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浙教版2022-2023学年数学七年级下册第4章因式分解（解析版）
（补充）分组法因式分解
【知识重点】
利用分组来分解因式的方法叫做分组分解法
利用分组分解法分解因式的多项式特征：
（1）多项式的项数一般大于三项
（2）分组后各组可利用提取公因式法或公式法或十字相乘法进行分解
（3）各组分解后，整个式子又可继续进行因式分解
【经典例题】
【例1】先阅读下列材料，再解答问题：
常用的分解因式的方法有提取公因式法和公式法，但有的多项式只用上述一种方法无法分解，例如多项式 和 ．经过细心观察可以发现，若将多项式进行合理分组后，先将每一组进行分解，分别分解后再用提公因式法或公式法就可以完整分解了.
解答过程如下：
（1）
（2）
这种方法叫分组分解法，对于超过三项的多项式往往考虑这种方法．利用上述思想方法，把下列各式分解因式：
①②
【答案】解：① ；
②
．
【分析】（1）将1、2项，3、4项分别结合分解因式，再进行组间的公因式提取便可达到目的；
（2）将原式分成和-9两组，前一组利用完全平方公式分解，然后再利用平方差公式继续因式分解即可。
【例2】分解因式：．
【答案】解：原式
．
【分析】先将原式变形为，再提取公因式（x-1），再利用平方差公式因式分解即可。
【例3】分解因式：．
【答案】解：原式．
【分析】利用分组分解因式的方法求解即可。
【例4】若 ,x、y均为有理数，则 的值为 .
【答案】-16
【解析】∵
=
=
∴x+2=0,y-4=0
∴x=-2，y=4
∴ =-（-2）4=-16.
故答案为;-16.
【分析】根据拆项的方法、分组分解法将等式的左边变形为两个完全平方式的和，根据偶数次幂的非负性，由几个非负数的和为0，则这几个数都为0，求出x,y的值，再代入代数式按有理数的乘方运算算出结果。
【基础训练】
1．已知 ，则代数式 ab的值为（ ）
A．-15 B．-2 C．-6 D．6
【答案】C
【解析】：∵a-b=3，b+c=-5，
∴a-b＋b＋c=3-5，
即a+c=-2，
故答案为：C.
2．把多项式ab﹣1+a﹣b因式分解的结果是（ ）
A．（a+1）（b+1） B．（a﹣1）（b﹣1）
C．（a+1）（b﹣1） D．（a﹣1）（b+1）
【答案】D
【解析】：ab﹣1+a﹣b=（ab﹣b）+（a﹣1）=b（a﹣1）+（a﹣1）=（a﹣1）（b+1）；
ab﹣1+a﹣b=（ab+a）﹣（b+1）=a（b+1）﹣（b+1）=（a﹣1）（b+1）．
故答案为：D．
3．分解因式x2﹣m2+4mn﹣4n2等于（ ）
A．（x+m+2n）（x﹣m+2n） B．（x+m﹣2n）（x﹣m+2n）
C．（x﹣m﹣2n）（x﹣m+2n） D．（x+m+2n）（x+m﹣2n）
【答案】B
【解析】：x2﹣m2+4mn﹣4n2
=x2﹣（m2﹣4mn+4n2）
=x2﹣（m﹣2n）2
=（x+m﹣2n）（x﹣m+2n）．
故选：B．
4．分解因式： .
【答案】（a+b+2）（a+b-2）
【解析】：原式=（a+b）2-22
=（a+b+2）（a+b-2），
故答案为：（a+b+2）（a+b-2）.
5．因式分解：ax﹣by+ay﹣bx＝ ．
【答案】
【解析】：ax﹣by+ay﹣bx
＝（ax﹣bx）+（ay﹣by）
＝x（a﹣b）+y（a﹣b）
＝（a﹣b）（x+y）
故答案为：（a﹣b）（x+y）
6．分解因式： .
【答案】
【解析】：
故答案为：（ab-1）（a+b）
7．分解因式：.
【答案】解：
.
8．分解因式：
【答案】解：
=
=
=
= ．
9．分解因式：
（1） ；
（2） .
【答案】（1）解：原式 ；
（2）解：原式 .
10．阅读下列文字与例题：
将一个多项式分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法是分组分解法．
例如：(1)am＋an＋bm＋bn
＝(am＋bm)＋(an＋bn)
＝m(a＋b)＋n(a＋b)
＝(a＋b)(m＋n)
(2)x2－y2－2y－1
＝x2－(y2＋2y＋1)
＝x2－(y＋1)2
＝(x＋y＋1)(x－y－1)
试用上述方法分解因式a2＋2ab＋ac＋bc＋b2.
【答案】解：原式＝(a2＋2ab＋b2)＋(ac＋bc)
＝(a＋b)2＋c(a＋b)
＝(a＋b)(a＋b＋c)．
【培优训练】
11．已知是正整数，，且，则等于（ ）
A．-1 B．1或23 C．1 D．-1或23
【答案】B
【解析】：∵x2-xy-xz+yz=23，
∴x（x-y）-z（x-y）=23
∴（x-y）（x-z）=23，
∵x，y，z为正整数，x＞y，
∴x-y＞0，x-z＞0且x-y和x-z为正整数，
∴x-y=1，x-z=23或x-y=23，x-z=1.
故答案为：B
12．下列各式中，计算结果是x3+4x2-7x-28的是（ ）
A．（x2+7）（x+4） B．（x2-2）（x+14）
C．（x+4）（x2-7） D．（x+7）（x2-4）
【答案】C
【解析】： x3+4x2-7x-28
=x2（x+4）-7（x+4）
=（x+4）（x2-7）.
故答案为：C.
13．分解因式4﹣x2+2x3﹣x4，分组合理的是（ ）
A．（4﹣x2）+（2x3﹣x4） B．（4﹣x2﹣x4）+2x3
C．（4﹣x4）+（﹣x2+2x3） D．（4﹣x2+2x3）﹣x4
【答案】A
【解析】：4﹣x2+2x3﹣x4
=（4﹣x2）+（2x3﹣x4）
=（2+x）（2﹣x）+x3（2﹣x）
=（2﹣x）（2+x+x3）
=﹣（x﹣2）（x3+x+2）．
故选A．
14．因式分解：a +2ab+b -3a-3b-4= .
【答案】(a+b-4)(a+b+1)
【解析】：a +2ab+b -3a-3b-4
=(a +2ab+b )-(3a-3b)-4
=(a+b)2-3(a+b)-4
=(a+b-4)(a+b+1)
故答案为：(a+b-4)(a+b+1)
15．分解因式；．x3﹣3x2﹣6x+8= ．
【答案】（x﹣4）（x﹣1）（x+2）
【解析】：x3﹣3x2﹣6x+8
=
=
=
=
=
=（x﹣4）（x﹣1）（x+2），
故答案为：（x﹣4）（x﹣1）（x+2）．
16．分解因式： ．
【答案】
【解析】：原式
．
故答案为：.
17．
已知a2＋a＋1＝0，则1＋a＋a2＋a3＋…＋a8的值为 ．
【答案】0
【解析】： 1＋a＋a2＋a3＋…＋a8
= （1＋a＋a2）+a3（1＋a＋a2）+a6（1＋a＋a2）
=（1＋a＋a2）(1+a3+a6)
=0×(1+a3+a6)
=0.
故答案为：0.
18．观察“探究性学习”小组的甲、乙两名同学进行的分解因式：
甲：x2﹣xy+4x﹣4y
=（x2﹣xy）+（4x﹣4y） （分成两组）
=x（x﹣y）+4（x﹣y） （直接提公因式）
=（x﹣y）（x+4）．
乙：a2﹣b2﹣c2+2bc
=a2﹣（b2+c2+2bc） （分成两组）
=a2﹣（b﹣c）2 （直接运用公式）
=（a+b﹣c）（a﹣b+c） （再用平方差公式）
请你在他们解法的启发下，把下列各式分解因式：
（1）m2﹣mn+mx﹣nx．
（ 2）x2﹣2xy+y2﹣9．
【答案】解：（1）m2﹣mn+mx﹣nx=m（m﹣n）+x（m﹣n）=（m﹣n）（m+x）；
（2）x2﹣2xy+y2﹣9=（x﹣y）2﹣32=（x﹣y+3）（x﹣y﹣3）．
19．分解因式：
【答案】解：，
=，
=，
=．
20．因式分解： ．
【答案】解：原式=
=
=
= ．
21．分解因式： ．
【答案】解：原式=
．
22．分解因式
（1）x3﹣2x2+3x﹣2
（2）2x3+x2﹣5x﹣4
（3）x3﹣x2+2x﹣8．
【答案】（1）解：x3﹣2x2+3x﹣2
=x3﹣2x2+x+2x﹣2
=x（x﹣1）2+2（x﹣1）
=（x﹣1）（x2﹣x+2）
（2）解：2x3+x2﹣5x﹣4
=2x3+x2﹣x﹣4x﹣4
=x（2x﹣1）（x+1）﹣4（x+1）
=（x+1）（2x2﹣x﹣4）
（3）解：x3﹣x2+2x﹣8
=x3﹣x2﹣2x+4x﹣8
=x（x﹣2）（x+1）+4（x﹣2）
=（x﹣2）（x2+x+4）
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（补充）分组法因式分解
【知识重点】
利用分组来分解因式的方法叫做分组分解法
利用分组分解法分解因式的多项式特征：
（1）多项式的项数一般大于三项
（2）分组后各组可利用提取公因式法或公式法或十字相乘法进行分解
（3）各组分解后，整个式子又可继续进行因式分解
【经典例题】
【例1】先阅读下列材料，再解答问题：
常用的分解因式的方法有提取公因式法和公式法，但有的多项式只用上述一种方法无法分解，例如多项式 和 ．经过细心观察可以发现，若将多项式进行合理分组后，先将每一组进行分解，分别分解后再用提公因式法或公式法就可以完整分解了.
解答过程如下：
（1）
（2）
这种方法叫分组分解法，对于超过三项的多项式往往考虑这种方法．利用上述思想方法，把下列各式分解因式：
① ②
【例2】分解因式：．
【例3】分解因式：．
【例4】若 ,x、y均为有理数，则 的值为 .
【基础训练】
1．已知 ，则代数式 ab的值为（ ）
A．-15 B．-2 C．-6 D．6
2．把多项式ab﹣1+a﹣b因式分解的结果是（ ）
A．（a+1）（b+1） B．（a﹣1）（b﹣1）
C．（a+1）（b﹣1） D．（a﹣1）（b+1）
3．分解因式x2﹣m2+4mn﹣4n2等于（ ）
A．（x+m+2n）（x﹣m+2n） B．（x+m﹣2n）（x﹣m+2n）
C．（x﹣m﹣2n）（x﹣m+2n） D．（x+m+2n）（x+m﹣2n）
4．分解因式： .
5．因式分解：ax﹣by+ay﹣bx＝ ．
6．分解因式： .
7．分解因式：.
8．分解因式：
9．分解因式：
（1） ；
（2） .
10．阅读下列文字与例题：
将一个多项式分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法是分组分解法．
例如：(1)am＋an＋bm＋bn
＝(am＋bm)＋(an＋bn)
＝m(a＋b)＋n(a＋b)
＝(a＋b)(m＋n)
(2)x2－y2－2y－1
＝x2－(y2＋2y＋1)
＝x2－(y＋1)2
＝(x＋y＋1)(x－y－1)
试用上述方法分解因式a2＋2ab＋ac＋bc＋b2.
【培优训练】
11．已知是正整数，，且，则等于（ ）
A．-1 B．1或23 C．1 D．-1或23
12．下列各式中，计算结果是x3+4x2-7x-28的是（ ）
A．（x2+7）（x+4） B．（x2-2）（x+14）
C．（x+4）（x2-7） D．（x+7）（x2-4）
13．分解因式4﹣x2+2x3﹣x4，分组合理的是（ ）
A．（4﹣x2）+（2x3﹣x4） B．（4﹣x2﹣x4）+2x3
C．（4﹣x4）+（﹣x2+2x3） D．（4﹣x2+2x3）﹣x4
14．因式分解：a +2ab+b -3a-3b-4= .
15．分解因式；．x3﹣3x2﹣6x+8= ．
16．分解因式： ．
17．
已知a2＋a＋1＝0，则1＋a＋a2＋a3＋…＋a8的值为 ．
18．观察“探究性学习”小组的甲、乙两名同学进行的分解因式：
甲：x2﹣xy+4x﹣4y
=（x2﹣xy）+（4x﹣4y） （分成两组）
=x（x﹣y）+4（x﹣y） （直接提公因式）
=（x﹣y）（x+4）．
乙：a2﹣b2﹣c2+2bc
=a2﹣（b2+c2+2bc） （分成两组）
=a2﹣（b﹣c）2 （直接运用公式）
=（a+b﹣c）（a﹣b+c） （再用平方差公式）
请你在他们解法的启发下，把下列各式分解因式：
（1）m2﹣mn+mx﹣nx． （ 2）x2﹣2xy+y2﹣9．
19．分解因式：
20．因式分解： ．
21．分解因式： ．
22．分解因式
（1）x3﹣2x2+3x﹣2
（2）2x3+x2﹣5x﹣4
（3）x3﹣x2+2x﹣8．
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