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浙教版2022-2023学年数学七年级下册第4章因式分解
4.3用乘法公式分解因式（1）
【知识重点】
1．平方差公式:
(1)文字叙述：两个数的平方差等于这两个数的和与这两个数的差的积.
(2)字母表示：a2－b2=(a+b)(a－b)
利用公式把一个多项式分解因式的方法，叫做公式法，公式中的a、b可以是数，也可以是整式(单项式、多项式).
2．能用平方差公式分解因式的多项式的特点：
(1)只有两项(或两个整体)；
(2)两项都能用完全平方表示，即：字母的指数是偶数，系数是完全平方数或写成它的算术平方根的完全平方)；
(3) 两项符号相反(一项为正，一项为负).
【经典例题】
【例1】下列多项式能用平方差公式分解因式的是( )
A． B． C． D．
【例2】分解因式
（1）4x2﹣ ； （2）4m2﹣1；
【例3】把下列各式分解因式.
（1） ； （2） ；
（3） ； （4） .
【基础训练】
1．因式分解：a2﹣4＝（ ）
A．（a﹣2）（a+2） B．（2﹣a）（2÷a）
C．（a﹣2）2 D．（a﹣2）（﹣a+2）
2．下列二项式中,能用平方差公式分解因式的是( )
A．a2+4b2 B．-4b2+a2 C．-a2-4b2 D．a3-4b2
3．把多项式4a2﹣1分解因式，结果正确的是（ ）
A．（4a+1）（4a﹣1） B．（2a+1）（2a﹣1）
C．（2a﹣1）2 D．（2a+1）2
4．将（a﹣1）2﹣1分解因式，结果正确的是（ ）
A．a（a﹣1） B．a（a﹣2）
C．（a﹣2）（a﹣1） D．（a﹣2）（a+1）
5．因式分解a2b﹣b的正确结果是（ ）
A．b（a+1）（a﹣1） B．a（b+1）（b﹣1）
C．b（a2﹣1） D．b（a﹣1）2
6．20163-2016不是下列哪个数的倍数 ( )
A． 2018 B．2017 C．2016 D．2015
7．分解因式：x2﹣4= ．
8．若x2﹣9=（x﹣3）（x+a），则a=
9．分解因式： ．
10．用简便方法计算.
（1） ； （2） ； （3） .
11．已知 和 满足方程组 求代数式 的值.
12．如图，在一块半径为R的圆形板材上，冲去半径为r的四个小圆，小刚测得R=6.8cm，r=1.6
cm，他想知道剩余阴影部分的面积，你能利用所学过的因式分解的方法帮助小刚计算吗？请
写出求解的过程（π取3）．
【培优训练】
13．把多项式y4-81分解因式，结果是（ ）
A．（y2+9）（y+3）（y-3） B．（y+3）2（y-3）
C．（y-3）4 D．（y2+9）（y2-9）
14．257﹣512能被下列四个数①12；②15；③24；④60整除的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
15．小明在抄分解因式的题目时，不小心漏抄了x的指数，他只知道该数为不大于10的正整数，并且能利用平方差公式分解因式，他抄在作业本上的式子是x□﹣4y2（“□”表示漏抄的指数），则这个指数可能的结果共有（ ）
A．2种 B．3种 C．4种 D．5种
16．把 分解因式，其结果为( )
A．( )( ） B． ( )
C． D． ( )
17．若n为任意正整数,(n+11)2-n2的值总可以被k整除,则k等于( )
A．11 B．22 C．11或22 D．11的倍数
18．因式分解： .
19．已知长方形的面积为，如果它的一边长为，则它的周长为 （结果应化简）．
20．已知x2﹣4y2=20，x+2y=5，求x，y的值．
21．因式分解： x4-1.
22．把下列各式因式分解
（1）； （2）.
【直击中考】
23．因式分解： =（ ）
A． B．
C． D．
24．分解因式：m2－1＝ ．
25．分解因式：m2-n2= ．
26．分解因式： .
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浙教版2022-2023学年数学七年级下册第4章因式分解（解析版）
4.3用乘法公式分解因式（1）
【知识重点】
1．平方差公式:
(1)文字叙述：两个数的平方差等于这两个数的和与这两个数的差的积.
(2)字母表示：a2－b2=(a+b)(a－b)
利用公式把一个多项式分解因式的方法，叫做公式法，公式中的a、b可以是数，也可以是整式(单项式、多项式).
2．能用平方差公式分解因式的多项式的特点：
(1)只有两项(或两个整体)；
(2)两项都能用完全平方表示，即：字母的指数是偶数，系数是完全平方数或写成它的算术平方根的完全平方)；
(3) 两项符号相反(一项为正，一项为负).
【经典例题】
【例1】下列多项式能用平方差公式分解因式的是( )
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】、，两项的符号相同，无法分解因式，不合题意；
B、，两项的符号相同，无法分解因式，不合题意；
C、，两项的符号相同，无法分解因式，不合题意；
D、，符合题意.
故答案为：D.
【分析】能用平方差公式分解因式的二项式满足：①两项的符号相反，②每一项都能写成一个整式的完全平方，据此一一判断得出答案.
【例2】分解因式
（1）4x2﹣ ； （2）4m2﹣1；
【答案】（1）解：4x2﹣
=（2x﹣ ）（2x+ ）
（2）解：4m2﹣1
＝（2m﹣1）（2m+1）；
【分析】利用平方差公式进行因式分解：a2-b2=（a-b)(a+b);
【例3】把下列各式分解因式.
（1） ；
（2） ；
（3） ；
（4） .
【答案】（1）解：原式=
；
（2）解：原式=
；
（3）解：原式 ；
（4）解：原式
【分析】(1)先把原式化成 ，然后利用平方差公式分解因式即可；
(2)先把原式化成 ，然后利用平方差公式分解因式，再对每个因式再进行化简即可得出结果；
(3)先进行整式的混合运算将原式化简，再利用平方差公式分解因式即可；
(4)利用平方差公式分解因式，再对每个因式再进行化简即可得出结果.
【基础训练】
1．因式分解：a2﹣4＝（ ）
A．（a﹣2）（a+2） B．（2﹣a）（2÷a）
C．（a﹣2）2 D．（a﹣2）（﹣a+2）
【答案】A
【解析】a2﹣4＝（a+2）（a﹣2）.
故答案为：A.
2．下列二项式中,能用平方差公式分解因式的是( )
A．a2+4b2 B．-4b2+a2 C．-a2-4b2 D．a3-4b2
【答案】B
【解析】A、a2+4b2，两项符号相同，不能分解，故A不符合题意；
B、-a2+4b2=4b2-a2=（2b+a）（2b-a），故B符合题意；
C、-a2-4b2=-（a2+4b2），两项符号相同，不能分解因式，故C不符合题意；
D、a3-4b2，不符合平方差公式的结构特点，不能分解，故D不符合题意。
3．把多项式4a2﹣1分解因式，结果正确的是（ ）
A．（4a+1）（4a﹣1） B．（2a+1）（2a﹣1）
C．（2a﹣1）2 D．（2a+1）2
【答案】B
【解析】4a2﹣1＝（2a+1）（2a﹣1）。
故答案为：B。
4．将（a﹣1）2﹣1分解因式，结果正确的是（ ）
A．a（a﹣1） B．a（a﹣2）
C．（a﹣2）（a﹣1） D．（a﹣2）（a+1）
【答案】B
【解析】原式=（a﹣1+1）（a﹣1﹣1）
=a（a﹣2）．
故答案为：B．
5．因式分解a2b﹣b的正确结果是（ ）
A．b（a+1）（a﹣1） B．a（b+1）（b﹣1）
C．b（a2﹣1） D．b（a﹣1）2
【答案】A
【解析】a2b﹣b
=b（a2﹣1）
=b（a+1）（a﹣1）．
故答案为：A．
6．20163-2016不是下列哪个数的倍数 ( )
A． 2018 B．2017 C．2016 D．2015
【答案】A
【解析】∵20163-2016
=2016（20162-1）
=2016（2016+1）（2016-1）
=201620172015
∴20163-2016能被2016、2017、2015整除，因此它不是2018的倍数。
故答案为：A
7．分解因式：x2﹣4= ．
【答案】（x+2）（x﹣2）
【解析】x2﹣4=（x+2）（x﹣2）．
故答案为：（x+2）（x﹣2）．
8．若x2﹣9=（x﹣3）（x+a），则a=
【答案】3
【解析】∵x2﹣9=（x+3）（x﹣3）=（x﹣3）（x+a），
∴a=3．
故答案为：3．
9．分解因式： ．
【答案】
【解析】
故答案为：．
10．用简便方法计算.
（1） ；
（2） ；
（3） .
【答案】（1）解：
（2）解： .
（3）解： =
=(7.2+7.8)×(7.2-7.8)=-15×0.6=-9.
11．已知 和 满足方程组 求代数式 的值.
【答案】解：由②，得 ，
12．如图，在一块半径为R的圆形板材上，冲去半径为r的四个小圆，小刚测得R=6.8cm，r=1.6
cm，他想知道剩余阴影部分的面积，你能利用所学过的因式分解的方法帮助小刚计算吗？请
写出求解的过程（π取3）．
【答案】解：阴影部分面积=πR2﹣4πr2
=π（R2﹣4r2）
=π（R﹣2r）（R+2r）
=3×﹙6.8+2×1.6﹚×﹙6.8﹣2×1.6﹚
=108．
【培优训练】
13．把多项式y4-81分解因式，结果是（ ）
A．（y2+9）（y+3）（y-3） B．（y+3）2（y-3）
C．（y-3）4 D．（y2+9）（y2-9）
【答案】A
【解析】
y4-81 = （
y2）2-92 =（y2+9）（y2-9） =（y2+9）（y+3）（y-3）
故答案为：A.
14．257﹣512能被下列四个数①12；②15；③24；④60整除的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【解析】∵原式=512（52﹣1）=24×512=120×511．
∴257﹣512能被①12；②15；③24；④60整除．
故答案为：D．
15．小明在抄分解因式的题目时，不小心漏抄了x的指数，他只知道该数为不大于10的正整数，并且能利用平方差公式分解因式，他抄在作业本上的式子是x□﹣4y2（“□”表示漏抄的指数），则这个指数可能的结果共有（ ）
A．2种 B．3种 C．4种 D．5种
【答案】D
【解析】该指数可能是2、4、6、8、10五个数．
故答案为：D．
16．把 分解因式，其结果为( )
A．( )( ） B． ( )
C． D． ( )
【答案】C
【解析】
故答案为：C.
17．若n为任意正整数,(n+11)2-n2的值总可以被k整除,则k等于( )
A．11 B．22 C．11或22 D．11的倍数
【答案】A
【解析】∵（n+11）2-n2，
=（n+11+n）（n+11-n），
=11（2n+11），
∴（n+11）2-n2的值总可以被11整除．
故答案为：A
18．因式分解： .
【答案】y（2x+3）（2x-3）
【解析】4x2y 9y
=y（4x2-9）
=y（2x+3）（2x-3）.
故答案为：y（2x+3）（2x-3）.
19．已知长方形的面积为，如果它的一边长为，则它的周长为 （结果应化简）．
【答案】
【解析】∵，长方形的一边长为a+b
∴长方形的另一边长为3（a-b）=3a-3b
∴该长方形的周长为：（3a-3b+a+b）×2=，
故答案为：.
20．已知x2﹣4y2=20，x+2y=5，求x，y的值．
【答案】解：∵x2﹣4y2=（x+2y）（x﹣2y）=20，x+2y=5，
∴5（x﹣2y）=20，
∴x﹣2y=4，
∴，
解得：．
21．因式分解： x4-1.
【答案】解：原式= =
22．把下列各式因式分解
（1）；
（2）.
【答案】（1）解：
=
=
=；
（2）解：
=
=
=
【直击中考】
23．（2021·杭州）因式分解： =（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】 ，
故答案为：A.
24．（2022·嘉兴）分解因式：m2－1＝ ．
【答案】（m+1）（m-1）
【解析】m2-1=（m+1）（m-1）.
故答案为：（m+1）（m-1）.
25．（2022·温州）分解因式：m2-n2= ．
【答案】（m+n）（m-n）
【解析】m2-n2=（m+n）（m-n）.
故答案为：（m+n）（m-n）.
26．（2021·温州）分解因式： .
【答案】2（m+3）（m-3）
【解析】
=2（m2-9）
=2（m+3）（m-3）.
故答案为：2（m+3）（m-3）.
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