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浙教版2022-2023学年数学七年级下册第3章整式的乘除（解析版）
3.5整式的化简
【知识重点】
1．判断运算，决定顺序：
整式的化简应遵循先乘方、再乘除、最后算加减的顺序.能用乘法公式的则运用公式.
2．能运用乘法公式的则运用公式；不能运用乘法公式的遵循整式乘法法则.
3．化简后的结果要写成最简形式，能合并同类项的一定要合并同类项.
【经典例题】
【例1】先化简，再求值：，其中
【答案】解：原式
，
当时，原式
【分析】先利用整式的混合运算化简，再将代入计算即可。
【例2】如图摆放两个正方形，它们的周长之和为24、面积之和为20，求阴影部分的面积.
【答案】解：由题意得 ，
∴ a+b=6，
∴ ，
即 ，
∴ab＝8，
∴
=6
【分析】由题意得a+b=6，a2+b2=20，根据完全平方公式可求出ab的值，由面积的和差关系即可求解.
【例3】已知x2﹣3x＝2，那么多项式x3﹣x2﹣8x+9的值是 ．
【答案】13
【解析】∵x2﹣3x＝2，
∴ x3-x2-8x+9，
=x3-3x2+2x2-8x+9
=x（x2-3x）+2x2-8x+9
=2x+2x2-8x+9
=2x2-6x+9
=2（x2-3x）+9
=2×2+9
=13.
故答案为：13.
【分析】把原式变形为x（x2-3x）+2x2-8x+9，把x2-3x=2代入化简，再变形为2（x2-3x）+9，再把x2-3x=2代入进行计算，即可得出答案.
【基础训练】
1．计算 （ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】 .
故答案为：D.
2．计算（x+3y）2-（3x+y）2的结果是（ ）
A．8x2-8y2 B．8y2-8x2 C．8（x+y）2 D．8（x-y）2
【答案】B
【解析】原式=
故答案为：B.
3．如果x2+x=3，那么代数式（x+1）（x-1）+x（x+2）的值是（ ）
A．2 B．3 C．5 D．6
【答案】C
【解析】（x+1）（x-1）+x（x+2）
=x2-1+x2+2x
=2x2+2x-1
=2（x2+x）-1
x2+x=3
∴原式=2×3-1=5.
故答案为：C.
4．如图，有A，B，C三种不同型号的卡片，每种各10张.A型卡片是边长为a的正方形，B型卡片是相邻两边长分别为a、b的长方形，C型卡片是边长为b的正方形.从中取出若干张卡片（每种卡片至少一张），把取出的这些卡片拼成一个正方形，所有符合要求的正方形的个数是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】C
【解析】∵每一种卡片10张，并且每种卡片至少取1张拼成正方形，
∴正方形的边长可以为：（a+b），（a+2b），（a+3b），（2a+b），（2a+2b），（3a+b）六种情况；
（注意每一种卡片至少用1张，至多用10张）
即：（a+b）2＝a2+2ab+b2，需要A卡片1张，B卡片2张，C卡片1张；
（a+2b）2＝a2+4ab+4b2，需要A卡片1张，B卡片4张，C卡片4张；
（a+3b）2＝a2+6ab+9b2，需要A卡片1张，B卡片6张，C卡片9张；
（2a+b）2＝4a2+4ab+b2，需要A卡片4张，B卡片4张，C卡片1张；
（2a+2b）2＝4a2+8ab+4b2，需要A卡片4张，B卡片8张，C卡片4张；
（3a+b）2＝9a2+6ab+b2，需要A卡片9张，B卡片6张，C卡片1张；
故答案为：C.
5．已知 ，则 与 的大小关系是（ ）
A． B． C． D．不能确定
【答案】A
【解析】N=2021×2023=(2022-1)(2022+1)
=20222-1<20222=M.
故答案为：A.
6．设某个长方形的长和宽分别为 和 ，周长为14，面积为10，则 ， ．
【答案】49；29
【解析】根据题意可知 ， ．
∴ ．
∵ ，
∴ ．
故答案为49，29．
将多项式x2+9添上一个x的一次项后，使它成为一个完全平方公式，请写出两种情况
【答案】解：6x和﹣6x．
8．计算：1.992-1.98×1.99+0.992=
【答案】1
【解析】1.992-1.98×1.99+0.992
=1.992-2×1.99×0.99+0.992
=(1.99-0.99)2
=1
故答案为：1
9．已知 ，那么 = 。
【答案】23
【解析】∵x+=5
∴(x+)2=x2+2+=25
∴x2+=23
故答案为：23。
10．
（1）化简求值： ，其中x＝﹣ ．
（2）小王购买了一套经济适用房，他准备将地面铺上地砖，地面结构如图所示．根据图中的数据（单位：m），解答下列问题：
①用含x、y的代数式表示厨房的面积是 m2；卧室的面积是 m2
②写出用含x、y的代数式表示这套房的总面积是多少平方米 ？
③当x=3，y=2时，求这套房的总面积是多少平方米 ？
【答案】（1）解：原式
当 时，
原式 ．
（2）解：2xy；；房屋总面积为卧室面积，卫生间面积，厨房面积，客厅面积之和， 总面积 ；当 ， 时， 总面积 ．
【解析】（2）①由图可知厨房是长方形，边长分别为x、 ，
厨房面积为 ；
卧室是长方形，边长分别为 、 ，
卧室的面积为 ；
故答案为： ， ；
【培优训练】
11．如图有两张正方形纸片A和B，图1将B放置在A内部，测得阴影部分面积为2，图2将正方形AB并列放置后构造新正方形，测得阴影部分面积为20，若将3个正方形A和2个正方形B并列放置后构造新正方形如图3，（图2，图3中正方形AB纸片均无重叠部分）则图3阴影部分面积（ ）
A．22 B．24 C．42 D．44
【答案】C
【解析】设A的边长为a，B的边长为b.
由图1可得，
S阴影=a2-b2=2;
由图2可得，
S阴影=(a+b)2-a2-b2=ab=10;
由图3,得
S阴影=(2a+b)2-3a2-2b2
=4a2+4ab+b2-3a2-2b2
=a2-b2+4ab
=2+4×10
=42.
故答案为：C.
12．已知 ，则下列三个等式：① ，② ，③ 中，正确的个数有（ ）
A． 个 B． 个 C． 个 D． 个
【答案】C
【解析】∵ ，∴ ，整理得： ，故①正确；
=± ，故②错误；
方程 两边同时除以2x得： ，整理得： ，故③正确，
故答案为：C．
13．已知2n＋212＋1（n＞0）是一个有理数的平方，则n的值为（ ）
A．7或14 B．7或22 C．14 D．14或22
【答案】B
【解析】2n是乘积二倍项时，2n＋212＋1＝212＋2 26＋1＝（26＋1）2，
此时n＝6＋1＝7，
212是乘积二倍项时，2n＋212＋1＝2n＋2 211＋1＝（211＋1）2，
此时n＝2×11＝22，
1是乘积二倍项时，2n＋212＋1＝（26）2＋2 26 2﹣7＋（2﹣7）2＝（26＋2﹣7）2，
此时n＝﹣14，
综上所述，n可以取到的数是7、22、﹣14.
故答案为：B.
14．若实数abc满足a2+b2+c2=9，代数式（a﹣b）2+（b﹣c）2+（c﹣a）2的最大值是（ ）
A．27 B．18 C．15 D．12
【答案】A
【解析】∵a2+b2+c2=（a+b+c）2﹣2ab﹣2ac﹣2bc，
∴﹣2ab﹣2ac﹣2bc=a2+b2+c2﹣（a+b+c）2①
∵（a﹣b）2+（b﹣c）2+（c﹣a）2=2a2+2b2+2c2﹣2ab﹣2ac﹣2bc；
又（a﹣b）2+（b﹣c）2+（c﹣a）2
=3a2+3b2+3c2﹣（a+b+c）2
=3（a2+b2+c2）﹣（a+b+c）2②
①代入②，得=3×9﹣（a+b+c）2=27﹣（a+b+c）2，
∵（a+b+c）2≥0，
∴其值最小为0，
故原式最大值为27．
故答案为：A．
15．计算： =
【答案】x8- x4+
【解析】原式
=
=
= x2- x2+ 2
=
=x8- x4+
16．如图，边长为 的正方形 中放置两个长和宽分别为 ， 的长方形，若长方形的周长为 ，面积为 ，则图中阴影部分面积 .
【答案】12.5
【解析】由题知， ， .
，
，
，
， ， ，
阴影部分面积
.
故答案为：12.5.
17．将多项式x2+4添上一个单项式后，使它成为完全平方公式，则这个单项式为
【答案】解：单项式为4x、﹣4x 、 ．
【解析】（x+2）2=x2+4x+4;（x-2）2=x2-4x+4;
故答案为：4x、﹣4x 、
18．已知，那么多项式x4﹣2x3﹣6x2+4x+9的值是 。
【答案】1
【解析】∵，
∴x-1=
∴（x-1）2=5
∴x2-2x+1=5
x2-2x=4
∴x2（x2-2x）=4x2
∴x4﹣2x3=4x2
∴x4﹣2x3﹣6x2+4x+9=4x2-6x2+4x+9=﹣2x2+4x+9=﹣2（x2﹣2x）+9=﹣2×4+9=1
故答案为：1
19．(m+n+p+q)
(m-n-p-q)＝（ ） 2-（ ） 2．
【答案】m；n+p+q
【解析】(m+n+p+q)(m-n-p-q)=[m+(n+p+q)][m-(n+p+q)]= m2-（n+p+q）2，
故答案为：m；n+p+q.
20．若 满足 ，则 ．
【答案】0
【解析】∵（n﹣2015）2+（2016﹣n）2＝1，
∴[（n﹣2015）+（2016﹣n）]2＝（n﹣2015）2+（2016﹣n）2+2（n﹣2015）（2016﹣n）＝1+2（n﹣2015）（2016﹣n），
∴1＝1+2（n﹣2015）（2016﹣n），
∴（n﹣2015）（2016﹣n）＝0，
故答案为：0．
21．已知，则的值等于 ．
【答案】
【解析】∵，
∴，，，
∴，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：.
22．（知识回顾）
七年级学习代数式求值时，遇到这样一类题“代数式 的值与x的取值无关，求a的值”，通常的解题方法是：把x、y看作字母，a看作系数合并同类项，因为代数式的值与x的取值无关，所以含x项的系数为0，即原式= ，所以 ，则 .
（1）（理解应用）
若关于x的多项式 的值与x的取值无关，求m值；
（2）已知 ， ，且3A+6B的值与x无关，求y的值；
（3）（能力提升）
7张如图1的小长方形，长为a，宽为b，按照图2方式不重叠地放在大长方形ABCD内，大长方形中未被覆盖的两个部分(图中阴影部分)，设右上角的面积为 ，左下角的面积为 ，当AB的长变化时， 的值始终保持不变，求a与b的等量关系.
【答案】（1）解： =2mx-3m+2m2-3x=（2m-3）x-3m+2m2，
∵若关于x的多项式 的值与x的取值无关，
∴2m-3=0，
∴m= ；
（2）解：∵ = ， ，
∴3A+6B=3（ ）+6（ ）
=
=15xy-6x-9
=（15y-6）x-9，
∵3A+6B的值与x无关，
∴15y-6=0，
∴ y= ；
（3）解：设AB=x，由图可知S1=a（x-3b），S2=2b（x-2a），
∴S1-S2=a（x-3b）-2b（x-2a）=（a-2b）x+ab，
∵当AB的长变化时，S1-S2的值始终保持不变.
∴S1-S2取值与x无关，
∴a-2b=0
∴a=2b.
【直击中考】
23．（2022·襄阳）先化简，再求值：（a+2b）2+（a+2b）（a-2b）+2a（b-a），其中a＝-，b＝+．
【答案】解：原式＝
；
a＝-，b＝+，
∴原式
24．（2022·岳阳）已知，求代数式的值.
【答案】解：
，
∵，
∴，
∴原式
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浙教版2022-2023学年数学七年级下册第3章整式的乘除
3.5整式的化简
【知识重点】
1．判断运算，决定顺序：
整式的化简应遵循先乘方、再乘除、最后算加减的顺序.能用乘法公式的则运用公式.
2．能运用乘法公式的则运用公式；不能运用乘法公式的遵循整式乘法法则.
3．化简后的结果要写成最简形式，能合并同类项的一定要合并同类项.
【经典例题】
【例1】先化简，再求值：，其中
【例2】如图摆放两个正方形，它们的周长之和为24、面积之和为20，求阴影部分的面积.
【例3】已知x2﹣3x＝2，那么多项式x3﹣x2﹣8x+9的值是 ．
【基础训练】
1．计算 （ ）
A． B．
C． D．
2．计算（x+3y）2-（3x+y）2的结果是（ ）
A．8x2-8y2 B．8y2-8x2 C．8（x+y）2 D．8（x-y）2
3．如果x2+x=3，那么代数式（x+1）（x-1）+x（x+2）的值是（ ）
A．2 B．3 C．5 D．6
4．如图，有A，B，C三种不同型号的卡片，每种各10张.A型卡片是边长为a的正方形，B型卡片是相邻两边长分别为a、b的长方形，C型卡片是边长为b的正方形.从中取出若干张卡片（每种卡片至少一张），把取出的这些卡片拼成一个正方形，所有符合要求的正方形的个数是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
5．已知 ，则 与 的大小关系是（ ）
A． B． C． D．不能确定
6．设某个长方形的长和宽分别为 和 ，周长为14，面积为10，则 ， ．
7．将多项式x2+9添上一个x的一次项后，使它成为一个完全平方公式，请写出两种情况
8．计算：1.992-1.98×1.99+0.992=
9．已知 ，那么 = 。
10．（1）化简求值： ，其中x＝﹣ ．
（2）小王购买了一套经济适用房，他准备将地面铺上地砖，地面结构如图所示．根据图中的数据（单位：m），解答下列问题：
①用含x、y的代数式表示厨房的面积是 m2；卧室的面积是 m2
②写出用含x、y的代数式表示这套房的总面积是多少平方米 ？
③当x=3，y=2时，求这套房的总面积是多少平方米 ？
【培优训练】
11．如图有两张正方形纸片A和B，图1将B放置在A内部，测得阴影部分面积为2，图2将正方形AB并列放置后构造新正方形，测得阴影部分面积为20，若将3个正方形A和2个正方形B并列放置后构造新正方形如图3，（图2，图3中正方形AB纸片均无重叠部分）则图3阴影部分面积（ ）
A．22 B．24 C．42 D．44
12．已知 ，则下列三个等式：① ，② ，③ 中，正确的个数有（ ）
A． 个 B． 个 C． 个 D． 个
13．已知2n＋212＋1（n＞0）是一个有理数的平方，则n的值为（ ）
A．7或14 B．7或22 C．14 D．14或22
14．若实数abc满足a2+b2+c2=9，代数式（a﹣b）2+（b﹣c）2+（c﹣a）2的最大值是（ ）
A．27 B．18 C．15 D．12
15．计算： =
16．如图，边长为 的正方形 中放置两个长和宽分别为 ， 的长方形，若长方形的周长为 ，面积为 ，则图中阴影部分面积 .
17．将多项式x2+4添上一个单项式后，使它成为完全平方公式，则这个单项式为 .
18．已知，那么多项式x4﹣2x3﹣6x2+4x+9的值是 。
19．(m+n+p+q)
(m-n-p-q)＝（ ） 2-（ ） 2．
20．若 满足 ，则 ．
21．已知，则的值等于 ．
22．（知识回顾）
七年级学习代数式求值时，遇到这样一类题“代数式 的值与x的取值无关，求a的值”，通常的解题方法是：把x、y看作字母，a看作系数合并同类项，因为代数式的值与x的取值无关，所以含x项的系数为0，即原式= ，所以 ，则 .
（1）（理解应用）
若关于x的多项式 的值与x的取值无关，求m值；
（2）已知 ， ，且3A+6B的值与x无关，求y的值；
（3）（能力提升）
7张如图1的小长方形，长为a，宽为b，按照图2方式不重叠地放在大长方形ABCD内，大长方形中未被覆盖的两个部分(图中阴影部分)，设右上角的面积为 ，左下角的面积为 ，当AB的长变化时， 的值始终保持不变，求a与b的等量关系.
【直击中考】
23．先化简，再求值：（a+2b）2+（a+2b）（a-2b）+2a（b-a），其中a＝-，b＝+．
24．已知，求代数式的值.
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