2023年浙教版数学七年级下册全方位训练卷1.4平行线的性质
一、单选题（每题3分，共30分）
1．（2022七下·梧州期末）下列说法中，错误的是（ ）
A．两直线平行，同位角相等
B．对顶角相等
C．同旁内角互补，两直线平行
D．两条直线被第三条直线所截，内错角相等
2．（2022七下·巴彦期末）如图，AB∥CD，，，则的度数是（ ）
A．30° B．40° C．50° D．45°
3．（2022七下·无为期末）如图，直线AB与CD相交于E，在∠CEB的平分线上有一点F，FM∥AB．当∠3=10°时，∠F的度数是（ ）
A．82° B．80° C．85° D．83 °
4．（2022七下·相城期末）如图，直线，将含30°角的直角三角板ABC的直角顶点C放在直线b上，若，则的度数为（ ）
A．35° B．45° C．55° D．65°
5．（2022七下·南充期末）如图，在三角形ABC中，点D，E，F分别在AB，AC，BC上，，，则下列结论错误的是（ ）
A． B．
C． D．
6．（2022七下·覃塘期末）∠α与∠β的两边分别平行，∠α的度数是70°，则∠β的度数是（ ）
A． B． C． D．或
7．（2022七下·崇川期末）如图，弯形管道ABCD的拐角∠ABC＝120°，要保证管道，则∠BCD等于（ ）
A．60° B．50° C．70° D．65°
8．（2022七下·剑阁期末）如图，已知，平分，且，则与的关系是（ ）
A． B．
C． D．
9．（2022七下·阳信期末）小明和小亮在研究一道数学题，如图，，垂足分别为E、D，G在上．
小明说：“如果，则能得到”；
小亮说：“连接，如果，则能得到”．
则下列判断正确的是（ ）
A．小明说法正确，小亮说法错误 B．小明说法正确，小亮说法正确
C．小明说法错误，小亮说法正确 D．小明说法错误，小亮说法错误
10．（2022七下·南宁期末）如图，已知GH//BC，，，给出下列结论：①；②；③；④HE平分∠AHG；其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、作图题（共8分）
11．（2020七下·沙河口期末）如图，
内有一点
.
（1）过点
画
交
于点
，画
交
于点
；
（2）图中不添加其它的字母，写出所有与
相等的角.
三、解答题（共7题，共58分）
12．（2022七下·陆丰期末）如图，，．求证：．
证明：∵（ ），（ ），
∴（ ），∴（ ），
∴（ ），
∵（ ），
∴（ ），
∴（ ）．
13．（2022七下·无为期末）请将下列证明过程补充完整：
已知：如图，点P在CD上，已知，．
求证：
证明：∵（已知）
∴▲ // ▲ （ ）
∴ ▲ （ ）
又∵（已知）
∴ ▲
即 ▲ （等式的性质）
∴//（内错角相等，两直线平行）
∴（ ）
14．（2022七下·惠东期末）如图，已知：，，你能确定图中与的数量关系吗？请写出你的结论并进行证明．
15．（2022七下·巴彦期末）如图1，已知AB//CD，点G在上，点H在上，连接、，，．
（1）求证：AB//EF；
（2）如图2，若，延长交的延长线于点M，请直接写出图2中所有与互余的角．
16．（2022七下·大安期末）如图：
（1）如图1，∠CEF=90°，点B在射线EF上，若∠ABF=50°，∠C=40° ，试判断AB、CD的位置关系，并说明理由；
（2）如图2，∠CEF=120° ，点B在射线EF上，且．则∠ABE与∠C的数量关系为：
17．（2022七下·辛集期末）如图，直线ABCD，直线与、分别交于点、，小安将一个含角的直角三角板按如图①放置，使点、分别在直线、上，且在点、的右侧，，．
（1）填空： （填“”“”或“”）；
（2）若的平分线交直线于点，如图②．
①当ONEF，PMEF时，求的度数；
②小安将三角板保持PMEF并向左平移，在平移的过程中求的度数（用含的式子表示）．
18．（2022七下·大连期末）如图1，点E、F分别在直线AB、CD上，点P为AB、CD之间的一点，且．
（1）求证：；
（2）如图2，点G在射线FC上，PG平分，，探究与之间的数量关系．并说明理由；
（3）如图3，，．直线HQ分别交FN，EM于H、Q两点，若，求的度数．
四、填空题（每题4分，共24分）
19．（2022七下·前进期末）∠α与∠β的两边分别平行，且∠α比∠β大30°，则∠α= ．
20．（2022七上·莱西期中）一副直角三角板如图放置，点C在的延长线上，，，则的度数为 ．
21．（2022七下·顺平期末）如图，AB与CE的关系是 ，此时若∠3=30°，则∠B= °．
22．（2022七下·依安期末）如图，直线a与∠AOB的一边射线OA相交，∠1＝130°，向下平移直线a得到直线b，与∠AOB的另一边射线OB相交，则∠2+∠3＝ ．
23．（2022七下·黄石月考）如图，直线MN分别与直线AB，CD相交于点E，F，EG平分，交直线CD于点G，若，射线于点G，则 .
24．（2022七下·惠东期末）将一副三角板按如图放置，有下列结论：①若，则；②若，则；③；④若，则．其中正确的是 ．（填序号）
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】平行线的判定与性质；对顶角及其性质
【解析】【解答】解：A、两直线平行，同位角相等，故该选项正确，不符合题意；
B、对顶角相等，故该选项正确，不符合题意；
C、 同旁内角互补，两直线平行，故该选项正确，不符合题意；
D、 两条平行的直线被第三条直线所截，内错角相等，故该选项不正确，符合题意.
故答案为：D.
【分析】根据平行线的性质可判断A、D；根据对顶角的性质可判断B；根据平行线的判定定理可判断C.
2．【答案】C
【知识点】垂线；平行线的性质；对顶角及其性质
【解析】【解答】解：∵AB∥CD，
∴∠2+∠ABD=180°，
∵，
∴∠CBD=90°，
∵∠ABC=∠1=40°，
∴∠ABD=∠ABC+∠CBD=130°，
∴∠2=50°．
故答案为：C
【分析】由平行线的性质可得∠2+∠ABD=180°，由垂直的定义可得∠CBD=90°，由对顶角相等可得∠ABC=∠1=40°，从而求出∠ABD=∠ABC+∠CBD=130°，继而求解.
3．【答案】C
【知识点】角的运算；平行线的性质
【解析】【解答】解：∵，
∴
∵EN平分∠CEB，
∴
∵FM∥AB，
∴
故答案为：C．
【分析】根据题意先求出，再求出，最后计算求解即可。
4．【答案】C
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：如图，
∵∠1=35°，
∴∠3=180°-90°-∠1=55°，
∵直线a∥b，
∴∠2=∠3=55°，
故答案为：C．
【分析】根据平角的定义列式求出∠3的度数，再根据两直线平行，同位角相等，求出∠2的度数，即可解答.
5．【答案】D
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【解答】解：∵，
∴，故A选项结论正确，不合题意；
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，故B选项结论正确，不合题意；
∴，
又∵，
∴，，
∴，故C选项结论正确，不合题意；
∵，不一定等于，
∴现有条件无法推出，故D选项结论不正确，符合题意.
故答案为：D.
【分析】根据平行线的性质可得∠ADE=∠B，∠EDF+∠DFC=180°，结合已知得∠C+∠DFC=180°，推出DF∥AC，由平行线的性质可得∠BFD=∠C，∠AED=∠C，∠C+∠CED=180°，则∠BFD=∠AED，据此判断.
6．【答案】D
【知识点】平行线的性质；对顶角及其性质
【解析】【解答】解：分两种情况：
①如图1所示：
∵AD∥BC，AB∥CD，
∴∠α+∠ABC=180°，∠β+∠ABC=180°，
∴∠β=∠α=70°，；
②如图所示：
∵AB∥CD，
∴∠α+∠ADC=180°，
∵∠β=∠ADC，
∴∠α+∠β=180°，
∴∠β=180°-70°=110°；
综上所述：∠β的度数是70°或110°；
故答案为：D.
【分析】分类讨论：①若AD∥BC，AB∥CD，则∠α+∠ABC=180°，∠β+∠ABC=180°，根据同角的补角相等，求解即可；②AB∥CD，根据平行线的性质可得∠α+∠ADC=180°，由对顶角的性质可得∠β=∠ADC，则∠α+∠β=180°，据此求解.
7．【答案】A
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：∵AB∥CD，
∴∠ABC+∠BCD=180°． 又∠ABC=120°，
∴∠BCD=60°．
故答案为：A．
【分析】根据二直线平行，同旁内角互补，得出∠ABC+∠BCD=180°，结合∠ABC=120°， 即可求出∠BCD的大小.
8．【答案】B
【知识点】平行线的性质；角平分线的定义
【解析】【解答】解：如图所示，延长DE交AB的延长线于点H，
∵AB∥CD，
∴∠D＝∠H，
∵BF∥DE，
∴∠ABF=∠H，
∴∠D＝∠ABF，
又∵BF平分∠ABE，
∴∠ABE＝2∠ABF，
∴∠ABE＝2∠D．
故答案为：B.
【分析】如图所示，延长DE交AB的延长线于点H，由平行线性质推出∠D＝∠ABF，再由角平分线定义可得∠ABE＝2∠ABF，进而得∠ABE＝2∠D.
9．【答案】A
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【解答】解：∵EF⊥AB，CD⊥AB，
∴CD∥EF，
若∠CDG=∠BFE，
∵∠BCD=∠BFE，
∴∠BCD=∠CDG，
∴DG∥BC，
∴∠AGD=∠ACB，故小明说法正确；
∵FG∥AB，
∴∠B=∠GFC，
故得不到∠GFC=∠ADG，故小亮说法错误，
故答案为：A．
【分析】利用平行线的性质和判定方法逐项判断即可。
10．【答案】B
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【解答】解：∵GH//BC，
∴∠B=∠AGH，故①正确；
∵GH//BC，
∴∠1=∠HGF，
∵∠1=∠2，
∴∠2=∠HGF，
∴DE∥GF，
∴∠FGB=∠DEB，
∵，
∴∠FGB=∠DEB=90°，
∴HE⊥AB，故②正确；
∵DE∥GF，
∴∠D=∠DMF，
根据已知条件不能推出∠F也等于∠DMF，故③错误；
∵DE∥GF，
∴∠F=∠AHE，
∵∠D=∠1=∠2，
∴∠2不一定等于∠AHE，故④错误；
即正确的个数是2.
故答案为：B.
【分析】根据平行线的性质可得∠B=∠AGH，∠1=∠HGF，结合∠1=∠2可得∠2=∠HGF，推出DE∥GF，由平行线的性质可得∠FGB=∠DEB，根据垂直的概念可得∠FGB=∠DEB=90°，据此判断①②；根据平行线的性质可得∠D=∠DMF，进而判断③；由平行线的性质可得∠F=∠AHE，结合∠D=∠1=∠2可判断④.
11．【答案】（1）解：如图所示；
（2）解：由题意知： ， ，
∴四边形OCPD是平行四边形
∴∠O=∠PCA=∠BDP=∠CPD.
即与 相等的角有∠PCA，∠BDP，∠CPD
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】（2）解：∵PC∥OB，∴ ∠O=∠PCA ，
∵PD∥OA，∴ ∠O=∠BDP， ∠PCA=∠CPD，
∴ ∠O=∠PCA=∠BDP=∠CPD ，
即与
相等的角有∠PCA，∠BDP，∠CPD
【分析】（1）由题中的几何语言即可画出对应的几何图形；
（2）由题意可知四边形OCPD是平行四边形，结合平行线的性质即可写出与∠O相等的角.
12．【答案】证明：∵（已知），
（平角的定义），
∴（同角的补角相等），
∴（内错角相等，两直线平行），
∴（两直线平行，内错角相等），
∵（已知），
∴（等量代换），
∴（同位角相等，两直线平行）．
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【分析】利用平行线的性质和判定方法求解即可。
13．【答案】证明：∵（已知）
∴（同旁内角互补，两直线平行）
∴（两直线平行，内错角相等）
又∵（已知）
∴
即（等式的性质）
∴（内错角相等，两直线平行）
∴（两直线平行，内错角相等）；
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【分析】利用平行线的判定与性质证明求解即可。
14．【答案】解：∠1＋∠2＝180°；
证明：∵∠A＝∠C，
∴AB∥CD，
∴∠B＝∠BHC，
∵∠B＝∠D，
∴∠BHC＝∠D，
∴BH∥ED，
∴∠1＋∠2＝180°．
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【分析】利用平行线的判定与性质计算求解即可。
15．【答案】（1）证明：∵AB//CD，∴∠AGC=∠GCD，∵CG⊥CH，∴∠GCD+∠DCH=90°，∵∠CHE+∠CGA=90°，∴∠DCH=∠CHE，∴CD//EF．
（2）解：与∠AGC互余的角有∠ACG，∠DCH，∠M，∠CHE．
【知识点】余角、补角及其性质；平行线的判定与性质
【解析】【解答】解：(2)∵∠BAE=90°，
∴∠ACG是∠AGC的余角，
∵AB∥CD，
∴∠ACD=90°，∠M=∠DCH，
∵CG⊥CH，
∴∠ACG=∠DCH，
∵AB∥EF，
∴∠M=∠CHE，
∴与∠AGC互余的角有∠ACG，∠DCH，∠M，∠CHE．
【分析】（1）由平行线的性质可得∠AGC=∠GCD，由垂直的定义可得∠GCD+∠DCH=90° ，结合 ∠CHE+∠CGA=90° ，根据余角的性质可得∠DCH=∠CHE，根据平行线的判定即证；
（2）根据余角的定义进行求解即可.
16．【答案】（1）解：理由：如图，过点E作，
∴∠ABF=∠GEF=50°，∵∠CEF=90°，，∵∠C=40°，∴∠GEC=∠C，∴EG∥CD，∴；
（2）∠ABE-∠C=60°
【知识点】角的运算；平行线的判定与性质
【解析】【解答】解：（2）过点E作EH∥AB，
则∠ABE+∠HEF=180°①，∵AB∥CD，∴EH∥CD，∴∠C=∠CEH，∵∠CEH+∠HEF=∠CEF=120°，∴∠C+∠HEF=120°②，①-②得，∠ABE-∠C=60°．故答案为：∠ABE-∠C=60°．
【分析】（1）先求出 ∠ABF=∠GEF=50°， 再求出 ∠GEC=∠C， 最后证明求解即可；
（2）利用平行线的判定与性质计算求解即可。
17．【答案】（1）=
（2）解：①，，，，，，平分，，，，；②点在的右侧时，如图②，
，，，，，，平分，，，；点在的左侧时，如图，
，，，，，，，平分，，，综上所述，的度数为或．
【知识点】角的运算；平行线的性质；角平分线的定义
【解析】【解答】（1）解：过点作，
，，，，，故答案为：.
【分析】（1）利用平行线的性质可得，再利用角的运算和等量代换可得，从而得解；
（2）①利用平行线的性质可得，再利用角平分线的定义和平行线的性质可得；
②分两种情况： 第一种情况，当在的右侧时， 第二种情况，当点在的左侧时，分别画出图象再求解即可。
18．【答案】（1）证明：如图1，过P作．
∵，
∴．
∵，
∴．
∴，
∵，
∴．
（2）解：．
证明：如图2，过P作．
∵，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴．
∵PG平分，
∴，
∴．
∵，，
∴．
∴．
∵．
∴，
∴．
（3）解：如图3，过P作，过H作，过Q作．
∵，
∴．
∵，，
∴设，则，，．
∵，
∴，．
∴．
∵，
∴．
∴．
∵，
∴．
∵，
∴．
又∵，
∴．
∴．
∴
．
∴．
【知识点】角的运算；平行线的判定与性质；角平分线的定义
【解析】【分析】（1）过P作，先证明可得，再结合可得；
（2）过P作，利用平行线的性质及角的运算和等量代换可得；
（3）过P作，过H作，过Q作，设，则，，，求出，结合可得，求出，再利用平行线的性质可得，，利用角的运算可得，即可得到。
19．【答案】105°
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：如图，∠α与∠β的两边分别平行，
此时，，
∴，
∵，
解得：∠α=105°，∠β=75°．
故答案为：105°
【分析】根据平行线的性质可得，，再结合，求出∠α=105°，∠β=75°即可。
20．【答案】15°
【知识点】角的运算；平行线的性质
【解析】【解答】解：由题意可得：∠EDF=45°，∠ABC=30°，
∵AB∥CF，
∴∠ABD=∠EDF=45°，
∴∠DBC=45°-30°=15°．
故答案为15°．
【分析】根据平行线的性质可得∠ABD=∠EDF=45°，再利用角的运算求出∠DBC的度数即可。
21．【答案】平行（或AB//CD）；30
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【解答】，、的位置关系为内错角，
（内错角相等，两直线平行）
（两直线平行，同位角相等）
故答案为：平行（或）；30．
【分析】利用平行线的性质和判定方法求解即可。
22．【答案】230°
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：过点O作，
∵直线a向下平移得到直线b，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴．
故答案为：230°．
【分析】过点O作，根据平行线的性质可得，，即可得到。
23．【答案】或
【知识点】垂线；平行线的判定与性质
【解析】【解答】解：①当射线于点G时，，如图，
∵，
∴.
∴∠FGE=∠GEB.
∵EG平分，
∴，
∴，
∴∠PGE-∠FGE=.
②当射线于点G时，，如图，
同理：=.
故答案为：或.
【分析】由题意可分两种情况：①当GP⊥EG（点P在CD的上方）时，由已知根据“同位角相等两直线平行”可得AB∥CD，由“两直线平行内错角相等”可得∠FGE=∠GEB，由角平分线定义可得∠GEB=∠BEF=∠GEB，再根据角的构成∠PGF=∠PGE-∠FGE可求解；②当GP⊥EG（点P在CD的下方）时，同理可求解.
24．【答案】①③④
【知识点】角的运算；平行线的判定与性质
【解析】【解答】解：∵∠1＋∠2＝90°，∠2＝30°，
∴∠1＝60°，
∵∠E＝60°，
∴∠1＝∠E，
∴ACDE，①符合题意；
若BCAD，
∴∠3＝∠B＝45°，
∴∠2＝90° ∠3＝45°，②不符合题意；
∵∠BAE＝90° ∠1，∠CAD＝90°＋∠1，
∴∠BAE＋∠CAD＝180°，③符合题意；
∵∠CAD＝150°，∠D＝30°，
∴∠CAD＋∠D＝180°，
∴ACDE，
∴∠4＝∠C，④符合题意，
综上所述，正确的结论为：①③④，
故答案为：①③④．
【分析】结合所给的图形，利用平行线的判定与性质对每个结论一一判断即可。
1 / 12023年浙教版数学七年级下册全方位训练卷1.4平行线的性质
一、单选题（每题3分，共30分）
1．（2022七下·梧州期末）下列说法中，错误的是（ ）
A．两直线平行，同位角相等
B．对顶角相等
C．同旁内角互补，两直线平行
D．两条直线被第三条直线所截，内错角相等
【答案】D
【知识点】平行线的判定与性质；对顶角及其性质
【解析】【解答】解：A、两直线平行，同位角相等，故该选项正确，不符合题意；
B、对顶角相等，故该选项正确，不符合题意；
C、 同旁内角互补，两直线平行，故该选项正确，不符合题意；
D、 两条平行的直线被第三条直线所截，内错角相等，故该选项不正确，符合题意.
故答案为：D.
【分析】根据平行线的性质可判断A、D；根据对顶角的性质可判断B；根据平行线的判定定理可判断C.
2．（2022七下·巴彦期末）如图，AB∥CD，，，则的度数是（ ）
A．30° B．40° C．50° D．45°
【答案】C
【知识点】垂线；平行线的性质；对顶角及其性质
【解析】【解答】解：∵AB∥CD，
∴∠2+∠ABD=180°，
∵，
∴∠CBD=90°，
∵∠ABC=∠1=40°，
∴∠ABD=∠ABC+∠CBD=130°，
∴∠2=50°．
故答案为：C
【分析】由平行线的性质可得∠2+∠ABD=180°，由垂直的定义可得∠CBD=90°，由对顶角相等可得∠ABC=∠1=40°，从而求出∠ABD=∠ABC+∠CBD=130°，继而求解.
3．（2022七下·无为期末）如图，直线AB与CD相交于E，在∠CEB的平分线上有一点F，FM∥AB．当∠3=10°时，∠F的度数是（ ）
A．82° B．80° C．85° D．83 °
【答案】C
【知识点】角的运算；平行线的性质
【解析】【解答】解：∵，
∴
∵EN平分∠CEB，
∴
∵FM∥AB，
∴
故答案为：C．
【分析】根据题意先求出，再求出，最后计算求解即可。
4．（2022七下·相城期末）如图，直线，将含30°角的直角三角板ABC的直角顶点C放在直线b上，若，则的度数为（ ）
A．35° B．45° C．55° D．65°
【答案】C
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：如图，
∵∠1=35°，
∴∠3=180°-90°-∠1=55°，
∵直线a∥b，
∴∠2=∠3=55°，
故答案为：C．
【分析】根据平角的定义列式求出∠3的度数，再根据两直线平行，同位角相等，求出∠2的度数，即可解答.
5．（2022七下·南充期末）如图，在三角形ABC中，点D，E，F分别在AB，AC，BC上，，，则下列结论错误的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【解答】解：∵，
∴，故A选项结论正确，不合题意；
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，故B选项结论正确，不合题意；
∴，
又∵，
∴，，
∴，故C选项结论正确，不合题意；
∵，不一定等于，
∴现有条件无法推出，故D选项结论不正确，符合题意.
故答案为：D.
【分析】根据平行线的性质可得∠ADE=∠B，∠EDF+∠DFC=180°，结合已知得∠C+∠DFC=180°，推出DF∥AC，由平行线的性质可得∠BFD=∠C，∠AED=∠C，∠C+∠CED=180°，则∠BFD=∠AED，据此判断.
6．（2022七下·覃塘期末）∠α与∠β的两边分别平行，∠α的度数是70°，则∠β的度数是（ ）
A． B． C． D．或
【答案】D
【知识点】平行线的性质；对顶角及其性质
【解析】【解答】解：分两种情况：
①如图1所示：
∵AD∥BC，AB∥CD，
∴∠α+∠ABC=180°，∠β+∠ABC=180°，
∴∠β=∠α=70°，；
②如图所示：
∵AB∥CD，
∴∠α+∠ADC=180°，
∵∠β=∠ADC，
∴∠α+∠β=180°，
∴∠β=180°-70°=110°；
综上所述：∠β的度数是70°或110°；
故答案为：D.
【分析】分类讨论：①若AD∥BC，AB∥CD，则∠α+∠ABC=180°，∠β+∠ABC=180°，根据同角的补角相等，求解即可；②AB∥CD，根据平行线的性质可得∠α+∠ADC=180°，由对顶角的性质可得∠β=∠ADC，则∠α+∠β=180°，据此求解.
7．（2022七下·崇川期末）如图，弯形管道ABCD的拐角∠ABC＝120°，要保证管道，则∠BCD等于（ ）
A．60° B．50° C．70° D．65°
【答案】A
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：∵AB∥CD，
∴∠ABC+∠BCD=180°． 又∠ABC=120°，
∴∠BCD=60°．
故答案为：A．
【分析】根据二直线平行，同旁内角互补，得出∠ABC+∠BCD=180°，结合∠ABC=120°， 即可求出∠BCD的大小.
8．（2022七下·剑阁期末）如图，已知，平分，且，则与的关系是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】平行线的性质；角平分线的定义
【解析】【解答】解：如图所示，延长DE交AB的延长线于点H，
∵AB∥CD，
∴∠D＝∠H，
∵BF∥DE，
∴∠ABF=∠H，
∴∠D＝∠ABF，
又∵BF平分∠ABE，
∴∠ABE＝2∠ABF，
∴∠ABE＝2∠D．
故答案为：B.
【分析】如图所示，延长DE交AB的延长线于点H，由平行线性质推出∠D＝∠ABF，再由角平分线定义可得∠ABE＝2∠ABF，进而得∠ABE＝2∠D.
9．（2022七下·阳信期末）小明和小亮在研究一道数学题，如图，，垂足分别为E、D，G在上．
小明说：“如果，则能得到”；
小亮说：“连接，如果，则能得到”．
则下列判断正确的是（ ）
A．小明说法正确，小亮说法错误 B．小明说法正确，小亮说法正确
C．小明说法错误，小亮说法正确 D．小明说法错误，小亮说法错误
【答案】A
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【解答】解：∵EF⊥AB，CD⊥AB，
∴CD∥EF，
若∠CDG=∠BFE，
∵∠BCD=∠BFE，
∴∠BCD=∠CDG，
∴DG∥BC，
∴∠AGD=∠ACB，故小明说法正确；
∵FG∥AB，
∴∠B=∠GFC，
故得不到∠GFC=∠ADG，故小亮说法错误，
故答案为：A．
【分析】利用平行线的性质和判定方法逐项判断即可。
10．（2022七下·南宁期末）如图，已知GH//BC，，，给出下列结论：①；②；③；④HE平分∠AHG；其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【解答】解：∵GH//BC，
∴∠B=∠AGH，故①正确；
∵GH//BC，
∴∠1=∠HGF，
∵∠1=∠2，
∴∠2=∠HGF，
∴DE∥GF，
∴∠FGB=∠DEB，
∵，
∴∠FGB=∠DEB=90°，
∴HE⊥AB，故②正确；
∵DE∥GF，
∴∠D=∠DMF，
根据已知条件不能推出∠F也等于∠DMF，故③错误；
∵DE∥GF，
∴∠F=∠AHE，
∵∠D=∠1=∠2，
∴∠2不一定等于∠AHE，故④错误；
即正确的个数是2.
故答案为：B.
【分析】根据平行线的性质可得∠B=∠AGH，∠1=∠HGF，结合∠1=∠2可得∠2=∠HGF，推出DE∥GF，由平行线的性质可得∠FGB=∠DEB，根据垂直的概念可得∠FGB=∠DEB=90°，据此判断①②；根据平行线的性质可得∠D=∠DMF，进而判断③；由平行线的性质可得∠F=∠AHE，结合∠D=∠1=∠2可判断④.
二、作图题（共8分）
11．（2020七下·沙河口期末）如图，
内有一点
.
（1）过点
画
交
于点
，画
交
于点
；
（2）图中不添加其它的字母，写出所有与
相等的角.
【答案】（1）解：如图所示；
（2）解：由题意知： ， ，
∴四边形OCPD是平行四边形
∴∠O=∠PCA=∠BDP=∠CPD.
即与 相等的角有∠PCA，∠BDP，∠CPD
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】（2）解：∵PC∥OB，∴ ∠O=∠PCA ，
∵PD∥OA，∴ ∠O=∠BDP， ∠PCA=∠CPD，
∴ ∠O=∠PCA=∠BDP=∠CPD ，
即与
相等的角有∠PCA，∠BDP，∠CPD
【分析】（1）由题中的几何语言即可画出对应的几何图形；
（2）由题意可知四边形OCPD是平行四边形，结合平行线的性质即可写出与∠O相等的角.
三、解答题（共7题，共58分）
12．（2022七下·陆丰期末）如图，，．求证：．
证明：∵（ ），（ ），
∴（ ），∴（ ），
∴（ ），
∵（ ），
∴（ ），
∴（ ）．
【答案】证明：∵（已知），
（平角的定义），
∴（同角的补角相等），
∴（内错角相等，两直线平行），
∴（两直线平行，内错角相等），
∵（已知），
∴（等量代换），
∴（同位角相等，两直线平行）．
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【分析】利用平行线的性质和判定方法求解即可。
13．（2022七下·无为期末）请将下列证明过程补充完整：
已知：如图，点P在CD上，已知，．
求证：
证明：∵（已知）
∴▲ // ▲ （ ）
∴ ▲ （ ）
又∵（已知）
∴ ▲
即 ▲ （等式的性质）
∴//（内错角相等，两直线平行）
∴（ ）
【答案】证明：∵（已知）
∴（同旁内角互补，两直线平行）
∴（两直线平行，内错角相等）
又∵（已知）
∴
即（等式的性质）
∴（内错角相等，两直线平行）
∴（两直线平行，内错角相等）；
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【分析】利用平行线的判定与性质证明求解即可。
14．（2022七下·惠东期末）如图，已知：，，你能确定图中与的数量关系吗？请写出你的结论并进行证明．
【答案】解：∠1＋∠2＝180°；
证明：∵∠A＝∠C，
∴AB∥CD，
∴∠B＝∠BHC，
∵∠B＝∠D，
∴∠BHC＝∠D，
∴BH∥ED，
∴∠1＋∠2＝180°．
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【分析】利用平行线的判定与性质计算求解即可。
15．（2022七下·巴彦期末）如图1，已知AB//CD，点G在上，点H在上，连接、，，．
（1）求证：AB//EF；
（2）如图2，若，延长交的延长线于点M，请直接写出图2中所有与互余的角．
【答案】（1）证明：∵AB//CD，∴∠AGC=∠GCD，∵CG⊥CH，∴∠GCD+∠DCH=90°，∵∠CHE+∠CGA=90°，∴∠DCH=∠CHE，∴CD//EF．
（2）解：与∠AGC互余的角有∠ACG，∠DCH，∠M，∠CHE．
【知识点】余角、补角及其性质；平行线的判定与性质
【解析】【解答】解：(2)∵∠BAE=90°，
∴∠ACG是∠AGC的余角，
∵AB∥CD，
∴∠ACD=90°，∠M=∠DCH，
∵CG⊥CH，
∴∠ACG=∠DCH，
∵AB∥EF，
∴∠M=∠CHE，
∴与∠AGC互余的角有∠ACG，∠DCH，∠M，∠CHE．
【分析】（1）由平行线的性质可得∠AGC=∠GCD，由垂直的定义可得∠GCD+∠DCH=90° ，结合 ∠CHE+∠CGA=90° ，根据余角的性质可得∠DCH=∠CHE，根据平行线的判定即证；
（2）根据余角的定义进行求解即可.
16．（2022七下·大安期末）如图：
（1）如图1，∠CEF=90°，点B在射线EF上，若∠ABF=50°，∠C=40° ，试判断AB、CD的位置关系，并说明理由；
（2）如图2，∠CEF=120° ，点B在射线EF上，且．则∠ABE与∠C的数量关系为：
【答案】（1）解：理由：如图，过点E作，
∴∠ABF=∠GEF=50°，∵∠CEF=90°，，∵∠C=40°，∴∠GEC=∠C，∴EG∥CD，∴；
（2）∠ABE-∠C=60°
【知识点】角的运算；平行线的判定与性质
【解析】【解答】解：（2）过点E作EH∥AB，
则∠ABE+∠HEF=180°①，∵AB∥CD，∴EH∥CD，∴∠C=∠CEH，∵∠CEH+∠HEF=∠CEF=120°，∴∠C+∠HEF=120°②，①-②得，∠ABE-∠C=60°．故答案为：∠ABE-∠C=60°．
【分析】（1）先求出 ∠ABF=∠GEF=50°， 再求出 ∠GEC=∠C， 最后证明求解即可；
（2）利用平行线的判定与性质计算求解即可。
17．（2022七下·辛集期末）如图，直线ABCD，直线与、分别交于点、，小安将一个含角的直角三角板按如图①放置，使点、分别在直线、上，且在点、的右侧，，．
（1）填空： （填“”“”或“”）；
（2）若的平分线交直线于点，如图②．
①当ONEF，PMEF时，求的度数；
②小安将三角板保持PMEF并向左平移，在平移的过程中求的度数（用含的式子表示）．
【答案】（1）=
（2）解：①，，，，，，平分，，，，；②点在的右侧时，如图②，
，，，，，，平分，，，；点在的左侧时，如图，
，，，，，，，平分，，，综上所述，的度数为或．
【知识点】角的运算；平行线的性质；角平分线的定义
【解析】【解答】（1）解：过点作，
，，，，，故答案为：.
【分析】（1）利用平行线的性质可得，再利用角的运算和等量代换可得，从而得解；
（2）①利用平行线的性质可得，再利用角平分线的定义和平行线的性质可得；
②分两种情况： 第一种情况，当在的右侧时， 第二种情况，当点在的左侧时，分别画出图象再求解即可。
18．（2022七下·大连期末）如图1，点E、F分别在直线AB、CD上，点P为AB、CD之间的一点，且．
（1）求证：；
（2）如图2，点G在射线FC上，PG平分，，探究与之间的数量关系．并说明理由；
（3）如图3，，．直线HQ分别交FN，EM于H、Q两点，若，求的度数．
【答案】（1）证明：如图1，过P作．
∵，
∴．
∵，
∴．
∴，
∵，
∴．
（2）解：．
证明：如图2，过P作．
∵，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴．
∵PG平分，
∴，
∴．
∵，，
∴．
∴．
∵．
∴，
∴．
（3）解：如图3，过P作，过H作，过Q作．
∵，
∴．
∵，，
∴设，则，，．
∵，
∴，．
∴．
∵，
∴．
∴．
∵，
∴．
∵，
∴．
又∵，
∴．
∴．
∴
．
∴．
【知识点】角的运算；平行线的判定与性质；角平分线的定义
【解析】【分析】（1）过P作，先证明可得，再结合可得；
（2）过P作，利用平行线的性质及角的运算和等量代换可得；
（3）过P作，过H作，过Q作，设，则，，，求出，结合可得，求出，再利用平行线的性质可得，，利用角的运算可得，即可得到。
四、填空题（每题4分，共24分）
19．（2022七下·前进期末）∠α与∠β的两边分别平行，且∠α比∠β大30°，则∠α= ．
【答案】105°
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：如图，∠α与∠β的两边分别平行，
此时，，
∴，
∵，
解得：∠α=105°，∠β=75°．
故答案为：105°
【分析】根据平行线的性质可得，，再结合，求出∠α=105°，∠β=75°即可。
20．（2022七上·莱西期中）一副直角三角板如图放置，点C在的延长线上，，，则的度数为 ．
【答案】15°
【知识点】角的运算；平行线的性质
【解析】【解答】解：由题意可得：∠EDF=45°，∠ABC=30°，
∵AB∥CF，
∴∠ABD=∠EDF=45°，
∴∠DBC=45°-30°=15°．
故答案为15°．
【分析】根据平行线的性质可得∠ABD=∠EDF=45°，再利用角的运算求出∠DBC的度数即可。
21．（2022七下·顺平期末）如图，AB与CE的关系是 ，此时若∠3=30°，则∠B= °．
【答案】平行（或AB//CD）；30
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【解答】，、的位置关系为内错角，
（内错角相等，两直线平行）
（两直线平行，同位角相等）
故答案为：平行（或）；30．
【分析】利用平行线的性质和判定方法求解即可。
22．（2022七下·依安期末）如图，直线a与∠AOB的一边射线OA相交，∠1＝130°，向下平移直线a得到直线b，与∠AOB的另一边射线OB相交，则∠2+∠3＝ ．
【答案】230°
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：过点O作，
∵直线a向下平移得到直线b，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴．
故答案为：230°．
【分析】过点O作，根据平行线的性质可得，，即可得到。
23．（2022七下·黄石月考）如图，直线MN分别与直线AB，CD相交于点E，F，EG平分，交直线CD于点G，若，射线于点G，则 .
【答案】或
【知识点】垂线；平行线的判定与性质
【解析】【解答】解：①当射线于点G时，，如图，
∵，
∴.
∴∠FGE=∠GEB.
∵EG平分，
∴，
∴，
∴∠PGE-∠FGE=.
②当射线于点G时，，如图，
同理：=.
故答案为：或.
【分析】由题意可分两种情况：①当GP⊥EG（点P在CD的上方）时，由已知根据“同位角相等两直线平行”可得AB∥CD，由“两直线平行内错角相等”可得∠FGE=∠GEB，由角平分线定义可得∠GEB=∠BEF=∠GEB，再根据角的构成∠PGF=∠PGE-∠FGE可求解；②当GP⊥EG（点P在CD的下方）时，同理可求解.
24．（2022七下·惠东期末）将一副三角板按如图放置，有下列结论：①若，则；②若，则；③；④若，则．其中正确的是 ．（填序号）
【答案】①③④
【知识点】角的运算；平行线的判定与性质
【解析】【解答】解：∵∠1＋∠2＝90°，∠2＝30°，
∴∠1＝60°，
∵∠E＝60°，
∴∠1＝∠E，
∴ACDE，①符合题意；
若BCAD，
∴∠3＝∠B＝45°，
∴∠2＝90° ∠3＝45°，②不符合题意；
∵∠BAE＝90° ∠1，∠CAD＝90°＋∠1，
∴∠BAE＋∠CAD＝180°，③符合题意；
∵∠CAD＝150°，∠D＝30°，
∴∠CAD＋∠D＝180°，
∴ACDE，
∴∠4＝∠C，④符合题意，
综上所述，正确的结论为：①③④，
故答案为：①③④．
【分析】结合所给的图形，利用平行线的判定与性质对每个结论一一判断即可。
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