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浙教版2022-2023学年数学七年级下册第4章因式分解（解析版）
4.3用乘法公式分解因式（2）
【知识重点】
1．完全平方公式：
(1)文字叙述：两数的平方和，加上(或者减去)这两数的积的2倍，等于这两数和(或者差)的平方.
(2)字母表示：a2±2ab + b2 = (a ±b)2
2．能用完全平方公式分解因式的多项式的特点：
(1)要有两个符号相同的平方项和一个交叉项.
(2)交叉项要等于两个平方项底数的积的2倍.
(3)完全平方式的形式为：
①首2+2首×尾+尾2=(首+尾)2 ，②首2－2首×尾+尾2=(首－尾)2 .
(4)分解的结果是和的平方还是差的平方，取决于交叉项的符号. 当交叉项的符号是“+”时，分解结果就是和的平方. 当交叉项的符号是“－”时，分解结果就是差的平方.
【经典例题】
【例1】把多项式﹣x2﹣2x﹣1 分解因式所得的结果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】 ，
故答案为：D
【分析】将原式进行因式分解，即可得出正确答案.
【例2】因式分解
（1）
（2）；
（3）．
（4）
【答案】（1）解：
（2）解：=；
（3）解：==．
（4）解：
【解析】【分析】（1）利用完全平方公式分解即可；
（2）观察发现：含有公因式3ab，然后直接提取公因式即可；
（3）首先利用平方差公式分解，然后结合完全平方公式分解即可.
（4）先利用平方差公式，再利用完全平方公式分解即可.
【例3】分解因式：
【答案】解：
【分析】原式可变形为()2+xy+y2，然后利用完全平方公式进行分解.
【例4】计算.
.
【答案】解：原式
【分析】原式利用完全平方公式进行因式分解，再进行计算，即可得出答案.
【例5】若是一个完全平方式，则k的值为 ．
【答案】±14
【解析】由题意可得y2+ky+49=(y±7)2=y2±14y+49，
∴k=±14.
故答案为：±14.
【分析】形如“a2±2ab+b2”的式子就是完全平方式，根据完全平方式的特点可得k=±2×1×7，计算即可.
【例6】代数式 x2－6x＋25 的最小值是 ．
【答案】16
【解析】 x2－6x＋25
=(x-3)2+25-9
=(x-3)2+16，
∵(x-3)2≥0，
∴ x2－6x＋25的最小值为16.
故答案为：16.
【分析】利用完全平方式把原式化为一个完全平方式与一个常数和的形式，然后根据偶次幂的非负性求最小值即可.
【基础训练】
1．下列整式中能直接运用完全平方公式分解因式的为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】A、x2-1=（x+1）（x-1），故此选项不符合题意；
B、x2+2x+1=（x+1）2，故此选项符合题意；
C、x2+3x+2=（x+1）（x+2），故此选项不符合题意；
D、x2+y2，无法分解因式，故此选项不符合题意；
故答案为：B．
2．分解因式：（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】y2+4y+4=（y+2）2，
故答案为：B．
3．下列多项式中，是完全平方式的为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】A. = ，故符合题意
B. = ，故不符合题意
C. = ，故不符合题意
D. = ，故不符合题意
故答案为：A
4．在多项式中① x2 ＋2xy－y2；②－x2＋2xy－y 2；③x2＋xy＋y2 ；④1＋x＋ x2 中，能用完全平方公式分解因式的有（ ）
A．①② B．①④ C．①③ D．②④
【答案】D
【解析】① x2 ＋2xy－y2中平方项的符号不同，故不能用完全平方公式分解；②－x2＋2xy－y2 ，能用完全平方公式分解；③x2 ＋xy＋y2，中间项不是两底数积的2倍，故不能用完全平方公式分解；④1＋x＋ x2能用完全平方公式分解.
故答案为：D.
5．若代数式 通过变形可以写成 的形式，则m的值是（ ）
A．5 B．10 C．±5 D．±10
【答案】D
【解析】 ∵ ，
∴，
∴m=2n，n2=25，
∴m=2n=±10，
故答案为：D.
6．若4x2－2(k－1)x＋9是完全平方式，则k的值为（ ）
A．±2 B．±5 C．7或－5 D．－7或5
【答案】C
【解析】∵4x2－2(k－1)x＋9 =（2x±3）2，
4x2－2(k－1)x＋9 =4x2±12x＋9 ，
∴2(k－1)=±12，
解得k=7或-5.
故答案为：C.
7．小明在利用完全平方公式计算一个二项整式的平方时，不小心用墨水把中间一项的系数染黑了，得到正确的结果为4a2■ab+9b2，则中间一项的系数是（ ）
A．12 B．﹣12 C．12或﹣12 D．36
【答案】C
【解析】由（2a±3b）2=4a2±12ab+9b2，
∴染黑的部分为±12.
故答案为：C.
8．在括号中填上适当的数，使等式成立： ）2 .
【答案】1
【解析】 ，
故答案为：1.
9．分解因式：x2＋2x(x－3)－9＝ ；－3x2＋2x－ ＝ ．
【答案】3(x＋1)(x－3)；－ (3x－1)2_
【解析】 x2＋2x(x－3)－9
＝x2－9+2x(x-3)
=(x+3)(x-3)+2x(x-3)
=(x-3)(x+3+2x)
=(x-3)(3x+3)
=3(x+1)(x-3)；
－3x2＋2x－
=-(9x2-6x+1)
=-(x-3)2.
故答案为： 3(x＋1)(x－3) 和 － (3x－1)2 .
10．因式分解：－ x +xy－ y = .
【答案】
【解析】原式
，
故答案为： .
11．分解因式：x（x+4）+4．
【答案】解：原式＝x2+4x+4＝（x+2）2
12．利用因式分解简便运算.
（1） ，
（2）
（3） ；
（4） .
【答案】（1）解：
（2）解：原式
（3）解：原式 =1000
（4）解：原式
【培优训练】
13．将下列多项式分解因式，结果中不含有因式 的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】A、 ，不符合题意；
B、，不符合题意；
C、，符合题意
D、，不符合题意。
故答案为：C.
14．将多项式 加上一个单项式后，使它能成为一个完全平方式，下列添加单项式错误的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】A.4x2+2x+1，不是完全平方式，故此选项符合题意；
B.4x2+4x+1=（2x+1）2，是完全平方式，故此选项不符合题意；
C.4x2-4x+1=（2x-1）2，是完全平方式，故此选项不符合题意；
D.4x4+4x2+1=（2x2+1）2，是完全平方式，故此选项不符合题意；
故答案为：A．
15．已知a＋ ＝3，则a2＋ 等于（ ）
A．5 B．7 C．9 D．11
【答案】B
【解析】 = = =7．
故答案为：B．
16．小石将（2020x＋2021）2展开后得到多项式 ，小明将（2021x﹣2020）2展开后得到多项式 ，若两人计算过程无误，则a1﹣a2的值为（ ）
A．﹣1 B．﹣4041 C．4041 D．1
【答案】B
【解析】∵（2020x+2021）2展开后得到a1x2+b1x+c1；
∴a1=20202，
∵（2021x-2020）2展开后得到a2x2+b2x+c2，
∴a2=20212，
∴a1-a2=20202-20212=（2020+2021）（2020-2021）=-4041，
故答案为：B．
17．若 ，则 的值为（ ）
A．3 B．9 C．6 D．-9
【答案】B
【解析】∵x+y+3=0，
∴x+y=-3，
x(x+4y)-y(2x-y)
=x2+4xy-2xy+y2
=x2+2xy+y2
=(x+y)2
=(-3)2
=9.
故答案为：B.
18．若一个正方形的面积为 4a2+12ab+9b2（a＞0，b＞0），则这个正方形的边长为 ．
【答案】2a+3b
【解析】∵ 正方形的面积为 4a2+12ab+9b2
∴4a2+12ab+9b2=（2a+3b）2，
∴这个正方形的边长为2a+3b.
故答案为：2a+3b.
19．将多项式x2+4加上一个单项式，使它成为完全平方式，这个单项式可能是 (写出一个即可)
【答案】4x或
【解析】∵（x+2）2=x2+4x+4，
∴ 多项式x2+4加上一个单项式，使它成为完全平方式，这个单项式可能是4x.
故答案为：4x.
20．若4次3项式m4+4m2+A是一个完全平方式，则A= .
【答案】4或±4m
【解析】①∵m4＝(m2)2，4m2＝2×2m2，
∴A＝22＝4.
②∵m4＝(m2)2，4m2＝(2m)2，
∴A＝±2·m2·2m＝±4m3.
综上A＝4或±4m3.
故答案为：4或±4m3.
21．计算： ．
【答案】
【解析】，
，
，
，
，
，
，
故答案是：．
22．(x2+y2)2﹣4x2y2．
【答案】解：（x2+y2）2﹣4x2y2=(x2+y2﹣2xy)(x2+y2+2xy)=(x﹣y)2(x+y)2
23．阅读以下材料，并按要求完成相应的任务．
在初中数学课本中重点介绍了提公因式法和运用公式法两种因式分解的方法，其中运用公式法即运用平方差公式：a2-b2=（a+b）（a-b）和完全平方公式：a2±2ab+b2=（a±b）2进行分解因式，能运用完全平方公式分解因式的多项式必须是三项式，其中有两项能写成两个数（或式）的平方和的形式，另一项是这两个数（或式）的积的2倍．当一个二次三项式不能直接运用完全平方公式分解因式时，可应用下面方法分解因式，先将多项式ax2+bx+c（a≠0）变形为a（x+m）2+n的形式，我们把这样的变形方法叫做多项式ax2+bx+c的配方法．再运用多项式的配方法及平方差公式能对一些多项式进行分解因式．
例如：x2+8x+7
=x2+8x+16-16+7
=（x+4）2-9
=（x+4+3）（x+4-3）
=（x+7）（x+1）
根据以上材料，完成相应的任务：
（1）利用“多项式的配方法”将x2+2x-3化成a（x+m）2+n的形式为 ；
（2）请你利用上述方法因式分解：
①x2+6x+8；
②x2-6x-7．
【答案】（1）
（2）解：①
=
=
=
=
②
=
=
=
=
【解析】（1） = = ；
24．阅读理解：
对于二次三项式 ，能直接用公式法进行因式分解，得到 ，但对于二次三项式 ，就不能直接用公式法了.
我们可以求用这样的方法：在二次三项式 中先加上一项 ，使其成为完全平方式，再减去 这项，使整个式了的值不变，于是：
像这样把二次三项式分解因式的方法叫做添(拆)项法.
（1）问题解决：请用上述方法将二次三项式x2＋2ax—3a2分解因式；
（2）拓展应用：二次三项式x2-4x＋5有最小值或最大值吗？如果有，请你求出来并说明理由.
【答案】（1）解：
（2）解：有最小值.理由如下：
，
∴二次三项式 有最小值，最小值为1
【直击中考】
25．（2022·河池）多项式因式分解的结果是（ ）
A．x（x﹣4）+4 B．（x+2）（x﹣2）
C．（x+2）2 D．（x﹣2）2
【答案】D
【解析】.
故答案为：D.
26．（2021·贺州）多项式 因式分解为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
故答案为：A.
27．（2022·包头）已知实数a，b满足，则代数式的最小值等于（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
【答案】A
【解析】∵b-a=1，
∴b=a+1，
∴a2+2b-6a+7
=a2+2(a+1)-6a+7
=a2-4a+9
=(a-2)2+5，
∵(a-2)2≥0，
∴当a=2时，代数式a2+2b-6a+7有最小值，最小值为5，
故答案为：A．
28．（2019·温州）分解因式： ＝ ．
【答案】（m+2）2
【解析】
29．（2016·台州）因式分解：x2﹣6x+9= ．
【答案】（x﹣3）2
【解析】x2﹣6x+9=（x﹣3）2．
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浙教版2022-2023学年数学七年级下册第4章因式分解
4.3用乘法公式分解因式（2）
【知识重点】
1．完全平方公式：
(1)文字叙述：两数的平方和，加上(或者减去)这两数的积的2倍，等于这两数和(或者差)的平方.
(2)字母表示：a2±2ab + b2 = (a ±b)2
2．能用完全平方公式分解因式的多项式的特点：
(1)要有两个符号相同的平方项和一个交叉项.
(2)交叉项要等于两个平方项底数的积的2倍.
(3)完全平方式的形式为：
①首2+2首×尾+尾2=(首+尾)2 ，②首2－2首×尾+尾2=(首－尾)2 .
(4)分解的结果是和的平方还是差的平方，取决于交叉项的符号. 当交叉项的符号是“+”时，分解结果就是和的平方. 当交叉项的符号是“－”时，分解结果就是差的平方.
【经典例题】
【例1】把多项式﹣x2﹣2x﹣1 分解因式所得的结果是（ ）
A． B． C． D．
【例2】因式分解
（1） （2）
（3） （4）
【例3】分解因式：
【例4】计算.
.
【例5】若是一个完全平方式，则k的值为 ．
【例6】代数式 x2－6x＋25 的最小值是 ．
【基础训练】
1．下列整式中能直接运用完全平方公式分解因式的为（ ）
A． B． C． D．
2．分解因式：（ ）
A． B． C． D．
3．下列多项式中，是完全平方式的为（ ）
A． B． C． D．
4．在多项式中① x2 ＋2xy－y2；②－x2＋2xy－y 2；③x2＋xy＋y2 ；④1＋x＋ x2 中，能用完全平方公式分解因式的有（ ）
A．①② B．①④ C．①③ D．②④
5．若代数式 通过变形可以写成 的形式，则m的值是（ ）
A．5 B．10 C．±5 D．±10
6．若4x2－2(k－1)x＋9是完全平方式，则k的值为（ ）
A．±2 B．±5 C．7或－5 D．－7或5
7．小明在利用完全平方公式计算一个二项整式的平方时，不小心用墨水把中间一项的系数染黑了，得到正确的结果为4a2■ab+9b2，则中间一项的系数是（ ）
A．12 B．﹣12 C．12或﹣12 D．36
8．在括号中填上适当的数，使等式成立： ）2 .
9．分解因式：x2＋2x(x－3)－9＝ ；－3x2＋2x－ ＝ ．
10．因式分解：－ x2 +xy－ y2 = .
11．分解因式：x（x+4）+4．
12．利用因式分解简便运算.
（1） ， （2）
（3） ； （4） .
【培优训练】
13．将下列多项式分解因式，结果中不含有因式 的是（ ）
A． B．
C． D．
14．将多项式 加上一个单项式后，使它能成为一个完全平方式，下列添加单项式错误的是（ ）
A． B． C． D．
15．已知a＋ ＝3，则a2＋ 等于（ ）
A．5 B．7 C．9 D．11
16．小石将（2020x＋2021）2展开后得到多项式 ，小明将（2021x﹣2020）2展开后得到多项式 ，若两人计算过程无误，则a1﹣a2的值为（ ）
A．﹣1 B．﹣4041 C．4041 D．1
17．若 ，则 的值为（ ）
A．3 B．9 C．6 D．-9
18．若一个正方形的面积为 4a2+12ab+9b2（a＞0，b＞0），则这个正方形的边长为 ．
19．将多项式x2+4加上一个单项式，使它成为完全平方式，这个单项式可能是 (写出一个即可)
20．若4次3项式m4+4m2+A是一个完全平方式，则A= .
21．计算： ．
22．(x2+y2)2﹣4x2y2．
23．阅读以下材料，并按要求完成相应的任务．
在初中数学课本中重点介绍了提公因式法和运用公式法两种因式分解的方法，其中运用公式法即运用平方差公式：a2-b2=（a+b）（a-b）和完全平方公式：a2±2ab+b2=（a±b）2进行分解因式，能运用完全平方公式分解因式的多项式必须是三项式，其中有两项能写成两个数（或式）的平方和的形式，另一项是这两个数（或式）的积的2倍．当一个二次三项式不能直接运用完全平方公式分解因式时，可应用下面方法分解因式，先将多项式ax2+bx+c（a≠0）变形为a（x+m）2+n的形式，我们把这样的变形方法叫做多项式ax2+bx+c的配方法．再运用多项式的配方法及平方差公式能对一些多项式进行分解因式．
例如：x2+8x+7
=x2+8x+16-16+7
=（x+4）2-9
=（x+4+3）（x+4-3）
=（x+7）（x+1）
根据以上材料，完成相应的任务：
（1）利用“多项式的配方法”将x2+2x-3化成a（x+m）2+n的形式为 ；
（2）请你利用上述方法因式分解：
①x2+6x+8；
②x2-6x-7．
24．阅读理解：
对于二次三项式 ，能直接用公式法进行因式分解，得到 ，但对于二次三项式 ，就不能直接用公式法了.
我们可以求用这样的方法：在二次三项式 中先加上一项 ，使其成为完全平方式，再减去 这项，使整个式了的值不变，于是：
像这样把二次三项式分解因式的方法叫做添(拆)项法.
（1）问题解决：请用上述方法将二次三项式x2＋2ax—3a2分解因式；
（2）拓展应用：二次三项式x2-4x＋5有最小值或最大值吗？如果有，请你求出来并说明理由.
【直击中考】
25．多项式因式分解的结果是（ ）
A．x（x﹣4）+4 B．（x+2）（x﹣2）
C．（x+2）2 D．（x﹣2）2
26．多项式 因式分解为（ ）
A． B． C． D．
27．已知实数a，b满足，则代数式的最小值等于（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
28．分解因式： ＝ ．
29．因式分解：x2﹣6x+9= ．
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