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浙教版2022-2023学年数学七年级下册第3章整式的乘除（解析版）
3.3多项式的乘法（2）
【知识重点】
1．多项式相乘法则：
多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.
2．会进行单项式的乘法,单项式与多项式的乘法,多项式的乘法计算；掌握整式的加、减、乘、乘方的较简单的混合运算.
【经典例题】
【例1】观察下列多项式的乘法计算：
①（x+3）（x+4）=x2+7x+12；②（x+3）（x﹣4）=x2﹣x﹣12；
③（x﹣3）（x+4）=x2+x﹣12；④（x﹣3）（x﹣4）=x2﹣7x+12
根据你发现的规律，若（x+p）（x+q）=x2﹣8x+15，则p+q的值为（ ）
A．﹣8 B．﹣2 C．2 D．8
【答案】A
【解析】（x+p）（x+q）=x2﹣8x+15，
p+q=﹣8，故答案为：A．
【分析】由材料中的信息可知（x+p）（x+q）=x2﹣8x+15，p+q=﹣8。
【例2】一个长方体的长、宽、高分别是（3x-4）米，（2x+1）米和（x-1）米，则这个长方体的体积是 .
【答案】（6x3-11x2+x+4）立方米
【解析】 长方体的体积=（3x-4）（2x+1）（x-1）
= （6x3-11x2+x+4）立方米 .
故答案为：（6x3-11x2+x+4）立方米 .
【分析】根据长方体的公式列出代数式，再进行多项式乘多项式的计算，即可解答.
【例3】若x2+5y2﹣4（xy﹣y﹣1）=0，且（2x+m）（x+1）的展开式中不含x的一次项，求代数式（x﹣y）m的值．
【答案】解：x2+5y2﹣4（xy﹣y﹣1）=0，整理得：x2﹣4xy+4y2+y2+4y+4=0，即（x﹣2y）2+（y+2）2=0，∴x-2y=0，y+2=0，解得：x=-4，y=﹣2，∵（2x+m）（x+1）=2x2+（m+2）x+m中不含x的一次项，∴m+2=0，即m=﹣2，则原式=．
【分析】已知等式整理后，利用完全平方公式化简，利用非负数的性质求出x与y的值，再利用多项式乘以多项式法则化简（2x+m）（x+1），求出m的值，即可确定出原式的值．
【基础训练】
1．如果（x﹣2）（x+3）=x2+px+q，那么p、q的值为（ ）
A．p=5，q=6 B．p=1，q=﹣6 C．p=1，q=6 D．p=5，q=﹣6
【答案】B
【解析】∵（x﹣2）（x+3）=x2+x﹣6=x2+px+q，
∴p=1，q=﹣6，
故选B．
2．已知（x+a）（x+b）=x2﹣13x+36，则a+b=（ ）
A．-5 B．5 C．-13 D．﹣13或5
【答案】C
【解析】∵（x+a）（x+b）=x2﹣13x+36，
∴x2+（a+b）x+ab=x2﹣13x+36，
∴a+b=﹣13．
故选：C．
3．如（y+a）与（y﹣7）的乘积中不含y的一次项，则a的值为（ ）
A．7 B．﹣7 C．0 D．14
【答案】A
【解析】（y+a）（y﹣7）=y2+（a﹣7）y﹣7a，由结果不含y的一次项，得到：a﹣7=0，解得：a=7．故选：A
4．李老师做了个长方形教具，其中一边长为2a+b，另一边长为a﹣b，则该长方形的面积为（ ）
A．6a+b B．2a2﹣ab﹣b2 C．3a D．10a﹣b
【答案】B
【解析】根据题意得：（2a+b）（a﹣b）=2a2﹣2ab+ab﹣b2=2a2﹣ab﹣b2．故选B．
5．通过计算几何图形的面积可表示一些代数恒等式，如图可表示的代数恒等式是（ ）
A．（a﹣b）2=a2﹣2ab+b2 B．（a+b）2=a2+2ab+b2
C．2a（a+b）=2a2+2ab D．（a+b）（a﹣b）=a2﹣b2
【答案】C
【解析】长方形的面积等于：2a（a+b），
也等于四个小图形的面积之和：a2+a2+ab+ab=2a2+2ab，
即2a（a+b）=2a2+2ab．
故选：C．
6．如图，正方形卡片A类、B类和长方形卡片C类各若干张，如果要拼一个长为（a+3b），宽为（2a+b）的大长方形，则需要A类、B类和C类卡片的张数分别为（ ）
A．2，3，7 B．3，7，2 C．2，5，3 D．2，5，7
【答案】A
【解析】长为a+3b，宽为2a+b的长方形的面积为：
（a+3b）（2a+b）=2a2+7ab+3b2，
∵A类卡片的面积为a2，B类卡片的面积为b2，C类卡片的面积为ab，
∴需要A类卡片2张，B类卡片3张，C类卡片7张．
故答案为：A．
7．若x是不为0的有理数，已知M＝（x2+2x+1）（x2﹣2x+1），N＝（x2+x+1）（x2﹣x+1），则M与N的大小是（ ）
A．M＞N B．M＜N C．M＝N D．无法确定
【答案】B
【解析】由M＝（x2＋2x＋1）（x2 2x＋1），
＝x4 2x2＋1，
N＝（x2＋x＋1）（x2 x＋1），
＝x4＋x2＋1，
∴M N＝x4 2x2＋1 （x4＋x2＋1），
＝ 3x2，
∵x是不为0的有理数，
∴ 3x2＜0，
即M＜N.
故答案为：B.
8．如图，矩形ABCD的面积为 （用含x的代数式表示）．
【答案】x2+5x+6
【解析】根据题意得：（x+3）（x+2）=x2+5x+6，
故答案为：x2+5x+6．
9．如果（x+3）（x+a）=x2﹣2x﹣15，则a= ．
【答案】﹣5
【解析】（x+3）（x+a）=x2+（a+3）x+3a=x2﹣2x﹣15，
可得a+3=﹣2，
解得：a=﹣5．
故答案为：﹣5．
10．已知m﹣n=2，mn=﹣1，则（1+2m）（1﹣2n）的值为 ．
【答案】9
【解析】∵m﹣n=2，mn=﹣1，
∴（1+2m）（1﹣2n）
=1﹣2n+2m﹣4mn
=1+2（m﹣n）﹣4mn
=1+4+4
=9．
故答案为：9．
【培优训练】
11．已知多项式（x2﹣mx+1）（x﹣2）的积中不含x2项，则m的值是（ ）
A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2
【答案】A
【解析】（x2﹣mx+1）（x﹣2）=x3﹣（m+2）x2+（2m+1）x﹣2，由结果中不含x2项，得到：﹣（m+2）=0，解得：m=﹣2，故选A．
12．从前，古希腊一位庄园主把一块长为a米，宽为b米（）的长方形土地租给租户张老汉，第二年，他对张老汉说：“我把这块地的长增加10米，宽减少10米.维续租给你，租金不变，你也没有吃亏，你看如何？”如果这样，你觉得张老汉的租地面积会（ ）
A．变小了 B．变大了 C．没有变化 D．无法确定
【答案】A
【解析】由题意可知：原面积为ab（平方米），第二年按照庄园主的想法则面积变为（a+ 10）（b- 10） = ab- 10a + 10b-100= [ab- 10（a-b）-100]平方米，
，
，
面积变小了.
故答案为：A.
13．已知都是正数，如果（ ），那么的大小关系是（ ）
A． B． C． D．不确定
【答案】A
【解析】设 ，
则
=（m+a1）（m-a1+a2020），
=（m+a1+a2020）m，
∴M-N=（m+a1）（m+a2020）-（m+a1+a2020）m
=m2+ma1+a1a2020+ma2020-m2-ma1-ma2020
=a1a2020>0，
∴ .
故答案为：A.
14．7张如图1的长为a，宽为b（a＞b）的小长方形纸片，按图2的方式不重叠地放在矩形ABCD内，未被覆盖的部分（两个矩形）用阴影表示．设左上角与右下角的阴影部分的面积的差为S，当BC的长度变化时，按照同样的放置方式，S始终保持不变，则a，b满足（ ）
A．ab B．a＝3b C．ab D．a＝4b
【答案】B
【解析】如图，
∵AEMF，CGHN，EDGM，BFHN是矩形，
∴AF=EM=3b，HN=CG=a，AD=BC
∴AE+ED=AE+a，BC=NC+4b，
∴AE+a=NC+4b，
∴AE=NC+4b-a；
∴阴影部分的面积之差为：
S=AE·AF-NC·CG
=3bAE-aNC
=3b（NC+4b-a）-aNC
=（3b-a）NC+12b2-3ab
∵当BC的长度变化时，按照同样的放置方式，S始终保持不变，
∴3b-a=0，
∴a=3b.
故答案为：B.
15．如果要使（x+1）（x2﹣2ax+a2）的乘积中不含x2项，则a= ．
【答案】
【解析】原式=x3﹣2ax2+a2x+x2﹣2ax+a2
=x3+（1﹣2a）x2+a2x+a2，
∵乘积中不含x2项，
∴1﹣2a=0，
解得：a= ，
故答案为： ．
16．观察、归纳：
（x﹣1）（x+1）＝x2﹣1；
（x﹣1）（x2+x+1）＝x3﹣1；
（x﹣1）（x3+x2+x+1）＝x4﹣1；
…
请你根据以上等式的规律，完成下列问题：
⑴（x﹣1）（xn+…+x2+x+1）＝ ﹣1；
⑵计算：1+2+22+…+22019＝ ．
【答案】xn+1；22020﹣1
【解析】（x﹣1）（x+1）＝x2﹣1；
（x﹣1）（x2+x+1）＝x3﹣1；
（x﹣1）（x3+x2+x+1）＝x4﹣1；
…
根据以上等式的规律可得：（1）（x﹣1）（xn+…+ x2+x+1）＝xn+1﹣1；（2）原式＝（2﹣1）（1+2+22+…+22019）＝22020﹣1，
故答案为：xn+1，22020﹣1．
17．若（x2+ax+8）（x2﹣3x+b）的乘积中不含x2和x3项，求a，b的值.
【答案】解：（x2+ax+8）（x2-3x+b）
=x4-3x3+bx2+ax3-3ax2+abx+8x2-24x+8b
=x4+（-3+a）x3+（b-3a+8）x2+（ab-24）x+8b，
∵（x2+ax+8）（x2-3x+b）的乘积中不含x2和x3项，
∴-3+a=0，b-3a+8=0，
解得：a=3，b=1.
18．若3x2﹣2x+b与x2+bx﹣1的和中不存在含x的项，试求b的值，写出它们的和，并证明不论x取什么值，它的值总是正数．
【答案】解：由3x2﹣2x+b与x2+bx﹣1的和中不存在含x的项，得
（3x2﹣2x+b）+（x2+bx﹣1）=4x2+（b﹣2）x+（b﹣1），得
b﹣2=0，解得b=2；
3x2﹣2x+b与x2+bx﹣1的和是4x2+1，
由平方都是非负数，得
4x2+1≥1，
不论x取什么值，它的值总是正数
19．已知（x3+mx+n）（x2﹣3x+4）展开式中不含x3和x2项．
（1）求m、n的值；
（2）当m、n取第（1）小题的值时，求（m+n）（m2﹣mn+n2）的值．
【答案】解：（x3+mx+n）（x2﹣3x+4）
=x5﹣3x4+（m+4）x3+（n﹣3m）x2+（4m﹣3n）x+4n，
根据展开式中不含x2和x3项得：，
解得：．
即m=﹣4，n=﹣12；
（2）∵（m+n）（m2﹣mn+n2）
=m3﹣m2n+mn2+m2n﹣mn2+n3
=m3+n3，
当m=﹣4，n=﹣12时，
原式=（﹣4）3+（﹣12）3=﹣64﹣1728=﹣1792．
20．已知多项式 与另一个多项式 的乘积为多项式 ．
（1）若 为关于 的一次多项式 ， 为关于 的二次二项式，求 的值；
（2）若 为 ，求 的值．
【答案】（1）解：根据题意可知：
B=（x+3）（x+a）=x2+（a+3）x+3a，
∵ 为关于 的一次多项式 ，
∴a≠0，
∴3a≠0，
又B为关于x的二次二项式，
∴B中x的一次项系数为0，
∴a+3=0，解得a=-3
（2）解：设A为x2+tx+2，
则（x+3）（x2+tx+2）=x3+（t+3）x2+（2+3t）x+6=x3+px2+qx+6，
∴ ，
∴3p-q=3（t+3）-（3t+2）=7；
21．当我们利用2种不同的方法计算同一图形的面积时，可以得到一个等式．例如，由图1，可得等式：（a+2b）（a+b）=a2+3ab+2b2．
（1）由图2，可得等式： ．
（2）利用（1）中所得到的结论，解决下面的问题：
已知 a+b+c=11，ab+bc+ac=38，求a2+b2+c2的值；
（3）利用图3中的纸片（足够多），画出一种拼图，使该拼图可用来验证等式：2a2+5ab+2b2=（2a+b）（a+2b）；
（4）小明用2 张边长为a 的正方形，3 张边长为b的正方形，5 张边长分别为a、b 的长方形纸片重新拼出一个长方形，那么该长方形较长的一条边长为 ．
【答案】（1）（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc
（2）解:
∵a+b+c=11，ab+bc+ac=38，
∴a2+b2+c2=（a+b+c）2﹣2（ab+ac+bc）=121﹣76=45；
（3）解:
如图所示：
（4）2a+3b
22．数形结合是一种重要的数学思想方法，利用图1中边长分别为a、b的正方形纸片和长为b、宽为a的长方形纸片，可以拼出一些图形来解释某些等式，由图2可得．
（1）由图3可以解释的等式是 ．
（2）用9张边长为a的正方形纸片，12张长为b、宽为a的长方形纸片，4张边长为b的正方形纸片拼成一个大正方形，则这个大正方形的边长为 ．
（3）用5张长为b，宽为a的长方形纸片按照图4方式不重叠地放在大长方形ABCD内，大长方形中未被覆盖的两个部分的面积设为，若BC的长变化时，的值始终保持不变，求a与b满足的等量关系．
【答案】（1）（2a+b）（a+b）=2a2+3ab+b2
（2）3a+2b
（3）解：设BC=x，S1=b（x-3a），S2=2a（x-b）
2S2-3S1=4a（x-b）-3b（x-3a）
=（4a-3b）x+5ab
当4a-3b=0时，
2S2-3S1不变，
即a与b满足的等量关系为：4a=3b．
【解析】(1)解：由图可得：（2a+b）（a+b）=2a2+3ab+b2
故答案为：（2a+b）（a+b）=2a2+3ab+b2；
(2)根据题意可得：9a2+12ab+4b2=（3a+2b）2
该大正方形的面积为（3a+2b）2，
该大正方形的边长为3a+2b；
故答案为：3a+2b；
【直击中考】
23．若（x+2）（x﹣1）=x2+mx+n，则m+n=（ ）
A．1 B．-2 C．-1 D．2
【答案】C
【解析】∵原式=x2+x﹣2=x2+mx+n，
∴m=1，n=﹣2．
∴m+n=1﹣2=﹣1．
故选：C．
24．计算（x﹣1）（x+2）的结果是 .
【答案】x2+x﹣2
【解析】（x﹣1）（x+2）
=x2+2x﹣x﹣2
=x2+x﹣2．
故答案为：x2+x﹣2．
25．（2016·百色）观察下列各式的规律：
（a﹣b）（a+b）=a2﹣b2
（a﹣b）（a2+ab+b2）=a3﹣b3
（a﹣b）（a3+a2b+ab2+b3）=a4﹣b4
…
可得到（a﹣b）（a2016+a2015b+…+ab2015+b2016）=
【答案】a2017﹣b2017
【解析】（a﹣b）（a+b）=a2﹣b2；
（a﹣b）（a2+ab+b2）=a3﹣b3；
（a﹣b）（a3+a2b+ab2+b3）=a4﹣b4；
…
可得到（a﹣b）（a2016+a2015b+…+ab2015+b2016）=a2017﹣b2017，
故答案为：a2017﹣b2017
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浙教版2022-2023学年数学七年级下册第3章整式的乘除
3.3多项式的乘法（2）
【知识重点】
1．多项式相乘法则：
多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.
2．会进行单项式的乘法,单项式与多项式的乘法,多项式的乘法计算；掌握整式的加、减、乘、乘方的较简单的混合运算.
【经典例题】
【例1】观察下列多项式的乘法计算：
①（x+3）（x+4）=x2+7x+12；②（x+3）（x﹣4）=x2﹣x﹣12；
③（x﹣3）（x+4）=x2+x﹣12；④（x﹣3）（x﹣4）=x2﹣7x+12
根据你发现的规律，若（x+p）（x+q）=x2﹣8x+15，则p+q的值为（ ）
A．﹣8 B．﹣2 C．2 D．8
【例2】一个长方体的长、宽、高分别是（3x-4）米，（2x+1）米和（x-1）米，则这个长方体的体积是 .
【例3】若x2+5y2﹣4（xy﹣y﹣1）=0，且（2x+m）（x+1）的展开式中不含x的一次项，求代数式（x﹣y）m的值．
【基础训练】
1．如果（x﹣2）（x+3）=x2+px+q，那么p、q的值为（ ）
A．p=5，q=6 B．p=1，q=﹣6 C．p=1，q=6 D．p=5，q=﹣6
2．已知（x+a）（x+b）=x2﹣13x+36，则a+b=（ ）
A．-5 B．5 C．-13 D．﹣13或5
3．如（y+a）与（y﹣7）的乘积中不含y的一次项，则a的值为（ ）
A．7 B．﹣7 C．0 D．14
4．李老师做了个长方形教具，其中一边长为2a+b，另一边长为a﹣b，则该长方形的面积为（ ）
A．6a+b B．2a2﹣ab﹣b2 C．3a D．10a﹣b
5．通过计算几何图形的面积可表示一些代数恒等式，如图可表示的代数恒等式是（ ）
A．（a﹣b）2=a2﹣2ab+b2 B．（a+b）2=a2+2ab+b2
C．2a（a+b）=2a2+2ab D．（a+b）（a﹣b）=a2﹣b2
6．如图，正方形卡片A类、B类和长方形卡片C类各若干张，如果要拼一个长为（a+3b），宽为（2a+b）的大长方形，则需要A类、B类和C类卡片的张数分别为（ ）
A．2，3，7 B．3，7，2 C．2，5，3 D．2，5，7
7．若x是不为0的有理数，已知M＝（x2+2x+1）（x2﹣2x+1），N＝（x2+x+1）（x2﹣x+1），则M与N的大小是（ ）
A．M＞N B．M＜N C．M＝N D．无法确定
8．如图，矩形ABCD的面积为 （用含x的代数式表示）．
9．如果（x+3）（x+a）=x2﹣2x﹣15，则a= ．
10．已知m﹣n=2，mn=﹣1，则（1+2m）（1﹣2n）的值为 ．
【培优训练】
11．已知多项式（x2﹣mx+1）（x﹣2）的积中不含x2项，则m的值是（ ）
A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2
12．从前，古希腊一位庄园主把一块长为a米，宽为b米（）的长方形土地租给租户张老汉，第二年，他对张老汉说：“我把这块地的长增加10米，宽减少10米.维续租给你，租金不变，你也没有吃亏，你看如何？”如果这样，你觉得张老汉的租地面积会（ ）
A．变小了 B．变大了 C．没有变化 D．无法确定
13．已知都是正数，如果（ ），那么的大小关系是（ ）
A． B． C． D．不确定
14．7张如图1的长为a，宽为b（a＞b）的小长方形纸片，按图2的方式不重叠地放在矩形ABCD内，未被覆盖的部分（两个矩形）用阴影表示．设左上角与右下角的阴影部分的面积的差为S，当BC的长度变化时，按照同样的放置方式，S始终保持不变，则a，b满足（ ）
A．ab B．a＝3b C．ab D．a＝4b
15．如果要使（x+1）（x2﹣2ax+a2）的乘积中不含x2项，则a= ．
16．观察、归纳：
（x﹣1）（x+1）＝x2﹣1；
（x﹣1）（x2+x+1）＝x3﹣1；
（x﹣1）（x3+x2+x+1）＝x4﹣1；
…
请你根据以上等式的规律，完成下列问题：
⑴（x﹣1）（xn+…+x2+x+1）＝ ﹣1；
⑵计算：1+2+22+…+22019＝ ．
17．若（x2+ax+8）（x2﹣3x+b）的乘积中不含x2和x3项，求a，b的值.
18．若3x2﹣2x+b与x2+bx﹣1的和中不存在含x的项，试求b的值，写出它们的和，并证明不论x取什么值，它的值总是正数．
19．已知（x3+mx+n）（x2﹣3x+4）展开式中不含x3和x2项．
（1）求m、n的值；
（2）当m、n取第（1）小题的值时，求（m+n）（m2﹣mn+n2）的值．
20．已知多项式 与另一个多项式 的乘积为多项式 ．
（1）若 为关于 的一次多项式 ， 为关于 的二次二项式，求 的值；
（2）若 为 ，求 的值．
21．当我们利用2种不同的方法计算同一图形的面积时，可以得到一个等式．例如，由图1，可得等式：（a+2b）（a+b）=a2+3ab+2b2．
（1）由图2，可得等式： ．
（2）利用（1）中所得到的结论，解决下面的问题：
已知 a+b+c=11，ab+bc+ac=38，求a2+b2+c2的值；
（3）利用图3中的纸片（足够多），画出一种拼图，使该拼图可用来验证等式：2a2+5ab+2b2=（2a+b）（a+2b）；
（4）小明用2 张边长为a 的正方形，3 张边长为b的正方形，5 张边长分别为a、b 的长方形纸片重新拼出一个长方形，那么该长方形较长的一条边长为 ．
22．数形结合是一种重要的数学思想方法，利用图1中边长分别为a、b的正方形纸片和长为b、宽为a的长方形纸片，可以拼出一些图形来解释某些等式，由图2可得．
（1）由图3可以解释的等式是 ．
（2）用9张边长为a的正方形纸片，12张长为b、宽为a的长方形纸片，4张边长为b的正方形纸片拼成一个大正方形，则这个大正方形的边长为 ．
（3）用5张长为b，宽为a的长方形纸片按照图4方式不重叠地放在大长方形ABCD内，大长方形中未被覆盖的两个部分的面积设为，若BC的长变化时，的值始终保持不变，求a与b满足的等量关系．
【直击中考】
23．若（x+2）（x﹣1）=x2+mx+n，则m+n=（ ）
A．1 B．-2 C．-1 D．2
24．计算（x﹣1）（x+2）的结果是 .
25．观察下列各式的规律：
（a﹣b）（a+b）=a2﹣b2
（a﹣b）（a2+ab+b2）=a3﹣b3
（a﹣b）（a3+a2b+ab2+b3）=a4﹣b4
…
可得到（a﹣b）（a2016+a2015b+…+ab2015+b2016）=
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