第二章二元一次方程导学案及答案

七下数学第二章导学案及答案
2.1二元一次方程
【课前预习导学】
下列方程是一元一次方程的是（ ）
B. C. D.
2.写出一个解为的一元一次方程：______________________.
3. 解方程：
(1) (2)

(3) (4)
已知，
若将移到等式的右边，方程变为______________.
若将移到等式的右边，方程变为______________，然后等式的两边都乘以，
则方程变为______________.
5.设a为整数，若关于x的方程ax=2的解为整数，则a的取值是____________.
6.m为何值时，关于的方程4-2m＝3+1的解是方程＝2-3m的解得2倍.

7.写出的一个解_____________________.
【课外资料导学】
沃尔夫奖
主要是奖励对推动人类科学与艺术文明做出杰出贡献的人士，每年评选一次，分别奖励在农业、化学、数学、医药和物理领域，或艺术领域中建筑、音乐、绘画、雕塑四大项目之一中取得突出成绩的人士。其中以沃尔夫数学奖影响最大.沃尔夫奖具有终身成就性质，是世界最高成就奖之一.
【课中生成导学】
什么样的方程是二元一次方程，请写出两个二元一次方程.
一般地，二元一次方程的解有几个？你能写出方程的三个解吗？
3.用含的代数式表示，就是要把一个方程的左边化为，方程的右边化为含的代数式.例如：已知，用含的代数式表示，=___________.
得 分
【课堂测评导学】(共10分)
1.方程,，，，，，
中是二元一次方程的有（ ）个．
A．1　　　　　B．2 C.3　　　　D.4
2.二元一次方程，当=0，1，2，3时，= .
3.在中，(1)若用表示，则= ；(2)若用表示，则= .
4.检验下列各组数是否是方程的解.
（1） （2） （3）

已知是方程的一个解，求的值
【课后拓展导学】
已知方程，
当为多少时，方程为一元一次方程？当为多少时，方程为二元一次方程.
2.2二元一次方程组
【课前预习导学】
1. 叫做二元一次方程. 叫做二元一次方程的解.
2.下列各式中是一元一次方程的是 ，是二元一次方程的有 .
① 3x＋2y＝6 ② x＝0 ③ x2＋x＝0 ④ x＝y ⑤ ⑥.
已知方程，
（1）用含的代数式表示
（2）用含的代数式表示
（3）写出这个方程的3个解
4.已知一个长方形的周长为28cm，长比宽多2cm,
(1)解：设宽为cm，则长为 cm.
则可列方程
解得：
答：
(2)解：设宽为cm，长为cm.
则可列方程( ( .
5.已知方程是关于、的二元一次方程，则= ，= .
6.下列方程组中，是二元一次方程组的有 (填序号)
① ② ③
④ ⑤ ⑥ .
【课外资料导学】
数学家雅谷伯努利的小故事　　瑞士数学家雅谷伯努利，生前对螺线（被誉为生命之线）有研究，他死了之后，墓碑上就刻着一条对数螺线，同时碑文上还写着：“我虽然改变了，但却和原来一样”.这是一句既刻划螺线性质又象征他对数学热爱的双关语.
【课中生成导学】
1.什么样的方程组是二元一次方程组，请写出两个二元一次方程组.
2.二元一次方程组的解有几个？你能用列表尝试法求出方程组的解吗？
得 分
【课堂测评导学】(共10分)
1.（2011四川凉山州）下列方程组中是二元一次方程组的是（ ）
A． B． C． D．
2．方程组的解是( )
A. B. C. D.
3．下列哪一个二元一次方程组的解为（　　　）
A. 　　B. C. D.
4．写一个二元一次方程组，使得此方程组的解为，_____________________.
5．若关于、的二元一次方程组的解为，求，的值.
【课后拓展导学】
某幼儿园小7班教师午餐加点心时，将一盘水果发给小朋友，每个小朋友发6个，则剩下10个，每个小朋友发7个，又少5个，一共有多少个小朋友？多少个水果？
2.3解二元一次方程组(1)
【课前预习导学】
1.解方程时，去分母后正确的是〔 〕
A. B.
C. D.
2.对于二元一次方程，
（1）用含的代数式表示，则= ；（2）用含的代数式表示，则= .
3.对于二元一次方程，用含的代数式表示，则=
4.用列表尝试法求出方程组的解.
5.若，求的值.
6. 求出方程的正整数解.
7. 解方程组 .

【课外资料导学】
20世纪最杰出的数学家之一的冯·诺依曼．
1946年发明的电子计算机，鉴于冯·诺依曼在发明电子计算机中所起到关键性作用，他被西方人誉为“计算机之父”.冯·诺依曼在布达佩斯的卢瑟伦中学读书期间，就崭露头角而深受老师的器重．在费克特老师的个别指导下并合作发表了第一篇数学论文，此时冯·诺依曼还不到18岁.
【课中生成导学】
1.用代入法解二元一次方程组的一般步骤是什么？
2.你能用代入法求出方程组的解吗？
得 分
【课堂测评导学】(共10分)
1.在方程中，用含的代数式表示，则?（ ）
A. B. C. D.
2．解方程组：
（1） （2）
（3） （4）
3.已知代数式，当时，它的值为，当时它的值是3，求p、q的值.
4.若3xa+2＋4ya-b+6＝11是二元一次方程，求a、b的值.
5．写一个二元一次方程组，使它的解为
【课后拓展导学】
代数式，当时，它的值是7；当时，它的值是4，试求时代数式的值.
2.3解二元一次方程组(2)
【课前预习导学】
1.合并同类项
（1） ；（2） ；（3） ； （4）；
2.解方程组：
（1） （2）


（3） （4）
3.已知
如果把这个方程组的两个方程的左右两边分别相加， 得____________
∴ .把解得的的值代入方程(，得：
解得=__________. ∴原方程组的解为_______________.
4.对于方程组
（1）若要消去，我们应该怎么办？ （2）若要消去，我们应该怎么办？
【课外资料导学】
圆周率 祖冲之在数学上的杰出成就，是关于圆周率的计算．秦汉以前，人们以“径一周三”做为圆周率，这就是“古率”．后来发现古率误差太大，圆周率应是“圆径一而周三有余”，不过究竟余多少，意见不一．后来，刘徽提出了计算圆周率的科学方法--“割圆术”，用圆内接正多边形的周长来逼近圆周长.
【课中生成导学】
1.用加减法解二元一次方程组的一般步骤是什么？
2.你能用加减法求出方程组的解吗？
得 分
【课堂测评导学】(共10分)
1.解方程组：
（1） （2）
（3） （4）
2.已知，求，的值
3.已知二元一次方程组 的解是,则a+b的值为________
4.已知二元一次方程组的解也满足方程组，试求a，b的值.
5.已知，求x,y的值。
6.二元一次方程组的解，的值相等，求k．
【课后拓展导学】
已知方程组试探究m，n取何值时，使方程组：
（1）有唯一解；（2）有无数解；（3）无解.
2.4二元一次方程组的应用（1）
【课前预习导学】
1.解方程组：
（1） （2） （3） （4）
2.鸡驴共27个头，100条腿，同学们你知道有多少只鸡，多少驴吗？
（1）设有x只鸡，则有驴 头，根据题意可以列出方程： .
（2）设有x只鸡，驴y头，依据题意可以列出方程组： .
3.已知一个两位数，十位数字是个位数字的4 倍，将十位数字与个位数字对调所得的新数比原数小27，求这个两位数。若设十位数字为x，个位数字为y，则
?
十位
个位
两位数的代数式
原数
?
?
?
新数
?
?
?

4.一个农民有若干只鸡和兔子，它们共有50个头和140只脚，问鸡和兔子各有多少？
（1）你能用小学的算式来解决这个问题吗？
（2）若设有只鸡，则兔子就有 只，你能用一元一次方程解决这个问题吗？
（3）若设农民有只鸡，只兔，你能用二元一次方程组解决这个问题吗？
【课外资料导学】
华罗庚的故事：1910年11月12日，华罗庚生于江苏省金坛县.上中学时，在一次数学课上，老师给同学们出了一道著名的难题：“有一个数，3个3个地数，还余2；5个5个地数，还余3；7个7个地数，还余2，请问这个得数是多少？”大家正在思考时，华罗庚站起来说：“23”他的回答使老师惊喜不已，并得到老师的表扬.从此，他喜欢上了数学. 【课中生成导学】
1.问题解决的基本步骤是什么？

2.当问题中所求的未知数有两个时，用列二元一次方程的方法求解应用题与用列一元一次方程的方法求解相比，有什么优点？
得 分
【课堂测评导学】(共10分)
1.解方程组 用加减法消去y，需要的步骤是( ).
A．①×2-② B．①×3-②×2 C．①×2+② D．①×3+②×2
2.（2012山东省滨州）李明同学早上骑自行车上学，中途因道路施工步行一段路，到学校共用时15分钟．他骑自行车的平均速度是250米/分钟，步行的平均速度是80米/分钟．他家离学校的距离是2900米．如果他骑车和步行的时间分别为x，y分钟，列出的方程是（　　）
A．　　B．　C．　　D．
3. 用一根总长为150m的木条制作一个长方形方框，要求方框的长是宽的2倍多3m，求方框的长与宽．
甲种货车（辆）
乙种货车（辆）
总量（吨）
第1次
4
5
28.5
第2次
3
6
27
4.一批蔬菜要运往某批发市场，菜农准备租用汽车公司的甲、乙两种货车．已知过去两次租用这两种货车的记录如下表所示．
这批蔬菜需租用5辆甲种货车、2辆乙种货车刚好一次运完，如果每吨付20元运费，问：菜农应付运费多少元？
5.一圆凳由一个凳面和三条腿组成，如果1立方米木材可制作300条腿或制作凳面50个，现有9立方米的木材，为充分利用材料，请你设计一下，用多少木材做凳面，用多少木材做凳腿，最多能生产多少张圆凳？
【课后拓展导学】
<<一千零一夜>>中有这样一段文字：有一群鸽子，其中一部分在树上欢歌，另一部分在地上觅食，树上的一只鸽子对地上觅食的鸽子说：“若从你们中飞上来一只，则树下的鸽子就是整个鸽群的，若从树上飞下去一只，则树上、树下的鸽子就一样多了。”你知道树上、树下各有多少只鸽子吗？
2.4二元一次方程组的应用（2）
【课前预习导学】
1.某校组织1200名毕业学生去郊游，一部分学生坐在草地上唱歌，另一部分学生在河边散步，唱歌的学生是散步学生的2倍还多100人.问唱歌、散步的学生各有多少人？
解:设唱歌的学生有人，散步的学生有人.根据题意，得____________________________.
2.某班师生56人到某旅游景点参观，教师每张门票8元，学生每张门票5元，共付304元.问教师学生各多少人？
解: 设教师人，学生y人.根据题意，得____________________________.
3.时间常用t表示,路程常用s表示 速度常用v表示，则 v= ___，s= ____. t= _____.
小明行走的速度是每秒米，小强行走的速度是每秒y米，则：
(1)走了10秒，小明走了_____米，小强走了____米，小明和小强一共走了___________米；
(2)走了1分钟,小明走了____米，小强走了____米，小明比小强多走了______________米.
初中生
高中生
计划
实际
4.我区某学校原计划向内蒙察右旗地区的学生捐赠3500册图书，实际共捐赠了4125册，其中初中学生捐赠了原计划的120%，高中学生捐赠了原计划的135%.
解：设初中学生原计划捐赠想册，高中学生原计划捐赠想册，填下表（用含有或的代数式）：
5. 2台大收割机和5台小收割机工作2小时收割小麦3.6公顷，3台大收割机和2台小收割机工作5小时收割小麦8公顷，1台大收割机和1台小收割机1小时各收割小麦多少公顷？
分析： 如果1台大收割机和1台小收割机1小时分别收割小麦x公顷和y公顷，那么2台大收割机和5台小收割机工作1小时收割小麦_________________ 公顷，3台大收割机和2台小收割机工作1小时收割小麦___________________公顷。
(1) 进一步考虑两种情况下的工作量，你能列出方程组吗？
(2)求出所列方程组的解，并写出答案.
6.有两种药水，一种浓度为60%，另一种浓度为90%，现要配制浓度为70%的药水300g，则每种各需多少克？
【课外资料导学】
赵爽三国时期东吴的数学家.曾注《周髀算经》，他所作的《周髀算经注》中有一篇《勾股圆方图注》全文五百余字，并附有数幅插图（已失传），这篇注文简练地总结了东汉时期勾股算术的重要成果，最早给出并证明了有关勾股弦三边及其和、差关系的二十多个命题，他的证明主要是依据几何图形面积的换算关系.
【课中生成导学】
1.理解问题时，可以借导哪些方法帮导我们搞清已知和未知，分析数量关系.
2．当问题所求量有多个的时候， 是解决问题的关键.
得 分
【课堂测评导学】(共10分)

1.如果一个两位数的十位数字为x，个位上的数字为y，那么这个两位数可表示为___________;如果交换个位和十位数字,得到的新两位数为_______________
2.一船顺水航行45千米需要3小时，逆水航行65千米需要5小时，若设船在静水中的速度为千米/小时，水流的速度为㎞/h，则、的值为（ ）
A．　　B．　 C．　　D．
3.完成下面的解题过程： 某药厂生产的A药品有大小盒两种规格的包装，2大盒5小盒共装50粒，3大盒4小盒共装54粒.大盒与小盒每盒各装多少粒？
解：设大盒装粒，小盒装粒. 根据题意列方程组，得_____________________. 方程组，得____________. 答:大盒装______粒，小盒装______粒.
4.某工厂第一车间比第二车间人数的少30人，如果从第二车间调出10人到第一车间，则第一车间的人数是第二车间的，问这两车间原有多少人？
购票人数
1——50人
51——100人
100人以上
每人门票价
13元
11元
9元
5.某乐园的门票价格规定如下表所列.某校初一（1）、（2）两个班共104人去游乐园，其中（1）班人数较少，不到50人，（2）班人数较多，有50多人.经估算，如果两班都以班为单位分别购票，则一共应付1240元；如果两班联合起来，作为一个团体购票，则可以节省不少钱.问两班各有多少名学生？
【课后拓展导学】
（2005?盐城）某学校书法兴趣小组准备到文具店购买、两种类型的毛笔，文具店的销售方法是：一次性购买型毛笔不超过20支时，按零售价销售；超过20支时，超过部分每支比零售价低0.4元，其余部分仍按零售价销售．一次性购买型毛笔不超过15支时，按零售价销售；超过15支时，超过部分每支比零售价低0.6元，其余部分仍按零售价销售．
（1）如果全组共有20名同学，若每人各买1支型毛笔和2支型毛笔，共支付145元；若每人各买2支型毛笔和1支型毛笔，共支付129元．这家文具店的、两种类型毛笔的零售价各是多少？
（2）为了促销，该文具店对型毛笔除了原来的销售方法外，同时又推出了一种新的销售方法：无论购买多少支，一律按原零售价（即（1）中所求得的型毛笔的零售价）的出售．现要购买型毛笔支（），在新的销售方法和原来的销售方法中，应选择哪种方法购买花钱较少？并说明理由．
2.5三元一次方程组
【课前预习导学】
1.选择适当的方法解下列方程组:
(1) (2)

(3) (4)
2.小明手头有12张面额分别是1元、2元、5元的纸币，共计22元，其中1元纸币的数量是2元纸币数量的4倍．求1元、2元、5元的纸币各多少张？
解：设1元的x张，2元的y张，3元的z张
根据等量关系，可得方程：
（1）____________________（2）____________________（3）_____________________
3.甲、乙、丙三数的和是26，甲数比乙数大1，甲数的两倍与丙数的和比乙数大18，求这三个数．
解：设甲数为，乙数为，丙数为
根据题意，可得方程：
（1）____________________（2）____________________（3）_____________________
【课外资料导学】
陈景润 数学家，中国科学院院士.1933年5月22日生于福建福州.1953年毕业于厦门大学数学系.由于他对塔里问题的一个结果作了改进，受到华罗庚的重视，1957年进入中国科学院数学研究所并在华罗庚教授指导下从事数论方面的研究.
【课中生成导学】
1.什么样的方程组叫做三元一次方程组，请写出一个三元一次方程组.
2.解三元一次方程组的消元方法是什么？
得 分
【课堂测评导学】(共10分)
1.若x＋2y＋3z＝10，4x＋3y＋2z＝15，则x＋y＋z的值为（ ）
A.2 B.3 C.4 D.5
2.若，是方程组，的解，求的值.
3.解方程组：

4.解方程组 ,则＝_____，＝______，＝_______.
【课后拓展导学】
解方程组：
参考答案：
2.1二元一次方程
【课前预习助学】
1.D 2.（答案不唯一） 3.（1） （2） （3）（4） 4.（1）（2） 5. -1，1，-2,2 6. 7.
【课中生成助学】
含有两个未知数，且含有未知数的项的次数都是一次的方程叫做二元一次方程.
，
无数个，（1）（2）（3）
【课堂测评助学】
1.B 2．-1,2,5,8 3.(1) (2)4.（1）（3）是 （2）不是
5.
【课后拓展助学】
时，方程为一元一次方程，，方程为二元一次方程
2.2二元一次方程组
【课前预习助学】
1.含有两个未知数，且含有未知数的项的次数都是一次的方程；使二元一次方程两边的值相等的一对未知数的值，叫做二元一次方程的一个解. 2. ②；① ④ ⑤ 3.（1） （2） （3）略 4.（1）；；；长为8cm，宽为6cm（2） ； 5. -1，2 6. ②④⑤⑥.
【课中生成助学】
由两个一次方程组成，并且含有两个未知数的方程组，叫做二元一次方程组. 略
1个，略
【课堂测评助学】
1.B 2．B 3.D 4. （答案不唯一）5.
【课后拓展助学】
一共有15个小朋友，100个水果
2.3解二元一次方程（1）
【课前预习助学】
1.D 2.， 3. 4.略 5. 0 6. 7.
【课中生成助学】
（1）将方程组中的一个方程变形，使得一个未知数能用含有另一个未知数的代数式表示
（2）用这个代数式代替另一个方程中相应的未知数，得到一个一元一次方程，求得一个未知数的值
（3）把这个未知数的值代入代数式，求得另一个未知数的值
（4）写出方程的解
2．略
【课堂测评助学】
1.A 2．(1) (2) (3) (4) 3.p=0，q=-6 4.a=-1,b=4 5.略
【课后拓展助学】
1
2.3解二元一次方程（2）
【课前预习助学】
1.（1）（2）（3）（4） 2.（1）（2）（3）（4）3.，2，，1， 4.略
【课中生成助学】
1.（1）将其中一个未知数的系数化成相同（或互为相反数）
（2）通过相减（或相加）消去这个未知数，得到一个一元一次方程
（3）解这个一元一次方程，得到一个未知数的值
（4）将求得的未知数的值代入原方程组中的任一个方程，求得另一个未知数的值
（5）写出方程组的解
2.略
【课堂测评助学】
1. (1) (2) (3) (4) 2． 3. 3 4.a=14,b=2 5. 6.k=2
【课后拓展助学】
（1）（2）（3）
2.4二元一次方程组的应用（1）
【课前预习助学】
1.（1）（2）（3）（4） 2.（1）；（2） 3.略 4.（1）30只鸡，20只兔子（2）50-x,略（3）略
【课中生成助学】
1.(1)理解问题(2)制定计划(3)执行计划(4)回顾
2. 当问题中所求的未知数有两个时，有两个字母来表示未知数往往比较容易列出方程
【课堂测评助学】
1. C 2． D 3.长为51m，宽为24m
4. 500元 5. 6m3的木材做凳面，3m3的木材做凳腿，最多能生产300张圆凳．
【课后拓展助学】
上面7只，下面5只
2.4二元一次方程组的应用（2）
【课前预习助学】
?
初中生
高中生
计划
?
?
实际
?
?
1. 2.（1） 3.，，（1），，（2），， 4.
5.，（1） （2）
6. 浓度为60%的药水需要200克，浓度为90%的药水需要100克
【课中生成助学】
1.表格法，线段图示法等
2.如何设未知数
【课堂测评助学】
1. ， 2． B 3. 10, 6
4. 第一车间为170人，第二车间为250人 5. 一班人数为48人，二班人数为56人．
【课后拓展助学】
（1）答：文具店A，B两种类型毛笔的零售价分别为2元和3元．
（2）用原来的方法购买花钱少
2.5三元一次方程组
【课前预习助学】
1.（1） （2） （3）（4）
2. (
(
(
3.(
(
(
【课中生成助学】
1.含有三个未知数，且含有未知数的项的次数都是一次的方程叫做三元一次方程组，略
2.解三元一次方程组的消元方法也是“代入法”或“加减法”，通过消元使解三元一次方程组转化为解二元一次方程组，进而转化为解一元一次方程.
【课堂测评助学】
1.D 2．113 3.(1) (2) 4. ．
【课后拓展助学】