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浙教版2022-2023学年数学七年级下册第3章整式的乘除
3.4乘法公式（1）
【知识重点】
1．平方差公式：两数和与这两数差的积等于这两数的平方差
2．字母表示(a+b)(a－b)=a2－b2
3．平方差公式的结构特征及运用：
公式左边是两个二项式的乘积，并且这两个二项式中，有一项完全相同，另一项互为相反数.例如：(2x+3)(2x－3)，(－4a+3b)(－4a－3b)等可利用平方差公式，而像(x+y)(－x－y)，(x2+y)(x－y)等就不能利用平方差公式.
4．平方差公式的变式：
(1)位置变化：如(a+b)(－b+a)利用加法交换律可以转化为公式的标准型；
(2)符号变化：如(－a－b)(a－b)；
(3)系数变化：如(3a+5b)(3a－5b)；
(4)指数变化：如(a3+b2)(a3－b2)；
(5)增项变化：如(a+b+c)( a－b+c)；
(6)增因式变化：如(a+b)( a－b) (a2+b2) (a4+b4).
【经典例题】
【例1】计算.
（1）（m-）（m+）； （2）（-2y2-3x）（3x-2y2）； （3）（x+3）（x2+9）（x-3）.
【例2】如图，边长为a的正方形中剪去一个边长为b的小正方形，剩下部分正好拼成一个等腰梯形，利用这两幅图形面积，能验证怎样的数学公式？（ ）
A． B．
C． D．
【例3】．利用乘法公式计算：
（1） （2）
【例4】观察下面的解题过程，然后化简：
（2+1）（22+1）（24+1）
＝（2﹣1）（2+1）（22+1）（24+1）
＝（22﹣1）（22+1）（24+1）
＝（24﹣1）（24+1）
＝28﹣1
化简：（3+1）（32+1）（34+1）（38+1）＝ ．
【基础训练】
1．计算 的值为（ ）
A． B． C． D．
2．下列不能用平方差公式计算的是（ ）
A． B．
C． D．
3．从边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的正方形 如图1所示 ，然后将剩余部分拼成一个长方形 如图2所示 根据图形的变化过程，写出的一个正确的等式是（ ）
A． B．
C． D．
4．一个长方形的长为2x﹣y，宽为2x+y，则这个长方形的面积是（ ）
A．4x2﹣y2 B．4x2+y2 C．2x2﹣y2 D．2x2+y2
5．计算： ．
6．计算： ．
7．若 ，则 = .
8．若，，则 ．
9．计算： ．
10．利用乘法公式计算：5002﹣499×501．
【培优训练】
11．若 ， ，则 的值为（ ）
A．4 B．-4 C． D．
12．如果一个正整数可以表示为两个连续奇数的平方差，那么称该正整数为“和谐数”（如8，，则8，16均为“和谐数”），在不超过80的正整数中，所有的“和谐数”之和为（ ）
A．430 B．440 C．450 D．460
13．若A＝(2＋1)(22＋1)(24＋1)(28＋1)＋1，则A的末位数字是( )
A．2 B．4 C．6 D．8
14．已知是方程组的解，则的值是 ．
15．观察：（x﹣1）（x+1）＝x2﹣1，（x﹣1）（x2+x+1）＝x3﹣1，（x﹣1）（x3+x2+x+1）＝x4﹣1据此规律，当（x﹣1）（x5+x4+x3+x2+x+1）＝0时，代数式x2021﹣1＝ ．
16．已知a1= ，a2= ，a3= ，…，an= ，Sn=a1 a2…an，则S2015= .
17．观察下列等式： ， ， ， ，
请你把发现的规律用字母表示出来： ．
18．若m2=n+2022，n2=m+2022（m≠n），那么代数式m3-2mn+n3的值 ．
19．用简便方法计算：
（1）982；
（2）99×101．
20．已知a-b=30，b-c=25，且a2-c2=1650，求a+c的值.
21．计算：（结果用幂的形式表示）．
【直击中考】
22．(1+y)(1-y)=( )
A．1+y B．-1-y C．1-y D．-1+y
23．如图 ，将边长为 的大正方形剪去一个边长为 的小正方形（阴影部分），并将剩余部分沿虚线剪开，得到两个长方形，再将这两个长方形拼成图 所示长方形．这两个图能解释下列哪个等式（ ）
A． B．
C． D．
24．计算的结果等于 ．
25．已知x，y满足方程组 ，则x2-4y2的值为 。
26．已知a+b=1，则代数式a2﹣b2 +2b+9的值为 .
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浙教版2022-2023学年数学七年级下册第3章整式的乘除（解析版）
3.4乘法公式（1）
【知识重点】
1．平方差公式：两数和与这两数差的积等于这两数的平方差
2．字母表示(a+b)(a－b)=a2－b2
3．平方差公式的结构特征及运用：
公式左边是两个二项式的乘积，并且这两个二项式中，有一项完全相同，另一项互为相反数.例如：(2x+3)(2x－3)，(－4a+3b)(－4a－3b)等可利用平方差公式，而像(x+y)(－x－y)，(x2+y)(x－y)等就不能利用平方差公式.
4．平方差公式的变式：
(1)位置变化：如(a+b)(－b+a)利用加法交换律可以转化为公式的标准型；
(2)符号变化：如(－a－b)(a－b)；
(3)系数变化：如(3a+5b)(3a－5b)；
(4)指数变化：如(a3+b2)(a3－b2)；
(5)增项变化：如(a+b+c)( a－b+c)；
(6)增因式变化：如(a+b)( a－b) (a2+b2) (a4+b4).
【经典例题】
【例1】计算.
（1）（m-）（m+）；
（2）（-2y2-3x）（3x-2y2）；
（3）（x+3）（x2+9）（x-3）.
【答案】（1）解：原式=m2-
（2）解：原式=（-2y2）2-（3x）2=4y4-9x2
（3）解：原式=（x+3）（x-3）（x2+9）=（x2-9）（x2+9）=x4-81
【分析】（1）利用平方差公式，可以得出，，得出结果。
（2）利用平方差公式，可以得出，，得出结果。
（3）利用乘法交换律，先把与相乘，再利用平方差公式，可以得出结果。
【例2】如图，边长为a的正方形中剪去一个边长为b的小正方形，剩下部分正好拼成一个等腰梯形，利用这两幅图形面积，能验证怎样的数学公式？（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】∵左边阴影面积为
右边梯形面积为
∴
故答案为：A.
【分析】 由第一个图可知，S阴影部分=S大正方形-S小正方形，由第二个图可知，S梯形=（上底+下底）高，由题意可得S阴影部分=S梯形，整理即可判断求解.
【例3】利用乘法公式计算：
（1）
（2）
【答案】（1）解：==1000×998=998000
（2）解：==.
【分析】（1）利用平方差公式可将原式变形为(999+1)×(999-1)，据此计算；
（2）由于两个因式都接近整数20，故可变形为(20+)×(20-)，然后利用平方差公式进行计算.
【例4】观察下面的解题过程，然后化简：
（2+1）（22+1）（24+1）
＝（2﹣1）（2+1）（22+1）（24+1）
＝（22﹣1）（22+1）（24+1）
＝（24﹣1）（24+1）
＝28﹣1
化简：（3+1）（32+1）（34+1）（38+1）＝ ．
【答案】 （316﹣1）
【解析】 （3+1）（32+1）（34+1）（38+1）
＝（3-1）（3+1）（32+1）（34+1）（38+1）
=（32-1）（32+1）（34+1）（38+1）
=（34-1）（34+1）（38+1）
=（38-1）（38+1）
=（316-1）
故答案为：（316-1）
【分析】将原式恒等变形，使第一项和第二项能用平方差公式计算，平方差的结果正好和后一项又能运用平方差公式继续计算，这样反复计算，一直到最后一项即可。
【基础训练】
1．计算 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】（x+1）（x-1）=x2-1.
故答案为：A.
2．下列不能用平方差公式计算的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】A.，能用平方差公式计算，不符合题意；
B.，不能用平方差公式计算，符合题意；
C.，能用平方差公式计算，不符合题意；
D.，能用平方差公式计算，不符合题意．
故答案为：B．
3．从边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的正方形 如图1所示 ，然后将剩余部分拼成一个长方形 如图2所示 根据图形的变化过程，写出的一个正确的等式是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】第一个图形阴影部分的面积是 ，
第二个图形的面积是 ，
则 .
故答案为：D.
4．一个长方形的长为2x﹣y，宽为2x+y，则这个长方形的面积是（ ）
A．4x2﹣y2 B．4x2+y2 C．2x2﹣y2 D．2x2+y2
【答案】A
【解析】长方形的面积=（2x-y）（2x+y）=4x2-y2.
故答案为：A.
5．计算： ．
【答案】
【解析】 .
故答案为：.
6．计算： ．
【答案】
【解析】
故答案为：
7．若 ，则 = .
【答案】-1
【解析】∵ ，
∴ .
故答案为：-1.
8．若，，则 ．
【答案】2
【解析】∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：2．
9．计算： ．
【答案】4
【解析】原式 .
故答案为：4.
10．利用乘法公式计算：5002﹣499×501．
【答案】解：原式=5002﹣（500+1）（500﹣1）=5002﹣5002+1=1．
【培优训练】
11．若 ， ，则 的值为（ ）
A．4 B．-4 C． D．
【答案】A
【解析】 ， ，
，
联立 ，解得： ， ，
则原式 ，
故答案为：A.
12．如果一个正整数可以表示为两个连续奇数的平方差，那么称该正整数为“和谐数”（如8，，则8，16均为“和谐数”），在不超过80的正整数中，所有的“和谐数”之和为（ ）
A．430 B．440 C．450 D．460
【答案】B
【解析】∵212 192＝（21＋19）（21 19）＝80，
∴在不超过80的正整数中，所有的“和谐数”之和为：
（ 12＋32）＋（ 32＋52）＋（ 52＋72）＋……＋（ 192＋212）
＝212 12
＝（21＋1）（21 1）
＝22×20
＝440，
故答案为：B.
13．若A＝(2＋1)(22＋1)(24＋1)(28＋1)＋1，则A的末位数字是( )
A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】C
【解析】∵A=(2＋1)(22＋1)(24＋1)(28＋1)＋1，
∴A＝(2－1)(2＋1)(22＋1)(24＋1)(28＋1)＋1，
＝(22－1)(22＋1)(24＋1)(28＋1)＋1，
＝(24－1)(24＋1)(28＋1)＋1，
＝(28－1)(28＋1)＋1，
＝216－1＋1，
＝216.
∵21=2，22=4，23=8，24=16，25=32，
∴末位数字以4为周期，
∴16=4×4，
∴216的末位数字是6，
∴原式末位数字是6.
故答案为：C.
14．已知是方程组的解，则的值是 ．
【答案】6
【解析】∵是方程组的解，
∴即，
∴==2×3=6，
故答案为：6．
15．观察：（x﹣1）（x+1）＝x2﹣1，（x﹣1）（x2+x+1）＝x3﹣1，（x﹣1）（x3+x2+x+1）＝x4﹣1据此规律，当（x﹣1）（x5+x4+x3+x2+x+1）＝0时，代数式x2021﹣1＝ ．
【答案】0或-2
【解析】∵=0
∴
∴
①
②
故答案为：0或-2.
16．已知a1= ，a2= ，a3= ，…，an= ，Sn=a1 a2…an，则S2015= .
【答案】
【解析】
…
故答案为：
17．观察下列等式： ， ， ， ，
请你把发现的规律用字母表示出来： ．
【答案】
【解析】 ， ；
；
同理 ， ； ，
；
．
故答案为： ．
18．若m2=n+2022，n2=m+2022（m≠n），那么代数式m3-2mn+n3的值 ．
【答案】-2022
【解析】∵m2=n+2022，n2=m+2022（m≠n），
∴m2-n2=（m+n）（m-n）=n-m，
∴m+n=-1，
又∵m3=mn+2022m，n3=mn+2022n，
∴m3+n3=mn+2022m+mn+2022n=2mn+2022（m+n），
∴m3+n3-2mn=2022（m+n）=2022×（-1）=-2022.
故答案为：-2022.
19．用简便方法计算：
（1）982；
（2）99×101．
【答案】（1）解：原式=982﹣22+4=（98+2）（98-2）+4=9600+4=9604．
（2）解：原式=（100﹣1）×（100+1）=1002﹣1=10000﹣1=9999．
20．已知a-b=30，b-c=25，且a2-c2=1650，求a+c的值.
【答案】解：由a-b=30，b-c=25，可得a-c=55；因为a2-c2=（a+c）（a-c）=1650，
所以a+c=1650÷（a-c）=1650÷55=30.
21．计算：（结果用幂的形式表示）．
【答案】解：原式
．
【直击中考】
22．（2020·杭州）(1+y)(1-y)=( )
A．1+y B．-1-y C．1-y D．-1+y
【答案】C
【解析】由平方差公式可得：(1+y)(1-y)=1-y .
故答案为：C
23．（2020·郴州）如图 ，将边长为 的大正方形剪去一个边长为 的小正方形（阴影部分），并将剩余部分沿虚线剪开，得到两个长方形，再将这两个长方形拼成图 所示长方形．这两个图能解释下列哪个等式（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】第一个图形空白部分的面积是x2-1，
第二个图形的面积是（x+1）（x-1）．
则x2-1=（x+1）（x-1）．
故答案为：B．
24．（2022·天津）计算的结果等于 ．
【答案】18
【解析】，
故答案为：18．
25．（2018·宁波）已知x，y满足方程组 ，则x2-4y2的值为 。
【答案】-15
【解析】原式=（x+2y）(x-2y）
= -3×5
=-15，
故答案为：-15.
26．（2022·广安）已知a+b=1，则代数式a2﹣b2 +2b+9的值为 .
【答案】10
【解析】a2﹣b2 +2b+9
故答案为：10.
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