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浙教版2022-2023学年数学七年级下册第3章整式的乘除
3.4乘法公式（2）
【知识重点】
1．完全平方公式：
两数和的平方，等于这两数的平方和，加上这两数积的2倍.
两数差的平方，等于这两数的平方和，减去这两数积的2倍.
2．字母表示：
(1)(a+b)2=a2 +2ab+b2；(2)(a－b)2=a2－2ab+b2；(3)两个公式也可以写成(a ± b)2 = a2 ± 2ab+b2.
3．乘法公式：
平方差公式和完全平方公式也称乘法公式.
4．公式拓展：
拓展一：a2+b2=(a+b)2－2ab a2+b2=(a－b)2+2ab
拓展二：(a+b)2－(a－b)2=4ab (a+b)2+(a－b)2=2a2+2b2
(a+b)2=(a－b)2+4ab (a－b)2=(a+b)2－4ab
拓展三：a2+b2+c2= (a+b+c)2－2ab－2ac－2bc.
【经典例题】
【例1】运算：
【例2】利用完全平方公式计算.
（1）（5-a）2； （2）（-3m-4n）2； （3）（-3a+b）2
【例3】已知 ， ，分别求 和 的值.
【基础训练】
1．计算的正确结果是（ ）
A． B． C． D．
2．已知，则b的值为（ ）
A．4 B． C．12 D．
3．已知x2+2mx+9是完全平方式，则m的值为（ ）
A．1 B．3 C．﹣3 D．±3
4．设(a+3b)2=(a-3b)2+A，则A=( )
A．6ab B．12ab C．-12ab D．24ab
5．若，，则（ ）
A．-3 B．3 C．-4 D．4
6．计算 ； .
7．若m2+n2＝5，m+n＝3，则mn＝ ．
8．若，，则 .
9．若x= -1， 则x2+2x+1= .
10．计算：
11．若9x2-2（m－4）x＋16是一个完全平方式，则m的值为 ．
12.简便计算.（1）89.82 （2）2×20092-20102-20082
13．已知a+b=3，ab=2，求① ；② 的值
14．运用乘法公式计算： .
【培优训练】
15．已知a＝2 002x＋2 003，b＝2 002x＋2 004，c＝2 002x＋2 005，则多项式a2＋b2＋c2－ab－bc－ca的值为( )
A．0 B．1 C．2 D．3
16．已知（x+y）2﹣2x﹣2y+1=0，则x+y= ．
17．已知： ， ，求 的值．
18．已知 求 的值。
19．（1）已知a＋b＝2，ab＝－3，求（1）5a2＋5b2
（2）(a－b)2的值．
20．已知
（1）求 的值；
（2）求 的值；
（3）求 的值.
21．根据条件，求代数式的值：
（1）若 ， ,求 的值.
（2）若 ,求 的值.
22．若 、 满足 ， ，求下列各式的值.
（1） ；
（2） ；
（3）x-y.
23．两个不相等的实数m，n满足m2+n2＝40.
（1）若m+n＝﹣4，求mn的值；
（2）若m2﹣6m＝k，n2﹣6n＝k，求m+n和k的值.
24．已知x﹣ =3，求x2+ 和x4+ 的值．
25．阅读材料：若x2－2xy＋2y2－8y＋16＝0，求x、y的值.
解：∵x2－2xy＋2y2－8y＋16＝0，
∴（x2－2xy＋y2）＋（y2－8y＋16）＝0
∴（x－y）2＋（y－4）2＝0，
∴（x－y）2＝0，（y－4）2＝0，
∴y＝4，x＝4.
根据你的观察，探究下面的问题：
已知a、b满足a2＋b2－4a－6b＋13＝0.求a、b的值.
26．
（1）已知x＋y＝3，xy＝2．求、的值；
（2）已知x＋2y＝3，xy＝1．求的值．
27．如图是一个长为，宽为b的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成一个如图的图形．
（1）观察图形，请你写出、、之间的等量关系式；
（2）若，利用（1）中的结论，求的值；
（3）若，求的值．
28．对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式，例如图1可以得到，请解答下列问题：
（1）写出图2中所表示的数学等式 .
（2）利用（1）中得到的结论，解决下面的问题：若，求的值.
（3）小明同学用图中张边长为的正方形，张边长为的正方形张边长分别为的长方形纸片拼出一个面积为长方形，求的值.
【直击中考】
29．计算： （ ）
A． B． C． D．
30．已知（a+b）2＝49，a2+b2＝25，则ab＝（ ）
A．24 B．48 C．12 D．2
31．若m+n=10，mn=5，则的值为 ．
32．阅读材料：整体代值是数学中常用的方法.例如“已知 ，求代数式 的值.”可以这样解： .根据阅读材料，解决问题：若 是关于x的一元一次方程 的解，则代数式 的值是 .
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浙教版2022-2023学年数学七年级下册第3章整式的乘除（解析版）
3.4乘法公式（2）
【知识重点】
1．完全平方公式：
两数和的平方，等于这两数的平方和，加上这两数积的2倍.
两数差的平方，等于这两数的平方和，减去这两数积的2倍.
2．字母表示：
(1)(a+b)2=a2 +2ab+b2；(2)(a－b)2=a2－2ab+b2；(3)两个公式也可以写成(a ± b)2 = a2 ± 2ab+b2.
3．乘法公式：
平方差公式和完全平方公式也称乘法公式.
4．公式拓展：
拓展一：a2+b2=(a+b)2－2ab a2+b2=(a－b)2+2ab
拓展二：(a+b)2－(a－b)2=4ab (a+b)2+(a－b)2=2a2+2b2
(a+b)2=(a－b)2+4ab (a－b)2=(a+b)2－4ab
拓展三：a2+b2+c2= (a+b+c)2－2ab－2ac－2bc.
【经典例题】
【例1】运算：
【答案】解：
【分析】利用 进行计算即可得到答案．
【例2】利用完全平方公式计算.
（1）（5-a）2；
（2）（-3m-4n）2；
（3）（-3a+b）2
【答案】（1）解：（5-a）2=25-10a+a2
（2）解：（-3m-4n）2=9m2+24mn+16n2
（3）解：（-3a+b）2=9a2-6ab+b2
【分析】利用完全平方公式，即可求解。
【例3】已知 ， ，分别求 和 的值.
【答案】解：∵（x+y）2=16，（x-y）2=36，
∴x2+2xy+y2=16，x2-2xy+y2=36，
∴4xy=-20，2（x2+y2）=52，
∴xy＝-5，x2+y2＝26.
【分析】直接利用完全平方公式得出x2+y2=（x+y）2-2xy进而得出答案.
【基础训练】
1．计算的正确结果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】，
故答案为：C．
2．已知，则b的值为（ ）
A．4 B． C．12 D．
【答案】D
【解析】∵，
∴，
∴ ，解得或
∴b＝±12，
故答案为：D．
3．已知x2+2mx+9是完全平方式，则m的值为（ ）
A．1 B．3 C．﹣3 D．±3
【答案】D
【解析】已知x2+2mx+9是完全平方式，
m=3或m=﹣3，
故答案为：D．
4．设(a+3b)2=(a-3b)2+A，则A=( )
A．6ab B．12ab C．-12ab D．24ab
【答案】B
【解析】∵（a+3b）2=（a-3b）2+A，
∴a2+6ab+9b2=a2-6ab+9b2+A，
∴A=12ab，
故答案为：B.
5．若，，则（ ）
A．-3 B．3 C．-4 D．4
【答案】A
【解析】∵，，
∴
即4=10+2xy
xy=-3
故答案为：A
6．计算 ； .
【答案】；
【解析】 ， ，
故答案为： ； .
7．若m2+n2＝5，m+n＝3，则mn＝ ．
【答案】2
【解析】∵m＋n=3，
∴，
即：，
又∵，
∴，
∴，
故答案为：2．
8．若，，则 .
【答案】11
【解析】因为，，
则，
故答案为：11
9．若x= -1， 则x2+2x+1= .
【答案】2
【解析】∵x= -1，
∴x2+2x+1=(x+1)2=( -1+1)2=2，
故答案为：2.
10．计算：
【答案】90000
【解析】
故答案为：90000
11．若9x2-2（m－4）x＋16是一个完全平方式，则m的值为 ．
【答案】16或-8
【解析】
即
即
解得： 或
故答案为：16或-8
12．简便计算.
（1）89.82
（2）2×20092-20102-20082
【答案】（1）解：89.82=（90-0.2）2
=902-2×0.2×90+0.22
=8064.04
（2）解：设a=2009，则
原式=2a2-（a+1）2-（a-1）2
=2a2-a2-2a-1-a2+2a-1
=-2
13．已知a+b=3，ab=2，求① ；② 的值
【答案】解：∵
∴
∴
综上所述： 的值为5， 的值为3
14．运用乘法公式计算： .
【答案】解： ，
=[（2x+y）+2][（2x+y）-2]，
=（2x+y）2-4，
=4x2+4xy+y2-4.
【培优训练】
15．已知a＝2 002x＋2 003，b＝2 002x＋2 004，c＝2 002x＋2 005，则多项式a2＋b2＋c2－ab－bc－ca的值为( )
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】D
【解析】∵a=2002x+2003，b=2002x+2004，c=2002x+2005，
∴a-b=-1，b-c=-1，a-c=-2，
∴a2+b2+c2-ab-bc-ca= （2a2+2b2+2c2-2ab-2bc-2ca），
= [（a2-2ab+b2）+（b2-2bc+c2）+（a2-2ac+c2）]，
= [（a-b）2+（b-c）2+（a-c）2]，
= ×（1+1+4），
=3．
故答案为：D．
16．已知（x+y）2﹣2x﹣2y+1=0，则x+y= ．
【答案】1
【解析】∵（x+y）2﹣2x﹣2y+1=0，
∴（x+y）2﹣2（x+y）+1=0，
∴（x+y﹣1）2=0
∴x+y=1．
故答案为1．
17．已知： ， ，求 的值．
【答案】解：
整理得：
因为 ，
所以
又
所以
18．已知 求 的值。
【答案】解：∵
故答案为：34
19．（1）已知a＋b＝2，ab＝－3，求（1）5a2＋5b2
（2）(a－b)2的值．
【答案】（1）解：
将 代入得：原式 ；
（2）解：
将 代入得：原式 ．
20．已知
（1）求 的值；
（2）求 的值；
（3）求 的值.
【答案】（1）解：∵ ，
∴ ，
即： ，
又∵ ，
∴ ；
（2）解：∵ ， ，
∴ = = ；
（3）解：∵ ，
∴ .
21．根据条件，求代数式的值：
（1）若 ， ,求 的值.
（2）若 ,求 的值.
【答案】（1）解：∵ ，
∴（x+y）2=9
∴x2+2xy+y2=9
∴2xy=9-5=4
∴x2+y2-2xy=5-4=1即（x-y）2=1
∴2（x-y）2=2×1=2；
（2）解：∵ ,
∴
∴
22．若 、 满足 ， ，求下列各式的值.
（1） ；
（2） ；
（3）x-y.
【答案】（1）解：∵ ， ，
∴ ；
（2）解： ；
（3）解：∵ ，
∴
23．两个不相等的实数m，n满足m2+n2＝40.
（1）若m+n＝﹣4，求mn的值；
（2）若m2﹣6m＝k，n2﹣6n＝k，求m+n和k的值.
【答案】（1）解：∵m+n＝﹣4，
∴（m+n）2＝16，
m2+2mn+n2＝16，
∵m2+n2＝40，
∴40+2mn＝16，
∴mn＝﹣12；
（2）解：∵m2﹣6m＝k，n2﹣6n＝k，
∴m2﹣6m+n2﹣6n＝2k，
m2+n2﹣6（m+n）＝[（m+n）﹣3]2﹣2mn﹣9＝2k，
∵m2+n2＝40，
∴（m+n）2﹣2mn＝40，
∴k＝20﹣3（m+n），
∵m2﹣6m＝k，n2﹣6n＝k，
∴m2﹣6m﹣n2+6n＝0，则（m+n）（m﹣n）﹣6（m﹣n）＝0，
∵m、n不相等，
∴m+n＝6，
∴k＝2.
24．已知x﹣ =3，求x2+ 和x4+ 的值．
【答案】解：∵x﹣ =3，（x﹣ ）2=x2+ ﹣2
∴x2+ =（x﹣ ）2+2=32+2=11．
x4+ =（x2+ ）2﹣2=112﹣2=119．
25．阅读材料：若x2－2xy＋2y2－8y＋16＝0，求x、y的值.
解：∵x2－2xy＋2y2－8y＋16＝0，
∴（x2－2xy＋y2）＋（y2－8y＋16）＝0
∴（x－y）2＋（y－4）2＝0，
∴（x－y）2＝0，（y－4）2＝0，
∴y＝4，x＝4.
根据你的观察，探究下面的问题：
已知a、b满足a2＋b2－4a－6b＋13＝0.求a、b的值.
【答案】解：∵a2+b2-4a-6b+13=0
∴（a-2）2+（b-3）2=0，
∴a-2=0，b-3=0，
∴a=2，b=3.
26．
（1）已知x＋y＝3，xy＝2．求、的值；
（2）已知x＋2y＝3，xy＝1．求的值．
【答案】（1）解：x＋y＝3，xy＝2，
=5
∴=1
（2）解： x+2y=3，xy=1，
=4
27．如图是一个长为，宽为b的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成一个如图的图形．
（1）观察图形，请你写出、、之间的等量关系式；
（2）若，利用（1）中的结论，求的值；
（3）若，求的值．
【答案】（1）解：．理由如下：
观察图形知，图中大正方形的面积为：，阴影面积为：，
则图中个小长方形面积的和为：；
图中个小长方形面积的和为：；
由此得出：．
（2）解：由（1）中的结论可知，，
，
等号两边平方得，，
，
．
（3）解：∵，
设，，而
则
则 ．
即
28．对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式，例如图1可以得到，请解答下列问题：
（1）写出图2中所表示的数学等式 .
（2）利用（1）中得到的结论，解决下面的问题：若，求的值.
（3）小明同学用图中张边长为的正方形，张边长为的正方形张边长分别为的长方形纸片拼出一个面积为长方形，求的值.
【答案】（1）
（2）解：∵，
∴，
∴；
（3）解：由题可知，所拼图形的面积为：，
∵＝，
∴，
∴.
【解析】（1）由图可得，图2中所表示的数学等式是：，
故答案为：；
【直击中考】
29．（2022·兰州）计算： （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】原式=
故答案为：A.
30．（2021·台州）已知（a+b）2＝49，a2+b2＝25，则ab＝（ ）
A．24 B．48 C．12 D．2
【答案】C
【解析】∵ ， ，
∴ ，
故答案为：C.
31．（2022·滨州）若m+n=10，mn=5，则的值为 ．
【答案】90
【解析】∵，，
∴．
故答案为：90．
32．（2022·北部湾）阅读材料：整体代值是数学中常用的方法.例如“已知 ，求代数式 的值.”可以这样解： .根据阅读材料，解决问题：若 是关于x的一元一次方程 的解，则代数式 的值是 .
【答案】14
【解析】∵ 是关于x的一元一次方程 的解，
∴ ，
∴ .
故答案为：14.
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