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浙教版2022-2023学年数学七年级下册第3章整式的乘除
3.7整式的除法
【知识重点】
1．单项式除以单项式的法则：
单项式相除，把系数、同底数幂分别相除，作为商的因式，对于只在被除数里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式.
2．多项式除以单项式的法则：
多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加.
(a+b+c)÷m=a÷m+b÷m+c÷m
【经典例题】
【例1】计算：15a3b÷（﹣5a2b）等于（ ）
A．﹣3ab B．﹣3a3b C．﹣3a D．﹣3a2b
【例2】已知28a2bm÷4anb2=7b2，那么m、n的值为（ ）
A．m=4，n=2 B．m=4，n=1 C．m=1，n=2 D．m=2，n=2
【例3】计算：
（1）
（2）
【例4】已知一个多项式与单项式﹣7x5y4的积为21x5y7﹣28x7y4+7y（2x3y2）2，求这个多项式．
【基础训练】
1． （ ） ，则括号内应填的代数式是（ ）
A． B． C． D．
2．下列变形正确的是（ ）
A．10a4b3÷5a2b＝2a2b3 B．（﹣bc）4÷（﹣bc）2＝﹣b2c2
C．（3xy+y）÷y＝3x+y D． （a≠0，P是正整数）
3．计算（-2a2）3÷a3的结果是 ．
4．计算： 。
5．一个矩形的面积为a2+2a，若一边长为a，则另一边长为 ．
6．（ x2y﹣ xy2 ）÷ xy＝ ．
7．老师在黑板上书写了一个正确的演算过程，随后用手掌捂住了一个多项式，形式如下：
，所捂多项式是 .
8．如果2xy2·A=6x2y2-4x3y3，那么A= .
9．计算：
10．先化简，后求值： ，其中 ， ．
11．
（1）当 时，求下列各式的值：
①
②
（2）通过计算，你发现了什么？你能计算下列各式吗？
③
④ .
12．如图，某学校有一块长为（4a+b）米，宽为（a+b）米的长方形地块，角上留有四个边长为（a﹣2b）米的小正方形空地，学校计划将阴影部分进行绿化．
（1）用含有a，b的式子表示绿化的总面积（结果写成最简形式）；
（2）学校准备将该绿化工程承担给某绿化施工队，已知该施工队每天可绿化3b平方米，求该施工队多少天能完成绿化任务（用含a，b的式子表示）？
【培优训练】
13．已知 ，则 、 的值为（ ）
A． B． C． D．
14．下列计算中错误的是（ ）
A．
B．
C．
D．
15．若关于x的多项式 除以 ，所得商恰好为 ，则 .
16．计算：（﹣ xm+1+ xm+ xm﹣1）÷（ xm﹣1）．
17．如果 ，求m，a，b的值．
18．小明在做一个多项式除以a的题时，由于粗心误认为乘a，结果是8a4b-4a3+2a2，那么你能知道正确的结果是多少吗？
19．小明在进行单项式除以单项式的运算时,不小心将除以2ab2错抄成乘以2ab2,得到一个结果-8a3b6c,请你求出正确的结果.
20．已知多项式A=（3﹣2x）（1+x）+（3x5y2+4x6y2﹣x4y2）÷（x2y）2 ．
（1）化简多项式A；
（2）若（x+1）2=6，求A的值．
21．已知A＝（x4－3x3）÷x2，B＝（2x＋5）（2x－5）＋1.
（1）求A和B；
（2）若变量y满足y－2A＝B，求y与x的关系式；
（3）在（2）的条件下，当y＝36时，求x2＋（x－1）2的值.
22．我们已经学习过多项式除以单项式，多项式除以多项式一般可用竖式计算，步骤如下：
①把被除式、除式按某个字母作降幂接列，井把所块的项用零补齐；
②用除式的第一项除以除式第一项，得到商式的第一项；
③用商式的一项去乘除式，把积写在被除式下面（同类项对齐），消去相等项；
④把减得的差当作新的被除式，再按照上面的方法继续演算，直到余式为零或余式的次数低于除式的次数时为止，被除式＝除式×商式+余式，若余式为零，说明这个多项式能被另一个多项式整除.
例如：计算（6x4﹣7x3﹣x2﹣1）÷（2x+1），可用竖式除法如图：
所以6x4﹣7x3﹣x2﹣1除以2x+1，商式为3x3﹣5x2﹣2x﹣1，余式为0.
根据阅读材料，请回答下列问题：
（1）（x3﹣4x2+7x﹣5）÷（x﹣2）的商是 ，余式是 ；
（2）x3﹣x2+ax+b能被x2+2x+2整除，求a，b的值.
【直击中考】
23．计算6m6÷（﹣2m2）3的结果为（ ）
A．﹣m B．﹣1 C． D．﹣
24．计算：10ab3÷（﹣5ab）= ．
25．一个矩形的面积为a2+2a，若一边长为a，则另一边长为
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浙教版2022-2023学年数学七年级下册第3章整式的乘除（解析版）
3.7整式的除法
【知识重点】
1．单项式除以单项式的法则：
单项式相除，把系数、同底数幂分别相除，作为商的因式，对于只在被除数里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式.
2．多项式除以单项式的法则：
多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加.
(a+b+c)÷m=a÷m+b÷m+c÷m
【经典例题】
【例1】计算：15a3b÷（﹣5a2b）等于（ ）
A．﹣3ab B．﹣3a3b C．﹣3a D．﹣3a2b
【答案】C
【解析】15a3b÷（﹣5a2b）＝15÷（﹣5） a3﹣2 b1﹣1＝﹣3a．
故答案为：C．
【分析】根据单项式除以单项式的法则计算即可．
【例2】已知28a2bm÷4anb2=7b2，那么m、n的值为（ ）
A．m=4，n=2 B．m=4，n=1 C．m=1，n=2 D．m=2，n=2
【答案】A
【解析】∵28a2bm÷4anb2=7b2，∴2﹣n=0，m﹣2=2，解得：m=4，n=2．故答案为：A．
【分析】根据单项式的除法法则，对于相同的字母底数不变，指数相减得出2﹣n=0，m﹣2=2，解出即可。
【例3】计算：
（1）
（2）
【答案】（1）
（2）
【分析】（1）根据多项式除以单项式的运算法则计算即可；（2）根据多项式除以单项式的运算法则计算即可.
【例4】已知一个多项式与单项式﹣7x5y4的积为21x5y7﹣28x7y4+7y（2x3y2）2，求这个多项式．
【答案】解：所求的多项式=[21x5y7﹣28x7y4+7y（2x3y2）2]÷（﹣7x5y4）
=[21x5y7﹣28x7y4+7y 4x6y4]÷（﹣7x5y4）
=[21x5y7﹣28x7y4+28x6y5]÷（﹣7x5y4）
=﹣3y3+4x2﹣4xy
【分析】由于两个整式的积与一个乘式的商等于另一个乘式，所以所求的多项式=[21x5y7﹣28x7y4+7y（2x3y2）2]÷（﹣7x5y4），先算中括号内的乘方运算，然后进行多项式除以单项式．
【基础训练】
1． （ ） ，则括号内应填的代数式是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题意得： ．
2．下列变形正确的是（ ）
A．10a4b3÷5a2b＝2a2b3 B．（﹣bc）4÷（﹣bc）2＝﹣b2c2
C．（3xy+y）÷y＝3x+y D． （a≠0，P是正整数）
【答案】D
【解析】A.10a4b3÷5a2b＝2a2b2，此选项计算不符合题意；
B．（﹣bc）4÷（﹣bc）2＝b2c2，此选项计算不符合题意；
C．（3xy+y）÷y＝3x+1，此选项计算不符合题意；
D． （a≠0，p是正整数），此选项计算符合题意；
故答案为：D．
3．计算（-2a2）3÷a3的结果是 ．
【答案】-8a3
【解析】原式＝．
故答案为：-8a3．
4．计算： 。
【答案】
【解析】原式
5．一个矩形的面积为a2+2a，若一边长为a，则另一边长为 ．
【答案】a+2
【解析】∵（a2+2a）÷a=a+2，
∴另一边长为a+2，
故答案为：a+2．
6．（ x2y﹣ xy2 ）÷ xy＝ ．
【答案】9x﹣4y+6
【解析】原式＝
＝9x﹣4y+6．
故答案为：9x﹣4y+6．
7．老师在黑板上书写了一个正确的演算过程，随后用手掌捂住了一个多项式，形式如下：
，所捂多项式是 .
【答案】-6x+2y-1
【解析】由题意可得，所捂多项式是：
.
故答案为： .
8．如果2xy2·A=6x2y2-4x3y3，那么A= .
【答案】3x-2x2y
【解析】∵2xy2·A=6x2y2-4x3y3，
∴A=（6x2y2-4x3y3）÷（2xy2）
=3x-2x2y.
故答案为：3x-2x2y.
9．计算：
【答案】解： ==.
10．先化简，后求值： ，其中 ， ．
【答案】解：原式= 6x+2y 1，
当x= 2，y=1时，原式=12+2 1=13
11．
（1）当 时，求下列各式的值：
①
②
（2）通过计算，你发现了什么？你能计算下列各式吗？
③
④ .
【答案】（1）解：①(21a3- 7a2 + 7a)÷ 7a
= 3a2-a+ 1,
把a= 2代入上式可得:
原式=3×22-2+1=11 ;
②21a3÷ 7a-7a2÷ 7a+ 7a÷ 7a= 3a2- a+1
把a=2代入上式可得:
原式=3x22-2+1= 11 ;
（2）解：通过计算，发现了多项式除以单项式, 先把这个多项式的每一项分别除以单项式, 再把所得的商
相加.
③(24x3+ 12x2-4x) ÷ 6x= 4x2 + 2x ,
④ .
12．如图，某学校有一块长为（4a+b）米，宽为（a+b）米的长方形地块，角上留有四个边长为（a﹣2b）米的小正方形空地，学校计划将阴影部分进行绿化．
（1）用含有a，b的式子表示绿化的总面积（结果写成最简形式）；
（2）学校准备将该绿化工程承担给某绿化施工队，已知该施工队每天可绿化3b平方米，求该施工队多少天能完成绿化任务（用含a，b的式子表示）？
【答案】（1）绿化的总面积= （4a+b）（a+b）-4 （a﹣2b）2=21ab-15b2（米2）；
（2）（21ab-15b2）÷（3b）=7a-5b，
∴ 该施工队（7a-5b）天能完成绿化任务.
【培优训练】
13．已知 ，则 、 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】∵
∴3-n=0，m-2=2，解得n=3，m=4.
故答案为：A.
14．下列计算中错误的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】A、 ，正确，故不符合题意；
B、 ，正确，故不符合题意；
C、 ，正确，故不符合题意；
D、 ，不正确，故符合题意.
故答案为：D.
15．若关于x的多项式 除以 ，所得商恰好为 ，则 .
【答案】
【解析】由题意可知：
，
∴ ，
∴ ， ， ，
解之得： ， ， ，
∴ .
故答案为：3.
16．计算：（﹣ xm+1+ xm+ xm﹣1）÷（ xm﹣1）．
【答案】解：原式=（﹣ xm+1）÷（ xm﹣1）+ xm÷（ xm﹣1）+ xm﹣1÷（ xm﹣1）
=﹣18x2+10x+2
17．如果 ，求m，a，b的值．
【答案】解： ，
=
=
∴=，3a-6=3，3b-4=2，
解得：m=，a=3，b=2.
18．小明在做一个多项式除以a的题时，由于粗心误认为乘a，结果是8a4b-4a3+2a2，那么你能知道正确的结果是多少吗？
【答案】解：原多项式为（8a4b-4a3+2a2）÷（a）=16a3b-8a2+4a，正确结果为（16a3b-8a2+4a）÷（a）=32a2b-16a+8.
19．小明在进行单项式除以单项式的运算时,不小心将除以2ab2错抄成乘以2ab2,得到一个结果-8a3b6c,请你求出正确的结果.
【答案】解：被除式是
正确得结果是
20．已知多项式A=（3﹣2x）（1+x）+（3x5y2+4x6y2﹣x4y2）÷（x2y）2 ．
（1）化简多项式A；
（2）若（x+1）2=6，求A的值．
【答案】（1）解：A=3+3x﹣2x﹣2x2+3x+4x2﹣1=2x2+4x+2
（2）解：方程变形得：x2+2x=5，
则A=2（x2+2x）+2=12
21．已知A＝（x4－3x3）÷x2，B＝（2x＋5）（2x－5）＋1.
（1）求A和B；
（2）若变量y满足y－2A＝B，求y与x的关系式；
（3）在（2）的条件下，当y＝36时，求x2＋（x－1）2的值.
【答案】（1）解：A＝x2－3x，
B＝4x2－25+1
＝4x2－24；
（2）解：∵y满足y－2A＝B，
∴y＝B＋2A
＝4x2－24＋2（x2－3x）
＝4x2－24＋2x2－6x
＝6x2－6x－24；
（3）解：当y＝36时， 6x2－6x－24＝36，
∴6x2－6x＝60，
∴x2－x＝10，
∴ x2＋（x－1）2
＝x2＋x2－2x＋1
＝2x2－2x＋1
＝2（x2－x）＋1
＝2×10＋1
＝21.
22．我们已经学习过多项式除以单项式，多项式除以多项式一般可用竖式计算，步骤如下：
①把被除式、除式按某个字母作降幂接列，井把所块的项用零补齐；
②用除式的第一项除以除式第一项，得到商式的第一项；
③用商式的一项去乘除式，把积写在被除式下面（同类项对齐），消去相等项；
④把减得的差当作新的被除式，再按照上面的方法继续演算，直到余式为零或余式的次数低于除式的次数时为止，被除式＝除式×商式+余式，若余式为零，说明这个多项式能被另一个多项式整除.
例如：计算（6x4﹣7x3﹣x2﹣1）÷（2x+1），可用竖式除法如图：
所以6x4﹣7x3﹣x2﹣1除以2x+1，商式为3x3﹣5x2﹣2x﹣1，余式为0.
根据阅读材料，请回答下列问题：
（1）（x3﹣4x2+7x﹣5）÷（x﹣2）的商是 ，余式是 ；
（2）x3﹣x2+ax+b能被x2+2x+2整除，求a，b的值.
【答案】（1）x2﹣2x+3；1
（2）解：由题意得：
∵x3﹣x2+ax+b能被x2+2x+2整除，
∴a﹣2＝﹣6，b＝﹣6，
即：a＝﹣4，b＝﹣6.
【解析】（1）（x3﹣4x2+7x﹣5）÷（x﹣2）＝x2﹣2x+3……1
故答案为：x2﹣2x+3，1.
【直击中考】
23．（2017·青岛）计算6m6÷（﹣2m2）3的结果为（ ）
A．﹣m B．﹣1 C． D．﹣
【答案】D
【解析】原式=6m6÷（﹣8m6）
=﹣
故选：D
24．（2017·盘锦）计算：10ab3÷（﹣5ab）= ．
【答案】﹣2b2
【解析】原式=﹣ a1﹣1b3﹣1=﹣2b2，
故答案为：﹣2b2
25．（2016·漳州）一个矩形的面积为a2+2a，若一边长为a，则另一边长为
【答案】a+2．
【解析】∵（a2+2a）÷a=a+2，
∴另一边长为a+2，
故答案为：a+2．
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