“第七章 分式”分析
一、新旧教材对照
新教材 旧教材
1.分式的概念7.1①分式 2.分式有（无）意义的条件 3.分式值为零的条件 4.用分式表示简单实际问题的数量关系 8.1分式（同新教材）
1.分式的基本性质 2.分式的符号法则7.1②分式 (只有公式，没有法则文字) ①约分的概念 3.约分 ②分母、分子是单项式的约分③分母、分子是多项式的约分(不出现用十字相乘法因式分解)分母、分子是多项式的约分实际上是多项式除以多项式，是第5章“整式的乘除”的补充 ①分式的基本性质8.2分式的基本性质 ②分式的符号法则(有公式，有文字叙述)1.有概念: 约分最简分式8.3约分 2.分母、分子是单项式的约分3.分母、分子是多项式的约分(用因式分解的四种方法均可以)
分式的乘法法则7.2分式的乘除 分式的除法法则 8.4分式的乘除法（同新）8.5分式的乘方 公式 法则
1.公式、法则7.3①同分母分式的加减2.举例 1.概念:通分7.3②异分母分式的加减 公分母 2.举例 8.6同分母分式的加减法（同新） 概念:通分8.7异分母分式的加减法 公分母最简公分母8.8分式运算举例
1.概念7.4①分式方程 2.能化成一元一次方程的分式方程的解法
1.用分式方程解决实际问题7.4②分式方程 2.公式变形（无概念） 8.9公式变形（有公式变形概念）
二、目标要求
了解分式的概念，会利用分式的基本性质进行约分和通分，会进行简单的分式的加、减、乘、除运算，会解可化为一元一次方程的分式方程（方程中的分式不超过两个）。
三、教学目标
1.正确了解分式、公分母等概念，掌握分式的基本性质，并能熟练进行通分和约分。
2.掌握分式的加、减、乘、除运算法则，能进行简单的分式运算，培养学生的运算能力。
3.能进行简单的公式变形。
4.正确了解分式方程的概念，掌握可化为一元一次方程的分式方程的解法，初步了解解分式方程时可能产生增根，并掌握验根的方法。
5.通过列分式方程解实际问题，培养学生分析问题和解决问题的能力。
四、知识结构
本章的主要内容是分式的概念，分式的基本性质和分式的加、减、乘、除运算。这些内容是在学生掌握了整式的四则运算、多项式的因式分解的基础上进行的。通过与分数的对比引入分式的概念，通过与分数运算的类比学习分式的运算、分式的变形以及可化为一元一次方程的分式方程的解法。这些内容为后续的函数学习等奠定基础。
五、编写思路
分式的四则运算是本章的重点。分式的四则运算是在掌握整式的四则运算的基础上学习的，教材将分式一章安排在整式运算和因式分解之后是比较合理的。分式的四则运算是有理式恒等变形的重要内容之一。分式由分子、分母两部分组成，因此，分式的运算与整式运算相比，运算的步骤多，符号变化复杂，方法较为灵活，需要的运算能力要求也较高。这也是后续的数学学习所必备的，因此分式的四则运算是本章的难点。
使学生正确了解分式的有关概念，并能灵活应用分式的基本性质，是学好本章内容的关键。分式与分数有许多相似之处，教材也采用类比的方法，通过学生熟知的分数性质、运算法则而得到分式的性质、运算法则，这既符合知识的产生和发展的过程，又符合学生的认知规律。实际上，分式与分数只是一般与特殊的关系，教材采用类比的方法既渗透数学思想方法，又易于学生理解和掌握。延用分式方程解决实际问题与列一元一次方程解实际问题本质上是一样的，学习过程中应多通过实例学习。
六、本章编写特点
1.强调用类比数学思想引入概念、法则。
类比是根据两个或两类对象的某种属性相同或相似而作出的推论。类比的基础是比较，对两个或两类对象进行比较时，发现它们的相似或相同点。由于类比的目的在于用一个或一类对象的特点去发现另一个或另一类对象的特点，因此类比法是一种创造性思维方法。因为结论中具有前提中所没有的内容，因此有助于科学发现与发明。类比法在解决某一问题时，还具有启发思路的作用，在数学中还可成为发现新命题的方法。同样类比法也是引入新知识的好方法，它使学生对旧知识起到复习、巩固的作用，对新知识也加深了理解。
本章在编写中，无论是引入，还是性质、法则的得出，都采用了分式与分数的类比进行。例如，分式的基本性质，分式的四则运算与分数的基本性质，分数的四则运算进行类比，学生通过对分数的性质、法则的回忆，比较自然地过渡到对分式的研究。在类比过程中应该注意到进行类比的两事物间的相似性有其同一性和特定性的一面，但任何两个或两类相似的事物，一般总存在差异性的一面。从两个或两类对象的相似性出发，并不必然地能得出它们的其他属性也一定有相同或相似的结论。这一道理不必给学生讲，但完成类比后一定要证明类比的合理性。
2.渗透转化思想方法，提高学生分析问题的能力。
数学中的转化思想也是本章编写过程中的一个重要思想方法。例如，异分母分式的加减要转化成同分母分式的加减，分式方程的求解要把它转化到前面学过的一元一次方程才能实现的。这种把新问题转化为已经解决了的已知问题求解的方法应不断地向学生有意识地渗透。数学中的转化一般有两种，一种是等价转化，另一种是条件转化，转化必须满足一定的条件才有可能。在分式方程中，在方程两边同乘的整式必须不为零，否则得出的根有可能是增根。由于转化需要一定的条件，根的检验成为必要的步骤。本章的重点是分式的四则运算，分式的四则运算的本质还是“转化”，将分式问题转化为整式问题来解决。公式变形也是一种转化，这种转化具有重要的意义，在其他学科中有重要应用，对提高学生的数学能力非常重要。
3.选用贴近生活的素材，创设问题情境，提升学生的学习兴趣。
本章向学生提供了现实、有趣、富有挑战性的学习素材，所有数学知识的学习，都力求从学生实际出发，以他们熟悉或感兴趣的问题情境引入学习主题，并展开数学探究。教材提供了许多真实的问题情境，和一些学生喜爱的图片，并提供了众多有趣而富有数学含义的问题。例如，纸箱的空间利用率(P173)，什锦糖的平均价(P180、P185)，长途话费的计算(P181)等。
4.提供操作、交流的机会，培养学生的合作精神。
教材在提供学习素材的同时，依据学生已有的知识背景和活动经验，提供了大量的操作、思考与交流的机会，如设立了“想一想” “做一做” “合作学习”(P172、P175、P178、P181)“探究活动”(P180)等栏目，以便学生通过自主探索和合作交流形成新的知识，包括归纳法则、描述概念等。教材力图采用“问题情境——建立模型——解释、应用与拓展”的模式展开，对所有新知识的学习都设立了相应的情境，并以问题串的形式展开探究与交流，以使学生经历“做数学”的过程。章后的小结与目标评定以知识回顾复习和目标测试的形成出现，以帮助学生通过思考与交流，梳理所学的知识。
七、教学中应注意的问题
1.要正确理解分式的概念，使学生正确掌握分式和分数在知识上的横向联系。分式中分母必须不等于零，这是始终要注意的问题，因为分式的基本性质、通分和约分，到分式方程的验根都与此有关。
2.本章的重点是分式的四则运算，分式的运算与分数的运算有着密切的联系，但要防止分数的知识对分式学习的负迁移，教学中要特别强调分式与分数间的差异。
3.由于分式运算与整式、分数运算相比运算步骤增多，符号变化更复杂，方法也更灵活，不仅需要掌握基本知识和基本方法，而且要具有细心、耐心、不畏艰难的良好的心理素质和善于灵活应变的能力，教学设计应渗透数学的思想与方法，充分发挥学生的主体作用，培养学生良好的个性品质。
八、教学建议
P180 探究活动
这道题题目比较长，可以让学生列表，弄清背景，哪些已知，哪知未知，然后估计一下，再验证。
可以如下列表：
甲种什锦糖 乙种什锦糖
A种糖 B种糖 A种糖 B种糖
单价（元/千克）
重量（千克）
总价（元）
平均价
上述表列好后，让学生填入题目中的已知条件，
然后分步提问：①甲种什锦糖中：A种糖总价是 元；
B种糖总价是 元；
甲种糖总价是 元；
甲种糖平均价是 元。
②乙种什锦糖中：A种糖质量是 千克；
B种糖质量是 千克；
乙种糖质量是 千克；
乙种糖平均价是 元。
朝晖初中 杨爱玉
7.1 分式
教学目标
1.能判别一个代数式是分式.
2.会求分式等于0时分母应满足的条件(分子等于零，分母不等于零).
3.会用分式表示简单实际问题中的数量关系，会求分式有意义的条件(分母等于零).
重点和难点
1.本节教学的重点是分式的概念.
2.例2的问题情境较为复杂，并涉及列分式、求分式的值等多方面的问题，是本节教学的难点.
教学过程
(一) 发现新知
1.创设情境：
“代数式”家族中有下列部分“整式”成员:,请你任选其中两个，运用整式的除法运算，合成一个代数式；并与同组的伙伴交流你的成果.
2.探索交流：
(1) 议一议：你们所构造的这一些代数式：…它们有什么共同特征？(这些代数式都表示两个整式相除，且除式中含有分母，象这样的代数式叫分式).它们与整式有什么不同？(得出分式的概念)
(2) 类比分数，概括分式的概念及表达形式：
被除数÷除数＝商数 被除式÷除式＝商式
类比
整数 整数 分数 整式 整式 分式
(3) 练习：课本做一做第1题.
练习采用小组内互相提问、口答完成，通过列举具体例子，互说判别过程，鼓励学生积极参与活动.在活动的过程中强化分式的概念，并及时纠正学生可能因分数负迁移所造成的认知障碍，注意辨析分式与整式的本质区别，强调分式的分母中必须含有字母.
(二) 再探新知
1.提出问题（课本做一做第2题）：分式的分母中的字母能取任何实数吗？为什么 分式中的字母呢？
2.自主概括：引导学生通过类比分数得出：当分母的值为零时，分式就没有意义.对一般表达式，分母B不能等于零.
3.例题与练习
例1 对于分式.
(1) 当x取什么数时，分式有意义？
(2) 当x取什么数时，分式的值是零？
(3) 当x＝1时，分式的值是多少？
例1由学生在自主完成的基础上同桌交流，然后师生评述.其中第（1）题的讲解要突出从反面考虑问题以及排除法的思想方法，即先考虑问题的反面何时无意义，当，即时，分母为零，分式无意义.排除的情况，即时，分式就有意义.强调分式有意义是求分式的值的大前提，也是今后进行分式其他运算的前提.并指出分式无意义与分式的值为零的区别，以防学生混淆.
解 (1) 当分母等于零时，分式没有意义.
由，得 .
当x取除以外的任何实数时，分式有意义.
(2) 当分子等于零而分母不等于零时，分式的值是零.
由，得 .此时，.
当时，分式的值是零.
(3) 当时，.
练习：完成课本课内练习第1题：
填空：(1) 当 时，分式有意义；
(2) 当 时，分式有意义；
(3) 当 时，分式的值是零；
(4) 当 时，分式的值是零.
练习采用组内合作、组间抢答的形式开展活动，激发兴趣，并加深学生对新知识的理解，强调分数线的括号作用及分式求值必须在有意义的前提下进行，强化分子、分母的整体意识.
(三) 应用新知
例2 甲、乙两人从一条公路上某处出发，同向而行.已知甲每时行a千米，乙每时行b千米,a＞b.如果乙提前1小时出发，那么甲追上乙需要多少时间？当a=6,b=5时，求甲追上乙所需的时间.并想一想：若取a=5,b=5，你所得到的分式有意义吗？它所表示的实际意义是什么？
讲解例2时，可先复习同时出发追及问题的基本等量关系：
追上所需的时间＝追距÷甲、乙的速度差.
解释题意，指出关键是确定追距.然后由学生自主分步列出表示以下数量关系的代数式：追距、甲与乙的速度差、甲追上乙所需的时间.第2问由学生独立完成，第3问在小组内合作完成.
练习：课本课内练习第2题.
(四) 小结巩固
1.小结
(1) 请学生谈一谈：你这一节课有什么收获(知识、方法、情感)？
(2) 教师板书整理学生的回答.
2.布置作业
(1) 课本作业题(分层布置).
(2) 请你联想：尽可能多地找出你学过的与分式有关的知识内容(例如，已知三角形的面积为S，底边长为，那么底边上的高长为)，并将它写进你今天的数学小日记.
朝晖初中 杨爱玉
8.1② 分式
教学目标
1.能通过类比，得出分式的基本性质，并能用字母式子表示.
2.理解并记住分式的符号法则(补充).
3.会进行分式的约分.
重点和难点
1.本节教学的重点是理解分式的基本性质.
2.运用分式的符号法则将分式变形和约分，是本节教学的难点.
教学过程
(一) 探究分式的基本性质
1.阅读材料.分数的基本性质：分数的分子与分母都乘以(或除以)同一个不等于零的数，分数的值不变.
根据以上性质，判断下列各对式子是否相等？
(1) ； (2) ； (3) ；
(4) ； (5) ； (6) .
学生思考，讨论并回答.特别对(6)中m要讨论.当m是不等于零的数时，相等.注意提炼数学语言，突出分数基本性质：“都”“同一个”“不等于零”三个条件.
2.问题探究：下列从左到右的变形成立吗？为什么？
(1) ； (2) ； (3) ； (4) .
3.归纳结论：分式的基本性质
分式的分式与分母都乘以(或除以)同一个不等于零的整式，分式的值不变.用式子表示是： (其中M是不等于零的整式).
由学生利用类比法、归纳法得出分式的基本性质(包括分式)；教师提醒，补充，不断完善.
4.练习：
例1 判断下列从左到右的变形是否正确，并由此归纳分式的基本性质要点有哪些.
(a) ； (b) ； (c) ；
(d) ； (e) ； (f) ；
(g) .
引导学生归纳以下要点：①分子、分母同时进行乘或除；
②所乘或除的必须是同一个整式；
③所乘或除的整式应该不等于零.
(答案：(a)(c)(d)(f)正确，(b)(e)(g)错误)
(提出(b)(e)错误的原因是没有条件，但(a)(d)中隐含的条件)
(二) 探究符号法则
1.提出问题：下列式子成立吗？
(1) ； (2) ； (3) ； (4) .
(学生思考，要求他说出判断的依据. (1)(2)用分式的基本性质，分子分母同乘以-1，(3)(4)教师用类比，归纳的方法帮学生理解.由(有理数除法法则)得出).
提示：一个分式有三个符号位置，分子、分母、分式本身.
2.归纳符号法则
观察上式可看出：一个分式同时改变其中任何两个符号，分式的值不变(简记忆符号法则：一个符号任你放，两个符号同去掉).
3.讲解例题
例 不改变分式的值，使下列式子的分子与分母的最高次项的系数都是正数：
(1) ； (2) .
分析：当分子、分母为多项式时，分子或分母是一个整体，不能只变其中某项的符号，应遵循以下步骤：①找出分子、分母中次数最高的项；②当最高项系数负时，提出负号添括号，各项变号；③按分式的符号法则化去分子、分母的符号.边分析，边板书，边总结对应的步骤.
4.练习:做一做P170第2题.
(三) 约分
1.例 化简下列分式：
(1) ； (2) .
解：(1) ；
(2) .
第(2)题作如下启发：
① 观察分式，你能否找出分子、分母的公因式？
② 根据分子、分母的特征，可将分子、分母先进行怎样的变形？
③ 请按你的分析思路，尝试一下将化简.
最后提出约分的概念，帮助学生总结当分子、分母中含有多项式时的约分经验.
2.练习P171第3题(第3题反映了整式除法在不能整除的情况下，可以通过分式的约分来获得结果).
(四) 课堂小结(师生共同完成)
1.小结
(1) 分式的基本性质
(2) 运用分式基本性质进行恒等变形时的注意事项
(3) 符号法则
(4) 约分的概念
2.布置作业
朝晖初中 杨爱玉
7.4 分式方程(2)
教学目标：
1.运用分式方程的思想和方法，会列分式方程解简单的应用题.
2.会进行简单的公式变形.
3.在寻求列分式方程解应用题的过程中，培养学生发现问题、分析问题和解决问题的能力.
教学重点：列分式方程解简单的应用题.
教学难点：例3的问题涉及诸多量，数量关系较为复杂，是本节教学的难点.
教学过程：
一、创设情境，引入新知
问题：将10克糖放到40克水中，糖水中糖的质量分数为 ；若再放x克糖到糖水中，则此时糖水中糖的质量分数为 .生活经验告诉我们，后者糖的质量分数高于前者糖的质量分数。若现要使糖的质量分数提高10％，请你根据题意，列出方程，并解答.
回顾解应用题的一般步骤：1.审题；2.设元；3.列方程；4.解方程；5.检验.强调解分式方程必须检验.
二、师生互动，探究新知
例3 （见课本）
教师可从以下几个环节帮助学生探索解决问题的方法：
(1) 理解问题.本例涉及的量有：每只电子配件原成本2元，原售价未知，毛利率为25％；降低以后的成本未知，售价不变，毛利率为25％+15％.基本数量关系：.
对于毛利率的概念，虽然前面已有新接触，教师可以再解释一遍.原每只售价表面上是未知数，实际上可根据已知数据算得：2×(1+25％)=2.5元.本例所求的是每只成本降低了多少元.
(2) 根据题意，帮助学生寻找主要相等关系：25％+15％.
(3) 考虑如何设元，列方程，解方程.
在行程问题中，设速度为V，路程为S，时间为t.若已知V和t，则S= ；若已知S和t，则V= ；若已知S和V，则t= .
上述三个等式实质是同一个公式的三种变式.将一个公式变形成另一个公式叫做公式变形，利用分式方程可以把已知公式变形.
例4 (见课本)
引导学生探索：
(1) 根据题意，等式 中，哪些量可以看作已知量？哪些量看作未知量？
(2) 能否把等式 看作方程？可以看作是以什么为未知数的方程？这个方程是哪一类方程？
(3) 按常规，如何解这个方程？你有巧解的方法吗？
最后强调应把公式变形的意义突出来.
三、练习反馈，巩固新知
课内练习题1、2
四、归纳小结，梳理新知
请学生谈谈学习本节课的收获.
在交流中，师生共同梳理知识点：
(1) 列分式方程解应用题的一般步骤；
(2) 公式变形的基本思路和方法是把已知公式看作含有字母已知数的方程，从中解出所求的公式.
五、应用拓展，升华新知(时间不够，可作为课后作业)
有一项工程，甲独做刚好在规定日期完成，乙独做则要超过规定日期6天才能完成.因甲另有任务，由乙来做这项工程.为了能按规定日期完成，甲帮助乙做了4天，这样刚好如期完成任务.求规定日期是几天？
朝晖初中 李卫星“第一章三角形的初步知识”分析
本章主要内容是在初步了解三角形的基础上进一步学习三角形的一些基本性质以及尺规作图。在七年级上册第7章中，学生已经接触了图形的初步知识，体验了从现实世界中抽象出几何图形，如直线、线段、射线、角；线与线之间的数量、位置关；角与角之间的数量、位置关系等，并引入了简单的几何符号描述，为本章三角形的边、角关系的学习作好了知识上的准备，这也是为什么本册要把这章放在第一章的原因之一，在学习内容上有了更多的连续性。从这一章开始将比较深入地学习三角形的有关知识。三角形是最常见的几何图形之一，在现实生活和生产中有着非常广泛的应用，可以说三角形是学习“空间与图形”的基础。三角形的许多重要性质是研究其它几何图形的依据。例如，多边形可以分割成若干个三角形，并用三角形的知识去解决。根据三角形的性质还可以推导许多其它章节中的重要结论。三角形全等是证明线段相等 、角相等的重要工具，掌握三角形全等的判断方法，一方面培养了学生的逻辑思维能力，又为今后的进一步学习作好了准备。“尺规作图”因其应用的广泛性及在今后学习、工作中的重要性，《数学课程标准》重现了突出位置。通过对一些基本尺规作图的要求，在操作过程中，培养学生积极探索精神，培养学生的动手操作的实践能力。
1、 课标要求与教材地位
1、原《大纲》与《课标》对三角形初步知识要求的比较
《大纲》 《标准》
（1） 理解三角形有关概念 了解三角形有关概念
（内角、外角、中线、高、角平分线）
（2）了解全等三角形概念 （探索并）理解全等三角形
（3）灵活运用全等三角形的判定 探索并掌握判定三角形全等的条件
此外，《标准》还要求利用较多的生活资料丰富学生对几何图形的认识与感受，欣赏并体验几何知识在生活中的广泛应用，注重使学生经历几何建模过程与发现的探索过程，强调培养学生的几何直觉和空间观念，突出空间与图形的文化价值。对图形性质的探索也提出了更高的要求，而对证明的难度与题目数量要求降低了。由原来的证明77条左右的几何结论降为以6条基本性质证明的40条左右的结论。在积累了一定的活动经验与掌握了一定的图形性质的基础上，从几个基本的事实出发，证明一些有关三角形、四边形的基本性质，从而体会证明的必要性，理解证明的基本过程，掌握用综合法证明的格式，初步感受公理化思想。
2、教材地位：
三角形的知识在三个学段中的分布：
第一学段：1、图形的认识：③辩认三角形等图形；⑤会用三角形拼图；
第二学段：1、图形的认识：⑦认识三角形，通过观察、操作，了解三角形两边之和大于第三边，三角形的内角和是1800；⑧认识按边分按角分的各种三角形。2、测量：利用方格纸或割补等方法，探索并掌握三角形的面积公式。
第三学段：1、图形的认识（三角形）：①了解三角形有关概念（内角、外角、中线、高、角平分线），会画任意三角形的角平分线、中线和高，了解三角形的稳定性。③了解全等三角形的概念，探索并掌握两个三角全等的条件。
之后是八上年级的特殊三角形概念、性质与九上年级的相似三角形等，可以看出课标对三角形的学习要求是从第一学段对三角形的特征感觉认识到第二学段对三角形的整体观察、操作认识再到第三学段对三角形操作、实验、探索，再到简单的合理推理，体现了对几何学习的认知逻辑。
二、本章编写特点
1．利用实物原型，直观地展示图形世界中的奥妙，强调几何建模的过程与探索。
教材中涉及的概念都是从现实的背景出发，结合具体图形，给出描述性的定义，让学生根据图形去理解。如全等的概念用三对完全相同的树叶、邮票、拼图板等来引导学生，通过观察、对比、与同伴交流，得出能够重合这种全等图形的本质属性；二是从大量的实物原型，直观地展示了丰富多彩的图形世界中的奥妙。如用三角架钢梁来说明三角形的稳定性；用历史上测量河宽的办法说明三角形全等的实际应用；工厂里测内槽宽的卡钳也是运用了三角形全等的原理等。这说明了三角形的学习是来源于实践，服务于实践。通过与现实图形的结合，使学生从大量有趣的素材中，认识、体验、理解三角形的性质，全等三角形的判定方法及应用。这种把结论放到具体的情景中，联系学生的生活经验和活动经验，既增加了学生的直观感受，提高了学生的学习兴趣，也使学生更好的理解和掌握原本是比较抽象的定理，并学会初步应用。
2、实验推理并用，合理定位说理过程的要求，低起点迈小步逐步培养良好的思维习惯。
在七年级上册“图形的初步知识”一章中，学生已初步接触了几何语言。从初步接触、逐渐加深，到比较严密完整地书写出说理过程，还有很长的一个过程。几何入门教学中是一个中学阶段数学教学的难点。《数学课程标准》几何证明方面的要求有所降低，但不是完全不要。本教科书在把握分寸的基础上，采用实验与推理并用，低起点、迈小步的办法帮助学生逐步学会掌握。如用绳子来验证三角形两边之和大于第三边；用折纸来验证三角形三个内角的和等于180度；用填一个理由或一个结论的办法训练较完整说理过程，培养学生良好的思维习惯，慢慢养成说理有据的态度，尊重客观事实的精神和质问的习惯，形成说理的意识，而不是急于去追求说理的技巧速度与难度。
3、转换学习方式，强调动手操作，从操作中探性质，从说理中求逻辑。
因为本章还没有出现公理体系，因此也不能从严格意义上证明命题。学生可以通过观察、归纳、类比等方法去体验，通过说理去验证命题，这其中必然有许多必须动手操作的过程。这也为学生转换学习方式创造了条件。例如，三角形两边的和大于第三边；三角形三个内角的和等于180度；说明两个三角形全等等都是在折一折、比一比、拼一拼、做一做这些活动中得到确认，这本身也是一种探索过程。又如，画三角形三条中线、三条角平分线、三条高及探索它们的一些特征，课本是通过“合作学习”的方式进行的。事实上，画得是否准确，可以用三条线段或延长线是否交于一点来检验。这种奇妙的性质虽然目前还无法证明，但通过以后的学习，一定能使学生得到满意的答复。三角形的高的概念、画法也是一样，先动手画，再与同伴交流让学生自己发现三角形的高的特征（交于一点；锐角三角形三条高的交点在三角形的内部，直角三角形三条高的交点在直角顶点上，钝角三角形三条高的交点在三角形的外部）。在本章中，课本强调直观和操作，让学生在观察中学会分析，在操作中理解性质，在活动中发现规律，在探索中增长才干。
4、“把平面几何竖起来”，注意空间与图形内容的整合。
本章中还通过了直观非形式化的手段体现了空间与图形的整合。例如：教材P7例3中折叠椅子中算角度，教参P45的教案示例中补充的例2等地方。我们要理解与接受这是教材在逐步渗透发展学生的空间观念，使教学内容更紧密联系学生生活实际和社会发展，使学生通过直接感受去理解和把握空间关系。教师在组织例题或习题时要考虑这方面的要求体现。
二、教学建议
1、三角形是最简单、最基本的几何图形，许多图形包括曲线形都可以通过三角形去研究。三角形在日常生活和工农业生产中有着广泛的应用，学生也有一定的感性认识。教学时教师要充分体现课本的编排意图，尽量利用生活实物原型去展示，然后经过观察、联想、交流、讨论，师生共同归纳出有关三角形的一些概念、性质。对于学生容易混淆的概念，应在对比图形中使学生理解、掌握。如三角形的外角的概念，学生往往从字面上理解，认为是三角形外面的角；外角和的概念则会理解为六个角的和，教学时可在变式图形中从邻补角去认识，充分利用信息技术处理六个外角与三个外角和的关系就可以少发生错误。
2、自主探索学习在本章的体现更加突出，教师要考虑到这一点，在组织、引导、交流过程中应该作好充分准备。如三角形的内角和的探索途径；外角性质的探索途径；在锐角三角形、直角三角形、钝角三角形中画高时，从高的特征、垂足和位置（尤其是对直角三角形、钝角三角形，垂足位置在角的顶点或边的延长线上）到三条高交于一点的关系步步深入等探索时，要让学生通过操作、实验、观察、画图、计算、制作等途径，使学生积极参与实践活动，充分经历概念、性质产生的过程，并注意培养如何从学生的活动中发现、归纳这些结论，尝试用数学语言有条理的表达等方面下功夫。再如三角形全等的条件 ，除了记住SSS、SAS、ASA、AAS 这些结论外，还应该思考“具备什么条件才能使两个三角形全等？”“两边一角对应相等，角不是夹角行不行？为什么？如果不是夹角是否可对角作其它限制？”“条件还能少吗？”等问题。然后通过动手操作等活动探索，感受合作学习的快乐，体会分析问题的方法，积累数学活动的经验，激发学生探求知识的欲望，培养开拓创新的精神。
3、继续重视用几何语言有条理表达能力的基础培养。
在七年级上册第7章“图形的初步知识”中，几何语言的学习主要是描述性的，但从这一章开始初步进入推理阶段，所以在表述上有更高的要求。课本的编排分三个层次逐步加深：首先是例题中的说理从1.1节的一段论到1.2的二段论到1.3的三段论；在课内练习上也是先填一个符号，判断一些边、角的大小或关系；其次是说明三角形全等，或利用三角形全等的性质来说明线段和角相等，完成说理过程。从第四节开始都有这种类型的习题，且要求依次提高，先填一些重要或刚学过的理由，到后来基本上要求从头到尾填写理由；最后是作图题中说明道理，这一点教师在教学过程中要重视，学生练习中也应该明白为什么可以这样作图的道理。应该说推理过程的书写是一个难点，特别是新教材把原来初二第一学期的内容提前到这里来上了，以前我们认为几何学习开始是学生两极分化点，虽然标准要求降低证明的难度，减少演绎推理，但对推理过程的规范书写是必须的，在教学中教师应该注意引导学生通过推理过程的“完形填空”、教师正确的板书、课堂模仿、对合作小组其他成员的书写过程互相反问、评价、修改等活动，逐步提高，循序渐进。教师不能操之过急，避免让学生立马做比较复杂的推理表述，要防止学生对学习几何丧失信心，提前出现两极分化。
4、重视“尺规作图”技能的培养。教师可先向学生介绍有关“尺规作图”的历史背景，引起学生的兴趣，它独特的魅力曾吸引了无数的数学家及数学爱好者。学生可能对为什么要用没有刻度的直尺感到不理解，这里教师不需要更多的解释，重要的是掌握尺规作图的步骤。为了达到这一目的，教师可以分步耐心引导。开始作图时，先示范，教师一边画，一边用几何语言叙述；然后由教师叙述，学生 画；最后由学生画，并写出作法。作图可以培养学生耐心、细致、踏实的作风，养成正确作图的习惯也有利于以后对复杂图形的正确分析。教师示范切忌马虎、潦草。
5、课时及重难点：
本学期较短，本章建议采用教参建议，新课9课时，复习评价2课时，机动2课时。
三、本章教学中应注意的问题
1. 本章还不能达到对定理的严格意义上的证明，因此也不能以完整演绎推理的证明来要求学生，只需要做到合情推理，让学生借助于实验、观察、归纳、类比等方法获得数学猜想，并进一步寻求证据，给出说理过程。步步有据是为了逐步培养、训练学生几何语言的使用和逻辑思维能力，教师在这里不能操之过急，应严格控制教学要求，把重心留在培养学生“说理有据”的态度和规范的书写上，形成说理的意识和对几何结论敢于质疑的习惯。不要把传统教材中有关的几何题的难度来要求学生，增加学生的课业负担。
2、重视三角形全等在生活和生产中的应用。课本中已经展示了许多联系生活和生产实际的例题和习题，除了课本中提供的问题以外，教师还可以发动学生去发现身边存在的数学几何问题，可以以小论文、作文、或学习体会等形式来漫谈，并尝试解决与创新。
3. 对于作图题，应该区分两种不同的要求：在七年级上册第7章中已经出现的用直尺和圆规作线段等习题，只要求画出图形，说明结果，可以不写出画法，但要保留作图痕迹。本章开始，尺规作图题在无特殊说明的情况下，都要求写出作法，但不要求证明。课本将这部分内容安排在这一章，是作为全等三角形的应用来考虑的。因此写出作法后，可以要求学生能说明理由，以培养学生步步有据的较严格的逻辑思维能力。但作图题的难度控制在课标规定的要求范围内，不宜添加动态的或是轨迹方面的作图题。详见课标P38—40。
4、本章的探究题、C组题、阅读材料有一定的难度，可能部分学生有困难，教师视学生实际情况可灵活处理，或作适当提示，但不能包办代替，我个人认为虽然本学期时间相对较紧张，但让学生先自己尝试，在尝试中慢慢体会、总结、寻求出方法，以达到解题的技巧或经验，不要怕学生出错，应该让学生在尝试——错误——再尝试——再错误——再总结中获得体验与成功。例如，P4探究题的列表，老师不要轻易给出提示，让学生去列表，去排除，最后去小结方法；再如“作三角形”一节中的C组题，主要目的是让学生知道有两边和一边的对角对应相等的两三角形不一定全等。对学有余力的学生，可引导学生注意线段a的长短对所作图的影响，讨论CA与角β另一边的交点的情况。从而真正理解为什么已知两边及其中一边的对角对应相等，两个三角形不一定全等的道理。
萧山北干初中 吴国芳
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1浙江版七年级数学下第五章《整式的乘除》
教 材 分 析
本章是继七年级上册第四章《代数式》中学习了整式（代数式）及其加减运算后，初中阶段对整式的第二次的研究，是七年级上册第四章的延续和发展，它与整式加减一样是整式运算的重要内容。本章的主要内容有同底数幂的乘法和除法，幂的乘方和积的乘方，以及单项式与单项式相乘、单项式和多项式相乘、多项式和多项式相乘，单项式除以单项式、多项式除以单项式等运算，以及零指数、负整数指数幂的意义和用科学记数法表示绝对值较小的数等。
单项式与多项式、多项式与多项式的乘法等最终都转化为同底数幂的乘法进行，因此同底数幂的乘法是整式乘法的基础，所以同底数幂的运算法则和整式的乘法是本章教学的基础，整式的乘除法不仅是七年级上册代数式及整式的加减的后续学习，也是继续学习本册第六章《因式分解》和第七章《分式》，以及以后将学习的方程、函数以及其它数学知识的重要基础和工具，另外，整式的运算在生活和生产实践中也有着广泛的应用，因此是本章学习的重点；其中多项式与多项式相乘要综合运用分配律，乘法交换律以及幂的运算法则，而零指数幂和负整数指数幂的概念比较抽象，是本章教学的难点。
一、本教学内容的具体编排：
《整式的乘除》在新老两册浙江版数学教材中都有篇幅比较大的内容，而且与老教材相比，总的来说新教材在内容上的改变得不算很大。
具体的，我们可以做一个比较。
新教材七年级下册第五章《整式的乘除》：
§5.1 同底数幂的乘法（三课时）
§5.2 单项式的乘法
§5.3多项式的乘法
§5.4乘法公式（二课时）
§5.5整式的化简
§5.6同底数幂的除法（二课时）
§5.7整式的除法
§ 小结＆目标与评定
而老浙江版把初一年级下册第六章《整式的乘除》相应的内容分为三个单元：
㈠整式的乘法： ▲6.8同底数幂的乘法
▲6.9幂的乘方
▲6.10单项式的乘法
▲6.11积的乘方
▲6.12单项式乘以多项式
▲6.13多项式的乘法
▲6.14多项式乘法举例
㈡乘法公式： ▲6.15平方差公式
▲6.16运用平方差公式计算举例
▲6.17完全平方公式
▲6.18运用完全平方公式计算举例
▲6.19立方和差公式*
㈢整式的除法： ▲6.20同底数幂的除法
▲6.21单项式除以单项式
▲6.22多项式除以单项式
▲6.23多项式除以多项式*
▲6.24零指数幂和负整数指数幂
▲6.25整数范围内的运算
二、新老教材对本教学内容的编写上的区别：
1、内容的删选：
①与老教材相比：新教材在内容上，删去了立方和差、多项式除以多项式的内容（老教材中的选学内容）；
②增加了在计算器中用科学记数法表示绝对值较小的数的教学内容（在《同底数幂的除法》一课的做一做中出现）。
2、编排逻辑上的区别：
老教材在整式的乘除的内容之前有整式加减的内容，而且整式的乘除的基本排列是同底数幂的乘法→幂的乘方→单项式的乘法→积的乘方→单项式乘以多项式→多项式的乘法；而新教材中整式加减的内容在七年级上册《代数式》一章中就已经接触了简单代数式的加减运算，时间相隔较长，对学生的学习（在起始环节）可能会不如老教材得心应手，但它在处理中是同底数幂的乘法→幂的乘方→积的乘方→单项式的乘法→单项式乘以多项式→多项式的乘法，总的来说是采用幂运算→整式运算的思路，这样的安排更易于初一学生接受。
3、难度的降低：
相比于老教材，新教材在课程的基本内容上大体与老教材相似，但相应学习内容的难度却大有降低。
①新教材中的幂运算一般考虑的是整数指数幂的运算，基本不出现字母指数幂较为复杂的运算，如计算、、等，均不出现；出现的字母指数幂的情况，一般也仅限于公式的直接应用，教材P116作业题中出现的判断题（判断题相对而言，难度就降低了不少），教材P136作业题中出现的（A组）、（B组）。而且对底数是互为相反数的代数式的运算，如教材P114作业题中出现的、如教材P136作业题中出现的等，基本也是安排在B组中。
②、在多项式乘法的计算中，新教材也明显降低了要求，它仅限于一次式相乘，在乘法公式中只有平方差及和（差）的完全平方公式的应用，不仅删去了的立方和差，而且对于三项和的平方、完全立方也均不做要求，而且教材中的公式应用一般以直接应用两次公式为主，但在教材P127作业题中出现的，则需运用平方差公式4次，教材中安排的是一个C组题，是只对一部分尖子生的要求。而且在这里对于两数差的完全平方公式则采用以代替的方法得出。
③本章中整式的除法仅限于单项式除以单项式、多项式除以单项式，而且只是考虑整除的情况（其中的多项式除以单项式的实质就是分配律以及单项式除以单项式的运算）。
三、本章教材的编写特点：
（一） 将整式内容与现实世界中的数量关系相联系。
1、在章前图和章前语中提供了整式乘除运算的实际背景，并介绍了整式乘除的作用：当没有专门的测量工具时，用步测估计广场的面积，可以用整式的乘法表示出广场的面积；当月球与地球之间的距离，以及宇宙飞船的速度用科学记数法表示时，可用整式的除法法则计算宇宙飞船从地球飞向月球所需的时间。
2、每节的节前图和节前语，都介绍了整式乘除法的实际背景，由此引出整式乘除的有关内容，可说明在处理现实世界中数量之间的关系时，经常会碰到整式的乘除法。课本提供的实际问题例子涉及很广，有宇宙中行星到地球距离的计算，天安门广场的步测面积和家家都有的厨房面积的表示，还有用布料拼做靠垫时隐含的数学知识等等，可使学生扩大知识面，来源于学生熟悉的生活又高于生活。
3、重视运用整式乘除的有关内容解决实际问题。
课本在5.1节同底数幂的乘法法则学习之后，设置例2，用同底数幂的乘法计算“神威Ⅰ”计算机工作一天运算的次数。本题既是同底数幂乘法法则的运用，也以次为载体进行爱国主义情感教育。在积的乘方法则学习之后，又安排例5，用积的乘方法则计算木星的体积。在5.4节完全平方公式学习之后，设置例4，用完全平方公式先对苗圃的面积进行化简。在5.5节整式的化简学习之后安排例2，化简两家超市营业额之差。另外在每节课的作业题中，都设计了相应需用所学知识解决的实际问题。
（二） 从学生已有的知识和经验出发，引导学生探索发现整式的乘除运算规律，遵循循序渐进的认知规律。
1、同底数幂的乘法法则、幂的乘方法则、积的乘方法则以及同底数幂相除的法则和整式的除法法则都是从“数”相应的运算入手，类此，过渡到“式”的运算，从中探索、归纳“式”的运算法则，使新的运算规律自然而然地顺应到原有的知识之中，使原有知识得到扩充和发展。
2、整式的乘法运算规律的探索，从最简单的同底数幂的乘法规律的探索开始，步步深入——研究幂的乘方、积的乘方、两个单项式的乘法、单项式与多项式相乘，逐步过渡到多项式与多项式的乘法，使学生感到，每一个新规律的探索，都可以用原有的知识（幂的意义、乘法交换律、分配律）进行，只需归纳出其中的规律，使原有知识不断丰富、完善。在这里，用原有的知识探索发现新的规律，发现的新规律又是下一个新规律探索的基础，学习层次得以不断提高。整式除法的学习也是同样，从同底数幂相除运算法则的探索开始，到单项式与单项式相除，多项式除以单项式的运算规律探索，步步深入。
（三） 重视合作学习的设计，让学生在与同伴的合作、自主探究中探索、归纳整式乘除的运算法则。
在同底数幂的乘法法则、幂的乘方法则、积的乘方法则、单项式与多项式相乘法则、两数和的完全平方公式的探索，以及整式的化简、零指数幂和负整数指数幂的意义、单项式除以单项式的学习中都设计了合作学习。
（四） 重视探究活动的设计，让学生的知识和数学学习方法得到进一步应用和拓展。
1、在5.1节同底数幂的乘法法则的学习后，设计以学生熟悉和喜爱的智力玩具魔方为背景，探索大魔方体积的表示方法，体会幂的乘方的自然应用。
2、在5.2节单项式的乘法的学习后，有让学生自己设计方案估算面积的问题，通过学生自己的实践，更好地体会单项式的乘法在生活中的应用。
3、在5.5节整式的化简学习后，设计了末位数是5的两位数平凡的计算规律，进一步体会完全平方公式的应用。
4、在5.6节负整数指数幂的学习后，设计了探索用10的负整数指数幂表示0.00……01这样形式的小数，使学生从中获得经验，拓展知识。
四、本章总的教学要求：
1、了解正整数指数幂的意义和基本性质。
2、会进行简单的正整数指数幂的计算。
3、会进行简单的整式乘法的运算（其中多项式相乘仅指一次式相乘）。
4、会推导乘法公式：；，了解公式的几何背景，并能进行简单计算。
5、了解零指数幂和负整数指数幂的意义，了解整数指数范围内幂的基本性质。
6、会进行同底数幂相除的运算。
7、会用科学记数法表示绝对值较小的数（包括在计算器上表示）。
8、会进行简单的整式除法运算（仅指单项式除以单项式，多项式除以单项式）。
五、具体地来说，本章各节内容分析：
⑴§5.1 同底数幂的乘法：
第一课时，课本首先从一个国际空间研究小组站发现的第100颗行星与地球之间距离的计算引出数学运算或处理现实世界中数量之间的关系时，经常会碰到同底数幂相乘的问题，由此引导学生进行合作学习，探索同底数幂相乘的规律，得出同底数幂的乘法法则。之后，又安排第二、第三课时，让学生继续通过合作学习，进一步探索幂的乘方和积的乘方的运算法则。在这三个法则的探索过程中，对乘方意义的理解和运用是关键，其中积的乘方法则的得出还需要用到乘法交换律。此外，课本在第二课时的最后安排了探究活动，以学生熟悉和喜爱的智力玩具魔方为背景，让学生通过探索大魔方的体积（可以用幂的乘方直接求得），提高学习数学的兴趣和应用数学知识解决实际问题的能力。
教学建议：
第一课时：
1、本节课的内容相对于老教材而言，它比较“突然”，虽然学生七年级上册已学习了有理数的乘方和整式加减的运算，但间隔有些时间了，对于部分原本学得不够好的同学，就会有一定的麻烦，因此，可以根据学生的实际，把乘方的表示与意义作适当复习，回忆旧知识，为完成下面的学习提供必要的知识准备。
2、同底数幂的乘法是在学习了有理数的乘方和整式的加减之后，为了学习整式的乘法而学习的关于幂的一个基本性质（法则），是幂的性质中最基本的一个，学好了同底数幂的乘法，其他两个性质和整式乘法的学习便容易了。同底数幂乘法的熟练与正确，直接影响到整式乘法运算的速度和正确率，同底数幂的乘法法则既是有理数幂的乘法的推广又是整式乘法的重要基础，在本章的学习中具有举足轻重的地位和作用。因此在教学时，要注意导出同底数幂的乘法法则的过程，点明它的意义和学习的必要性，要给出一般的推导过程，不能只是要求学生记住结论。（学生虽然在以前经历过得出代数规律的过程，但基本上采用的是归纳的方法，他们对推导的意义和必要性会感到困惑。）
3、在公式（法则）得出后，应重视引导学生掌握公式的特点和规律，可以从底数和指数两方面加以概括，提高学生在应用中正确率，帮助学生在后几节课公式的应用中体会公式，另外也要求理解m、n是正整数的条件。
4、本节课的教学中虽然有的问题，但对于如这类的问题还不作要求。还要提醒学生不要疏忽指数为1的情况。
5、引例中出现的“光年”的名词，在本章中还有多处出现。
第二课时：
1、幂的乘方的学习是以幂的意义和同底数幂的乘法为基础，因此要学生经历从具体计算抽象出幂的乘方的过程，体会幂的乘方的运算基础。
2、在运算性质导出后，应要求学生用语言叙述这个性质，这对于学生提高数学语言的表述能力是有益的。而且同样需要让学生熟悉公式的特征，注意与同底数幂的乘法进行比较，体现出指数上的不同。
3、在“探究活动”中要给学生充分独立思考与交流的时间，让学生探索不同的方法，经历大魔方体积计算的过程，体会幂的乘方在生活中的应用，明白学习幂的乘方的必要性，另外要让学生在各自说明理由的基础上充分交流做法。
第三课时；
1、本节基本采用如前两节类似的引入，而当学生在经过了前两课的训练后， “合作学习”已具有更好的基础和思路，因此在此处的要求可以适当提高，积的乘方法则也可以让学生尝试自主推导。
2、本课的例4设置的目的是及时巩固积的乘方法则，可先让学生独立计算，发现学生在计算中的错误后进行针对性的矫正。另外，也可以有适当的提高，如可增加等的运算。
3、学生开始练习积的乘方运算时，不应鼓励他们直接套用公式，而应让学生说明每一步的理由，进一步体会乘方的意义和幂的意义，为了让学生明白算理，可以要求学生多写几步，待熟练后省略前两步。
4、设置例5（计算木星的体积）是让学生体会到法则在解决实际问题中的应用，也是幂运算法则的综合应用。
5、书本P118中课内练习的第3题，带有公式逆用的意思。
⑵§5.2 单项式的乘法：
课本从一个实际例子，一位旅行者用步长测量天安门广场的面积（带有估计的实际问题），引出单项式的乘法，并引导学生思考两个单项式相乘的运算方法和依据（两个单项式相乘的依据主要是乘法交换律和同底数幂的乘法法则），并在此基础上引导学生归纳得出单项式与单项式相乘的法则。之后又设置合作学习栏目，引导学生从一幅电脑画的画面面积的不同表示和分配律两个方面探索单项式与多项式相乘的运算规律，得出单项式与多项式相乘的法则。
在本节内容最后安排了一个设计题，该设计与本节开头的引入：用步长测量天安门广场的面积相呼应，既让学生亲自实践这种估测方法，又让学生体会，当没有合适测量工具时，可以用自己的身体进行估测。
教学建议：
1、利用课本引例创设符合生活实际（估算）的情境，带领学生从实际问题推导中探究、概括单项式乘法运算的法则，体会整式乘法运算的必要性，并能用自己的语言进行描述。为了使学生能更好地归纳出单项式乘法运算的法则，也可以适当增加几个计算，例如等，这样，不仅要求学生应用从前面的运算中得出的经验，也可以帮助他们更好地抽象出单项式乘法运算的法则。
2、在进行运算时，应要求学生明确每一步的算理，发展他们有条理的思考能力。此外，还要适当、分阶段在提供一些必要的训练，使学生能准确地进行基本的运算，并能明白每一步的算理。
3、本课从“合作学习”引入单项式×多项式的运算法则，通过实际问题（画面面积）的计算，不仅可使学生体会到单项式×多项式是解决实际问题的需要，由于两种计算方式得到的结果相等，也可为单项式×多项式运算法则提供事实依据。并让学生在解释中认识其中的数学原理（分配律的运用），在学生概括法则的同时在做中体会。比如：单项式×多项式→单项式×单项式和单项式×单项式。
4、课本中P121课内练习1的第（4）题、P122作业题1的第（3）、（4）题中包含了幂运算的综合运算，教学中要让学生明确其中的计算顺序。
5、对课本P122的设计题教学，可适当采用在教师指导下的实验报告或研究性学习报告（实践小论文）的形式开展，不仅促使学生提高解决实际问题（估算）的能力，也可在实践中提高学生分工、合作的意识。
⑶§5.3多项式的乘法：
对多项式与多项式相乘的法则，课本也是通过对图形面积的不同表示直观得出的，这样处理方便学生理解，符合初中学生形象思维丰富的特点。之后让学生想一想，用分配律解释法则，提高学生对多项式乘法法则的理性理解。
教学建议：
1、教材中主要采用实例（厨房面积的计算）对多项式与多项式相乘的法则采用类似于单项式×多项式的方式（合作学习）得出，即先得出三种面积计算的结果：、、，由于它们的计算结果都一样，然后对上述三个结果相等的情况作出数学原理解释，并得出项式与多项式相乘的法则，这样的设计：①符合数学结论得出与应用的“建立情境→猜想结论→验证结论→应用拓展”的一般过程，正如课本P125中作业题C组题6，对公式=的推导、验证的过程；②也符合七年级学生形象思维→抽象思维过渡的思维特点；③与以后学习的要求学生了解乘法公式的几何背景也是一致的。
2、教学中要注意避免过多、繁琐的运算，多项式与多项式相乘仅要求一次式相乘，不必再做扩展。
⑷§5.4乘法公式：
乘法公式上是两个特殊多项式相乘及其所得的结果，由于在数学计算中经常用到，就把它们作为公式。课本采用引导学生观察相乘的两个多项式的系数和字母的特点，以及所得结果的系数和字母的特点，比较它们之间的关系，得出平方差和两数和的完全平方公式。对于两数差的完全平方公式则采用以代替的方法得出，这是一种重要的数学思想方法。课本还安排了让学生尝试用图形的面积直观验证平方差公式和两数和的完全平方公式成立，目的是使学生了解公式的几何背景。
课本在平方差公式之后安排例2，用平方差公式进行两个特殊数值的相乘计算，说明乘法公式还可以用于简便计算。
教学建议：
第一课时：
1、书本的合作学习要求学生能从计算中观察、得出几个式子在系数和字母是的特点与关系，并从概括中抽象出公式，然后进行验证与推导，帮助学生自主学习新知。因此教师要鼓励学生研究和发现公式的特点，理解平方差公式只是多项式乘以多项式的一类特例，并联想是否还有其他特例（为后继学习作准备），认识了这一点，让学生用代数推理的办法验证自己的猜想也是有益的。在得到公式之后，要尽可能的让学生用自己的方式表达公式的含义，用自然语言表达，用符号语言表达，用几何语言表达（给出几何解释）。进一步体会数形结合思想和数学的对称美。
2、书本的“做一做”，利用几何图形来验证平方差公式，可以帮助学生了解公式的几何背景。教学中应突出构造图形的思路和过程，使学生掌握利用图形来验证代数运算的方法，但由于图形中涉及的字母具有特殊性，也应注意不要用图形验证的过程来代替一般的推导。
3、根据学生的思维水平和认识规律，公式教学大致分为；认识、套用、理解（掌握结构特征）和灵活运用四个阶段。对其七年级学生来说，公式的应用以套用为基础，而套用公式的第一要求是认识公式的特点，因此可在书本例1前添加铺垫，突出公式必须应用的条件，不要被表面形式所迷惑。
如：下列各式可以应用平方差公式计算吗？为什么？
①；②；③；④；
⑤;⑥;⑦;⑧。
4、书本例2是运用平方差公式进行一些简便运算，是对学生掌握公式的一个很好的检验，也可以是学生更好地体会学习平方差公式的必要性，因此要注意让学生自主探究，体会公式应用的优点及过程。
第二课时：
1、书本安排的合作学习基本上与前几节中相类似，但是它多了让学生合作体会用几何图形的面积来验证两数和的完全平方公式，并从中了解公式的几何背景，但就七年级学生的整体思维水平而言，自主地解决还会有一定的困难，因此教学中对两数和的完全平方公式的几何验证，最好通过教师的启发完成。
2、课本P128“做一做”中的填空，目的是及时巩固公式，并通过练习让学生进一步明白公式中字母的广泛意义，但相对于老教材，我认为还是老教材中的处理：比较适合学生应用的思维。
3、对于公式中的字母不必急于进行变式练习，但一开始就要引导学生站在代数角度去理解公式中字母的广泛含义。为保证基本运算技能，教学中要适当、分阶段地提供一些必要训练，但要避免过多、繁琐的运算。
⑸§5.5整式的化简：
这个内容既是整式乘法的运用，又是实际计算的需要。课本从合作学习入手，说明求一些代数式的值，先将其化简，再代入计算比较简捷。由此说明整式化简的必要性。然后提出整式的化简应遵循内的顺序及乘法公式的运用。
教学建议：
1、本课的“合作学习”（求图形的面积）是先让学生在此背景下，经历列代数式→化简→求值的过程，体会整式化简的基本顺序，并学会对整式进行化简。
2、整式的运算一般就是运用乘法公式及进行多项式的乘法，并进行合并同类项的过程，其中学生要能明确运算顺序、运算中各步骤的依据、结果的要求等，才能保证学生准确地进行整式的化简。因此在例1的解决过程中要注意观察学生运算过程出现的错误，及时地反馈纠正。
3、例2是一个有关于增长率的问题，对于学生来说，最难的可能就是如何准确理解其中的关系，以及“平均增长率”不等同于“算术平均数”。
⑹§5.6同底数幂的除法：
第一课时，课本用求细胞分裂所需的时间引入，并引导学生通过填空，归纳同底数幂相除的法则。之后又安排第二课时，采用合作学习的方式，引导学生讨论零指数幂和负整数指数幂规定的合理性，由此给出零指数幂和负整数指数幂的意义。在本节最后引入对绝对值较小的数用10的负整数次幂表示的科学记数法，并采用做一做的方式，让学生观察和体会用计算器表示较小数的科学记数法。
教学建议：
第一课时：
1、用好课本中的节前语（同底数幂的除法也是利用幂的意义推导出来的），让学生经历从实际问题引入幂的除法的过程，体会同底数幂的除法的必要性。但对于本课的节前语来说，实际上含有指数方程的意思，即“需要分裂的次数x次，是可以由方程得出”，但在此处意思是作为一种数学问题背景，在教学中不必涉及指数方程。
2、教科书中根据除法是乘法的逆运算，从计算这个具体的同底数的幂的除法，到计算底数具有一般性的，逐步归纳出同底数幂除法的一般性质.教师讲课时可多举几个具体的例子，让学生运算出结果，接着，让学生自己举几个例子，再计算出结果，最后，让学生自己归纳出同底数的幂的除法法则，鼓励学生自己发现同底数幂的除法运算性质的特点，并运用自己的语言进行描述，同时引导学生尽可能地与数的除法及其他的幂的运算法则类比。
3、性质归纳出后，不要急于讲例题，要对法则做几点说明、强调，以引起学生的注意.（1）要强调底数是不等于零的，这是因为，若为零，则除数为零，除法就没有意义了.（2）本节不讲零指数与负指数的概念，所以性质中必须规定指数、都是正整数，并且，要让学生运用时予以注意。
4、在讲解例1时，要强调凡题目结果没有说明结果形式要求的，都应化到最简，如第（4）题中的结果应化为。例2是幂的混合运算，其中各题的侧重点不同，题1是明确运算顺序，题2是注意运用法则的条件——同底，题3、4则侧重于解题思路与运算顺序的选择。
第二课时：
1、结合教材的“合作学习”，对零指数幂和负整数指数幂概念的教学，可让学生经历算一算→想一想→猜一猜的过程，在归纳出性质之后，有让学生进行讨论，对零指数幂和负整数指数幂的应用条件和应用范围加以“限定”，从中体悟出整数指数幂的运算特征，既增加兴趣又加深印象。
2、本课的例3是及时巩固负整数指数幂的概念，此时学生对于负整数指数幂的概念还没有很深刻的了解，因此可以增加几个其他的训练（如底数是分数），让学生更好地体会到负整数指数幂中含有的规律。
3、将绝对值较小的数用10的负整数次幂表示为科学记数法，让学生观察和体会用计算器表示较小数的科学记数法，可结合书本P138的“做一做”，将0.00005×0.000007的结果表示在科学计算器上，可显示为 。
4、本课中幂运算的法则已推广到整数指数的范围，但在教学中的要求还是不宜过高，只要让学生知道幂运算的法则可推广到整数指数的范围就可以了。
⑺§5.7整式的除法：
这是本章的最后一节。课本首先从宇宙飞船到达月球所需时间的计算，引导学生考虑两个单项式相除的方法，并得出单项式除以单项式的法则。之后安排做一做，引导学生将数的除法类比到式的除法，然后归纳多项式除以单项式的运算方法，得出运算法则。
教学建议：
1、教材中整式的除法主要是单项式除以单项式和多项式除以单项式，这里并不涉及多项式除以多项式的情况，而单项式除以单项式是多项式除以单项式的基础，因为多项式除以单项式的思路就是将它转化成单项式除以单项式。
2、其中单项式除以单项式法则的学习还是通过学生的合作、探究、概括、验证、应用等，因此，可以通过教材设计的实际问题背景，提供合作学习，通过对问题的讨论，让学生参与到教学之中，从中获得必要的心理体验。
3、要给学生独立思考的机会，整节课应采用“问题”形式，使学生在解决过程中渗透，在主动探索中形成数学思想，积极引导学生形成数学结构。
参 考 教 案：
【课题】：
乘法公式2——完全平方公式
【教材分析】：
本课的知识要点是经历探索完全平方公式的过程，了解公式的几何背景，会应公式进行简单的计算。理解公式的推导过程，了解公式的几何背景，会应用公式进行简单的计算。并渗透建模、化归、对称、数形结合、逻辑推理等思想方法。经历探索完全平方公式的过程，培养学生的发现能力、求简意识、应用意识、解决问题的能力和创新能力。 培养学生敢于挑战，勇于探索的精神和善于观察，大胆创新的思想品质。作用在于让其体会公式的发现和推导过程，理解公式的本质，并会运用公式进行简单的计算，理解公式中的字母含义，及公式的应用。
【教学目标】：
㈠知识技能目标：
1、掌握完全平方公式，了解公式的结构特征，会用文字语言表述公式；
2、能用换元法理解、推导两数差的完全平方公式；
3、了解公式的几何背景；
4、理解公式中字母的广泛含义，学会将具体题目与公式结构进行对比会用完全平方公式进行多项式的乘法运算，并能应用于解决实际问题。
㈡过程性目标：
1、经历观察、猜想、实验验证、应用拓展等数学活动，概括完全平方公式的特征、运算特点，提高学数学、用数学的能力；
2、利用拼图等方法，体会代数与几何之间的联系，感受数学的整体性，渗透数形结合思想。
㈢情感态度目标：
通过对完全平方公式的得出、推导、应用的过程，让学生再次体会数学新知学习的一般思路，让学生在学习新知的基础上，获得研究数学问题的经验和方法，发展学生的实践能力的创新意识。
【教学重点、难点】：
重点是掌握公式的结构特征和字母表示数的广泛含义，正确运用公式进行计算；难点是由两数和的完全平方公式→两数差的完全平方公式的代换变形及公式的几何意义。解决公式应用的关键是掌握公式的结构特征，用例、习题运用公式，可形式多样化，如计算、填空、判断，用反例预防出错等．最终要使学生能牢固地掌握公式的结构特征，正确地运用公式进行计算。
【学情分析】：
学生已经学习了整式的乘法，特别是多项式乘以多项式，而且也具有学习平方差公式的经验，从知识储备来说学生可以独立推导两数和的完全平方公式。但学生对公式的特点的把握，合理运用公式进行解题，以及公式的几何背景利用换元思想来推导两数差的完全平方公式等方面还存在着一定的欠缺。因此在本课的教学中，可针对初一学生的形象思维大于抽象思维，注意力不能持久等年龄特点，及本节课实际，采用自主探索、启发引导、合作交流展开教学。引导学生主动地进行观察、猜测、验证和交流，让不同层次的学生都能主动参与并都能得到充分的发展。边启发，边探索，边归纳，突出以学生为主体的探索性学习的原则。
【教学设想】：
完全平方公式是继平方差公式后的两个重要乘法公式。完全平方公式的教学是在学生学过多项式的乘法，平方差公式之后进行的。教材中，首先用多项式乘法法则导出完全平方公式，并用长方形面积的实例加以说明，从而促使学生直观地理解公式的意义；然后，由具体实例出发，分析完全平方公式的结构特征，促使学生掌握完全平方公式的结构特征，理解完全平方公式；最后，通过两个例题的教学，使学生学会运用完全平方公式进行计算。
本课设计主要采用由教师给出的学习单为主线，结合相应的投影与学习材料，让学生通过自主学习、合作学习、共同探索的方式，从感知→理解→应用→掌握→体会，逐步深入学习，不断把所学到的新知纳入自己原有的知识体系中，并从中体会到获得良好的认知体验，促进学生自主、更有兴趣的学习。
【教学过程设计】：
一、创设疑问情境，促使学生的学习层层深入：
1、获得初步感知；
学习单（一）要求：先独立解题3.5分钟，后小组交流2分钟（推荐1人为发言代表）
问题 答案或结论 相应的解释
1、当为何值时，代数式与相等？
2、与相等吗？
3、与相等吗？
4、若=，那么请在（ ）中填入相应的代数式。
学生独立练习，教师巡回观察，对部分学生作相应的指导，待约80%的学生基本完成后，告诉学生进入下一环节（小组交流），再在全班学生中进行交流，其中教师有意识地先让具有一般思路的学生小组回答，再让有创意的学生小组回答，并得出两数和的完全平方公式。但不给出概念，只是让学生获得初步感知。
（适当改变教材中的引入过程，采用从具体例子→抽象的公式的思路，让学生经过层层深入的思考，得出完全平方公式，这样计更符合七年级学生的思维特点。）
2、验证公式的优点，体会公式学习的必要性。
学习单（二）要求：先独立解题4分钟，后同桌互相批改1分钟，并争取用合理的语言对他作出评价。
1、计算： 2、计算：
让学生依据教师提供的学习单独立进行两个计算，此时学生可能会应用公式，也可能直接采用多项式乘法，教师在观察中有意识让两种解答方式都呈现在学生面前，并作出相应的激励性评价，让学生体会应用公式的优点，培养学生自觉掌握公式、应用公式的意识。
（在这一环节，还并未给出公式的名称，只是让学生体会、感受到公式应用的必要性和简洁，提高学生学习公式的欲望。而且在上述两题的应用中突出形式上的特点，让学生对公式的应用有初步的体会。）
3、命名公式，掌握公式特点：
①引导学生观察公式的特点，从等号的左边和右边分别总结，得出是、两数和的完全平方，而得出两数和的完全平方公式的名称，再从等号的右边是，得出是两数的平方和与两数乘积的两倍的和，是一个二次三项式。并要求学生用语言进行叙述。
板书：
②利用学生在学习单（二）中的计算加以验证：
学生计算结果 教师引导学生的改变
结合上面对比的过程帮助学生更好地掌握两数和的完全平方公式的特征，进一步体会公式的应用。
③练习：教材P中的“做一做”：
（上述练习在对教材进行适当的改变后让学生进行，突出公式以应用的特征要求，培养学生的基础应用能力——模仿代替）
4、了解公式的几何背景：
学习单（三）要求：尽量用多种方法解决。
一个边长为a的正方形的边长扩大了b后（如图），那么大正方形的面积该怎么表示？
在学生先进行独立练习后，组织全班学生进行交流，并让学生说出自己的想法，其中本题的解决思路主要有（图一），（图二），（图三），（图四）等，让学生体会公式的几何背景后知道两数和的完全平方公式也可以用几何图形的面积来加以验证。（但由于字母、只能表示正整数，因此它不能在一般意义上来证明公式。）
（本环节设置的目的是为了帮助学生更好地了解公式的几何背景，同时也为例4的解决埋下伏笔，依据七年级学生不甘服输的心理特点，发挥学生求异思维的广度，学生中必定至少存在两种以上的结果，后经过全班学生共同的讨论，归结到。）
5、两数差的完全平方公式的教学：
那么，怎样计算呢？
主要结合学生的回答（思路的回答与概括），引导学生采用换元的思想，即将变成，后应用两数和的完全平方公式。
（分步投影）===。
∴=……两数差的完全平方公式。
并将合写成
（本环节的设置主要是为了比较两个公式的异同和结构，使学生更深一层认识完全平方公式，并体会换元法，扎实公式应用的基础）
二、新知应用，熟练技巧，提升解决问题的能力：
1、公式的基础应用：
学习单（四）要求：先独立解题4分钟，后同桌互相批改1分钟，并争取用合理的语言对他作出评价。
题目 ① ② ③ ④
应用公式 __的平方公式 __的平方公式 __的平方公式 __的平方公式
a、b表示 _____、_____ _____、______ _____、______ _____、______
计算过程与结果
乘法公式的应用是本课学习的重点之一，而七年级学生的应用主要以特征与形式的模仿为主，因此要准确地应用乘法公式，其关键在于准确地掌握公式，本环节对教材中的例3作了适当的改变，起目的是加强基础解题技能的规范训练，培养学生良好的学习习惯，形成有条理的解题思维。
上述4题两个完全平方公式均可用，如题1也可以用两数差的完全平方公式：；题2也可用两数和的完全平方公式：等，教学中可结合学生的实际情况作适当拓展，开阔学生的思路。
2、公式在生活中的应用（主要结合例4展开）：
题前预设：（根据有关学生学习课堂学习的研究，在经过了约30分钟的课堂学习黄金时间之后，注意力已经开始不会很集中，此时如果还是让学生继续在数学问题的思考中学习，学生会感觉累，学习效果反而不好，因此设计了对茶花这一名花的知识投影，适当转换学生的思维，有助于在重新投入学习时提高学生的学习效率）
投影：让学生欣赏、阅读1分钟。
茶花属山茶属植物，耐冬，古名海石榴，是常绿灌木或乔木。我国传统的十大名花排名第七的珍贵花卉，世界名花之一。因其植株形姿优美，叶浓绿而光泽，花形艳丽缤纷，而受到全世界园艺界的珍视。
茶花具有天生的芒姿丽质。它干美枝青叶秀，花色艳丽多彩，花型秀美多样，花姿优雅多态，气味芬芳袭人，使人观后赏心悦目，心旷神怡，得到极大美的享受。它藐视风寒，傲箱斗雪，顶凌怒放，给严冬增添色彩，给万物带来春的希望，人们见到它，会受到坚强、刚正的高洁气质的熏陶和激励。加之它花期长，又是在百花凋零的寒冬开放，而且恰处元旦、春节的隆重节日气氛之中，因而身份更加高贵。正是由于以上这些特点，才铸成了山茶花非比寻常的观赏价值。所以，古往今来，它为世人所喜爱，为文人墨客所倾倒。
例4教学
学习单（四）要求：独立解题4分钟。
一花农有4块正方形茶花苗圃，边长分别为30.1米、29.5米、30米和27米，秒年4将这4块苗圃的边长都增加1.5米，求各苗圃的面积分别增加了多少？
本题在教学中主要结合学生学习的实际情况进行点评，其中突出先化简后求值的思想方法。
三、新知巩固，检测学生的学习成果：
1、见书本P130的课内练习1、2。
2、选做练习：
已知x +ax+64是一个完全平方式，那么它是( ) ，a的值是（ ）
A ±16 B 16 C -16 D 8
其中书本P130的课内练习1在学生独立练习的基础上组织全班学生的交流，练习2则采用独立练习后投影校对，同桌（或学习小组）互相批阅的方法进行。
四、小结输理，完善学生的认知结构：
1、主要结合以下几个方面进行知识点的小结：
①完全平方公式的字母表示和语言叙述；
②完全平方公式的结构特征和字母的广泛意义；
③使用完全平方公式关键是确定a，b两数，并根据符号，选择两个公式中的一个，结果一定是三项式，千万不要漏掉±2ab；
④本节课所蕴含的数学思想方法：由一般到特殊、数形结合，换元的思想。
2、结合学生自己或同伴的学习情况，给自己本课的学习作简要的自我评价，包括自己易错之处，同伴的方法给自己的启示，自己的学习心得等。
项目 自我评价
1、掌握的新知识是
2、最大的成功是
3、最不足的地方是
4、自我感受
五、作业布置：
主要见配套作业本和同步练习，其中课外探究为选做题。
【对教学设计的思考】：
1、乘法公式的学习是学生在初中学习遇到的又一个难点。因为公式代表的是一般形式，具有很高的抽象意义，即公式里的每个字母在具体问题所代表的含义是不一样的．但学生刚刚接触这些问题，就很难在较短的时间内能把具体问题中的某一部分抽象成公式里面的某一部分。公式的学习可以说是锻炼学生对问题本质认识的一个极好机会，也是中学数学的显著特点之一。许多学生一时不能理解公式里每个字母在具体问题里表示的是什么，这样就不能用公式去解题，这一点必须通过帮助学生对公式结构与具体问题的数学结构进行对比分析来解决。总之，对数学公式的学习是中学数学教学与学习的重要内容，需要学生认真体会，加强练习，并提高对“一般”与“特殊”的辩证认识。
2、揭示公式规律。培养灵活思维的能力
根据学生的思维水平和认识规律，公式教学大致分为；认识、套用、理解（掌握结构特征）和灵活运用四个阶段。其中理解是关键，灵活运用是目的。在教学中不但要求学生认识、会机械套用公式，更重要的是使学生能利用公式较好地解决问题。教师应在学生掌握公式结构特征的基础上打准公式使用的突破口，启发学生揭示公式的内在规律，从而达到灵活运用公式。涉及到因式分解内容，对学生来说具有一定难度。但若对公式比较熟悉，学生是具有套用公式的能力的。这对于培养灵活思维的能力，灵活运用公式那是十分有益的，同时为因式分解的学习作了铺垫。
两数和的完全平方公式：。
两数和的完全平方，等于它们的平方和，加上它们的积的2倍。
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
图一
图二
图三
图四
完全平方公式第6章因式分解教材分析
----------------义桥实验学校 田永国
一、教材地位与内容
本章是在学习了“第5章整式的乘除”后安排的学习内容，前面已经学习了乘法公式的平方差公式和完全平方公式。因式分解是代数式的主要的恒等变形，是分式的化简、运算和解一元二次方程的重要基础，对学生进一步学习数学是不可缺少的基础知识和基本技能．
本章的主要内容有因式分解的概念、方法以及简单应用．因式分解是整式的一种重要的恒等变形，它和整式的乘法．尤其是多项式的乘法联系十分密切．因式分解的几种基本方法都是直接依据整式乘法的各个法则和乘法公式．对照新旧课程标准发现，《新课标》对于因式分解的方法只要求掌握提取公因式法与公式法两种，取消了“十字相乘法”与“分组分解法”的考试要求，且对立方和差公式的记忆也不作要求，公式法只要求平方差公式和完全平方公式。
本章内容之间的相互联系可用如下的结构框图表示：
概念 与整式乘法的关系：互逆变形
提取公因式法
因式分解 方法 平方差公式
完全平方公式
多项式的除法
应用
解方程
(1)本章的因式分解内容包括三个方面：概念、方法和应用；
(2)按《标准》的要求，因式分解的方法只要求掌握提取公因式法和公式法．公式法包括运用平方差公式和完全平方公式分解因式；
(3)因式分解的应用包括两个方面：一是应用于多项式除法；二是应用于解方程。
二、本章教学要求
1．本章6.1通过探索因式分解的过程，比较因式分解和整式乘法的联系与区别，了解因式分解的意义是将多项式化成几个因式乘积的形式，体会事物之间可以互相转化的辩证思想，从而初步接受对立统一观点。
2．6.2会判别各项的公因式，理解添括号法则，会用提取公因式法分解因式。
3．会用平方差公式、完全平方公式(直接用公式不超过两次)分解因式(指数是正整数)。
4．6.3的例3通过对平方差公式、完全平方公式的逆向变形及将一个整式看做“元” 进行分解，发展学生的观察、类比、归纳、预见等能力，进一步体会换元思想，提高处理数学问题的技能。
5. 6.4要求能灵活运用因式分解进行简单的多项式除法，运用因式分解的两种方法解简单的一元二次方程（不提一元二次方程概念）。
三、本章编写特点
1．经历探究过程，发展概括能力。
因式分解概念的引入与原义教版教材不同。本章6.1的设计突出了因式分解与整式的乘法的关系课本通过表格形式列出一些式子：一边是整式的乘法，另一边是转化为几个整式的积的形式，让学生观察、对比，从而归纳出因式分解的定义。这种借助于学生已有的整式乘法的基础，给学生提供一些问题背景，同时给学生留有充分探索的空间，完成因式分解的概念教学，这是本章的特点之一。这种探索因式分解的方法和过程一方面是对整式乘法的再认识，另一方面也使学生在探索中增强观察、发现，归纳、概括等能力。在因式分解的应用6.4节中，采用合作学习的方式探索由A B=0得到A=0或B=0，也是这个目的。本章中这样的例子还有6.2节中公因式的获得，6.3（2）中完全平方式的判别等。
2．采用题串落实，培养推理意识。
本章例题的编排采用问题串，步步深入，步步落实。如6．2节提取公因式法例1的4个小题①2x +6x ②3pq +15p q③-4x +8ax+2x④-3ab+6abx-9aby，每个题目都有一个侧重，解决学生容易犯的错误。因为学生在理解了因式分解的概念，完成了从整式乘法到因式分解的转换以后，如何用符号合理表达因式分解的关系式还需要一个深化过程。教师可以利用课本中的问题串，鼓励学生独立思考与讨论交流发现题目中的变形关系。如例1第(3)小题，经提取公因式后，1要不要加，这一项应该是“+l”还是“-1”，教师不要过早下结论，应在学生充分交流的基础上由学生自己来判断，有意识地培养学生的分析问题能力和推理能力。
3．保证运算技能，避免题型训练。
提取公因式法、公式法分解因式是本章学习的主要内容，在以后学习分式、解方程、三角式的恒等变形中还有重要作用，这两种方法也会得到进一步的训练。符号运算对中学数学来说是必不可少的，但必须有“度”。 《数学课程标准》的一个目标就是改变原教材的“繁、难、旧、偏”现象。本套教科书既安排了一定量的训练，使学生在具备基本运算技能的同时，明白每一步的算理，又避免过于繁琐的运算，也不追求题目的数量与难度。根据数学课程标准》的要求，考虑到学有余力的学生，用c组题应 体现弹性。
4．初步接触实际，体现知识应用。
学习了因式分解的方法后，马上安排一节课学习因式分解的简单应用， 这也是本套教科书的一大特点。这样做的好处，一是加深对因式分解这种符号变形的理解，初步了解因式分解这种变形的用途；二是为下一章分式的学习和八年级下册解一元二次方程的学习打下一定的基础。
四、教学建议
1． 6.1因式分解与整式的乘法是互逆的恒等变形，因此在概念引入时应引导学生观察、对比因式分解与整式乘法两者的区别、联系，归纳因式分解与整式乘法的变形特点．真正理解因式分解变形的目的和意义，在这基础上再辨别一些似是而非的恒等变形，判断这些较明显恒等变形是不是因式分解变形，从而牢固掌握因式分解的含义。
2．在综合应用各种方法将多项式分解因式时，尤其要注意对学生进行观察能力的培养。在教学过程中应留给学生足够的时间观察思考，充分交流观察的结果，让学生充分发表意见，相互交流商量观察结果，讨论解题策略。应注意教学不能仅停留在简单的模仿阶段，应在实践中培养学生观察能力的同时培养学生主动探索的精神。
3．本章中换元的思想起着重要作用。例如，6.2提取公因式法分解因式中，关系式m(a+b)=ma+mb，m既可以表示单项式，又可以表示多项式；用公式法分解因式，公式中的a,b也可以表示任意一个代数式。教学中教师应有意识进行渗透，使换元思想逐步成为学生在恒等变形中的有力工具，为今后的学习打下基础。
4． 教学中应该努力提高学生针对具体情况区别对待的策略意识，灵活运用因式分解的方法，促使学生使用“换元” “转化”这种一般处理数学问题的方法，探索解题思路，发展学生能力。如课本6．3节探究活动(课本第160页)的教学也要体现这种思想，先通过模仿、观察、分析，再由同学间互相讨论、交流，在每位同学充分发表意见的基础上寻找规律，先猜一猜，然后再验证，最后得到结论：2n+l=(n+1) -n （ n是自然数)。
五、本章教学中应注意的问题
1． 因式分解的意义是“把一个多项式化成几个整式的积的形式”，它与整式乘法的关系是互逆的代数式变形。让学生认识这一点非常重要，因为不管哪一种因式分解的方法都是以整式的乘法法则为依据的，学生可以从互逆变形的角度来理解并掌握因式分解的方法，还可以通过整式乘法来检验因式分解的结果是否正确。另外，虽然学生在七年级上册已经学过实数，学生已经能够理解a-b= (a≥O，b≥O)的变形，但由于算术平方根的性质要在八年级下册“二次根式”这一章中讲解，本章因式分解一般都在有理数范围内进行，不要涉及无理数，作业、评价中也不要涉及因式分解的数域讨论。要提醒学生注意，在将多项式因式分解时，若首项为负，应把负号提到括号外面；若多项式各项中的系数有分数，也应将分数提到括号外面来。因式分解的概念是整式的范畴，如、， a-b= (a≥O，b≥O)，这样的代数式变形就不能称之为因式分解，但可以说是因式分解在代数式变形中的拓广使用。
2. 本章内容丰富，方法多、技巧性强。《数学课程标准》对因式分解的要求有严格的界定，因此本章的教学教师不要随意增加内容，切实掌握本章内容的深度和广度。如应用公式法只要求平方差、完全平方公式，且直接用公式不超过二次。而对于十字相乘法，根据《数学课程标准》的目标，课本不作要求。教师可以根据实际情况，对学有余力的学生作适当补充，不要求全体学生掌握。
3、 6.4应用因式分解进行多项式除法，只限于被除式能容易分解因式，并且能被除式整除的情况。应用因式分解解简单方程也只限于容易通过因式分解把方程转化成两个一元一次方程的积的一元二次方程。在教学中不要随意提高教学要求。
4．对于学有余力的学生，在确保完成《数学课程标准》规定的目标的基础上，可以适当增加一些富有挑战性的题目，扩大因式分解的方法和类型。这样既满足这部分学生的求知欲望，又可以提高因式分解的技能、技巧。例如课本P158、P161、P163中的C组题。
P158第6题：
． 通过观察图形，所求长方形与原图形面积相等，关键是求出长方形的长与宽。先考虑采用割补法求出四边形的面积，上面算法为“补”。
P161第7题：
加±4x →
加 →
加 →
加-1 →
加-4x → 1
本题有多种解法，关键在于把已知的两项看成是完全平方式的哪两项。估计第一种添法学生不困难，应该引导学生观察、讨论、交流，让学生自己得到多个结论。
P163第6题： 2a +3ab+b =(a十b) (2a十b)．
本题依据的是因式分解的意义。题中所给的图形的面积之和正好是要分解的多项式2a +3ab+b ，它的两个因式可以看做是一个长方形的长与宽，因此我们只要把这些图形拼成一个长方形，就能找到解答。这是一种很有意义的数形结合的方法。
公式法“第3章事件的可能性”分析
本章是第三学段“统计与概率”中概率领域的起始章。
本章内容与老教材的区别：强调概率过程性目标的达成：要使学生对随机现象有初步的理解，必须在实验的过程中，理解概率的意义。只有通过大量的实验，才能丰富学生对于概率意义的理解，形成随机概念。
本章将在前面两个学段初步学习事件的可能性内容的基础上，让学生进一步通过具体情境了解必然事件、不确定事件（随机事件）、不可能事件等概念，并在具体情境中了解事件发生的可能性的意义，会运用列举法（包括列表、画树状图）统计在简单问题情境中可能发生的事件的种数，学会比较、描述简单事件的可能性大小，通过一些简单的事例，初步认识概率的意义，知道不可能事件的概率是0，必然事件的概率是1，不确定事件的概率大于0，且小于1。
事件的可能性及其大小与人们的生活和生产实践密切相关，在今后的概率学习中几乎所有问题都会涉及，准确认识事件的可能性及可能性的大小计算是学好概率的一个十分重要的起点。所以本章的教学重点是事件发生的可能性及其大小。而通过可能性的大小来理解概率的概念，为进一步学习概率的有关知识打下基础，这需要一个较长的过程，是本章主要的教学难点。
一、教科书内容和教学目标
1. 本章的主要教学目标是进一步体验事件发生的等可能性以及游戏规则的公平性，会求一些简单事件发生的可能性；在具体情境中了解概率的意义，运用列举法（包括列表、画树状图）计算简单事件发生的概率。具体教学要求如下：
（1） 通过具体情境了解必然事件、不确定事件（随机事件）、不可能事件的概念。
（2） 在具体情境中了解事件发生的可能性的意义，会运用列举法（包括列表、画树状图）统计在简单情境中可能发生的事件的种数，并会比较、描述简单事件的可能性大小。
（3）初步认识概率的意义，知道不可能事件的概率是0，必然事件的概率是1，不确定事件的概率大于0，且小于1。
（4）初步会用列举法计算简单事件发生的概率。
2. 本章教材分析。
（1）本章的主要内容是对概率的初步认识，课本从学生生活中熟悉的事件入手，使学生对具体事件的认识从感性逐步上升到事件发生的可能性的概念，教学中教师可以补充一些具体的事例，帮助学生认识事件发生的可能性的大小以及可能性与概率的意义。
（2）对事件的可能性的认识是概率学习的基础，是教学的一个难点。课本在3.1节“认识事件的可能性” 与3.2节“可能性的大小”之后，安排了3.3节“可能性和概率”，旨在使学生能计算一些简单事件发生的可能性的基础上，给出等可能性事件概率的计算公式。
（3）本章的学习要注意多从实例出发，让学生感受到可能性事件在现实世界中无处不在，引起学生学习的兴趣。在教学中，应注重所学内容与日常生活、自然、社会和科学技术领域的联系，让学生感受学习事件的可能性与概率的重要性和必要性。还应注重使学生在具体情境中体会事件的可能性与概率的意义。这些不仅是学习好本章的关键，对于学好以后各章也是很重要的。
二、本章编写特点
1．体现数学来源于生活，素材与学生现实紧密结合。
从学生身边的现实例子说起，掷一石块，石块下落；路口的红绿灯等是学生亲身经历、感受过的，比较亲切、容易接受。这些素材来源于现实，且经过提练，体现了一定的教育价值。任意抛掷一枚均匀的硬币、转动能自由转动的转盘、抛掷一枚均匀的骰子等无一不是学生所熟悉和感兴趣的，使新知识的引入有了比较扎实的基础。从解决实际问题的欲望而促进对数学学习的兴趣。
2．强调学生的动手操作和主动参与，让他们在观察、操作、想像、交流等活动中认识事件的可能性，树立概率的观念。
学习方式的转变是课程改革的一个重要目标，与其他数学内容相比，“概率”的教学更容易激起学生学习数学的热情。在本章的编写中，注意从学生已有的生活经验和已有的知识出发，给学生提供“现实的、有意义的、富有挑战性的”学习材料，提供充分的数学活动和交流的机会，引导他们在“做数学”的活动中，在自主探索的过程中获得知识和技能，掌握基本的数学思想方法。
课本设置了许多“合作学习”“想一想”“探究活动”等栏目。例如，两人做“锤子、剪刀、布”的游戏，要求学生写出这个游戏中所有可能出现的结果，并分析在这个游戏中，无论你出“锤子、剪刀、布”中的哪一个，你获胜的可能性有多大？这个游戏对双方是否公平？通过这些“探究点”，鼓励学生勤思考、勤动手、多交流。其中，动手操作是学习开始阶段重要的一个环节，它可以帮助学生认识事件发生的可能性，用直观的事例丰富学生的想像能力。因此在开始阶段，应鼓励学生先动手、后思考，逐步过渡到先思考、后动手验证。
3． 重视内容承上启下，突出知识的形成与应用过程。
为了引出概率的概念，课本回顾了事件发生的可能性、可能性的大小，起到与前两个学段衔接的作用。虽然这些内容学生之前已有接触，但还十分肤浅。本章不是对以前知识的简单复习，而是同类知识的螺旋上升。尽管本章内容仍是直观的、具体情境化的内容，但要求已有所不同。例如，对事件发生的可能性的概念要求进一步认识；通过对事件发生的可能性大小计算的要求更进一步体验；并由事件发生的可能性的大小逐步过渡到概率的概念，这些都是为后面八年级下册频数和九年级上册概率的进一步学习打下坚实的基础。同时也进一步说明了概率的产生与发展是与生产、生活紧密相连的。
三、教学建议
1．注意与前两个学段的衔接。
这一部分知识与前两个学段联系密切，大多数事例、概念学生在前两个学段都接触过，教师应深入了解前面两个学段有关“概率与统计”的内容和要求，了解它们与这一部分内容的联系与区别。并了解学生对有关概率内容的掌握程度，根据实际情况设计教学过程，从而把学生在前面两个学段学过的内容加深一步，同时避免完全的重复。
2．把握好教学要求。
在本章，不仅要像第一、二学段那样进一步丰富学生对事件发生的可能性的感性认识，还要引导学生逐步认识在数学上，我们把事件发生的可能性的大小也称为事件发生的概率这一事实，从而使学生在具体情境中了解概率的意义。这并不意味着要在概率的概念上全面铺开来展开学习，而是要强调在实际背景中，通过事件发生的可能性的大小来理解概率的概念。本章是本学段统计和概率领域的起步，在八年级和九年级还将进一步探讨，并且学生刚从小学进入初中，因此本章涉及的问题不宜过于复杂，解决问题的要求不宜过高，教学中不宜随意补充或提高教学要求。
另外，从学习方式上，通过合作学习、探究活动这种形式，促进学生相互交流，从而最大限度获得数学能力的培养和体验数学思想。教学中应积极鼓励学生，当学生在探究过程中遇到困难时，应给予诱导启发，或给予必要的阶梯。让学生在这过程中体验如何学会学习，千万不能包办代替，过早给学生答案。应鼓励合作学习，从多角度思考，采用多种解决问题的办法，创造积极合作、讨论氛围。
3．重视事件发生的可能性的实际问题背景的设计和它在生活实际中的应用。
数学来源于生产生活实际，反过来又应用于解决生产生活实际中的问题，教学中要充分利用课本中的素材，注意从实际问题出发引入，并通过事件发生的可能性的大小，得出概率的概念。在教学中要大量的依靠实例与实验，让学生在实际问题的解决中感受引入事件发生的可能性的必要性和体会由事件发生的可能性的大小来定义事件的概率的合理性。
例：探究活动（本问题活动以学生熟悉的“锤子、剪刀、布”游戏为背景，引导学生分析游戏的公平性，由此让学生体会游戏中蕴涵的数学思想，并激发学生的学习兴趣 课本
P100）
教学时可让学生先做一做游戏，并判断游戏是不是公平，然后用列表或画树状图的方法一一枚举，列出所有可能出现的有效结果，验证或否定判断。
列表法 树状图
锤子 锤子
剪刀
布
剪刀 锤子
剪刀
布
布 锤子
剪刀
布
参考教案:
3.3 可能性和概率
本节课内容是浙教版数学七年级下学期第三章第三节。
1. 教材分析：
概率是新教材根据新课标新增添的内容。它与我们现实生活联系非常密切。通过本章的学习不仅能让学生体会到数学与现实生活联系的紧密性，而且也能培养学生的各种能力。
本节课中体会概率的意义不仅是本章的重点，也是学好本章的关键。一方面可以使学生体会到概率和确定数学一样也是科学的方法，能够有效地解决现实世界中的众多问题；另一方面，也使学生认识到概率的思维方式与确定性思维的差异。学生只有具备了这种随机观念才能明智地应付变化和不确定性。这也是构成在义务教育阶段教学概率的重要原因。
综上所述，本课的教学目标、重点、难点确定如下：
教学目标：
1、了解概率的意义；
2、了解等可能性事件的概率公式；
3、会用列举法（包括列表、画树状图）计算简单事件发生的概率；
4、进一步认识游戏规则的公平性。
教学重点与难点：
本节教学的重点是概率的概念及其表示方法；
例2涉及转盘自由转动2次，事件发生的条件构成比较复杂，是本节教学的难点。
教学过程：
（一）创设情境，引出课题
某商场为了吸引顾客，设立了一个可以自由转动的转盘（如图）。并规定：顾客消费100元以上，就能获得一次转动转盘的机会。如果转盘停止后，指针正好对准红、黄或绿色区域，顾客就可以分别获得100元，50元、20元的购物券（转盘被等分成20个扇形）。
（1）甲顾客消费80元，是否可获得转动转盘的机会？
（2）乙顾客消费120元，他获得一次转动转盘的机会，请比较他得到100元，50元、20元购物券的可能性的大小，并按可能性从小到大的顺序把他们排列起来。
（教师可以事先准备一个转盘，增加学生的直观感受。）
分析：（1）甲顾客消费不足100元，获得转动转盘的机会是不可能事件，所以甲顾客得到购物券的可能性是0。
（2）乙顾客消费超过100元，获得一次转动转盘的机会可能性是100%，但获得不同的购物券的可能性是不一样的。
获得100元购物券的可能性是；
获得50元购物券的可能性是；
获得20元购物券的可能性是。
给出概念：在数学上，我们把事件发生的可能性的大小也称为事件发生的概率。
表示：事件A发生的概率记做P（A）。
在上例中，
获得100元购物券的概率是；
获得50元购物券的概率是；
获得20元购物券的概率是。
（二）交流合作，探求新知
如何计算事件的概率呢？
给出等可能性事件的概率公式：
强调：公式适用的前提是所有可能的结果发生的可能性相同。
例1、任意抛掷一枚均匀的骰子，当骰子停止运动后，朝上一面的数是偶数的概率是多少？是正数的概率是多少？是负数的概率是多少？
分析：1、因为是均匀的，所以6个面每个面朝上的可能性是相同的；
2、当运动停止后，朝上一面的数有6种可能性：即1、2、3、4、5、6；
3、是偶数的有3种可能，即2、4、6，所以；
同理：；。
解题小结：
1、解此类问题的思路与步骤：
1 先判断是否适用公式；
2 统计所有可能的结果数和事件所包含的结果数；
3 代入公式求解。
2、一般地：必然事件发生的概率是100%，即；
不可能事件发生的概率是0，即；
不确定事件发生的概率介于0与1之间，即。
学生活动：（四人小组）设计符合要求的方案：
现有足够多的球（形状、大小、颜色不一完全相同），要在一个口袋中放入一些球，使得从袋中摸到一个红球的概率为。
（体会概率的意义，理解概率的计算方法，同时培养创新思维，发展创新能力）
（三）突破难点
例2、如图，是一个红、黄两色各占一半的转盘，让转盘自由转动2次，指针2次都落在红色区域的概率是多少？一次落在红色区域，另一次落在黄色区域的概率是多少？（课件出示）
分析：先有学生自己想办法，如何解决这个问题。（2分钟）把结果与大家交流。
教师归纳可以通过列表或画数状图来分析。
（出示）
第一次转出 第二次转出
红 红
黄
黄 红
黄
解题小结：
列表或画数状图是分析较复杂问题常用方法。
（四）课堂小结：
谈谈你在这节课中的收获？
（五）巩固练习：P82课内练习1、2。
（六）布置作业
见作业本3.3
（七）延伸拓展
用你所学的知识说明下列游戏是否公平？
游戏一：一只袋子内有大小形状一样的5个球，每个球分别标有1、2、3、4、5，甲和乙轮流从袋子中摸一个球，然后放回，规定：如果摸到的球的号码大于3，甲胜；否则，乙胜。
游戏二：“锤子、剪刀、布”（书本中的探究活动）
游戏三：“配紫色”游戏（课本作业题4）
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-一、教学内容与地位
图形和变换是“空间与图形”领域的四块内容（图形的认识，图形与变换，图形与坐标，图形与证明）之一。本套教科书在七年级上册先安排图形的初步认识，及七年级下册三角形的初步知识的基础上，集中学习四种变换的知识，一方面是考虑到学生通过几何学习后，已有一定的生活经验；另一方面本章所学的四种变换的初步知识将为后续的内容，如四边形、圆及图形与坐标、图形与证明的学习打下基础。
本章的主要内容有轴对称图形、图形的轴对称变换、平移变换、旋转变换和相似变换，以及图形变换的简单应用。本章要求学生对各种图形变换有一定的认识，要求了解各种图形变换的一般概念，能够辨别和判断，理解各程图形变换的基本性质，会按要求作出变换后的图形，并应用于图案设计等生活实际。根据本套教科书的整体设计，轴对称、平移、旋转和相似这四种变换在今后图形教学的相关章节将继续渗透，逐步深化。
本章的教学要求为：
（1）了解四种变换的概念，能辨别和判断四种变换；
（2）理解四种变换的基本性质，会按要求画出经变换后的图形；
（3）能将变换的知识应用于图案设计等生活实际中去。
二、本章教材分析
由于现在的初一学生从未具体接触过轴对称、平移、旋转和相似这四种变换，所以在学生学习时建议增加用折纸等方法来确定轴对称图形的对称轴，用方格纸画轴对称图形、按一定比例将简单图形放大或缩小、将简单图形平移或旋转90°、设计图案等活动，使学生对轴对称、平移、旋转、相似等变换也具有一定的感性认识和生活经验。本套教科书在这里安排变换的学习，侧重于对其性质的探索和理解，同时能运用其性质进行简单图形变换的作图。轴对称、平移、旋转变换均属于保距变换，和全等图形的关系比较密切，其概念、性质将在本章中作完整地介绍，并在后面的学习中作进一步地渗透和应用。相似变换是保角变换，对相似变换的概念和性质的真正理解和掌握，还须进一步学习相似三角形、位似形等知识，这将在九年级上册学习。因此本章教学的重点是轴对称、平移、旋转这三种图形的变换，难点是轴对称变换和旋转变换。
三、本章编写特点
1、 注重材料的选取。
根据自然界中的客观规律，以及人们对生活的需要和对美的追求，现实生活中存在着大量的对称、平移、旋转、相似等现象，我们生活在这样的环境中，就必然会接触这些现象，去研究这些现象。可以说，图形的变换就是来源于现实世界中的物体及其运动、变化，是对物体运动、变化的数学抽象。因此课本从学生身边的、熟悉的、能结合生活实际的方面去选取材料，范例力求丰富多彩。例如，学生所熟悉的建筑物、飞机、风筝、蝴蝶、剪纸图片等。这种设计，一方面充分利用了学生的生活经验，唤起学生的想像，体现了《数学课程标准》中的“通过具体实例认识图形的轴对称、平移、旋转、相似”的要求，另一方面也体现了数学与生活的联系，更体现了数学的美。并且飞机、轮船、汽车的对称能使飞机、轮船、汽车在航行中保持平衡；建筑上的对称多半是为了美观，但有时也考虑到使用上的方便和受力平衡等问题。这些知识把本身比较抽象、枯燥的数学知识与丰富的生活世界紧密地联系起来，有利于激发学生的学习兴趣，引起学生的共鸣，让学生能主动地投入到学习的活动中来，从而降低这部分知识的学习难度。
2、 突出探索的过程。
《数学课程标准》对这四种变换的性质的要求是，能通过实例去探索，以达到理解的目的。课本对这四种变换的性质的处理都是先从实际例子引出有关的概念，然后安排一个例题的学习，最后然后通过“想一想”“做一做”等环节归纳出性质。从实际例子引入的过程中，课本安排了“合作学习”栏目，意在让学生经历一个合作的过程，在合作中探讨、体会其含义。例题大多是画图题，通过画图能使学生直观地感受到其“变”与“不变”。最后是通过练习达到对性质的初步运用，从而加深对性质的理解。
3、 体现趣味性、活动性和应用性。
由于本章内容的学习要求学生有较高的识图能力、位置概念及想像能力，对思维能力的要求相对较高，因此课本力求在选材和处理上体现趣味性、活动性和应用性。一是选取大量的彩色图片以吸引学生的好奇，新鲜感，使他们能自觉地投入到本章知识的学习中，这也是本章区别于其他章节的最大特点；二是设计了一定的活动，如通过学生画图操作去探究变换的性质，通过扑克牌、沙漠旅行者等“探究活动”来运用变换；三是将有关知识和生活实际紧密联系，如专门安排一节“图形变换的简单应用”介绍有关图案的设计和应用变换的知识解决其他问题的例子。本章还安排了一个课题学习“美妙的镶嵌”，在欣赏美丽的镶嵌图案的基础上，简单介绍了有关镶嵌图的基本条件。但《数学课程标准》中“通过探索平面图形的镶嵌，知道任意一个三角形、四边形或正六边形可以镶嵌平面，并能运用这几种图形进行简单的镶嵌设计。”的目标将在九年级正多边形一章中进一步达成。
四、本章教学建议
㈠ 各节教学建议
具体各节教学建议详见教学参考书，下面是三个探究活动和课题学习的一些教学建议：
2.4 旋转变换（P55）：
本问题提供的思路是“用扑克牌试一试”，体现动手实践和数学实验的思想。
教学时，可以先让学生凭直观判断，能还是不能？然后用扑克牌实验。
扑克牌没有怎么办？找替代品，如复印、手画等自己制作两张纸牌。准备教具也是教师备课的基本要求之一。
2.5 相似变换（P59）：
本问题提供的思路是一种估测的方法。
要探求这个问题首先要画草图，弄清这位旅行者行走的路线，所处的位置. 关键是确定C地的位置，才能判断怎么返回路程最短。
画草图是学习数学的一种基本功，草图还要画得尽可能准确，有助于问题解决思路的探求。在画图的过程中，让学生体会，要画得尽可能准确，在图上用多长的线段表示行走的路程. 让学生从中得出所画的路线图与旅行者所走的实际路线图之间的关系——相似变换，再用相似变换的性质估测返回营地的方向和路程。
2.6 图形变换的简单应用（P63）：
本问题首先让学生感受我国具有悠久历史的传统蓝印花工艺，体会悠久的历史文化，以及其中蕴涵的数学思想——将图形进行适当的轴对称、平移和旋转等变换，可以设计美丽的图案。然后让学生以合作的方式，动手实践，设计图案并在班上交流。
教学时，要让学生充分利用图形变换的思想分析图案的形成，体会图形变换思想的运用。在此基础上进行设计创作。在班上交流，让学生体验成功，并互相启发，经验共享。交流时让学生自己说一说设计的思考和图案的形成过程。
课题学习： 美妙的镶嵌（P65）
——体现阅读理解，探索尝试，动手实践。某种程度上也属于过程引导型的探究活动，但课题学习的问题相对大一些。教学中学生完成时间建议最长可为一周。
㈡ 整体教学建议
1、 做好小学的衔接工作，用好方格纸。
图形与变换是小学没有学过的，新课标中才在小学有编排，但如增加直观教学，估计学生学习问题不会很大。在教学中我们应该根据《数学课程标准》的要求，结合本学段学生的特点，充分考虑学生的知识基础和生活经验，组织好学习。在图形的平移、图形的相似两节教学中，要充分用好方格纸，以加强直观性。
2、 注意选取学生身边的、熟悉的材料。
图形与变换是新增加的内容，相对于传统的教学内容它涉及图形的变化，这就对学生认识图形的能力和想像能力提出了更高的要求。我们一方面应充分运用好课本已提供的丰富的素材，另一面应当选取一些学生身边的、熟悉的材料，丰富教学内容，以帮助学生对图形变换概念的认识和性质的理解。在丰富的现实情境中，探索变换（轴对称、平移、旋转）现象的共同特征，认识变换（轴对称、平移、旋转）的基本性质。对于变换的学习要立足学生已有的生活经验和初步的教学活动经历，从观察生活中的变换现象入手，从整体的角度直观认识变换的特征，并逐步了解和领略变换现象的共同规律，探索有关变换的基本性质。比如折纸、转风车、照镜子等使学生获得诸如平移、旋转、轴对称等的体验；又如对于轴对称的学习，可以从观察生活中大量的对称现象（如徽标、枫叶、雪花、窗户的排列、水的反射、蝴蝶、建筑物、花边）出发，鼓励学生从事拆叠、扎纸、印墨迹等活动，并从中概括出轴对称的特征，学生可以开展下面的印墨迹和扎纸活动。
（1）取一张质地较软、吸水性能较好的纸，在纸上滴一滴墨水，将纸迅速对折、压平，并用手指压出清晰的折痕，再将纸打开后铺平，观察所得到的图案，位于折痕两侧的墨水迹图案彼此之间有什么关系？
（2）将一张纸对折后，用一根针在纸上随意扎出一个图案，将纸打开后铺平，观察所得到的图案，位于折痕两侧的图案彼此之间有什么关系？
3、 设计好探究的过程。
变换也是探索和理解一些图形之间的位置关系及某些图形性质的手段之一。在探索图形之间变换关系及基本图形的变换性质的过程中，学生将在头脑中想象图形的运动，这对于发展学生的空间观念很有好处，学生还将获得对图形自身的进一步理解。本章中除图形的轴对称外，其余各变换的性质基本上是通过观察、实验、概括的方法得出。课本提供了一些素材和设计，对于四种变换的性质的获得是学生共同参与的一种探究过程，这种探究需要教师根据学生的学习能力及学精心设计教学过程。
4．把握好教学的要求。
本章集中介绍了图形和变换的概念及性质，但有关图形和变换的目标的达成是一个循序渐进的过程，教师在本章的教学中要把握好教学要求。注意到本章学习的主要方法是观察、实验、概括、画图，重点在于对各种变换能作出正确判断和表述，对推理方面的要求不宜过高。图形与变换的应用在本章中有所体现，更体现在以后的章节中，并为后面的“几何证明”提供依据和策略。例如，图形变换的性质在八年级上册特殊三角形、图形与坐标，八年级下册有关四边形和九年级上、下册圆的有关章节中，相似变换在相似三角形一章中都将进一步应用。
5．灵活运用轴对称、平移和旋转的组合进行图案设计。
灵活运用变换进行图案设计是一个非常好的实践活动，学生将在这一活动中进一步理解变换的性质，体会变换的应用价值，并充分发挥自己的个性和创造力，领略图形世界的神奇，为了能打开学生的思路，可以先让他们观察现实生活中由变换形成的图案，并以此为启发设计自己的图案。
通过分析这些图形的形成过程，学生将获得创造的灵感和欲望，他们会提出多种创意，也许还会选择“扎眼”、“印墨迹”、折叠、剪纸、画图等不同办法完成自己的创意。在此过程中，学生的空间观念、实践能力、创新精神、好奇心和自信心都将得到充分的发展。有条件的地区，学生还可以利用计算机进行图案设计。
6．欣赏并体验变换在现实生活中的广泛应用，体会其丰富的文化价值。
学习图形与变换内容的一个重要目的是使学生运用数学的眼光看待现实世界。学生应能在生活中发现并欣赏变换的应用，并运用变换的知识分析有关的现象，进一步体会数学对人类社会的作用，体会数学的文化价值。例如，在生活中随处可见如图所示的美丽图案，学生应能运用变换的知识分析这些图形的形成。
7．重视数学史料的作用，注意体现数学与艺术、建筑、美术等学科的联系。
几何有着丰富的历史和文化内涵，结合具体的定理介绍一些相关的数学史实是十分必要的。这些材料一方面可以充实数学内容，激发学生学习几何的兴趣；另一方面也有助于学生对几何发展过程的了解，体会数学的文化价值。
同时，数学课程资源的开发和利用，也应当适时地体现数学与艺术之间的联系， “生活中的轴对称”例，著名画家的自画像是如何画出来的？
在美术史上，曾经留下了许多著名画家的自画像，并流传至今，如荷兰著名画家凡高的《抽着烟斗、包扎着耳朵的自画像》，是他在阿尔勒时期的名作之理，可以和他的《向日葵》相媲美。在这些画中，画家追求线和色彩自身的表现力，追求画面的平面感，装饰性和寓意性。
后人在研究画家如何画出这些画时，发现一个有趣的现象：许多画家原来是面对着镜子画出自己的像，但镜中的画像也改变了一些内容，如惯用左手拿画笔的画家在镜中的像却成了右手拿笔！
其实，镜子是画家们创作的常用工具和话题，如西班牙——法国画家P·毕加索创作于1932年的名画《镜前的少女》。
8．认识图形相似及其在生活中的广泛应用。
在传统的数学课程中，图形的相似也是一个非常重要的内容，但其侧重点主要放在了利用三角形相似的条件和性质证明一些图形问题，学生往往对相似在生活中的应用缺乏体会，也缺乏对图形相似（不仅仅是三角形相似）的丰富的直观经验。因此，《标准》强调“通过具体的实例认识图形的相似，探索相似的性质”，“利用图形的相似解决一些实际问题”，这就须要为学生提供丰富的情境。
例：图形的相似
活动1：你能将一个三角形分成几个同样的与它相似的小三角形吗？矩形、六边形呢？“L”形呢？如果能分成的，比较大小图形边长和面积比。
活动2：某商店装有一个监视器，如果发生偷盗情况时，可以通过录像分析小偷的特征（如身高），你知道如何能够估计出小偷的身高吗？
活动3：利用相似等知识测量树的高度
看起来，这些活动似乎没有严密的逻辑体系，也没有严格的符号表示，但它们却蕴涵了丰富的内涵。将图形分解成若干个与之相似的小图形，这既须要学生真正理解相似的含义，也须要学生对基本图形的性质有丰富的体验，同时对发展学生的想像能力大有好处；利用相似估计小偷的身高、估测树的高度，这体现了相似的应用价值。由此不难得到，教材注重的是通过丰富的实例，使学生体会相似的意义，并且所设置的活动多种多样，这为学生积累有关相似的经验提供了可能。学生将对在原始问题的讨论中，逐渐将数学抽象出来，用数学的语言描述“相似”的意义，实现“数学化”的过程；学生将在实践活动中充分开展思考和讨论，发展自己的空间观念和有条理思考；由于几乎所有的素材都有实际意义，学生可以体会到相似的广泛应用。同时，我们也可以看到位似在生活中的广泛应用，人们可以利用位似将一个图形放大或缩小。
综上所述，图形与变换的学习既不同于对变换几何的形式化研究，也不是简单的变换现象欣赏。在这部分内容的学习中，应力求体现“现实内容数学化”、“数学内容规律化”、“数学内容现实化”三者的统一。应引导学生观察现实生活中的现象并自觉地加以数学上的分析，进一步丰富数学活动的经验和体验，促进他们观察、分析、归纳、概括等一般能力和积极的情感态度、审美意识等的发展。
四、本章教学应注意以下几点：
1、轴对称、平移、旋转和相似这四种变换直接源于物体的运动和变化，教学中可应用学生熟悉的大量实际例子，帮助学生形成对图形变换概念的认识，这些变换的基本性质除了轴对称（可以根据上一章知识利用推理方法得出，从概念推理得到外，其余各变换都是通过观察实验、概括的方法得出。观察、实验、概括、画图等是本章的主要学习方法，对推理方面的要求不宜过高，重在能正确判断和表述。
2、轴对称图形与轴对称变换是两个不同的概念，容易混淆。轴对称图形是指图形是具有某种特征的图形；轴对称变换是指变换，从一个图形改变为另一个图形，原图形和变换后的像之间关于某一条直线成轴对称。课本中引入像的概念，将有助于防止概念之间的混淆，并使叙述方便。
3、要重视各类图形变换的实际应用，这对培养学生的动手操作能力，增加应用和创新知识都是十分有益的。
4、既要准确地把握标准的基本要求，又要体现教材的弹性，给学生的发展提供足够的空间。关于相似变换，本章仅限于图形的放大与缩小，不扩充任何关于相似三角形的具体内容。有关相似三角形的内容将在九年级讲述。
《标准》中列出的目标是面向全体学生的，教材使用时应充分考虑这一点。考试的学生的差异，教材的编写又要体现一定的弹性，满足学生在空间与图形内容方面的不同需求，使全体学生都能得到相应的发展。根据学生发展的可能性，
处理“图形与变换”内容时，不能照搬变换几何的理论，而是用变换的方法和思想处理图形问题，尽量体现变换的工具作用，而不是刻意追求对变换性质的研究，尤其是不刻意追求对变换性质的严格证明。不同地区、不同风格的教材编写者可以选择不同的实例（如研究对称时，可以著名建筑物为对象，也可以生物学中的“左右对称、辐射对称、球辐射对称等”为例），而且对内容的要求上也要留有一定余地（如对图案设计的要求应有弹性、在认识变换的过程中应选择多样的形式和渠道）。
瓜沥镇二中 朱伟炳
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- 8 -“第4章二元一次方程组”分析
本章是继一元一次方程后，又一个体现符号表示思想的内容。方程不仅在数学上有着广泛的应用，同时也是学习物理、化学等其他学科知识的一个重要基础，它是刻画现实世界的一个有效数学模型。本章主要内容有：二元一次方程的概念及其解的不唯一性、二元一次方程组的解法及建立和运用二元一次方程组这种数学模型解决一些简单的实际问题。通过二元一次方程组的解法的学习，不仅让学生掌握用代入法、加减法解二元一次方程组，并且使学生了解一个重要的数学思想方法：消元（代入消元法、加减消元法）。通过二元一次方程组的应用体验波利亚的问题解决的四个步骤：理解问题、制定计划、执行计划、回顾。本章内容的学习是建立在有理数、整式的运算、一元一次方程等知识的基础上，是一元一次方程知识的延伸和拓广，也是今后学习一般线性方程组、函数等内容的基础，具有承上启下的作用。
一、教科书内容和课程教学目标
1. 本章教学要求。
（1）了解二元一次方程的意义，能根据具体问题中的数量关系列出二元一次方程。认识对给定的二元一次方程中的一个未知数的值，另一个未知数有一个确定的值，用列表的方法表示二元一次方程的解，知道二元一次方程的解有无数多个，了解两个未知数(变量)之间的变化关系。
（2）了解二元一次方程组的意义，会用代入法和加减法解二元一次方程组。
（3）会列二元一次方程组解决简单的实际问题，并能根据具体问题的实际意义，检验结果是否合理。
2. 本章教材分析。
（1）4.1 二元一次方程。
在七年级上册，学生已经学习了一元一次方程，并能对一些简单的实际问题分析其等量关系，列出一元一次方程加以解决。在此基础上，本小节通过生活中的实际问题，以合作学习的方式，让学生列出方程，从而引出二元一次方程的概念，并让学生体验二元一次方程来源于生活，并是解决生活实际问题的需要。比原教材用天平上的数量关系直接引入的设计更具生活化，更能引起学生的兴趣。怎样正确理解二元一次方程的解是本小节的难点。因为学生脑子里已有的方程（一元一次方程）的解都是唯一的，而二元一次方程的解不唯一，并且这里所说的一个解实际上是一对数，这对数虽说有无数组，但却不是随意的。这对初学者来说是不容易理解的。本小节的例题：已知方程3x+2y=10（1）用关于x的代数式表示y；（2）求当x=-2，0，3时，对应的y的值，并写出方程3x+2y=10的三个解。其中“用一个字母的代数式表示另一个字母的安排”有助于学生进一步理解二元一次方程的解的不唯一性，并且为如何获得二元一次方程的解及后面用代入法解二元一次方程组打下伏笔。
（2）4.2 二元一次方程组。
本节的主要内容是二元一次方程组的概念和二元一次方程组的解。
在二元一次方程组的概念的教学中应突出方程组产生的过程和必要性，应突出对于含有两个未知数的实际问题，如果给出两个相等关系，就能列出两个方程，由于方程组中的两个未知数必须同时满足两个方程，我们应把两个方程组成一组，这样便形成了方程组。
讲解二元一次方程组的解的概念，要着重讲清方程组的解与组成方程组的各个方程的解之间的联系和区别。教学时可充分运用“做一做”（题目见下）,
第1题：①已知方程x+y=200，填写下表：x … 85 90 95 100 105 …
y
②已知方程y=x+10，填写下表：x … 85 90 95 100 105 …
y
③有没有这样的解，它既是方程x+y=200的一个解，又是方程y=x+10的一个解？
第2题：把下列各组数的题序填入图中适当的位置：
让学生亲身体验每个方程的无数多个解到方程组的唯一解的过程，并从中体会对于含有两个未知数的实际问题，只列一个二元一次方程不能解决的原因。 让学生体验二元一次方程组的解是两个二元一次方程解集的“交”集，同时向学生渗透了集合思想（与原教材不同，本教材中并没有明确给出“解集”的概念）。在这个过程中应注意说明，任何一个二元一次方程都有无数个解，但并不是所有二元一次方程组都有唯一解,如方程组 有无穷多解，而方程组
无解，本教科书只讨论有唯一解的二元一次方程组。这个内容虽然有点难，但它有助于学生对方程解的含义的理解。
本节中的例题（小聪全家外出旅游，估计需要胶卷底片120张。商店里有两种型号的胶卷：A型每卷36张底片，B型每卷12张底片。小聪一共买了4卷胶卷，刚好有120张底片。如果设两种胶卷分别买x卷和y卷，请根据问题中的条件列出关于x，y的方程组，并用列表尝试的方法求两种胶卷的数量。）的设置有两个目的：一是让学生继续体验对于含有两个未知数的实际问题可以列方程组来解；二是让学生经历列表尝试解二元一次方程组的方法。在列表尝试解二元一次方程组的过程中，可以引导学生先尝试确定未知数的大致范围，再以次为据进一步列表求解。列表尝试法操作有一定的难度如P92第6题中涉及方程 的求解，但在培养学生的数感和更深刻理解方程组的解的
含义及题意上有较好的作用。
本节的探究活动（ 把一根长为1.2m的铁丝正好折成一个长方形，长方形的长与宽有多少种不同的取法？要使取法只有一种，你准备增加什么条件？设折成的长方形的长与宽分别为x，y，根据题设和你所增加的条件列出方程组。）
请尽可能的让学生动手做一下，其中的铁丝也可以用线、细绳来代替，要允许学生出现错误，这正是知识增长的有效途径。这个活动可以让学生进一步体会一个二元一次方程解的不确定性。
（3）4.3 解二元一次方程组。
本节的主要内容是学习用代入消元法及加减消元法解二元一次方程组，各一课时。课本通过浅显易懂并形象的“天平”实例，引入代入消元法和加减消元法，直观地揭示了代入消元与加减消元法的实质。通过例2、，例3，例4的学习，让学生经历代入消元法和加减消元法解二元一次方程组的一般步骤，此时归纳出的“步骤”容易被学生接受。
对于二元一次方程组的解法，课本力求淡化其技巧和具体步骤，而注重揭示其本质思想——消元，让学生初步体验化“未知”为“已知”，化复杂问题为简单问题的化归思想。
本节内容比原教材减少了课时数，在原教材中用代入消元法解二元一次方程组用了两课时，分别是方程组中有一个未知数的系数为1时和方程组中两未知数的系数均不为1时两种情景。许多老师在具体授课时都已合二为一，觉得在体验了代入消元法解二元一次方程组的本质思想后大多学生有能力接受。但为了进一步巩固解二元一次方程组的一般步骤和“消元”思想，本人建议在课本安排的两课时后可根据需要再补充一节课，安排形态稍复杂的、可整体消元的、同时结合阅读材料（中有三元一次方程组的解法）的巩固提高内容。
（4）4.4 二元一次方程组的应用。
本节分两个课时，课本创设实际问题的情境，引导学生列二元一次方程组来解决实际问题，在实际问题的解决过程中，让学生再一次体验波利亚问题解决的四个步骤：理解问题、制定计划、执行计划、回顾。借此，提高学生分析问题、解决问题的能力。同时通过问题的解决使学生进一步体会方程（组）是刻画现实世界的有效数学模型。
溶液问题与第一册一样不作为一个专题性内容出现。由于我们在第一册中已接触了不少信息题（如统计中），在这一节中安排了不少信息题，有一些与统计知识相结合，体现了知识应用的综合性和现实性。如P105例3，要能通过对题中信息的分析，合理的选择设哪两个量为未知数；P106课内练习2，除了选择设哪两个量为未知数外，还要能看懂统计表，填好其他数量关系。
二、本章编写特点
1．素材丰富，取材来源于学生的现实生活。
课本选取了大量丰富多彩、生动有趣的，且来源于学生现实生活的问题情境。例如在合作学习栏目中，从学生熟悉的事物入手：邮票问题、苹果与梨子问题、游泳池小朋友的帽子颜色问题等，让学生通过观察、实验、猜测、验证、归纳、推理、概括，组织学生间的相互讨论、交流，从中抽象出数学问题，并用数学语言（二元一次方程（组））加以描述。在探究活动栏目中，课本提供了一些具有挑战性的问题，如折长方形、填车辆统计表等，让学生通过观察、分析、尝试、讨论、综合等，发现一般性的规律，体验波利亚问题解决的“四个步骤”。课本中丰富的素材为学生提供了更大的学习和发展空间，实现不同的人在数学上得到不同的发展。
2．注重学生参与数学活动。
《数学课程标准》中指出：“动手实践、自主探索与合作交流是学生学习数学的重要方式”。本章非常重视向学生提供充分从事数学活动的机会。在合作学习、探究活动、想一想、做一做等栏目中安排了大量的数学活动题材，其中一些重要的数学概念及数学方法，都是需要学生通过数学活动获得。例如，二元一次方程组的解、代入消元法、加减消元法的概念等等。学生在亲身体验和探索中认识数学解决问题，理解和掌握数学知识和方法。并通过与他人的合作，学会交流思想，学会表达自己的观点，学会质疑，学会倾听，学会尊重他人，学会评价信息。这种“过程”会改变数学学习的过程和结果，对促进学生的发展具有非常重要的意义。
3．重视知识的形成过程，突出数学思想方法。
课本注重知识的形成与应用过程，力求体现“问题情境—建立数学模型—解释、应用与拓展”的模式。如“用代入消元法解二元一次方程组”这一节课，教材将抽象的代入消元法，用天平上的梨子换成苹果这一浅显易懂的事实来说明，揭示了代入消元法的本质。再通过例题使学生掌握代入消元法解二元一次方程组。这种模式有利于学生理解并掌握相关的知识与方法，增进学生学好数学的信心，对数学学习有一个较为全面的体验与理解。
三、本章总体教学建议
1．重视学生参与数学活动。
在七年级上册，学生已经有了列一元一次方程解决实际问题的经验，也初步体会到了问题解决的“四个步骤”。因此，在教学中，教师应该给学生足够的自主探索、合作交流的时间与空间，让学生亲自体验寻求等量关系列二元一次方程组的尝试。
2．注意数学化归思想的渗透。
在解二元一次方程组的教学中，教师应充分注意到代入消元法和加减消元法是解二元一次方程组的基本方法，其本质是“消元”， “化未知为已知”的化归思想方法在未来的学习中有着广泛的应用。在教学中，教师要引导学生体会“消元”的本质，不要过分强调“消元”的技巧。
3．注意处理好学生在选择解决实际时所采用的方法。
一些学生可能会用列一元一次方程来解决本章的一些实际问题，教师应给予充分的肯定，但要注意比较两种方法的关系和优缺点（其实用一元一次方程求解具有较高的思维层次，因为它已经将其中的一个未知量用另一个未知量表示出来了）。6.4因式分解的简单应用
教学目标
1、会运用因式分解将被除式分解且能被除式整除的多项式除法。
2、会运用因式分解的方法解能化成AB=0形的简单一元二次方程。
3、体验运用因式分解进行简单的多项式除法及解简单的一元二次方程的探索过程。
4、培养自主探究、合作交流的能力。
5、初步具有转化思想。
教学重难点：
本节重点是因式分解的应用，即多项式除法与解方程。其中解一元二次方程涉及较多推理过程是本节课的难点。
教学准备：
分好合作交流的学习小组。
教学过程
一、创设情境，导入新课
师：哪位同学来说说(a b-ab )÷ab的结果。
生：运用多项式除以单项式的方法，可得结论为a-b。
师：除了这种方法之外，还有其他做法吗？
学生思考后回答，可以通过将被除式分解成ab(a-b)然后再除以除式ab得到结果。老师肯定学生的想法，并突出强调这里可将ab看作一个整体进行计算。提出课题，今天我们就来学习运用因式分解的方法进行多项式与多项式的除法和运用因式分解解方程。
二、合作交流，探究新知
1、多项式与多项式的除法。
（1）探索多项式除以多项式的方法、规律。
师：下面我们来看 (a b-ab )÷（a-b）我们又该如何解决呢？
让学生尝试着回答，教师板书示范，突出强调将被除式运用因式分解的方法化成几个因式乘积的关系ab(a-b)，将其中的（a-b）可看作是被除式的一个因式，结果可得。
（2）范例讲解：
下面式子能进行计算吗？怎样计算。
⑴(2ab -8a b)÷(4a-b) ⑵(4x -9)÷(3-2x)
⑶(x +2xy+y )÷(x+y) ⑷[(a-b) +(b-a)]÷(a-b)
这是四种不同形式的的多项式的除法，其中（1）（2）（3）分别运用提取公因式、平方差、和完全平方公式，对于（4）可由学生思考后交流。
师生共同归纳：进行多项式除以多项式的除法时，通常可以将被除式化成几个因式的乘积关系，然后再将除式看成一个整体，由被除式除以除式，得到结果。
2、应用因式分解解方程。
（1）合作交流（学生独立思考后，再讨论确定结论。）
问题：若AB=0，下面两个结论对吗？
①A和B同时都为零，即A=0，且B=0；
②A和B中至少有一个为零，即A=0，或B=0。
学生独立思考后，小组成员讨论确定结论。
讨论后，归纳得到：由AB=0，可得到A=0或B=0。（注：这里的A、B可以是单项式也可以表示多项式，只是一个因式。）
（2）例题讲解
解下列方程：
①(2x+3)(2x-3)=0 ②2x +x=0 ③(2x-1) =(x+2)
处理方法：先出示第一题，请学生来讲述，教师板书示范，并讲述方程根的概念。然后同时出示方程②③，请学生独立思考，解决求方程根的方法，有方法的同学求出方程的根。
反馈：请学生来说说自己的解题方法，教师板书，请学生来评论。
（3）归纳：
经过互评之后，学生已对求方程的解的方法有了一定的认识，归纳出简单一元二次方程的基本步骤：
①如果方程的右边是零，那么把左边分解因式，转化为若干个一元一次方程来解。
②如果方程的两边都不是零，那么先移项，把方程的右边化为零，然后把方程的左边分解因式，转化为若干个一元一次方程来解。
三、巩固练习，应用提高
练一练：
1、出示计算题
①(a -4)÷(a+2) ②(x -2xy+y )÷(x-y)
请两位学生到黑板演练，其余学生独立完成，教师巡视。
完成后请学生讲评。
2、解下列方程：
①x -2x=0 ②4x =(x-1)
请两位学生到黑板演练，其余学生独立完成，教师巡视。
完成后请学生讲评。
3、解决问题
出示书本163页作业题C组第6题。
学生独立思考，尔后合作交流确定解决问题的方案。
四、小结提高
本节课我们学习后有什么收获？
学生交流得出： 多项式的除法
（1）因式分解的应用
解不同类型的简单的一元二次方程
（2）多项式的除法及解一元二次方程的一般步骤。
五、布置作业
1、必做题：课本163页A组题。
2、选做题：课本163页B组题。
