分式方程的解
一、选择题（共20小题）
1、关于x的方程=1的解是正数，则a的取值范围是（ ）
A、a＞﹣1 B、a＞﹣1且a≠0
C、a＜﹣1 D、a＜﹣1且a≠﹣2
2、关于x的分式方程=1，下列说法正确的是（ ）
A、方程的解是x=m+5 B、m＞﹣5时，方程的解是正数
C、m＜﹣5时，方程的解为负数 D、无法确定
3、关于x的方程：的解是负数，则a的取值范围是（ ）
A、a＜1 B、a＜1且a≠0
C、a≤1 D、a≤1且a≠0
4、若关于x的分式方程的解为正数，则m的取值范围是（ ）
A、m＞﹣1 B、m≠1
C、m＞1 D、m＞﹣1且m≠1
5、若分式方程无解，则m值为（ ）21世纪教育网版权所有
A、1 B、0
C、﹣1 D、﹣2
6、关于x的方程无解，则m的值是（ ）
A、﹣1 B、0
C、1 D、2
7、如果关于x的方程无解，则m的值等于（ ）
A、﹣3 B、﹣2
C、﹣1 D、3
8、关于x的方程的解为x=1，则a=（ ）
A、1 B、3
C、﹣1 D、﹣3
9、若关于x的方程无解，则m的值为（ ）
A、1 B、2
C、3 D、﹣1
10、若关于x的方程无解，则m的值为（ ）21世纪教育网版权所有
A、4 B、3
C、﹣3 D、1
11、若=0无解，则m的值是（ ）
A、﹣2 B、2
C、3 D、﹣3
12、若关于x的方程有解，则必须满足条件（ ）
A、c≠d B、c≠﹣d
C、bc≠﹣ad D、a≠b
13、分式方程（ ）
A、无解 B、有解x=2
C、有解x=1 D、有解x=0
14、如果9是关于x的分式方程的解，则a的值是（ ）21世纪教育网版权所有
A、﹣2 B、﹣3
C、2 D、3
15、如果分式方程无解，则x的值是（ ）
A、2 B、0
C、﹣1 D、﹣2
16、若分式方程无解，则m的值为（ ）
A、﹣1 B、﹣2
C、﹣3 D、0
17、若分式方程=a无解，则a的值为（ ）
A、﹣1 B、1
C、±1 D、﹣2
18、关于x的分式方程，下列说法正确的是（ ）
A、m＜﹣5时，方程的解为负数 B、方程的解是x=m+5
C、m＞﹣5时，方程的解是正数 D、无法确定
19、若分式方程=2的解是2，则a的值是（ ）
A、1 B、2
C、3 D、4
20、若方程有正数根，则k的取值范围是（ ）21世纪教育网版权所有
A、k＜2 B、k≠﹣3
C、﹣3＜k＜2 D、k＜2且k≠﹣3
二、填空题（共5小题）
21、方程=0的解是x= _________ ．
22、关于x的分式方程的解为正数，则m的取值范围是 _________ ．
23、已知关于x的分式方程﹣=0无解，则a的值为 _________ ．
24、已知x=1是分式方程的根，则实数k= _________ ．21世纪教育网版权所有
25、已知关于x的分式方程=1的解是非正数，则a的取值范围是 _________ ．
三、解答题（共5小题）
26、先化简，再求值：（﹣）÷，其中a是方程﹣=1的解．
27、附加题
（1）分式的最大值为 _________ ．
（2）若分式的值为0，则x的值为 _________ ．
（3）关于x的方程无解，则a的值为 _________ ．21世纪教育网版权所有
（4）已知且a≠0，则的值为 _________ ．
28、若关于x的分式方程的解是正数，求a的取值范围．
29、若方程的解是正数，求a的取值范围．关于这道题，有位同学做出如下解答：
解：去分母得：2x+a=﹣x+2．化简，得3x=2﹣a．故．
欲使方程的根为正数，必须＞0，得a＜2．
所以，当a＜2时，方程的解是正数．
上述解法是否有误？若有错误请说明错误的原因，并写出正确解答；若没有错误，请说出每一步解法的依据．
30、已知关于x的方程﹣2=解为正数，求m的取值范围．21世纪教育网版权所有
答案与评分标准
一、选择题（共20小题）
1、关于x的方程=1的解是正数，则a的取值范围是（ ）
A、a＞﹣1 B、a＞﹣1且a≠0
C、a＜﹣1 D、a＜﹣1且a≠﹣2
考点：分式方程的解。21世纪教育网版权所有
专题：计算题。
分析：先解关于x的分式方程，求得x的值，然后再依据“解是正数”建立不等式求a的取值范围．
解答：解：去分母得，2x+a=x﹣1
∴x=﹣1﹣a
∵方程的解是正数
∴﹣1﹣a＞0即a＜﹣1
又因为x﹣1≠0
∴a≠﹣2
则a的取值范围是a＜﹣1且a≠﹣2
故选D．
点评：由于我们的目的是求a的取值范围，根据方程的解列出关于a的不等式，另外，解答本题时，易漏掉a≠﹣2，这是因为忽略了x﹣1≠0这个隐含的条件而造成的，这应引起同学们的足够重视．
2、关于x的分式方程=1，下列说法正确的是（ ）
A、方程的解是x=m+5 B、m＞﹣5时，方程的解是正数
C、m＜﹣5时，方程的解为负数 D、无法确定
3、关于x的方程：的解是负数，则a的取值范围是（ ）21世纪教育网版权所有
A、a＜1 B、a＜1且a≠0
C、a≤1 D、a≤1且a≠0
考点：分式方程的解。
专题：计算题。
分析：先解关于x的分式方程，求得x的值，然后再依据“解是负数”建立不等式求a的取值范围．
解答：解：去分母得，a=x+1，21世纪教育网版权所有
∴x=a﹣1，
∵方程的解是负数，
∴a﹣1＜0即a＜1，
又a≠0，
∴a的取值范围是a＜1且a≠0．
故选B．
点评：解题关键是要掌握方程的解的定义，使方程成立的未知数的值叫做方程的解．
4、若关于x的分式方程的解为正数，则m的取值范围是（ ）
A、m＞﹣1 B、m≠1
C、m＞1 D、m＞﹣1且m≠1
考点：分式方程的解。
专题：计算题。
分析：先解关于x的分式方程，求得x的值，然后再依据“解是正数”建立不等式求m的取值范围．
解答：解：去分母得，m﹣1=2x﹣2，
解得，x=，
∵方程的解是正数，
∴＞0，
解这个不等式得，m＞﹣1，
∵m=1时不符合题意，
∴m≠1，
则m的取值范围是m＞﹣1且m≠1．
故选D．
点评：解题关键是要掌握方程的解的定义，使方程成立的未知数的值叫做方程的解．
5、若分式方程无解，则m值为（ ）
A、1 B、0
C、﹣1 D、﹣2
考点：分式方程的解。
专题：计算题。21世纪教育网版权所有
分析：分式方程无解的条件是：去分母后所得整式方程无解，或解这个整式方程得到的解使原方程的分母等于0．
解答：解：方程去分母得，x=m
x+1=0即x=﹣1时方程无解
所以m=﹣1时方程无解．
故选C．
点评：本题考查了分式方程无解的条件，是需要识记的内容．
6、关于x的方程无解，则m的值是（ ）21世纪教育网版权所有
A、﹣1 B、0
C、1 D、2
考点：分式方程的解。
专题：计算题。
分析：分式方程无解的条件是：去分母后所得整式方程无解，或解这个整式方程得到的解使原方程的分母等于0．
解答：解：去分母得：x﹣1=m+2（x﹣2）
解得：x=3﹣m
当x=2时分母为0，方程无解
即3﹣m=2，m=1时方程无解，
故选C．
点评：本题考查了分式方程无解的条件，是需要识记的内容．
7、如果关于x的方程无解，则m的值等于（ ）21世纪教育网版权所有
A、﹣3 B、﹣2
C、﹣1 D、3
考点：分式方程的解。
专题：计算题。
分析：分式方程无解的条件是：去分母后所得整式方程无解，或解这个整式方程得到的解使原方程的分母等于0．
解答：解：方程去分母得，2=x﹣3﹣m
解得，x=5+m
当分母x﹣3=0即x=3时方程无解
也就是5+m=3时方程无解
则m=﹣2
故选B．
点评：本题考查了分式方程无解的条件，是需要识记的内容．并且在解方程去分母的过程中，一定要注意分数线起到括号的作用，并且要注意没有分母的项不要漏乘．
8、关于x的方程的解为x=1，则a=（ ）
A、1 B、3
C、﹣1 D、﹣3
考点：分式方程的解。21世纪教育网版权所有
专题：计算题。
分析：根据方程的解的定义，把x=1代入原方程，原方程左右两边相等，从而原方程转化为含有a的新方程，解此新方程可以求得a的值．
解答：解：把x=1代入原方程得，
去分母得8a+12=3a﹣3
解得a=﹣3，故选D．
点评：解题关键是要掌握方程的解的定义，使方程成立的未知数的值叫做方程的解．
9、若关于x的方程无解，则m的值为（ ）21世纪教育网版权所有
A、1 B、2
C、3 D、﹣1
10、若关于x的方程无解，则m的值为（ ）21世纪教育网版权所有
A、4 B、3
C、﹣3 D、1
考点：分式方程的解。
专题：计算题。
分析：分式方程无解的条件是：去分母后所得整式方程无解，或解这个整式方程得到的解使原方程的分母等于0．
解答：解：方程去分母得，x﹣1=m，
即x=m+1，
当x﹣4=0即x=4时方程无解，
也就是m+1=4时方程无解，
则m的值为m=4﹣1=3．
故选B．
点评：本题考查了分式方程无解的条件，是需要识记的内容．
11、若=0无解，则m的值是（ ）
A、﹣2 B、2
C、3 D、﹣321世纪教育网版权所有
考点：分式方程的解。
专题：计算题。
分析：先按照一般步骤解方程，得到用含有m的代数式表示x的形式，因为无解，所以x是能令最简公分母为0的数，代入即可解出m．
解答：解：方程两边都乘（x﹣4）得：
m+1﹣x=0，
∵方程无解，21世纪教育网版权所有
∴x﹣4=0，
即x=4，
∴m+1﹣4=0，
即m=3，
故选C．
点评：增根问题可按如下步骤进行：①让最简公分母为0确定增根；②化分式方程为整式方程；③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．
12、若关于x的方程有解，则必须满足条件（ ）
A、c≠d B、c≠﹣d
C、bc≠﹣ad D、a≠b
考点：分式方程的解。
分析：本题考查解含有字母系数的分式方程的能力，此题可把a、b、c、d都看做已知数解方程，去分母，转化为关于x的整式方程，讨论x的系数，得出结论．
解答：解：方程两边都乘以d（b﹣x），得d（x﹣a）=c（b﹣x），
∴dx﹣da=cb﹣cx，即（d+c）x=cb+da，
∴当d+c≠0，即c≠﹣d时，原方程有解．故选B．
点评：解含有字母系数的方程和解数字系数的方程一样，均是通过去分母，将分式方程转化为整式方程，但因为分式方程中字母的取值决定着方程的解，故对转化后的整式方程中的未知数系数应加以限制，对解出的解还要进行检验．
13、分式方程（ ）21世纪教育网版权所有
A、无解 B、有解x=2
C、有解x=1 D、有解x=0
考点：分式方程的解。
专题：计算题。
分析：化为整式方程，求得x的值，然后检验根是否满足分母不为0．
解答：解：，
化为整式方程得x﹣2=2x﹣2，
解得x=0，且x=0时分式有意义，
故选D．
点评：本题需注意在任何时候都要考虑分母不为0．
14、如果9是关于x的分式方程的解，则a的值是（ ）
A、﹣2 B、﹣321世纪教育网版权所有
C、2 D、3
考点：分式方程的解。
专题：计算题。
分析：直接把x=9代入原方程，即可求出a的值．
解答：解：把x=9代入方程得，
=，=，
解得a=2．
故选C．21世纪教育网版权所有
点评：本题考查了方程的解的定义：方程的解是使方程左右两边都相等的未知数的值．
15、如果分式方程无解，则x的值是（ ）
A、2 B、0
C、﹣1 D、﹣2
考点：分式方程的解。
专题：计算题。
分析：分式方程无解的条件是：去分母后所得整式方程无解，或解这个整式方程得到的解使原方程的分母等于0．
解答：解：当分母x﹣2=0时方程无解，解x﹣2=0得x=2时方程无解．则x的值是2．故选A．
点评：本题考查了分式方程无解的条件，是需要识记的内容．
16、若分式方程无解，则m的值为（ ）
A、﹣1 B、﹣2
C、﹣3 D、0
考点：分式方程的解。21世纪教育网版权所有
专题：计算题。
分析：分式方程无解的条件是：去分母后所得整式方程无解，或解这个整式方程得到的解使原方程的分母等于0．
解答：解：方程去分母得x=m+1，当分母x+2=0，
∵x=﹣2时方程无解，即m+1=﹣2，
∴m=﹣3时方程无解，
则m的值为﹣3，
故选C．
点评：本题考查了分式方程无解的条件，是需要识记的内容．
17、若分式方程=a无解，则a的值为（ ）
A、﹣1 B、1
C、±1 D、﹣2
考点：分式方程的解。
专题：计算题。
分析：分式方程无解的条件是：去分母后所得整式方程无解，或解这个整式方程得到的解使原方程的分母等于0．
解答：解：方程去分母得，x+a=a（x﹣1）
解得，x=
当分母x﹣1=0时方程无解21世纪教育网版权所有
即x=1时
也就是=1
所以a=﹣1时，方程无解．
当a=1时，
=1，
方程无解，
故当x=±1时，方程无解，
故选C．
点评：本题考查了分式方程无解的条件，是需要识记的内容．
18、关于x的分式方程，下列说法正确的是（ ）
A、m＜﹣5时，方程的解为负数 B、方程的解是x=m+5
C、m＞﹣5时，方程的解是正数 D、无法确定
19、若分式方程=2的解是2，则a的值是（ ）
A、1 B、2
C、3 D、4
考点：分式方程的解。
专题：计算题。
分析：根据方程的解的定义，把x=2代入原方程，原方程左右两边相等，从而原方程转化为含有a的新方程，解此新方程可以求得a的值．
解答：解：把x=2代入原方程得到，解得a=4．
故选D．
点评：解题关键是要掌握方程的解的定义，使方程成立的未知数的值叫做方程的解．
20、若方程有正数根，则k的取值范围是（ ）
A、k＜2 B、k≠﹣3
C、﹣3＜k＜2 D、k＜2且k≠﹣3
考点：分式方程的解。21世纪教育网版权所有
专题：计算题。
分析：先解关于x的分式方程，求得x的值，然后再依据“解是正数”建立不等式求k的取值范围．
解答：解：去分母得，3x+3k=2x+6，
解得，x=6﹣3k，
因为方程是正数根，所以6﹣3k＞0，
解得k＜2，
则k的取值范围是k＜2．
由于分式方程的分母不能为0，所以k＜2且k≠﹣3，
故选D．
点评：由于我们的目的是求k的取值范围，根据方程的解列出关于k的不等式，另外，解答本题时易漏掉分母不等于0这个隐含的条件，这应引起足够重视．
二、填空题（共5小题）
21、方程=0的解是x= 2 ．
22、关于x的分式方程的解为正数，则m的取值范围是 m＞2且m≠3 ．
考点：分式方程的解。
专题：计算题。
分析：方程两边同乘以x﹣1，化为整数方程，求得x，再列不等式得出m的取值范围．
解答：解：方程两边同乘以x﹣1，得，m﹣3=x﹣1，
解得x=m﹣2，
∵分式方程的解为正数，
∴m﹣2＞0且x﹣1≠0，21世纪教育网版权所有
即m＞2且m≠3，
故答案为m＞2且m≠3．
点评：本题考查了分式方程的解，分式的分母为0，此题是一道易错题，有点难度．
23、已知关于x的分式方程﹣=0无解，则a的值为 0或 ．
考点：分式方程的解。
专题：计算题。21世纪教育网版权所有
分析：根据题意得出方程无解时x的值，注意多种情况，依次代入得出a的值．
解答：解：∵关于x的分式方程﹣=0无解，
∴x（x+1）=0，
解得：x=﹣1，或x=0，
当x=﹣1时，ax﹣2a+x+1=0，即﹣a﹣2a﹣1+1=0，
解得a=0，
当x=0时，﹣2a+1=0，
解得a=．
故答案为：0或．
点评：本题主要考查了分式方程无解的情况，需要考虑周全，不要漏解，难度适中．
24、已知x=1是分式方程的根，则实数k= ．
考点：分式方程的解。
分析：先将x的值代入已知方程即可得到一个关于k的方程，解此方程即可求出k的值．
解答：解：将x=1代入得，21世纪教育网版权所有
=，
解得，k=．
故本题答案为：．
点评：本题主要考查分式方程的解法．
25、（2010?黑河）已知关于x的分式方程=1的解是非正数，则a的取值范围是 a≤﹣1且a≠﹣2 ．
考点：分式方程的解。
分析：先解关于x的分式方程，求得x的值，然后再依据“解是非正数”建立不等式求a的取值范围．
解答：解：去分母，得a+2=x+1，
解得：x=a+1，
∵x≤0，
∴a+1≤0，
∴a≤﹣1，且x≠﹣1，
∴a≠﹣2，
∴a≤﹣1且a≠﹣2．
点评：解答本题时，易漏掉a≠﹣2，这是因为忽略了x+1≠0这个隐含的条件而造成的，这应引起同学们的足够重视．
三、解答题（共5小题）21世纪教育网版权所有
26、先化简，再求值：（﹣）÷，其中a是方程﹣=1的解．
考点：分式的化简求值；分式方程的解。
分析：首先把括号里分式进行通分，然后把除法运算转化成乘法运算，进行约分化简，再解分式方程﹣=1求出a的值，最后代值计算．
解答：解：原式=，
=﹣，
解分式方程﹣=1得：x=2，
经检验可知x=2是分式方程的解，
∴a=2，
当a=2时，原式=﹣=﹣1．21世纪教育网版权所有
点评：主要考查了分式的化简求值问题．分式的四则运算是整式四则运算的进一步发展，是有理式恒等变形的重要内容之一．在计算时，首先要弄清楚运算顺序，先去括号，再进行分式的乘除运算．
27、附加题
（1）分式的最大值为 ．
（2）若分式的值为0，则x的值为 x=±2a，且x≠﹣3 ．
（3）关于x的方程无解，则a的值为 ﹣2或1 ．
（4）已知且a≠0，则的值为 2 ．
考点：分式的化简求值；分式的值为零的条件；分式的值；分式方程的解。
专题：综合题。21世纪教育网版权所有
分析：（1）将分式的分母配方后，根据完全平方式的最小值为0，求出分母的最小值，即可得到原式的最大值；
（2）根据分式值为0的条件是分母不为0，分子等于0，即可得到x的值；
（3）找出分式方程的最简公分母，去分母转化为整式方程，求出x的值，由原方程无解，得到分式方程的最简公分母为0，求出分式方程最简公分母为0时x的值，令其值等于表示出的x的解即可得到a的值，再由表示出的x的值无意义可得此时a的值，综上，即可得到原方程无解时a的值；
（4）根据题意利用添项法在原式两边同时加上bc，整理后，根据a不为0，在方程两边同时除以a2后，等式可化为完全平方式等于0的形式，利用完全平方式的非负性，即可得到平方的底数为0，得出答案．21世纪教育网版权所有
解答：解：（1）∵2x2﹣x+4=2（x2﹣x）+4=2（x2﹣x+）+4﹣=2（x﹣）2+，
∴当x=时，2x2﹣x+4有最小值，最小值为，
则分式的最大值为；
（2）∵分式的值为0，
∴，解得x=±2a，且x≠﹣3，
则x的值为x=±2a，且x≠﹣3；
（3），
方程两边同时乘以最简公分母x（x﹣1）得：
x（x﹣a）﹣3（x﹣1）=x（x﹣1），
x2﹣ax﹣3x+3=x2﹣x，
整理得：（2+a）x=3，21世纪教育网版权所有
解得：x=，
∵此分式方程无解，∴x=0或1，
若无意义，即a=﹣2，方程无解；
若=1，解得：a=1，方程无解，
则a=﹣2或1时，原方程无解；
（4）
两边同时加上bc得：，
化简得：4a2﹣4a（b+c）+（b+c）2=0，
由a≠0，两边同时除以a2得：，
即，
所以=2．21世纪教育网版权所有
故答案为：；x=±2a，且x≠﹣3；﹣2或1；2
点评：此题考查了配方法的应用，分式值为0满足的条件，分式方程无解的条件，以及分式的化简求值，是一道多知识点的综合题，要求学生掌握知识要全面系统，灵活运用所学知识解决问题．本题的第4小题技巧性比较强，两边同时加上bc，然后在等式两边同时除以a2，把等式变为完全平方式等于0是解题的关键．
28、（2008?安顺）若关于x的分式方程的解是正数，求a的取值范围．
29、若方程的解是正数，求a的取值范围．关于这道题，有位同学做出如下解答：
解：去分母得：2x+a=﹣x+2．化简，得3x=2﹣a．故．
欲使方程的根为正数，必须＞0，得a＜2．
所以，当a＜2时，方程的解是正数．21世纪教育网版权所有
上述解法是否有误？若有错误请说明错误的原因，并写出正确解答；若没有错误，请说出每一步解法的依据．
考点：分式方程的解。
专题：计算题。
分析：化为整式方程，求得x的值然后根据解的情况进行分析没有错，但还应考虑分母x﹣2≠0即x≠2．
解答：解：有错，当a＜2时，分母有可能为零；
改正：因为x≠2，所以，a≠﹣4，
所以结果为a＜2且a≠﹣4．
点评：本题需注意在任何时候都要考虑分母不为0．
30、已知关于x的方程﹣2=解为正数，求m的取值范围．
考点：分式方程的解。
分析：先解关于x的分式方程，求得x的值，然后再依据“解是正数”建立不等式求m的取值范围．
解答：解：去分母，得x﹣2（x﹣3）=m，
解得：x=6﹣m，
∵x＞0，
∴6﹣m＞0，
∴m＜6，且x≠3，21世纪教育网版权所有
∴m≠3．
∴m＜6且m≠3．
点评：解答本题时，易漏掉m≠3，这是因为忽略了x﹣3≠0这个隐含的条件而造成的，这应引起同学们的足够重视．
