【同步训练】浙教版2022-2023学年数学七年级下册第4章因式分解十字相乘法因式分解(补充1)(知识重点+经典例题+基础训练+培优训练)(含解析)

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名称 【同步训练】浙教版2022-2023学年数学七年级下册第4章因式分解十字相乘法因式分解(补充1)(知识重点+经典例题+基础训练+培优训练)(含解析)
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文件大小 1.7MB
资源类型 试卷
版本资源 浙教版
科目 数学
更新时间 2023-01-06 09:46:56

文档简介

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浙教版2022-2023学年数学七年级下册第4章因式分解
(补充)十字相乘法因式分解
【知识重点】
一般形式:(十字相乘法适用于二次三项式的因式分解)
十字相乘法的依据和具体内容:
利用十字相乘法分解因式,实质上是逆用竖式乘法法则.
它的一般规律:
(1)对于二次项系数为1的二次三项式,如果能把常数项分解成两个因数的积,并且为一次项系数,那么它就可以运用公式
分解因式.这种方法的特征是“拆常数项,凑一次项”.公式中的x可以表示单项式,也可以表示多项式,当常数项为正数时,把它分解为两个同号因数的积,因式的符号与一次项系数的符号相同;当常数项为负数时,把它分解为两个异号因数的积,其中绝对值较大的因数的符号与一次项系数的符号相同.
(2)对于二次项系数不是1的二次三项式(都是整数且)来说,
如果,存在四个整数,使,,且,
那么
【经典例题】
【例1】因式分解:   .
【例2】因式分解:    .
【例3】阅读理解:用“十字相乘法”分解因式 的方法.
⑴二次项系数 ;
⑵常数项 验算:“交叉相乘之和”;
; ; ;
⑶发现第③个“交叉相乘之和”的结果 ,等于一次项系数-1,即 ,则 .像这样,通过十字交叉线帮助,把二次三项式分解因式的方法,叫做十字相乘法.仿照以上方法,分解因式:    .
【例4】分解因式:6x2﹣7x﹣5.
【例5】分解因式:3x2+11x+10.
【例6】分解因式:x4﹣5x2+4.
【基础训练】
1.多项式可因式分解成,其中、、均为整数,求之值为何?(  )
A.-12 B.-3 C.3 D.12
2.如果多项式 分解因式为 ,那么 的值为(  )
A.-2 B.2 C.12 D.-12
3.如果二次三项式 可以分解因式为 (x+q)·(x-2),那么 的值为(  )
A.2 B.3 C.4 D.9
4.把多项式分解因式,其结果是(  )
A. B.
C. D.
5.因式分解x2+mx﹣12=(x+p)(x+q),其中m、p、q都为整数,则这样的m的最大值是(  )
A.1 B.4 C.11 D.12
6.分解因式:   .
7.分解因式:x2﹣7xy﹣18y2=   .
8.分解因式:2x2+x﹣6=   .
9.要使二次三项式x2+mx﹣6能在整数范围内分解因式,求整数m的值.
10.若多项式5x2+17x﹣12可因式分解成(x+a)(bx+c),其中a、b、c均为整数,则a+c之值为   .
11.分解因式:
12.十字相乘法分解因式:
(1)x2+3x+2 (2)x2﹣3x+2 (3)x2+2x﹣3 (4)x2﹣2x﹣3
(5)x2+5x+6 (6)x2﹣5x﹣6 (7)x2+x﹣6 (8)x2﹣x﹣6
(9)x2﹣5x﹣36 (10)x2+3x﹣18 (11)2x2﹣3x+1 (12)6x2+5x﹣6.
【培优训练】
13.多项式x2+ax+12分解因式为(x+m)(x+n),其中a,m,n为整数,则a的取值有(  )
A.3个 B.4个 C.5个 D.6个
14.要在二次三项式x2+(  )x-6的括号中填上一个整数,使它能按公式x2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)分解因式,那么这些数只能是(  )
A.1,-1 B.5,-5
C.1,-1,5,-5 D.以上答案都不对
15.分解因式:a4﹣3a2﹣4=   .
16.分解因式:    
17.分解因式:x2+4xy+4y2+x+2y-2=    。
18.因式分解:15x2+13xy﹣44y2=   .
19.阅读下面材料:分解因式:x2+3xy+2y2+4x+5y+3.
∵x2+3xy+2y2=(x+y)(x+2y).
设x2+3xy+2y2+4x+5y+3=(x+y+m)(x+2y+n).
比较系数得,m+n=4,2m+n=5.解得m=1,n=3.
∴x2+3xy+2y2+4x+5y+3=(x+y+1)(x+2y+3).
解答下面问题:在有理数范围内,分解因式2x2﹣21xy﹣11y2﹣x+34y﹣3=   .
20.因式分解:
21.
22.分解因式: .
23.(x2﹣3x)2﹣8(x2﹣3x)+16.
24.已知(x2+y2)(x2+3+y2)﹣54=0,试求x2+y2的值.
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浙教版2022-2023学年数学七年级下册第4章因式分解(解析版)
(补充)十字相乘法因式分解
【知识重点】
一般形式:(十字相乘法适用于二次三项式的因式分解)
十字相乘法的依据和具体内容:
利用十字相乘法分解因式,实质上是逆用竖式乘法法则.
它的一般规律:
(1)对于二次项系数为1的二次三项式,如果能把常数项分解成两个因数的积,并且为一次项系数,那么它就可以运用公式
分解因式.这种方法的特征是“拆常数项,凑一次项”.公式中的x可以表示单项式,也可以表示多项式,当常数项为正数时,把它分解为两个同号因数的积,因式的符号与一次项系数的符号相同;当常数项为负数时,把它分解为两个异号因数的积,其中绝对值较大的因数的符号与一次项系数的符号相同.
(2)对于二次项系数不是1的二次三项式(都是整数且)来说,
如果,存在四个整数,使,,且,
那么
【经典例题】
【例1】因式分解:   .
【答案】
【解析】采取十字相乘因式分解法直接分解,
1×1+1×(—9)=—8

故答案为:.
【分析】观察二次项的系数为1,一次项的系数的绝对值为8,常数项为-9(9×1=9,9-1=8),因此利用十字相乘法分解因式即可.
【例2】因式分解:    .
【答案】
【解析】
故填: .
【分析】根据十字相乘法即可因式分解.
【例3】阅读理解:用“十字相乘法”分解因式 的方法.
⑴二次项系数 ;
⑵常数项 验算:“交叉相乘之和”;
; ; ;
⑶发现第③个“交叉相乘之和”的结果 ,等于一次项系数-1,即 ,则 .像这样,通过十字交叉线帮助,把二次三项式分解因式的方法,叫做十字相乘法.仿照以上方法,分解因式:    .
【答案】(x+3)(3x﹣4)
【解析】3x2+5x﹣12=(x+3)(3x﹣4).
【分析】根据“十字相乘法”分解因式得出即可。
【例4】分解因式:6x2﹣7x﹣5.
【答案】解:6x2﹣7x﹣5=(2x+1)(3x﹣5)
【解析】【分析】将6分解成2×3,﹣5分解成1×(﹣5),即可分解因式,所以利用十字相乘法分解因式即可.
【例5】分解因式:3x2+11x+10.
【答案】解:3x2+11x+10=(x+2)(3x+5).
【分析】ax2+bx+c(a≠0)型的式子的因式分解,这种方法的关键是把二次项系数a分解成两个因数a1,a2的积a1 a2,把常数项c分解成两个因数c1,c2的积c1 c2,并使a1c2+a2c1正好是一次项b,那么可以直接写成结果:ax2+bx+c=(a1x+c1)(a2x+c2),进而得出即可.
【例6】分解因式:x4﹣5x2+4.
【答案】解:x4﹣5x2+4=(x2﹣1)(x2﹣4)=(x+1)(x﹣1)(x+2)(x﹣2).
【分析】原式利用十字相乘法分解后,再利用平方差公式分解即可得到结果.
【基础训练】
1.多项式可因式分解成,其中、、均为整数,求之值为何?(  )
A.-12 B.-3 C.3 D.12
【答案】A
【解析】,多项式可因式分解成,
,,,

故答案为:A.
2.如果多项式 分解因式为 ,那么 的值为(  )
A.-2 B.2 C.12 D.-12
【答案】A
【解析】 ∵
=
=x2+2x-35.
∴-m=2,
∴m=-2.
故答案为:A.
3.如果二次三项式 可以分解因式为 (x+q)·(x-2),那么 的值为(  )
A.2 B.3 C.4 D.9
【答案】C
【解析】 = ,
∴= ,
∴,
解得: ,
∴ .
故答案为:C.
4.把多项式分解因式,其结果是(  )
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】x2+3x 54=(x 6)(x+9);
故答案为:B.
5.因式分解x2+mx﹣12=(x+p)(x+q),其中m、p、q都为整数,则这样的m的最大值是(  )
A.1 B.4 C.11 D.12
【答案】C
【解析】∵(x+p)(x+q)= x2+(p+q)x+pq= x2+mx-12
∴p+q=m,pq=-12.
∴pq=1×(-12)=(-1)×12=(-2)×6=2×(-6)=(-3)×4=3×(-4)=-12
∴m=-11或11或4或-4或1或-1.
∴m的最大值为11.
故答案为:C.
6.分解因式:   .
【答案】x(x+1)(x-3)
【解析】原式=,
故答案为:x(x+1)(x-3);
7.分解因式:x2﹣7xy﹣18y2=   .
【答案】
【解析】x2﹣7xy﹣18y2 ,
故答案为: .
8.分解因式:2x2+x﹣6=   .
【答案】(2x﹣3)(x+2)
【解析】原式=(2x﹣3)(x+2).
故答案为:(2x﹣3)(x+2)
9.要使二次三项式x2+mx﹣6能在整数范围内分解因式,求整数m的值.
【答案】解:∵能在整数范围内分解因式:﹣6=﹣3×2,﹣6=﹣6×1,﹣6=2×(﹣3),﹣6=(﹣1)×6,
∴m=±5,m=±1.
10.若多项式5x2+17x﹣12可因式分解成(x+a)(bx+c),其中a、b、c均为整数,则a+c之值为   .
【答案】1
【解析】 解: ∵

∴ , ,

故答案为: .
11.分解因式:
【答案】解:
=
=.
12.十字相乘法分解因式:
(1)x2+3x+2
(2)x2﹣3x+2
(3)x2+2x﹣3
(4)x2﹣2x﹣3
(5)x2+5x+6
(6)x2﹣5x﹣6
(7)x2+x﹣6
(8)x2﹣x﹣6
(9)x2﹣5x﹣36
(10)x2+3x﹣18
(11)2x2﹣3x+1
(12)6x2+5x﹣6.
【答案】(1)解: x2+3x+2=(x+1)(x+2);
(2)x2﹣3x+2=(x﹣1)(x﹣2);
(3)x2+2x﹣3=(x+3)(x﹣1);
(4)x2﹣2x﹣3=(x﹣3)(x+1);
(5)x2+5x+6=(x+3)(x+2);
(6)x2﹣5x﹣6=(x﹣6)(x+1);
(7)x2+x﹣6=(x+3)(x﹣2);
(8)x2﹣x﹣6=(x﹣3)(x+2);
(9)x2﹣5x﹣36=(x﹣9)(x+4);
(10)x2+3x﹣18=(x+6)(x﹣3);
(11)2x2﹣3x+1=(2x﹣1)(x﹣1);
(12)6x2+5x﹣6=(2x+3)(3x﹣2)
【培优训练】
13.多项式x2+ax+12分解因式为(x+m)(x+n),其中a,m,n为整数,则a的取值有(  )
A.3个 B.4个 C.5个 D.6个
【答案】D
【解析】由题意得:
∵a,m,n为整数,
∴①当12=3×4时,a=7;②当12=-3×(-4)时,a=-7;③当12=2×6时,a=8;④当12=-2×(-6)时,a=-8;⑤当12=1×12时,a=13;⑥12=-1×(-12)时,a=-13;
∴a的取值有6个,
故答案为:D.
14.要在二次三项式x2+(  )x-6的括号中填上一个整数,使它能按公式x2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)分解因式,那么这些数只能是(  )
A.1,-1 B.5,-5
C.1,-1,5,-5 D.以上答案都不对
【答案】C
【解析】①x2+(-1+6 )x+(-1 )×6=(x-1)(x+6),
∴a=-1, b=6,
∴a+b=-1+6=5;
②x2+(-6+1 )x+(-6 )×1=(x+1)(x-6),
∴a=1, b=-6,
∴a+b=1+(-6)=-5;
③x2+(-2+3 )x+(-2 )×3=(x-2)(x+3),
∴a=-2, b=3,
∴a+b=-2+3=1;
④x2+(-3+2 )x+(-3 )×2=(x-3)(x+2),
∴a=-3, b=2,
∴a+b=-3+2=-1;
综上,共有四个答案.
故答案为:C.
15.分解因式:a4﹣3a2﹣4=   .
【答案】(a2+1)(a+2)(a﹣2)
【解析】a4﹣3a2﹣4
=(a2+1)(a2﹣4)
=(a2+1)(a+2)(a﹣2),
故答案为:(a2+1)(a+2)(a﹣2).
16.分解因式:    
【答案】
【解析】
故答案为: .
17.分解因式:x2+4xy+4y2+x+2y-2=    。
【答案】(x+2y+2)(x+2y-1)
【解析】原式=(x+2y)2+(x-2y)-2= (x+2y+2)(x+2y-1) .
故答案为: (x+2y+2)(x+2y-1)
18.因式分解:15x2+13xy﹣44y2=   .
【答案】(3x﹣4y)(5x+11y)
【解析】利用十字相乘法,如图,
将二次项系数、常数项分别分解,交叉乘加验中项,得出答案,
15x2+13xy﹣44y2=(3x﹣4y)(5x+11y).
故答案为:(3x﹣4y)(5x+11y).
19.阅读下面材料:分解因式:x2+3xy+2y2+4x+5y+3.
∵x2+3xy+2y2=(x+y)(x+2y).
设x2+3xy+2y2+4x+5y+3=(x+y+m)(x+2y+n).
比较系数得,m+n=4,2m+n=5.解得m=1,n=3.
∴x2+3xy+2y2+4x+5y+3=(x+y+1)(x+2y+3).
解答下面问题:在有理数范围内,分解因式2x2﹣21xy﹣11y2﹣x+34y﹣3=   .
【答案】(2x+y-3)(x-11y+1)
【解析】∵,
设,
∴,
解得m=-3,n=1,
∴,
故填: (2x+y-3)(x-11y+1).
20.因式分解:
【答案】原式=
21.
【答案】解:原式

22.分解因式: .
【答案】解:原式=(x2-x+3)(x2-x-2)
=(x2-x+3)(x+1)(x-2).
【解析】令a= ,把原式化为 ,再用十字相乘法进行因式分解.
23.(x2﹣3x)2﹣8(x2﹣3x)+16.
【答案】解:(x2﹣3x)2﹣8(x2﹣3x)+16
=(x2﹣3x﹣4)2
=(x﹣4)2(x+1)2.
24.已知(x2+y2)(x2+3+y2)﹣54=0,试求x2+y2的值.
【答案】解:设t=x2+y2.则由原方程,得
t(3+t)﹣54=0,即(t+9)(t﹣6)=0,
所以t+9=0或t﹣6=0,
解得t=﹣9(舍去)或t=6.
即x2+y2的值是6.
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