第四章因式分解数学导学案

七下数学第四章导学案及答案
4.1 因式分解
【课前预习导学】
1．代数式2a, -3x, , -3xy, , -6中是整式的是
2．分解质因数
6= × ；12= × × ；
3.计算
m(m-n)= ___________； (a-b)2= ___________；(x+1)(x+2) =___________；
4．填空：
（1）∵=___________________； ∴=______________________；
（2）∵=______ ___； ∴=_____________________；
（3）∵=__ ____________； ∴=____________________；
5.请用不同的方法计算
a=101,b=99,计算a2-b2的值
【课外资料导学】
因式分解（分解因式，Factorization），把一个多项式化为几个最简整式的积的形式，在数学中有很广泛的应用，可以培养我们的解题技能，发展思维能力。
例如，在计算121x0.18+12.1x0.9+（-17）x1.21时，利用因式分解可以迅速得出答案，121x0.18+12.1x0.9+（-17）x1.21=121(0.18+0.09-0.17)=121 x 0.1=12.1
【课中生成导学】
1.什么叫因式分解？它与整式乘法的关系是什么？
2.如何判断因式分解正误？
3.本节课知识结构
【课堂测评导学】
1、下列从左到右的变形，属于因式分解的是（ ）
A.6x3y5=(－3x3)·(－2y5) B. a+1=a(1＋)
C. 4x2－4x＋1=4x(x－1)＋1 D.
2．下列因式分解正确的是（ ）
A. B.
C. D.
3．如果2x2+ax－2可因式分解成（2x+1）（x－2），则a的值是（ ）
A．1 B．－1 C．3 D．－3
4．检验下列因式分解是否正确：
（1） （2）
（3） （4）
5、用简便方法计算：
（1） （2）
【课后拓展导学】
已知：a-b-c=16，求a（a-b-c）+b（c-a+b）+c（b+c-a）的值．
4.2提取公因式法
【课前预习导学】
1.下列从左到右的变形是因式分解的是（ ）
A. B.
C. D.
2．检验下列因式分解是否正确:
(1) (2)
3．计算
99×54+99=__________； 101×33-33=____________；
4.填空
(1) ax+ay+a的各项是_____ ___，各项的公因式是________；
(2) 3mx-6mx2的各项是_____ ___，各项的公因式是________；
5．因式分解
ax-3a= _ ___， 2x2 +4x=_ ___
【课外资料导学】
在日常生活中如取款、上网等都需要密码，有一种用“因式分解”法产生的密码，方便记忆。原理：如对于多项式x3y2＋6xy3因式分解的结果是xy2 (x2＋6y),若取x=9,y=9时，x=9,y2=81,x2＋6y＝135.于是可以把“981135”作为一个密码。 对于多项式3x2y+2xy2，取x=10,y=10， 你知道按上述方法产生的密码是什么吗？
【课中生成导学】
1．如何确定多项式的公因式？
2．利用提公因式法分解因式，关键是找准 .
例如3ab2和12ab3c的公因式 ，和的公因式 ，
3.本节课知识结构
【课堂测评导学】
1、下列各式从左到右的变形为因式分解的是（ ）
A、 B、
C、 D、
2、把多项式—6ab—3ab+12ab分解因式时，公因式为（ ）
A、—3ab B、—3ab C、—3ab D、—3ab
3、把下列各式因式分解
（1） （2）
（3） （4）
4、先因式分解再求值：，其中
【课后拓展导学】
证明：能被整除.
4.3 用乘法公式分解因式（1）
【课前预习导学】
1. 因式分解：
axy-ay2 =____________； (x+y)(x-2y)-2x(x-2y) =____________；
2．计算
（a+b）(a-b) =____________； (2x-3y) (2x+3y) =___________； (p-q) (-p-q) =___________；
3．填空：
（1）∵=___________________； ∴=_______ _______________；
（2）∵=______ ___； ∴=_____________________；
4. 填空:
4a2= ( )2, ( )2 , = ( )2 , = ( )2
5．在括号内填入适当的代数式：
（1）( )2-( )2
（2）-9a2+b2=( )2-( )2
【课外资料导学】
某次数学课上，老师布置了一道数学题：一个圆环外圆的半径为15.25cm ，内圆的半径为5.25cm时，求圆环的面积。小明同学马上就算出了圆环的面积，他的算法是：
π15.252-π5.252=π(15.252-5.252)= π(15.25+5.25)(15.25-5.25)=205π。
他的算法对吗？
【课中生成导学】
1.a2+b2, a2-b2, -a2+b2, -a2-b2,四个多项式哪些可以用平方差公式因式分解？可以用平方差公式因式分解的多项式有什么特征？
说明：可以用平方差因式分解的多项式必须可以转化为两数、两个单项式或多项式的平方的差，形如:□2－△2=（□+△）（□－△）.
2. 对一个多项式进行因式分解时有公因式要先提取公因式，无公因式时再观察是否能运用平方差公式因式分解。
3. 本节课知识机构


【课堂测评导学】
1、下列各式能用平方差公式因式分解的是（ ）
A.a2+(-b)2 B、5m2-20mn C.-x2-y2 D、-x2+9
2、填空：
（1） （2）
3、把下列各式因式分解：
（1）4x2-25 （2）(2x+y)2-9 （3）2x2-8
4、用简便方法计算：
（1） （2）
【课后拓展导学】
证明一定是的倍数
4.3用乘法公式分解因式（2）
【课前预习导学】
1. 因式分解
x3y-xy3 =____________； 9a2 -（a+b）2=____________；
2．计算
（a+2b）2=_________ ___； (2x-3y)2=________ ___；
3．利用完全平方公式填空： = (a+b)2 = ( a-b)2
（1）a2 ++( )2 +2（ ）（ ）+ ( )2
（2）-6ab+9= ( )2 -2（ ）（ ）+ ( )2 ,
（3）x2++= ( )2 +2（ ）（ ）+ ( )2 ,
4. 填空
（1）∵=___________________； ∴=______________________；
（2）∵=______ ___； ∴=_____________________；
5. 填空
（1）16x2－8x+_______=（4x－1）2； （2）_______+6x+9=（x+3）2；
【课外资料导学】
因式分解的常用方法有提取公因式法、公式法、添项拆项法等等，常用的是提取公因式法、公式法。因式分解的一般步骤是一提二选三用，即第一步提取公因式，第二部观察多项式的项数，二项选择平方差公式，三项选择完全平方公式，第三步根据公式因式分解。当提取公因式和公式法都不能因式分解时，可以考虑运用添项拆项法。如因式分解多项式，可以将拆为和:
===.
【课中生成导学】
1.可以用完全平方式因式分解的多项式的特点是什么？：
①项数必须是_________项；
②其中有两项是________________________________；
③另一项是_____________________________________.
例如-6ab+9有数ab和3的平方以及它们积的两倍组成，即-6ab+9=（ab）2+2×3×ab+32
2. 对一个多项式进行因式分解时有公因式要先提取公因式，无公因式时可以考虑是否能用平方差公式、完全平方公式因式分解。
3. 本节课知识结构
【课堂测评导学】
1、下列因式分解正确的是（ ）
A．x2+y2=（x+y）2 B．x2－xy+x2=（x－y）2
C．1+4x－4x2=（1－2x）2 D．4－4x+x2=（x－2）2
2、填空：
（1）16x2+_______+9y2=（4x+ ）2；
（2）（a－b）2－2（a－b）+1=（______－1）2
3、把下列各式因式分解
（1）x2－4x+4 （2） （3）
4、用简便方法计算：20062－4010×2006+20052
【课后拓展导学】
在实数范围内分解因式：
4.1因式分解
【课前预习助学】
1.2a,-3x,-3xy,-6; 2.2,3,3,2,2; 3., ,
4. (1) ,， (2),，
（3）;5.400
【课内生成助学】
1.因式分解是指将一个多项式转化成几个整式的乘积的形式。因式分解和整式乘法是互逆变形的关系，例如是整式乘法，而就是因式分解。
2.利用整式乘法验证。
【课堂测评助学】
1.D;2.B;3.D;4. √，×，×，×；5.39600,19800
【课后拓展助学】
1.256
【课后练习助学】
1.A;2.C;3.D;4.(1)（x－1）（x+2）,(2)(m-5n),(m+5n)(m-5n),(2)(a-3),(a-3);5.略；6.9；7,6；8.1；9.4,8；10.999999,10000,720； 11.999000，；12, √，×，×，√;12.m=-5,n=-3.
4.2提取公因式
【课前预习助学】
1.C;2. ×，√；3.6445，3300;4.ax,ay,a,a,3mx,,3mx;5.a(x-3),2x(x+2)
【课内生成助学】
1.多项式中各项系数的最小公倍数和相同字母的最低次幂的乘积。注意三点：一是取各项系数的最大公约数，二是取相同字母的最低次幂，三是如果取多项式，多项式的次数也取最低的。2.公因式，，
【课堂测评助学】
1.C;2.B;3.(a-3)(a-2),,-2x(3x2+5x+1),(y-z)(a+4b);4.x(m-2),1.4
【课后拓展助学】
【课后练习助学】
1.a,3a,-5xy;,2(a+b);2.B;3.D;4.-,-2,-,-;5.(a-3)(2a-5);6.5; 7.；8.2ab(2c+1),3x(x-2),ab(a-2b+c),3pq(q2+5),-4x(x-2a-),-3ab(1-2x+3y);9.1620;
10.,(y-2)(3a+2b),2(x-1)2(1+3ax-3a),(a-b)(2a-2b-1);
11.2am(x+y)；12.130;13.；14.略
4.3用乘法公式因式分解（1）
【课前预习助学】
1.ay（x-y）,(x-2y)(y-2x),2.,,;
3. ,,,;4.2a,,ab,;5.x,2y,b,3a
【课内生成助学】
1. a2-b2, -a2+b2,特征是两项，并且两个数或式的平方的差
【课堂测评助学】
1.D;2.x,5y,(x+5y)(x-5y),2b,a,(2b+a)(2b-a),3.(2x+5)(2x-5),(2x+y+3)(2x+y-3),2(x+2)(x-2),4.399999,999996
【课后拓展助学】
【课后练习助学】
1.(2)(3)(5);2.C;3.D;4.xy(zx+3y)(2x-3y);5.；6.；
7.(1+5a)(1-5a),(y+3x)(y-3x),,8.6abc(a+3c)(a-3c),x(x+2y)(x-2y),
(x-y)(x-y+1)(x-y-1);9.-1999,15700;10.略；11.，100-144=-44；12.45；13.； 14.略；
4.3用乘法公式因式分解（2）
1.xy(x+y)(x-y),(4a+b)(2a-b);2.,;3. ,;3.a,a,5b,5b;ab,ab,3,3,x,x, , ;
4. ,,,;5.1, ;
【课中生成助学】
1.三项，两个数或式的平方，两个平方项的底数乘积的两倍。
【课堂测评助学】
1.D,2.24xy,3y,a-b;3.,,(7x+3)(-5x+3);4.1;
【课后拓展助学】

【课后练习助学】
1.A;2.B; 3.A;4.4mn,n,8xy,x-4y,12ab,2a+3b,,1+pq;
5.;6.x=2;
7. (a+b)2==;
8.,, ,x(x+2y)(x-2y);9.,
10.1;11.;12.-4;13.小于零；14.略