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浙教版2022-2023学年数学七年级下册第4章因式分解（解析版）
4.2提取公因式
【知识重点】
1．提取公因式法：
(1)定义：一个多项式中每一项都含有的相同的因式，叫做这个多项式各项的公因式.把公因式提取出来进行因式分解，这种分解因式的方法叫做提取公因式法.
(2)字母表示：ma+bm+cm=m(a+b+c).
2．提取公因式法的一般步骤：
(1)确定应提取的公因式；
(2)用公因式去除这个多项式，所得的商作为另一个因式；
(3)把多项式写成这两个因式的积的形式.
提取公因式后，应使多项式余下的各项不再含有公因式.
3．注意：(1)首相为前面为负号时：如果多项式是第一项系数是负数时，应把公因式的符号“－”提取，提出“－”号时，多项式的各项都要变号；
(2)系数公因式的取法：取多项式各项系数的最大公约数为公因数的系数；
(3)字母公因式的取法：把多项式各项都含有的相同字母(或因式)的最低次幂的积作为公因式的因式；
(4)合并化简：有的分解因式后多项式因式中有同类项的还要进行合并化简；
(5)分解要彻底：还有的提取公因式后能用其他方法继续分解.
4．口诀：找准公因式，一次要提净；全家都搬走，留1把家守；提负要变号，变形看奇偶.
5．添括号法则：
括号前面是“+”号，括到括号里的各项都不变号；括号前面是“－”号，括到括号里的各项都变号.
【经典例题】
【例1】多项式的公因式是 ．
【答案】
【解析】多项式 的公因式是 ，
故答案为： ．
【分析】根据公因式的定义求解即可。
【例2】分解因式： ．
【答案】
【解析】 ，
故答案为： ．
【分析】提取公因式3x即可得到答案。
【例3】因式分解：
【答案】原式=2（x+y）[3（x+y）﹣（x﹣y）]
=2（x+y）（2x+4y）
=4（x+y）（x+2y）
【分析】首先提公因式2（x+y），再整理括号里面的3（x+y）﹣（x﹣y），再提公因式2即可．
【例4】已知 ，求 的值.
【答案】解：由 得 ，
∴=9
【分析】根据题意得出x2+x=-1，再把原式变形为-2（x2+x）+7，然后代入进行计算，即可得出答案.
【例5】用简便方法计算： .
【答案】解：原式
【分析】先提取公因式2017，进行因式分解，再整理计算即可求值.
【基础训练】
1．下列添括号正确的是( )
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】，故此选项不合题意；
B.，故此选项不合题意；
C.，故此选项符合题意；
D.，故此选项不合题意；
故答案为：C.
2．把多项式-4a3+4a2-16a分解因式（ ）
A．-a（4a2-4a+16） B．a（-4a2+4a-16）
C．-4（a3-a2+4a） D．-4a（a2-a+4）
【答案】D
【解析】把多项式-4a3+4a2-16a运用提取公因式法因式分解，可得-4a3+4a2-16a=-4a（a2-a+4）.
故答案为：D.
3．代数式 的公因式是( )
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】∵ 都含有字母a、b和因式(a-b)，且字母a、b和因式(a-b)的最低次数分别为2，1和1，
∴该多项式的公因式为 .
故答案为：C.
4．要使式子 成立，则“( )"内应填的式子是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】 .
故答案为：D.
5．因式分解：ｍ2－5ｍ＝ ．
【答案】m（m-5）
【解析】m2-5m=m（m-5）.
故答案为：m（m-5）.
6．多项式4a3bc+8a2b2c2各项的公因式是 .
【答案】4a2bc
【解析】多项式4a3bc+8a2b2c2的各项公因式是4a2bc.
故答案为：4a2bc.
7．已知a+b＝5，ab＝﹣3，则﹣2a2b﹣2ab2＝ ．
【答案】30
【解析】 ﹣2a2b﹣2ab2 =-2ab(a+b)
∵a+b=5ab=-3
∴原式=-2x(-3)x5=30.
故答案为：30
8．若 ，则 ， .
【答案】ab；a2
【解析】
=
∴，M=ab，
∴N= a3b÷ ab=a2.
故答案为：ab，a2.
9．（﹣2）2014+（﹣2）2015= ．
【答案】﹣22014
【解析】（﹣2）2014+（﹣2）2015=（﹣2）2014（1﹣2）=﹣22014．
故答案为：﹣22014．
10．分解因式.
（1） ；
（2） ；
（3） ；
（4） .
【答案】（1）解：原式=m(m-3)
（2）解：原式
（3）解：原式
（4）解：原式
【培优训练】
11．把提取公因式后，则另一个因式是（ ）
A． B． C．m D．
【答案】A
【解析】【解答】，
∴另一个因式为（1-m），
故答案为：A．
12．已知 可因式分解成 ，其中a，b，c均为整数，则 （ ）
A．-12 B．-32 C．38 D．72
【答案】A
【解析】原式=（13x-17）（19x-31-11x+23）=（13x-17）（8x-8），
∴原式可因式分解为（ax+b）（8x+c），
∴8x+c=8x-8，ax+b=13x-17，
∴c=-8，a=13，b=-17，
∴a+b+c=13-17-8=-12.
故答案为：A.
13．已知 ，则代数式 ab的值为（ ）
A．-15 B．-2 C．-6 D．6
【答案】C
【解析】∵a-b=3，b+c=-5，
∴a-b＋b＋c=3-5，
即a+c=-2，
故答案为：C.
14．因式分解4（a﹣b）2﹣8a+8b的结果是 .
【答案】4（a﹣b）（a﹣b﹣2）
【解析】原式＝4（a﹣b）2﹣（8a﹣8b），
＝4（a﹣b） （a﹣b）﹣4（a﹣b）×2，
＝4（a﹣b）（a﹣b﹣2），
故答案为：4（a﹣b）（a﹣b﹣2）
15．简便计算：
（1） .
（2） .
【答案】（1）3.98
（2）-2014
【解析】（1）
=3.98-1.99×0.01+1.99×0.01
=3.98.
（2）
=
=
=
=-2014.
16．多项式18xn+1﹣24xn的公因式是 ．
【答案】6xn
【解析】18xn+1﹣24xn
=3×6 xn x﹣4×6 xn
=6xn（3x﹣4）．
多项式18xn+1﹣24xn的公因式是6xn．
故答案是：6xn．
17．若（17x-11）（7x-3）-（7x-3）（9x-2）=（ax+b）（8x-c），其中a，b，c是整数，则a+b+c的值等于 ．
【答案】13
【解析】（17x﹣11）（7x﹣3）﹣（7x﹣3）（9x﹣2）=（7x﹣3）[（17x﹣11）﹣（9x﹣2）]
=（7x﹣3）（8x﹣9）
∵（17x﹣11）（7x﹣3）﹣（7x﹣3）（9x﹣2）=（ax+b）（8x﹣c），可因式分解成（7x﹣3）（8x﹣9），∴a=7，b=﹣3，c=9，∴a+b+c=7﹣3+9=13．
故答案为13．
18．用简便方法计算.
（1） ；
（2） ；
（3） ；
（4） .
【答案】（1）解：
（2）解：
（3）解：原式
（4）解：
19．观察下列式子的因式分解做法：
①x2-1=(x-1)(x+1)；
②x3﹣1
=x3﹣x+x﹣1
=x（x2﹣1）+x﹣1
=x（x﹣1）（x+1）+（x﹣1）
=（x﹣1）[x（x+1）+1]
=（x﹣1）（x2+x+1）；
③x4﹣1
=x4﹣x+x﹣1
=x（x3﹣1）+x﹣1
=x（x﹣1）（x2+x+1）+（x﹣1）
=（x﹣1）[x（x2+x+1）+1]
=（x﹣1）（x3+x2+x+1）；
…
（1）模仿以上做法，尝试对x5﹣1进行因式分解；
（2）观察以上结果，猜想xn﹣1= ；（n为正整数，直接写结果，不用验证）
（3）根据以上结论，试求45+44+43+42+4+1的值．
【答案】（1）解：x5﹣1
=x5﹣x+x﹣1
=x（x4﹣1）+x﹣1
=x（x﹣1）（x3+x2+x+1）+（x﹣1）
=（x﹣1）[x（x3+x2+x+1）+1]
=（x﹣1）（x4+x3+x2+x+1）；
（2）（x﹣1）（xn﹣1+xn﹣2+…+x2+x+1）
（3）解：45+44+43+42+4+1
= ×（4﹣1）（45+44+43+42+4+1）
= ×（46﹣1）
= ．
【解析】(2)xn﹣1
=xn﹣x+x﹣1
=x（xn-1﹣1）+x﹣1
=x（x﹣1）（xn-2+xn-3+…+x+1）+（x﹣1）
=（x﹣1）[x（xn-2+xn-3+…+x+1）+1]
=（x﹣1）（xn﹣1+xn﹣2+…+x2+x+1）；
20．在求代数式的值时，当单个字母不能或不用求出时，可把已条件作为一个整体，通过整体代入，实现降次、消元、归零、约分等，快速求得其结果．如：已知 ， ，求代数式 的值．可以这样思考：
因为 ，
所以
即
所以
举一反三：
（1）已知 ， ，求 的值．
（2）已知 ，则 的值．
（3）已知 ，求 的值．
【答案】（1）解：因为（a-b）2=12, （a+b）2=18
所以（a+b）2-（a-b）2＝28-12
所以a2+b2+2ab-(a2+b2-2ab)＝16
即4ab=16
ab=4
（2）解：因为 所以 所以
所以 所以 所以 所以
所以
（3）解：因为 ，所以
＝
＝
＝
＝
＝
＝
＝
＝-1+2019
＝2018
【直击中考】
21．（2022·丽水）分解因式：a2﹣2a＝ ．
【答案】a（a-2）
【解析】 a2﹣2a＝a（a-2）.
故答案为： a（a-2）.
22．（2021·台州）因式分解：xy﹣y2＝ .
【答案】y(x-y)
【解析】原式= y(x-y)，
故答案是：y(x-y).
23．（2021·宁波）分解因式： .
【答案】x(x-3)
【解析】直接提公因式x即可，即原式=x(x-3).
24．（2018·杭州）因式分解：
【答案】
【解析】原式=（b-a）（b-a）-（b-a）=（b-a）（b-a-1）
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4.2提取公因式
【知识重点】
1．提取公因式法：
(1)定义：一个多项式中每一项都含有的相同的因式，叫做这个多项式各项的公因式.把公因式提取出来进行因式分解，这种分解因式的方法叫做提取公因式法.
(2)字母表示：ma+bm+cm=m(a+b+c).
2．提取公因式法的一般步骤：
(1)确定应提取的公因式；
(2)用公因式去除这个多项式，所得的商作为另一个因式；
(3)把多项式写成这两个因式的积的形式.
提取公因式后，应使多项式余下的各项不再含有公因式.
3．注意：(1)首相为前面为负号时：如果多项式是第一项系数是负数时，应把公因式的符号“－”提取，提出“－”号时，多项式的各项都要变号；
(2)系数公因式的取法：取多项式各项系数的最大公约数为公因数的系数；
(3)字母公因式的取法：把多项式各项都含有的相同字母(或因式)的最低次幂的积作为公因式的因式；
(4)合并化简：有的分解因式后多项式因式中有同类项的还要进行合并化简；
(5)分解要彻底：还有的提取公因式后能用其他方法继续分解.
4．口诀：找准公因式，一次要提净；全家都搬走，留1把家守；提负要变号，变形看奇偶.
5．添括号法则：
括号前面是“+”号，括到括号里的各项都不变号；括号前面是“－”号，括到括号里的各项都变号.
【经典例题】
【例1】多项式的公因式是 ．
【例2】分解因式： ．
【例3】因式分解：
【例4】已知 ，求 的值.
【例5】用简便方法计算： .
【基础训练】
1．下列添括号正确的是( )
A． B．
C． D．
2．把多项式-4a3+4a2-16a分解因式（ ）
A．-a（4a2-4a+16） B．a（-4a2+4a-16）
C．-4（a3-a2+4a） D．-4a（a2-a+4）
3．代数式 的公因式是( )
A． B．
C． D．
4．要使式子 成立，则“( )"内应填的式子是（ ）
A． B． C． D．
5．因式分解：ｍ2－5ｍ＝ ．
6．多项式4a3bc+8a2b2c2各项的公因式是 .
7．已知a+b＝5，ab＝﹣3，则﹣2a2b﹣2ab2＝ ．
8．若 ，则 ， .
9．（﹣2）2014+（﹣2）2015= ．
10．分解因式.
（1） ； （2） ；
（3） ； （4） .
【培优训练】
11．把提取公因式后，则另一个因式是（ ）
A． B． C．m D．
12．已知 可因式分解成 ，其中a，b，c均为整数，则 （ ）
A．-12 B．-32 C．38 D．72
13．已知 ，则代数式 ab的值为（ ）
A．-15 B．-2 C．-6 D．6
14．因式分解4（a﹣b）2﹣8a+8b的结果是 .
15．简便计算：
（1） .
（2） .
16．多项式18xn+1﹣24xn的公因式是 ．
17．若（17x-11）（7x-3）-（7x-3）（9x-2）=（ax+b）（8x-c），其中a，b，c是整数，则a+b+c的值等于 ．
18．用简便方法计算.
（1） ； （2） ；
（3） ； （4） .
19．观察下列式子的因式分解做法：
①x2-1=(x-1)(x+1)；
②x3﹣1
=x3﹣x+x﹣1
=x（x2﹣1）+x﹣1
=x（x﹣1）（x+1）+（x﹣1）
=（x﹣1）[x（x+1）+1]
=（x﹣1）（x2+x+1）；
③x4﹣1
=x4﹣x+x﹣1
=x（x3﹣1）+x﹣1
=x（x﹣1）（x2+x+1）+（x﹣1）
=（x﹣1）[x（x2+x+1）+1]
=（x﹣1）（x3+x2+x+1）；
…
（1）模仿以上做法，尝试对x5﹣1进行因式分解；
（2）观察以上结果，猜想xn﹣1= ；（n为正整数，直接写结果，不用验证）
（3）根据以上结论，试求45+44+43+42+4+1的值．
20．在求代数式的值时，当单个字母不能或不用求出时，可把已条件作为一个整体，通过整体代入，实现降次、消元、归零、约分等，快速求得其结果．如：已知 ， ，求代数式 的值．可以这样思考：
因为 ，
所以
即
所以
举一反三：
（1）已知 ， ，求 的值．
（2）已知 ，则 的值．
（3）已知 ，求 的值．
【直击中考】
21．分解因式：a2﹣2a＝ ．
22．因式分解：xy﹣y2＝ .
23．分解因式： .
24．因式分解：
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