组时,采用了一种“整体代入”的解法:
解:将方程②变形:4x+10y+y=5,即2(2x+5y)+y=5③;
把方程①代入③,得:2×3+y=5,所以y=-1;
把y=-1代入①得,x=4,所以方程组的解为.
请你模仿小军的“整体代入”法解方程组
【答案】解:
将方程②变形:3(3x-2y)+2y=19.
将方程①代入③,得3×5+2y=19.y=2
把y=2代入①得 x=3
∴方程组的解为.
【直击中考】
21.(2022·沈阳)二元一次方程组的解是 .
【答案】或
【解析】
把②代入①得:x+2×2x=5,解得:,
把代入②得:;
∴原方程组的解为;
故答案为.
22.(2022·株洲)对于二元一次方程组,将①式代入②式,消去可以得到( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】将①式代入②式得,
,即.
故答案为:B.
23.(2018·宿迁) 解方程组:
【答案】解: ,由①得:x=-2y ③将③代入②得:3(-2y)+4y=6,解得:y=-3,将y=-3代入③得:x=6,∴原方程组的解为:
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