第五章分式导学案

七年级下数学导学案及答案：
5.1分式
【课前预习导学】
1．写出一个整数和一个分数，你能用一个简单的式子来表示所有的分数吗？

2．用代数式表示下面的问题。
①一长方形的面积为2㎡，如果宽为am，那么长是 m。
②如果一支钢笔5元钱，买x支钢笔要 元。
③某工厂一个车间原计划用x 天生产300个零件，实际提前5天完成，那么实际每天生产 个零件。
④小明有a本书，小红的书比小明的3倍少4本，则小红有 本。
⑤某班在一次考试中，有m人得90分，有n人得80分，那么这两部分人合在一起的平均得分是 分。
3．把上面所得到的代数式填到下面横线上
整式 ；不是整式
4. 填表
x
-2
-1
0
1
2
【课外资料导学】
分式：形如，A、B是整式，B中含有字母且B不等于0的式子叫做分式（fraction）。其中A叫做分式的分子，B叫做分式的分母。 判断一个式子是否是分式，不要看式子是否是的形式，关键要满足：
（1）分式的分母中必须含有字母。
（2）分母的值不能为零。若分母的值为零，则分式无意义。
整式和分式统称为有理式。 带有根号且根号下含有字母的式子叫做无理式。无理式和有理式统称代数式
【课中生成导学】
1.对于分式，必须有字母出现在 中，但是不能有字母出现在 中，例如：和都是分式，但是、和等都不是分式。
2.因为零不能做除数，所以分式分母等于零时分式无意义，即分母中字母的取值不能使分母为零。
例如：要使分式和有意义，字母a和x的取值范围分别是什么？
3.分式的分母不能等于零，但是分式的分值可以等于零。当分式的分子等于零分母不等于零的时候我们就说分式的值为零，如，则A=0且B≠0。例如要是分式的值为零，则，思考x取何值时，分式的值为零。
4.本节知识结构
【课堂测评导学】
1．下列代数式属于分式的是（ ）
A． B．（x+y） C．
2、当a=-2,b=2时，分式 的值=
3、当x 时，分式 无意义。
4．求当x取何值时，分式:（1）有意义?（2）无意义?（3）分式的值为零?
5、写出一个含字母x的分式（要求：不论x取任意实数，该分式都有意义）
【课后拓展导学】
若表示一个整数，则整数m可取值的个数是（ ）
A．9个 B．8个 C．7个 D．无数个
5.2分式的基本性质(1)
【课前预习导学】
1.下列是分式的是（ ）
A． B. C. D
2.因式分解
（1）= （2）3ab2＋a2b =
3.填空
（1） （2） （3） （4）
分数的基本性质是
4.在挂号里填上“+”或“-”
（1） （2）
5.填空
（1）- （2） =
【课外资料导学】
纯循环小数和混循环小数：我们知道小数可以分为有限小数和无线小数，无限小数分为无线循环小数和无线不循环小数。其中无限循环小数又分为纯循环小数和混循环小数。
从小数点后面第一位就循环的小数叫做纯循环小数。如：0.333.....， 0.353….，0.214214214…等。
不是从小数点后第一位就循环的小数叫混循环小数。如：0.1222....， 0.4121212….，0.2353353353…等。
所有的无限循环小数都可以化成分数。
【课中生成导学】
1.分式的基本性质类似分数的基本性质，要注意分子分母同乘或除的数（整式）不能等于零。
思考：同乘或除的数（整式）为什么不能等于零？
2.利用这个性质可以对分式进行化简约分。
思考：如何不改变分式的值，将分式的分子与分母中各项的系数都化为整数。
3. 在对分式进行改变符合的运算时，需要注意，分式本身的符号，分子A的符号，分母B的符号要同时改变两个，尤其要注意分子分母是多项式时要同时改变每一项的符号。
思考：如何将分式分子分母的最高次项化成正数。
4．本节知识结构
【课堂测评导学】
1.下列变形正确的是（ ）
A. B. C. D.
2. 与分式相等的是（ ）
A. B. C.- D.-
3.下列分式中是最简分式是（ ）
A . B . C. D.
4．不改变分式的值，把下列各式的分子与分母中各项的系数都化为整数：
　　　　　　　　　　　　
　（1） 　 （2）
5.化简下列各式：
（1）　　　　　　　　　　　　　 　（2）
【课后拓展导学】
1.实数a,b满足ab=1，记N=，M=，试比较M,N大小.
5.2分式的基本性质(2)
【课前预习导学】
1.因式分解
（1）　　　　．（2）
2.不改变分式的值，将分式的分子分母的最高次项都化成正数
（1）= （2）=
3.化简下列分式
（1）= （2）=
4.用分式表示下列各式的商并约分。
（1） =
（2） =
5.如果2x-y=0,则=
【课外资料导学】
纯循环小数化成分数的方法：我们知道有理数可分为整数和分数。既然纯循环小数是有理数，那么它就可以化成分数的。把纯循环小数化成分数的规律很简单，把循环节做分子，循环节有几位数，就用几个9做分母。然后约分。例如：纯循环小数0.258258258.......， 循环节是258, 有3位。分子就是258, 分母就是3个9, 即。
【课中生成导学】
1.利用带入法我们可以求一些分式的值。例如已知x-2y=0，求分式的值.我们可以先将等式x-2y=0变形为x= ，然后带入分式===
2.对分式进行化简利用的是 的基本性质，先将分子分母的多项式 ，再约分.
3.整式的除法可以先写成 再化简.
4.本节知识结构：
【课堂测评导学】
1. 化简分式的结果是： （ ）
A． B. C. D.
2.化简分式
（1）= （2）=
3.已知a=2b,则=
4.计算
（1） （2）
【课后拓展导学】
设，试求的值
5.3分式的乘除
【课前预习导学】
1.下列分式是最简分式的是（ ）
A. B. C. D.
2.已知,则分式=
3.化简
(1) (2)
4.先完成计算再填空
= = = =
分数乘法法则____________________________________ ；分数除法法则_____________________________
5.计算
（1）= （2）=
【课外资料导学】
混循环小数化成分数的方法：将混循环小数化成分数可以分成两步，第一步先把循环节前面的部分和循环部分分开，再将两部分都化成分数，然后求和。
如将1.2333…化成分数。1.23333....=1.2+0.03333....=1.2+=+=+=你能将2.11323232….化成分数吗？
【课中生成导学】
1.在分式相乘时是将分子的积做分子，分母的积做分母，分式的除法是将除式的分子分母 后与被除式 ，然后将结果化简。
例如：= === =
注意：除法变成乘法除式的分子分母一定要颠倒位置，化简时分子分母是多项式要先因式分解。
2.本节知识结构
【课堂测评导学】
1.下列计算正确的是（ ）
A. B. C. D.
2.计算的结果是（ ）
A. B. C. D.
3.计算
（1） （2）
4.计算：
5.一个长方体容器体积为V，地面的长为a，宽为b，当容器内的水占容积的时候，
（1）长方体容器的高为 ； （2）长方体容器中水高为
【课后拓展导学】
已知
5.4分式的加减（1）
【课前预习导学】
1.化简
（1） = （2）=
2．下列各式中，正确的是（ ）
A． B． C． D．　　　
3.填空
（1）= （2）=
4.计算
（1）= （2）=
同分母的分式相加减__________________________，用式子表示则为±=______．
5．填空：
(1)= (2)=
【课外资料导学】
欧拉：在数学历史上有很多公式都是欧拉（Leonhard Euler 公元1707-1783年)发现的，它们都叫做欧拉公式，分散在各个数学分支之中。他被一些数学史学者称为历史上最伟大的两位数学家之一（另一位是卡尔·弗里德里克·高斯）。比如欧拉给出了单联通多面体的边、顶点和面之间存在的关系：F - E + V = 2,其中，F为给定多面体的面数之和，E为边数之和，V为顶点数之和。
【课中生成导学】
1.同分母分式加减分子加减，分母 ，
2.当分母互为相反数的分式加减先利用符号法则转变成同分母分式加减。
例如：= =
= =
3.本节知识结构
【课堂测评导学】
1．下列计算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
2．计算：+，结果为（ ）
A.1 B.－1 C.2x+y D.x+y
3.若，则=
4.计算
（1） （2） （3）
【课后拓展导学】
1. 如果记 =f(x)，并且f(1)表示当x=1时y的值，即f(1)=；f()表示当x=时y的值，即f()=；……那么f(1)+f(2)+f()+f(3)+f()+…+f(n)+f()= （结果用含n的代数式表示）．
5.4分式的加减（2）
【课前预习导学】
填空
（1）=
（2）=
2.下列算式中正确的是（ ）
A.; B.; C.; D.
3.先完成计算再填空
（1）= （2）=
异分母的分数相加减，先 ，化为 的分式，然后再按同分母分数的加减法法则进行计算。
4.填空
（1）
（2）
5.计算：=________，=
【课外资料导学】
欧拉的分式公式：对于分式 ，当r=0时候，分式的值为0，当r=1的时候，分式的值也为0，当r=3时候，分式的值为a+b+c，这就是著名的欧拉分式公式，有兴趣的同学不妨验证一下。
【课中生成导学】
1.异分母分式加减先通过通分转化成同分母，然后进行加减并化简结果。
2.通分的注意点
（1）分母是单项式取系数的 、相同字母的 幂和单独字母的幂的积最为公分母
（2）分母是多项式，先对分母因式分解再通分。
（3）没有分母的项，将项的分母看做1.
例如：将-x+1的分母看成1，===
2.本节知识结构
【课堂测评导学】
1.分式、、的最简公分母是（ ）。
A. B. C. D.
2. 计算的结果是( )
Ａ　　　　　　　　　Ｂ Ｃ　　　　　　Ｄ

3. 若，则M= ,N=
4.计算：
(1) + (2)+ (3) -x-1
【课后拓展导学】
甲、乙两位采购员同去一家饲料公司购买两次饲料，两次饲料的价格有变化，两位采购员的购货方式也不同。其中，甲每次购买1000kg，乙每次用去800元，而不管购买多少饲料。社两次购买的饲料单价分别为m元/kg和n元/kg（m、n是正数，且互不相等），那么甲和乙所购饲料的平均单价各是多少？哪一个较低？
5.5分式方程（1）
【课前预习导学】
1．下列式子是分式的是（ ）
A． B． C． D．
2.要是分式的值为零，则x= ，要是分式有意思，则x ，
3．下列方程中，不是分式方程的是（　　）
Ａ．;　Ｂ．; Ｃ．;　　Ｄ．
4. 分式各项的最简公分母是
5.解方程
（1） （2）
【课外资料导学】
哥尼斯堡七桥问题：在哥尼斯堡的一个公园里，有七座桥将普雷格尔河中两个岛及岛与河岸连接起来(如图)。问是否可能从这四块陆地中任一块出发，恰好通过每座桥一次，再回到起点？欧拉于1736年研究并解决了此问题，他把问题归结为如下右图的“一笔画”问题，证明上述走法是不可能的。
【课中生成导学】
1.判断分式方程的关键是看方程各项的 有未知数，但是未知数不能出现在 。
2.解分式方程基本思路是通过 把分式方程转化成整式方程，解分式方程的基本步骤可以归纳为：
（1） （2）
（3） （4）
3.解分式方程必须 ，增根是在去分母时没有考虑到分母为零而产生的，所以检验时将求出的方程的根带入方程的分母，使分母等于零的即是增根要舍去。
4.本节知识结构
【课堂测评导学】
一、选择题
1.下列各式中，是分式方程的是( )
A.x+y=5 B. C. D.=0
2、方程的解为（　　）
（A）0 （B）1 （C）－1 （D）1或－1
3.关于x的方程的根为x=1，则a=
4.方程= 0有增根，增根是
5.解下列方程
（1） (2)
【课后拓展导学】
已知,求的值
5.5分式方程（2）
【课前预习导学】
1．下列方程：①；②；③；④．分式方程的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．若方程的根为，则= ．
3．若方程无解，则的值为 ．
4.如果 m个人完成一项工作需要d天,则(m+n)个人完成此项工作需要 天。
5．解方程：
（1） （2）
【课外资料导学】
一笔画问题：大数学家欧拉通过研究哥尼斯堡七桥问题开创了数学新分支-----图论，也就是“一笔画”（ 笔尖不离开纸面，一笔画出给定图形，不允许重复任何一条线）。一笔画图形的必要条件是：奇节点数目是0或者2（以某点为端点的线有奇数条）。如 上节“七桥问题”A,B,C,D都是奇节点，数目是4，所以不能够“一笔画”。下面给出4副图，先试试能不能一笔画出来，然后做出判断。
【课中生成导学】
1、列分式方程解应用题的基本步骤：
（1） ，题中找出未知量，设好未知数；
（2） ，分析题意，找出题中其他量与未知量之间的关系；
（3） ，根据等量关系列出方程；
（4） ，求出未知数的值；
（5） ，检查求得的解是不是所列方程的解，是否符合实际情形，最后写好答案.
2.几种常见问题的数量关系
1.工程问题
（1）工作量＝工作效率×工作时间，工作效率＝工作量除以工作时间，工作时间＝工作量除以工作效率； （2）完成某项任务的各工作量的和＝总工作量＝1
2.营销问题营
（1）商品利润＝商品售价-商品成本价
（2）商品利润率＝商品利润商品成本价 ×100%
（3）商品销售额＝商品销售价×商品销售量
（4）商品的销售利润＝(销售价-成本价)×销售量
3.行程问题
（1）路程＝速度×时间，速度＝路程除以时间 ，时间＝路程除以速度 ；
（2）在航行问题中，其中数量关系是（同样适用于航空）： 顺水速度＝静水速度＋水流速度 逆水速度＝静水速度－水流速度
3.本节知识结构
【课堂测评导学】
1.沿河两地相距s千米，船在静水中的速度为a千米/时，水流速度为b千米/时，此船一次往返所需时间为( )
A.小时 B.小时 C.()小时 D.()小时
2.公式可变形为（ ）
A、 B、 C、 D、
3.甲乙两名同学100米赛跑，甲的速度为米/秒，乙比甲每秒快2米，结果乙比甲先到3秒，列出方程为 .
4.甲乙两人加工同一种服装，乙每天比甲多加工1件，已知乙加工24件服装所用的时间与甲加工20件服装所用时间相同，甲每天加工多少件服装？
【课后拓展导学】
1.设轮船在静水中速度为，该船在流水(速度为<)中从上游A驶往下游B，再返回A，所用时间为T，假设=0，即河流改为静水，该船从A至B再返回B，所用时间为t， 则( )
A．T=t B．Tt D．不能确定T、t 的大小关系
答案：
5.1分式
【课前预习助学】
1.略; 2.，5x, ,3a-4, ; 3.5x,3a-4, ,,
4.
x
-2
-1
0
1
2
0
无意义
2
4
无意义
-2
-
0
【课中生成助学】
1.分母，根号；2.，；3.x=-3;
【课堂测评助学】
1.A,2..3.x，4. .x-2且x-3，x=-2或x=-3，x=4；5.略
【课后拓展助学】
1.B
【课外练习助学】
1.C,；2.C；3.B；4.；5.x=3; 6.略；7.-4；8.；9.y=3,y=3,y取任何实数，；10.,2;11.,n=-1;12.,
5.2分式的基本性质(1)
【课前预习助学】
1.B;2.，ab(a+3b);3.3,-5,4,-2;分式的分子分母同时乘以或除以同一个不等于零的数，分式的值不变。4.-，-，-，+，+，-；5.，2yz
【课中生成助学】
1. 分子分母同乘或除等于零的数（整式）,分母等于零，分式没有意义.2.分子分母同乘以6，；3.分子分母都时改变符号，
【课堂测评助学】
1.D;2.A;3.A;4.，；5.，
【课堂拓展助学】
1.M=N
【课外练习助学】
1.5a,15ac,10a2b,2xy,2xy,3x;2.B;3.B;4.B;5.A;6.,(3x-2)(3x+2);7.;
8.;9.不变；10.a+2；11.；12. ×，×，√，×；
13.,;14.2(x-y),;
5.2分式的基本性质(2)
【课前预习助学】
1.,;2.,;3.,x-1;4.,,,2a-3b;5.;
【课中生成助学】
1.2y,2y,2y,4y,y,4;2.分式，因式分解；3.分式
【课堂测评助学】
1.A;2.,;3.;4.,
【课后拓展助学】
1.
【课外练习助学】
1.A;2.B;3.A;
4.分式的分子分母同除以（x+3）,分式的分子分母同乘以（x-3）;5.;
6..,;7.;8.-1;9.,,;10.2(y-x),a,;11.4;12.1;
13.11;14.,
5.3 分式的乘除
【课前预习助学】
1.C;2.5;3.,;4., ,,;分子相乘做分子，分母相乘做分母，分数除以一个数,等于乘这个数的倒数
5. ，
【课中生成助学】
1.颠倒，相乘,，x,x+1,,
【课堂测评助学】
1.C;2.B;3.，；4.;5.,
【课后拓展助学】
1.
【课外练习助学】
1.C;2.A;3.C;4.D;5.D;6.3a-2b;7.;8.-n;9.;10.;,;
11.x-1,;12.9;13.;14.,
5.4分式的加减(1)
【课前预习助学】
1.，；2.D;3.，；4.，，分母不变，分子相加减，；5.
【课中生成助学】
1.不变；2.-，x-1,,+,a-b,
【课堂测评助学】
1.B;2.A;3.-5;4.,1,-8;
【课后拓展助学】
1.
【课外练习助学】
1.D;2.B;3.C;4.B;5.;6.1;7.8.;9.;
10. ,-2, ;11.,,2;12.-1
13.1;14.1
5.4分式的加减(2)
【课前预习助学】
1.x+2,;2.D;3.,,通分，同分母；4.4,12,4x，24,4x,,2,2,a ,a,2,4a,;5.,
【课中生成助学】
2.最小公分母，最高次幂
【课堂测评助学】
1.B;2.C;3.-2,-1;4.,,;
【课后拓展助学】
1. 甲的平均价格是元/kg，乙平均单价为元/kg，乙的方式较合理；
【课外练习助学】
1.D;2.C;3.D;4.B;5.D;6.;7.;8.;9.;10.;11.,m,；
12.，4x-4；13.2;14.；
5.5分式方程（1）
【课前预习助学】
1.B; 2.-2,3; 3.C; 4.x(x-2)(x+2) 5.-13,1
【课中生成助学】
1.分母中，根号中；2.去分母，去挂号，移项合并同内 项 求出未知数的解并验根；3、验根
【课堂测评助学】
1.D;2.B;3.-3;4.x=1;5.x=-14，x=1为增根舍去;
【课后拓展助学】
1.
【课外练习助学】
1.A;2.C;3.D;4.D;5.D;6.3;7.2;8.2;9.0;10. ;11.,x=1为增根舍去,x=3;12.x=0或x=-3,x=3为增根舍去;13.a=-2或a=1;14.2;
5.5分式方程（2）
【课前预习助学】
B;2.4;3.2;4.;5.x=,x=
【课堂测评助学】
1.D;2.C;3.；4.x=5;
【课后拓展助学】
1. B.
【课外练习助学】
1.C;2.A;3.A;4.B;5.;6. ;7. ;8. ;9.6;
10.;11.46;12.3;13.甲需要15天，乙需要10天，甲队应得报酬=20000×=8000元,乙队应得报酬=20000×=12000元