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浙教版2022-2023学年数学七年级下册第3章整式的乘除
3.3多项式的乘法（1）
【知识重点】
1．多项式相乘法则：
多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.
2．字母表示：(a+m)(b+n) = ab + an + mb + mn
【经典例题】
【例1】计算.
（1）（x+2）（x-3）； （2）（3x-1）（2x+1）； （3）（x-3y）（x+7y）； （4）（2x+5y）（3x-2y）.
【例2】求代数式x（2x﹣1）﹣2（x﹣2）（x+1）的值，其中x=2017．
【例3】若（x+m）（x2﹣3x+n）的积中不含x2、x项，求m和n的值．
【基础训练】
1．计算（a+3）（﹣a+1）的结果是（ ）
A．﹣a2﹣2a+3 B．﹣a2+4a+3 C．﹣a2+4a﹣3 D．a2﹣2a﹣3
2．下列（a+3）（b﹣4）的展开式中正确的是（ ）
A．ab﹣4b+3a﹣12 B．ab﹣4a+3b﹣12
C．ab﹣4b+3a+12 D．ab﹣4a+3b+12．
3．化简x（2x﹣1）﹣x2（2﹣x）的结果是（ ）
A．﹣﹣x B．﹣x C．﹣﹣1 D．﹣1
4．（mx+1）（1﹣3x）展开后不含x的一次项，则m为（ ）
A．3 B． C．12 D．24
5．根据图中数据，计算大长方形的面积，通过不同的计算方法，你发现的结论是（ ）
A．（a+b）（a+2b）=a2+3ab+2b2 B．（3a+b）（a+b）=3a2+4ab+b2
C．（2a+b）（a+b）=2a2+3ab+b2 D．（3a+2b）（a+b）=3a2+5ab+2b2
6．若（x+3）（2x﹣n）=2x2+mx﹣15，则m、n的值分别是（ ）
A．m=﹣1．n=5 B．m=1，n=5
C．m=﹣1，n=﹣5 D．m=1，n=﹣5
7．计算：（m+2）（m﹣2）﹣（m﹣1）（m+5）= ．
8．已知x+y=5，xy=2，则（x+2）（y+2）= ．
9．关于整式（x﹣2）（x+n）运算结果中，一次项系数为2，则n= ．
10．在我们所学的课本中，多项式与多项式相称可以用几何图形的面积来表示，例如：（2a+b）（a+b）=2a2+3ab+b2就可以用下面图中的图①来表示．请你根据此方法写出图②中图形的面积所表示的代数恒等式： ．
【培优训练】
11．如图是一栋楼房的平面图，下列式子中不能表示它的面积的是（ ）
A． B．（a＋5）（a＋3）－3a
C．a（a＋5）＋15 D．
12．若（3x+a）（3x+b）的结果中不含有x项，则a、b的关系是（ ）
A．ab=1 B．ab=0 C．a﹣b=0 D．a+b=0
13．已知多项式（x2﹣mx+1）（x﹣2）的积中不含x的二次项系数，则m的值是（ ）
A．1 B．﹣1 C．﹣2 D．2
14．如果（x+1）（x2﹣5ax+a）的乘积中不含x2项，则a为（ ）
A．5 B． C．- D．-5
15．使（x2+px+8）（x2﹣3x+q）的乘积不含x3和x2，则p、q的值为（ ）
A．p=0，q=0 B．p=﹣3，q=﹣1
C．p=3，q=1 D．p=﹣3，q=1
16．三个连续的奇数，若中间一个为a，则它们的积为（ ）
A．a3﹣4a B．a3﹣6a C．4a3﹣a D．4a3﹣6a
17．现有A、B、C三种型号地砖，其规格如图所示，用这三种地砖铺设一个长为x+y，宽为3x+2y的长方形地面，则需要A种地砖 块．
18．若（1+x）（2x2+mx+5）的计算结果中x2项的系数为﹣3，则m=
19．若多项式5x2+2x﹣2与多项式ax+1的乘积中，不含x2项，则常数a= ．
20．甲、乙两人共同计算一道整式乘法题： .甲由于把第一个多项式中的“ ”看成了“ ”，得到的结果为 ；乙由于漏抄了第二个多项式中 的系数，得到的结果为 .
（1）求正确的 、 的值.
（2）计算这道乘法题的正确结果.
【直击中考】
21．下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
22．已知m+n=mn，则（m﹣1）（n﹣1）= ．
23．计算 .
24．先化简，再求值： ，其中 ．
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浙教版2022-2023学年数学七年级下册第3章整式的乘除（解析版）
3.3多项式的乘法（1）
【知识重点】
1．多项式相乘法则：
多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.
2．字母表示：(a+m)(b+n) = ab + an + mb + mn
【经典例题】
【例1】计算.
（1）（x+2）（x-3）；
（2）（3x-1）（2x+1）；
（3）（x-3y）（x+7y）；
（4）（2x+5y）（3x-2y）.
【答案】（1）解：（x+2）（x-3）
=x2-3x+2x-6
= x2-x-6 .
（2）解：（3x-1）（2x+1）
=6x2+3x-2x-1
=6x2+x-1
（3）解：（x-3y）（x+7y）
=x2+7xy-3yx-21y2
=x2+4xy-21y2.
（4）解：（2x+5y）（3x-2y）
=6x2-4xy+15yx-10y2
=6x2+11xy-10y2
【分析】多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项与另一个多项式的每一项相乘，再把所得的积相加。依此先进行多项式乘法的运算，然后合并同类项即可.
【例2】求代数式x（2x﹣1）﹣2（x﹣2）（x+1）的值，其中x=2017．
【答案】解：x（2x﹣1）﹣2（x﹣2）（x+1）
=2x2﹣x﹣2x2+2x+4
=x+4，
当x=2017时，原式=2017+4=2021
【分析】先化简题目中的式子，然后将x的值代入化简后的式子即可解答本题．
【例3】若（x+m）（x2﹣3x+n）的积中不含x2、x项，求m和n的值．
【答案】解：原式=x3﹣3x2+nx+mx2﹣3mx+mn=x3+（m﹣3）x2+（n﹣3m）x+mn，
由题意得到m﹣3=0，n﹣3m=0，
解得：m=3，n=9．
【分析】原式利用多项式乘以多项式法则计算得到结果，由题意得到x2、x项系数为0，求出m与n的值即可．
【基础训练】
1．计算（a+3）（﹣a+1）的结果是（ ）
A．﹣a2﹣2a+3 B．﹣a2+4a+3 C．﹣a2+4a﹣3 D．a2﹣2a﹣3
【答案】A
【解析】（a+3）（﹣a+1）
＝﹣a2﹣3a+a+3
＝﹣a2﹣2a+3．
故答案为：A．
2．下列（a+3）（b﹣4）的展开式中正确的是（ ）
A．ab﹣4b+3a﹣12 B．ab﹣4a+3b﹣12
C．ab﹣4b+3a+12 D．ab﹣4a+3b+12．
【答案】B
【解析】（a+3）（b﹣4）=ab﹣4a+3b﹣12．故选B．
3．化简x（2x﹣1）﹣x2（2﹣x）的结果是（ ）
A．﹣﹣x B．﹣x C．﹣﹣1 D．﹣1
【答案】B
【解析】原式=2x2﹣x﹣2x2+x3=x3﹣x，故选B．
4．（mx+1）（1﹣3x）展开后不含x的一次项，则m为（ ）
A．3 B． C．12 D．24
【答案】A
【解析】∵（mx+1）（1﹣3x）=mx﹣3mx2+1﹣3x=﹣3mx2+（m﹣3）x+1=﹣2mx﹣3x+1，展开后不含x的一次项，得：m﹣3=0，解得m=3．故选：A．
5．根据图中数据，计算大长方形的面积，通过不同的计算方法，你发现的结论是（ ）
A．（a+b）（a+2b）=a2+3ab+2b2 B．（3a+b）（a+b）=3a2+4ab+b2
C．（2a+b）（a+b）=2a2+3ab+b2 D．（3a+2b）（a+b）=3a2+5ab+2b2
【答案】D
【解析】根据图形得：（3a+2b）（a+b）=3a2+5ab+2b2．
故选：D．
6．若（x+3）（2x﹣n）=2x2+mx﹣15，则m、n的值分别是（ ）
A．m=﹣1．n=5 B．m=1，n=5
C．m=﹣1，n=﹣5 D．m=1，n=﹣5
【答案】B
【解析】（x+3）（2x﹣n）=2x2+mx﹣15，2x2﹣nx+6x﹣3n=2x2+mx﹣15，2x2+（﹣n+6）x﹣3n=2x2+mx﹣15，则：﹣3n=﹣15，﹣n+6=m，
解得：n=5，m=1，故选：B．
7．计算：（m+2）（m﹣2）﹣（m﹣1）（m+5）= ．
【答案】1﹣4m
【解析】（m+2）（m﹣2）﹣（m﹣1）（m+5）
=m2﹣4﹣m2﹣4m+5
=1﹣4m．
故答案为：1﹣4m．
8．已知x+y=5，xy=2，则（x+2）（y+2）= ．
【答案】16
【解析】当x+y=5，xy=2时，
（x+2）（y+2）=xy+2x+2y+4
=xy+2（x+y）+4
=2+2×5+4
=16，
故答案为：16．
9．关于整式（x﹣2）（x+n）运算结果中，一次项系数为2，则n= ．
【答案】4
【解析】原式=x2+（n﹣2）x﹣2n，
由结果中一次项系数为2，得到n﹣2=2，
解得：n=4．
故答案为：4
10．在我们所学的课本中，多项式与多项式相称可以用几何图形的面积来表示，例如：（2a+b）（a+b）=2a2+3ab+b2就可以用下面图中的图①来表示．请你根据此方法写出图②中图形的面积所表示的代数恒等式： ．
【答案】（a+2b）（2a+b）=2a2+5ab+2b2
【解析】根据图形列得：（a+2b）（2a+b）=2a2+5ab+2b2．
故答案为：（a+2b）（2a+b）=2a2+5ab+2b2．
【培优训练】
11．如图是一栋楼房的平面图，下列式子中不能表示它的面积的是（ ）
A． B．（a＋5）（a＋3）－3a
C．a（a＋5）＋15 D．
【答案】D
【解析】A.是三个图形面积的和，正确，不符合题意；
B.是补成一个大长方形，用大长方形的面积减去补的长方形的面积，正确，不符合题意；
C.是上面大长方形的面积加上下面小长方形的面积，正确，不符合题意；
D.不是楼房的面积，错误，符合题意.
故答案为：D.
12．若（3x+a）（3x+b）的结果中不含有x项，则a、b的关系是（ ）
A．ab=1 B．ab=0 C．a﹣b=0 D．a+b=0
【答案】D
【解析】（3x+a）（3x+b）=9x2+3bx+3ax+ab=9x2+3（a+b）x+ab，∵（3x+a）（3x+b）的结果中不含有x项，∴a+b=0，∴a、b的关系是a+b=0；故选D．
13．已知多项式（x2﹣mx+1）（x﹣2）的积中不含x的二次项系数，则m的值是（ ）
A．1 B．﹣1 C．﹣2 D．2
【答案】C
【解析】∵（x2﹣mx+1）（x﹣2）=x3﹣（m+2）x2+（2m+1）x﹣2，又∵积中不含x的二次项系数，∴m+2=0，解得m=﹣2．故选C．
14．如果（x+1）（x2﹣5ax+a）的乘积中不含x2项，则a为（ ）
A．5 B． C．- D．-5
【答案】B
【解析】原式=x3﹣5ax2+ax+x2﹣5ax+a=x3+（1﹣5a）x2+ax+a，
由结果不含x2项，得到1﹣5a=0，
解得：a=，
故选B．
15．使（x2+px+8）（x2﹣3x+q）的乘积不含x3和x2，则p、q的值为（ ）
A．p=0，q=0 B．p=﹣3，q=﹣1
C．p=3，q=1 D．p=﹣3，q=1
【答案】C
【解析】（x2+px+8）（x2﹣3x+q）=x4+（p﹣3）x3+（8﹣3p+q）x2+（pq﹣24）x+8q，∵（x2+px+8）（x2﹣3x+q）的展开式中不含x2项和x3项，∴，解得：，故选：C．
16．三个连续的奇数，若中间一个为a，则它们的积为（ ）
A．a3﹣4a B．a3﹣6a C．4a3﹣a D．4a3﹣6a
【答案】A
【解析】三个连续的奇数，若中间一个为a，则另外两个是a﹣2，a+2．
则a（a﹣2）（a+2）=a3﹣4a．
故答案为：A．
17．现有A、B、C三种型号地砖，其规格如图所示，用这三种地砖铺设一个长为x+y，宽为3x+2y的长方形地面，则需要A种地砖 块．
【答案】3
【解析】根据题意得：（x+y）（3x+2y）=3x2+2xy+3xy+2y2=3x2+5xy+2y2，
则需要A种地砖3块，
故答案为：3
18．若（1+x）（2x2+mx+5）的计算结果中x2项的系数为﹣3，则m=
【答案】-5
【解析】∵（1+x）（2x2+mx+5）=2x3+（2+m）x2+（5+m）x+5，
又∵结果中x2项的系数为﹣3，
∴2+m=﹣3，
解得m=﹣5．
19．若多项式5x2+2x﹣2与多项式ax+1的乘积中，不含x2项，则常数a= ．
【答案】﹣
【解析】根据题意得：（5x2+2x﹣2）（ax+1）=5ax3+（5+2a）x2+2x﹣2ax﹣2，
由结果不含x2项，得到5+2a=0，
解得：a=﹣ ，
故答案为：﹣
20．甲、乙两人共同计算一道整式乘法题： .甲由于把第一个多项式中的“ ”看成了“ ”，得到的结果为 ；乙由于漏抄了第二个多项式中 的系数，得到的结果为 .
（1）求正确的 、 的值.
（2）计算这道乘法题的正确结果.
【答案】（1）解：
①，
，
②），
由①和②组成方程组，
解得： ，
（2）解：
【直击中考】
21．下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】A.原式=a2-4.故错误；
B.原式=a2-a-2.故错误；
C.原式=a2+2ab+b2.故错误；
D.原式=a2-2ab+b2.故正确；
故选D。
22．（2018·临沂）已知m+n=mn，则（m﹣1）（n﹣1）= ．
【答案】1
【解析】（m﹣1）（n﹣1）=mn﹣（m+n）+1，
∵m+n=mn，
∴（m﹣1）（n﹣1）=mn﹣（m+n）+1=1，
故答案为1．
23．（2019·南京）计算 .
【答案】解： .
24．（2017·宁波）先化简，再求值： ，其中 ．
【答案】解：原式=4-x2+x2+4x-5. =4x-1.∵x=.∴原式=4×-1. =6-1. =5.
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