中小学教育资源及组卷应用平台
浙教版2022-2023学年数学七年级下册第2章 二元一次方程组（解析版）
2.5三元一次方程组及其解法（选学）
【知识重点】
1．三元一次方程
含有三个未知数，且含有未知数的项的次数都是一次的方程叫做三元一次方程.
2．三元一次方程组概念
由三个一次方程组成，并且含有三个未知数的方程组，叫做三元一次方程组.
3．三元一次方程组的解
同时满足三元一次方程组中各个方程的解，叫做这个三元一次方程组的解.
4．解三元一次方程组基本步骤为
解三元一次方程组的消元方法也是“代入法”或“加减法”，通过消元使解三元一次方程组转化为解二元一次方程组，进而转化为解一元一次方程.
【经典例题】
【例1】解方程组
【答案】解：
（2）+（3）得：
5x=2，
∴x=，
由（2）得：
y=x+3z-4 （4），
将（4）代入（1）得：
2x-3（x+3z-4 ）+4z=12，
解得：z=-，
将x=，z=-代入（4）得：
y=-，
∴原方程组的解为：.
【解析】观察方程组中同一个未知数的系数特点：方程②③中y，z的系数都互为相反数，因此由（2）+（3）消去y，z可求出x的值；然后求出y，z的值，即可得到方程组的解.
【例2】解方程组
【答案】解：
由①+②+③得：4x+4y+4z=-24；
x+y+z=-6④
由①-④得：x=-1；
由②-④得：y=-2
由③-④得：z=-3
∴原方程组的解为：.
【解析】观察方程组中同一个未知数的系数和特点：①②③相加之后，x、y、z的系数和相等，从而可以得出 x+y+z的值。再与各个等式的差，即可得出每个未知数的值。
【例3】张大伯养了鸡、鸭、鹅三种家禽，所养的鸡和鸭的只数和比鹅的只数多19只，养鸭和鹅共20只，养鸡和鹅共23只，请你算一算张大伯养鸡、鸭、鹅各多少只？
【答案】解：设张大伯养鸡x只、鸭y只、鹅z只，根据题意可得：
，
解得：．
答：张大伯养鸡15只、鸭12只、鹅8只．
【解析】根据题意结合所养的鸡和鸭的只数和比鹅的只数多19只，养鸭和鹅共20只，养鸡和鹅共23只，分别得出等式求出即可．
【基础训练】
1．三元一次方程组的解是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
令①+②得x-z=2④，
③+④得2x=8，解得x=4
把x=4代入①解得y=3，
把x=4代入③解得z=2，
∴原方程组的解为
故答案为：D.
2．已知方程组，则的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】方程组，
三个方程相加得：，
∴，
故答案为：A．
3．三元一次方程组消去一个未知数后，所得二元一次方程组是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】
，
②-①得：
，
化简可得：
④，
①③得：
，
化简可得：
⑤，
联立④与⑤：
，
故答案为：A．
4．解方程组 ，若要使计算简便，消元的方法应选取（ ）
A．先消去x B．先消去y
C．先消去z D．以上说法都不对
【答案】B
【解析】解答： 的系数为1或1，故先消去 ．
5．已知实数x，y，z满足，则代数式3(x﹣z)+1的值是( )
A．﹣2 B．﹣4 C．﹣5 D．﹣6
【答案】B
【解析】方程组，
②﹣①得：3x﹣3z＝﹣5，
整理得：3(x﹣z)＝﹣5，
把3(x﹣z)＝﹣5代入代数式3(x﹣z)+1得：
﹣5+1＝﹣4，
即代数式3(x﹣z)+1的值是﹣4，
故答案为：B．
6．6月18日，最开始是京东的周年庆，2013年后，618就成了各大电商平台的网购节了．在618当日，小梦在某电商平台上选择了甲乙丙三种商品，当购物车内选3件甲，2件乙，1件丙时显示价格为420元；当选2件甲，3件乙，4件丙时显示价格为580元，那么购买甲、乙、丙各两件时应该付款（ ）
A．200元 B．400元 C．500元 D．600元
【答案】B
【解析】设甲、乙、丙三种商品的单价分别为x元、y元、z元，
由题意可得方程组，
①+②可得，
∴，
故购买甲、乙、丙各两件时应该付款400元；
故答案为：B．
7．一个三位数，百位上的数与十位上的数之差是2，如果交换十位数字与个位数字的位置，那么所得的数就比原来小36，则百位上的数与个位上的数之差为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】B
【解析】设这个三位数百位上的数字为x，十位上的数字为y，个位上的数字为z，根据题意得
整理得
由①+②得
x-z=6.
∴百位上的数与个位上的数之差为6.
故答案为：B.
8．解三元一次方程组
具体过程如下：
（ 1 ）②-①，得b=2；（2）①×2+③，得4a-2b=7；（3）所以
；（4）把b=2代入4a-2b=7，得4a-2×2=7（以下求解过程略）其中开始出现错误的一步是（ ）
A．（1） B．（2） C．（3） D．（4）
【答案】B
【解析】∵①×2+③，得4a-b=7，而不是4a-2b=7，
∴（2） 错误 .
故答案为：B.
9．方程组 的解为 ．
【答案】
【解析】 ，由①得：a=c-3④，由②得：b=c+1⑤，把④⑤代入③得：c-3+c+1+2c=-2，解得：c=0，把④，⑤代入①，②得：a=-3，b=1，∴ ．
故答案为： .
10．解方程组．
【答案】解：
①-②得：2b-2a＝2，即b-a＝1，
①+③得：3a+4b＝18，
解可得
把a＝2，b＝3代入方程①得：2+3+c＝6，解得：c＝1．
则方程组的解是：．
【解析】将第一个方程减去第二个方程可得b-a=1，将第一个方程加上第三个方程可得3a+4b=18，联立求出a、b的值，然后将a、b的值代入第一个方程中求出c的值，据此可得方程组的解.
11．解方程组.
（1）
（2）
【答案】（1）解：+②得：2x=-2，
∴x=-1，
②-③得：-2z=-10，
∴z=5，
把x、z的值代入①得-y=-2，
∴y=2，
∴原方程组的解是.
（2）解：①-③得2x-2y=-2，④
①+②得5x+2y=16，⑤
④+⑤得7x=14，∴x=2，
把x=2代入④中，得4-2y=-2，
∴y=3
把x=2，y=3代入③中，得2+3+z=6，
∴z=1
所以原方程组的解是
12．某农场300名职工耕种51公顷土地，计划种植水稻、棉花和蔬菜，已知种植各种农作物每公顷所需的劳动力人数及投入的设备资金如下表：
农作物品种 每公顷所需劳动力 每公顷所需投入的设备资金
水稻 4人 1万元
棉花 8人 1万元
蔬菜 5人 2万元
已知该农场计划投入设备资金67万元，应该怎样安排这三种农作物的种植面积，才能使所有职工有工作，而且投入的资金正好够用？
【答案】解：设种植水稻x公顷，棉花y公顷，蔬菜z公顷，由题意，得
，解得 .
答：种植水稻15公顷，棉花20公顷，蔬菜16公顷.
【培优训练】
13．已知 ，且x+y=3，则z的值为（ ）
A．9 B．-3 C．12 D．不确定
【答案】B
【解析】 ，
∴②-①得：x+y=z+6，
∴3=z+6，
解得z=-3.
故答案为：B.
14．我国古代数学家张丘建在《张丘建算经）里，提出了“百钱买百鸡”这个有名的数学问题.用100个钱买100只鸡，公鸡每只五个钱，母鸡每只三个钱，小鸡每个钱三只.问公鸡，小鸡各买了多少只？在这个问题中，小鸡的只数不可能是（ ）
A．87 B．84 C．81 D．78
【答案】A
【解析】设公鸡、母鸡、小鸡分别为x、y、z 只，由题意得：
有两个方程，三个未知量，称为不定方程组，有多种解.
令②×3－①得：7x+4y=100；
所以
令 =t, (t为整数)所以x=4t
把x=4t代入7x+4y=100得到：y=25-7t
易得z=75+3t
所以：x=4t,y=25-7t,z=75+3t
A.当z=87时,t=4,则x=16,y=﹣3,不符合实际;
B.当z=84时,t=3,则x=12,y=4,符合实际;
C.当z=81时,t=2,则x=8,y=11,符合实际;
D.当z=78时,t=1,则x=4,y=18,符合实际;
故答案为：A.
15．下表是某校七年级各班某月课外兴趣小组活动时间的统计表，其中各班同一兴趣小组每次活动时间相同．
体育小组 活动次数 科技小组 活动次数 文艺小组 活动次数 课外兴趣小组 活动总时间单位：
1班 4 6 5 11.5
2班 4 6 4 11
3班 4 7 4 11
4班 6 13
说明：活动次数为正整数
科技小组每次活动时间为 h，该年级4班这个月体育小组活动次数最多可能是 次．
【答案】1；8
【解析】设体育活动每次活动时间为
，科技小组活动时间为
，文艺活动时间为
．
则有
，
解得
，
设4班体育活动的次数为m次，文艺活动的次数为n次，则
，
解得，
，
或
，
或
，
或
，
．
∴该年级4班这个月体育小组活动次数最多可能是8，
故答案为：1，8．
16．端午节有吃粽子的习惯，某商店购进肉粽、蛋黄粽、豆沙粽的数量之比为 .为促进销售，将全部粽子包装成A、B、C三种礼盒.礼盒A有2个肉粽、4个蛋黄粽；礼盒B有1个肉粽、3个蛋黄粽、1个豆沙粽；礼盒C有4个肉粽、2个豆沙粽.则礼盒A、礼盒B、礼盒C的盒数之比为 .
【答案】6：2：1
【解析】设某商店购进蛋肉粽、蛋黄粽、豆沙粽的数量分别为9x个，15x个，2x个，则包装成A、B、C三种礼盒的数量分别为a盒，b盒，c盒，
根据题意得， ，
解得： ，
则 .
故答案为：6：2：1.
17．如图，每条边上的三个数之和都等于16，么a，b，c这三个数按顺序分别为 ．
【答案】5，6，4
【解析】根据题意可得，
，
①﹣②得，
a﹣c＝1④，
④+③得，
a＝5，
解得 ，
a，b，c这三个数按顺序分别为5，6，4．
故答案为：5，6，4．
18．某中学七年级在数学竞赛活动中举行了“一题多解”比赛，按分数高低取前50名获奖，原定一等奖5人，二等奖10人，三等奖35人，现调整为一等奖10人，二等奖15人，三等奖25人，调整后一等奖平均分降低5分，二等奖平均分降低3分，三等奖平均分降低1分，如果原来一等奖比二等奖平均分数多2分，则调整后二等奖比三等奖平均分数多 分.
【答案】9
【解析】设原一等奖平均分为x分，原二等奖平均分为y分，原三等奖平均分为z分，由于总分不变，得：
由①得：x+y-2z=24 ③
将②代入③得：y+2+y-2z =24
解得：y-z =11，
则调整后二等奖比三等奖平均分数多=（y-3）-（z-1）=（y-z）-2=11-2=9（分）.
故答案为：9.
19．学校设置了有关艺术类的甲、乙、丙三个拓展性课程项目，规定甲、乙两项不能兼报，学生选报后作了统计，发现报甲项目的人数与报乙项目的人数之和为报丙项目人数的；同时兼报甲、丙两项目的人数占报甲项目的人数的，同时兼报乙、丙两项目的人数占报乙项目的人数的；兼报甲、丙两项目的人数与兼报乙、丙两项目的人数之和是报丙项目人数的，则报甲、乙两个项目的人数之比为 .
【答案】1：2
【解析】设报甲项目的有x人，报乙项目的有y人，报丙项目的有z人，
依题意得：
由①得：
将③代入②得：
化简得：
∴x：y=1：2.
故答案为：1：2.
20．解二元一次方程组的关键是“消元”，即把“二元”转化为“一元”，同样，我们可以用“消元”的方法解三元一次方程组．下面，我们就来解一个三元一次方程组：
解方程组
小曹同学的部分解答过程如下：
解：______+______，得3x+4y=10，④
______+______，得5x+y=11，⑤
______与______联立，得方程组
（1）请你在方框中补全小曹同学的解答过程：
（2）若m、n、p、q满足方程组 ，则m+n-2p+q= ．
【答案】（1）___①___+___②___，得3x+4y=10，④
___②___+____③__，得5x+y=11，⑤
___⑤___与___④___联立，得方程组
（2）-2.
【解析】（1）方程组
小曹同学的部分解答过程如下：
解：①+②，得3x+4y=10，④
②+③，得5x+y=11，⑤
⑤与④联立，得方程组
解得：
把 代入①得：2+1+z=2，
解得：z=-1，
∴原方程组的解是
故答案为①，②，②，③，⑤，④．
（ 2 ）
②-①×2得：p-3q=8④，
③-①×3得：-5p-2q=-6⑤，
由④与⑤组成方程组
解得： ，
代入①得：m+n=4
∴m+n-2p+q=-2
故答案为-2．
21．甲，乙，丙三人各有邮票若干枚，要求互相赠送．先由甲送给乙，丙，所给的枚数等于乙，丙原来各有的邮票数；然后依同样的游戏规则再由乙送给甲，丙现有的邮票数，最后由丙送给甲，乙现有的邮票数．互相送完后，每人恰好各有64枚．你能知道他们原来各有邮票多少枚吗？说出你的思考过程．
【答案】解：设甲原有邮票x枚，乙原有邮票y枚，丙原有邮票z枚．
甲 乙 丙
原有 x y z
第一次送后 x﹣y﹣z 2y 2z
第二次送后 2（x﹣y﹣z） 2y﹣（x﹣y﹣z）﹣2z 4z
第三次送后 4（x﹣y﹣z） 2[2y﹣（x﹣y﹣z）﹣2z] 4z﹣2（x﹣y﹣z）﹣[2y﹣（x﹣y﹣z）﹣2z]
根据第三次赠送后列方程组，即，③﹣②得 2z﹣y=8 ④，②+①得 y﹣z=24 ⑤，④+⑤得 z=32，将z代入⑤得 y=56，将y、z代入①得 x=104，答：甲原有邮票104枚，乙原有邮票56枚，丙原有邮票32枚．
【解析】假设甲原有邮票x枚，乙原有邮票y枚，丙原有邮票z枚．根据题目说明列出三次赠送的过程如下表
甲 乙 丙
原有 x y z
第一次送后 x﹣y﹣z 2y 2z
第二次送后 2（x﹣y﹣z） 2y﹣（x﹣y﹣z）﹣2z 4z
第三次送后 4（x﹣y﹣z） 2[2y﹣（x﹣y﹣z）﹣2z] 4z﹣2（x﹣y﹣z）﹣[2y﹣（x﹣y﹣z）﹣2z]
根据第三次赠送后的结果列出方程组
先化简，最后代入消元法或加减消元法求出方程组的解即可．
22．水果市场将120吨水果运往各地商家，现有甲、乙、丙三种车型供选择，每辆车的运载能力和运费如表所示：（假设每辆车均满载）
车型 甲 乙 丙
汽车运载量（吨/辆） 5 8 10
汽车运费（元/辆） 400 500 600
（1）若全部水果都用甲、乙两种车型来运送，需运费8200元，问分别需甲、乙两种车型各几辆？
（2）为了节约运费，市场可以调用甲、乙、丙三种车型参与运送（每种车型至少1辆），已知它们的总辆数为16辆，如何安排车辆运送使总运费最省？
【答案】（1）解：设需甲车型辆，乙车型辆，得：
，
解得.
答：需甲车型8辆，乙车型10辆；
（2）解：设需甲车型辆，乙车型辆，丙车型辆，得：
，
消去得，，
因，是正整数，且不大于14，得，10，
由是正整数，解得，，
当，，时，总运费为：元；
当，，时，总运费为：元元；
运送方案：甲车型4辆，乙车型10辆，丙车型2辆.
【解析】（1）设需甲车型x辆，乙车型y辆，根据120吨水果可得5x+8y=120，根据需运费8200元可得400x+500y=8200，联立求解即可；
（2）设需甲车型x辆，乙车型y辆，丙车型z辆，根据总辆数为16辆可得x+y+z=16，根据120吨水果可得5x+8y+10z=120，根据x、y、z为正整数可得x、y、z的值，然后求出总运费，进行比较即可.
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
1 / 1中小学教育资源及组卷应用平台
浙教版2022-2023学年数学七年级下册第2章 二元一次方程组
2.5三元一次方程组及其解法（选学）
【知识重点】
1．三元一次方程
含有三个未知数，且含有未知数的项的次数都是一次的方程叫做三元一次方程.
2．三元一次方程组概念
由三个一次方程组成，并且含有三个未知数的方程组，叫做三元一次方程组.
3．三元一次方程组的解
同时满足三元一次方程组中各个方程的解，叫做这个三元一次方程组的解.
4．解三元一次方程组基本步骤为
解三元一次方程组的消元方法也是“代入法”或“加减法”，通过消元使解三元一次方程组转化为解二元一次方程组，进而转化为解一元一次方程.
【经典例题】
【例1】解方程组
【例2】解方程组
【例3】张大伯养了鸡、鸭、鹅三种家禽，所养的鸡和鸭的只数和比鹅的只数多19只，养鸭和鹅共20只，养鸡和鹅共23只，请你算一算张大伯养鸡、鸭、鹅各多少只？
【基础训练】
1．三元一次方程组的解是（ ）
A． B． C． D．
2．已知方程组，则的值是（ ）
A． B． C． D．
3．三元一次方程组消去一个未知数后，所得二元一次方程组是（ ）
A． B．
C． D．
4．解方程组 ，若要使计算简便，消元的方法应选取（ ）
A．先消去x B．先消去y
C．先消去z D．以上说法都不对
5．已知实数x，y，z满足，则代数式3(x﹣z)+1的值是( )
A．﹣2 B．﹣4 C．﹣5 D．﹣6
6．6月18日，最开始是京东的周年庆，2013年后，618就成了各大电商平台的网购节了．在618当日，小梦在某电商平台上选择了甲乙丙三种商品，当购物车内选3件甲，2件乙，1件丙时显示价格为420元；当选2件甲，3件乙，4件丙时显示价格为580元，那么购买甲、乙、丙各两件时应该付款（ ）
A．200元 B．400元 C．500元 D．600元
7．一个三位数，百位上的数与十位上的数之差是2，如果交换十位数字与个位数字的位置，那么所得的数就比原来小36，则百位上的数与个位上的数之差为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
8．解三元一次方程组
具体过程如下：
（ 1 ）②-①，得b=2；（2）①×2+③，得4a-2b=7；（3）所以
；（4）把b=2代入4a-2b=7，得4a-2×2=7（以下求解过程略）其中开始出现错误的一步是（ ）
A．（1） B．（2） C．（3） D．（4）
9．方程组 的解为 ．
10．解方程组．
11．解方程组.
（1） （2）
12．某农场300名职工耕种51公顷土地，计划种植水稻、棉花和蔬菜，已知种植各种农作物每公顷所需的劳动力人数及投入的设备资金如下表：
农作物品种 每公顷所需劳动力 每公顷所需投入的设备资金
水稻 4人 1万元
棉花 8人 1万元
蔬菜 5人 2万元
已知该农场计划投入设备资金67万元，应该怎样安排这三种农作物的种植面积，才能使所有职工有工作，而且投入的资金正好够用？
【培优训练】
13．已知 ，且x+y=3，则z的值为（ ）
A．9 B．-3 C．12 D．不确定
14．我国古代数学家张丘建在《张丘建算经）里，提出了“百钱买百鸡”这个有名的数学问题.用100个钱买100只鸡，公鸡每只五个钱，母鸡每只三个钱，小鸡每个钱三只.问公鸡，小鸡各买了多少只？在这个问题中，小鸡的只数不可能是（ ）
A．87 B．84 C．81 D．78
15．下表是某校七年级各班某月课外兴趣小组活动时间的统计表，其中各班同一兴趣小组每次活动时间相同．
体育小组 活动次数 科技小组 活动次数 文艺小组 活动次数 课外兴趣小组 活动总时间单位：
1班 4 6 5 11.5
2班 4 6 4 11
3班 4 7 4 11
4班 6 13
说明：活动次数为正整数
科技小组每次活动时间为 h，该年级4班这个月体育小组活动次数最多可能是 次．
16．端午节有吃粽子的习惯，某商店购进肉粽、蛋黄粽、豆沙粽的数量之比为 .为促进销售，将全部粽子包装成A、B、C三种礼盒.礼盒A有2个肉粽、4个蛋黄粽；礼盒B有1个肉粽、3个蛋黄粽、1个豆沙粽；礼盒C有4个肉粽、2个豆沙粽.则礼盒A、礼盒B、礼盒C的盒数之比为 .
17．如图，每条边上的三个数之和都等于16，么a，b，c这三个数按顺序分别为 ．
18．某中学七年级在数学竞赛活动中举行了“一题多解”比赛，按分数高低取前50名获奖，原定一等奖5人，二等奖10人，三等奖35人，现调整为一等奖10人，二等奖15人，三等奖25人，调整后一等奖平均分降低5分，二等奖平均分降低3分，三等奖平均分降低1分，如果原来一等奖比二等奖平均分数多2分，则调整后二等奖比三等奖平均分数多 分.
19．学校设置了有关艺术类的甲、乙、丙三个拓展性课程项目，规定甲、乙两项不能兼报，学生选报后作了统计，发现报甲项目的人数与报乙项目的人数之和为报丙项目人数的；同时兼报甲、丙两项目的人数占报甲项目的人数的，同时兼报乙、丙两项目的人数占报乙项目的人数的；兼报甲、丙两项目的人数与兼报乙、丙两项目的人数之和是报丙项目人数的，则报甲、乙两个项目的人数之比为 .
20．解二元一次方程组的关键是“消元”，即把“二元”转化为“一元”，同样，我们可以用“消元”的方法解三元一次方程组．下面，我们就来解一个三元一次方程组：
解方程组
小曹同学的部分解答过程如下：
解：______+______，得3x+4y=10，④
______+______，得5x+y=11，⑤
______与______联立，得方程组
（1）请你在方框中补全小曹同学的解答过程：
（2）若m、n、p、q满足方程组 ，则m+n-2p+q= ．
21．甲，乙，丙三人各有邮票若干枚，要求互相赠送．先由甲送给乙，丙，所给的枚数等于乙，丙原来各有的邮票数；然后依同样的游戏规则再由乙送给甲，丙现有的邮票数，最后由丙送给甲，乙现有的邮票数．互相送完后，每人恰好各有64枚．你能知道他们原来各有邮票多少枚吗？说出你的思考过程．
22．水果市场将120吨水果运往各地商家，现有甲、乙、丙三种车型供选择，每辆车的运载能力和运费如表所示：（假设每辆车均满载）
车型 甲 乙 丙
汽车运载量（吨/辆） 5 8 10
汽车运费（元/辆） 400 500 600
（1）若全部水果都用甲、乙两种车型来运送，需运费8200元，问分别需甲、乙两种车型各几辆？
（2）为了节约运费，市场可以调用甲、乙、丙三种车型参与运送（每种车型至少1辆），已知它们的总辆数为16辆，如何安排车辆运送使总运费最省？
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
1 / 1
