分式方程的增根
一、选择题（共20小题）
1、下列说法：
①解分式方程一定会产生增根；
②方程=0的根为2；
③方程的最简公分母为2x（2x﹣4）；
④x+=1+是分式方程．
其中正确的个数是（ ）
A、1个 B、2个
C、3个 D、4个
2、下列说法中，正确的是（ ）
A、解分式方程一定会产生增根
B、方程的根为2
C、方程|x|=1与方程的值相同
D、代数式与的值不可能相等
3、分式方程=有增根，则m的值为（ ）
A、0和3 B、1
C、1和﹣2 D、321世纪教育网版权所有
4、若方程=1有增根，则它的增根是（ ）
A、0 B、1
C、﹣1 D、1和﹣1
5、若关于x的方程有增根，则m的值是（ ）
A、3 B、2
C、1 D、﹣1
6、若关于x的方程产生增根，则m的值是（ ）21世纪教育网版权所有
A、m=﹣1 B、m=1
C、m=﹣2 D、m=2
7、若分式方程有增根，则m的值为（ ）
A、1 B、﹣1
C、3 D、﹣3
8、若分式方程有增根，则a的值为（ ）21世纪教育网版权所有
A、4 B、2
C、1 D、0
9、解关于x的方程产生增根，则常数m的值等于（ ）
A、﹣1 B、﹣2
C、1 D、2
10、若方程=7有增根，则k=（ ）21世纪教育网版权所有
A、﹣1 B、0
C、1 D、6
11、若分式方程有增根，则m的值是（ ）
A、﹣1或1 B、﹣1或2
C、1或2 D、1或﹣2
12、若分式方程有增根，则增根可能是（ ）
A、1 B、﹣1
C、1或﹣1 D、021世纪教育网版权所有
13、关于x的方程产生增根，则m的值及增根x的值分别为（ ）
A、m=﹣1，x=﹣3 B、m=1，x=﹣3
C、m=﹣1，x=3 D、m=1，x=3
14、若关于x的方程有增根，则m的值是（ ）21世纪教育网版权所有
A、﹣2 B、2
C、5 D、3
15、如果方程有增根，那么k的值（ ）
A、1 B、﹣1
C、±1 D、7
16、若关于x的方程=产生增根，则m是（ ）
A、1 B、2
C、3 D、4
17、若分式方程有增根，则k值为（ ）21世纪教育网版权所有
A、4或﹣6 B、﹣4或﹣6
C、﹣4或6 D、4或6
18、对于分式方程，下列说法中，一定正确的是（ ）21世纪教育网版权所有
A、只要是分式方程，一定有增根
B、分式方程若有增根，增根代入最简公分母中，其值一定为0
C、使分式方程中分母为零的值，都是此方程的增根
D、分式方程化成整式方程，整式方程的解都是分式方程的解
19、如果方程有增根，则k的值（ ）
A、8 B、﹣8
C、8或﹣8 D、不存在
20、若分式方程=有增根，此时k=（ ）21世纪教育网版权所有
A、0 B、1
C、2 D、3
二、填空题（共5小题）21世纪教育网版权所有
21、关于x的方程=0有增根，则m= _________ ．
22、已知方程有增根，则k= _________ ．
23、若关于x的方程﹣1=0有增根，则a的值为 _________ ．
24、已知关于的方程有增根，则a的值等于 _________ ．
25、分式方程=0有增根x=1，则k的值为 _________ ．
三、解答题（共5小题）
26、①解方程21世纪教育网版权所有
②当a为何值时，关于x的方程①会产生增根？
27、a为何值时，关于x的方程会产生增根？
28、当m为何值时，去分母解方程=1﹣会产生增根？
29、分式方程+3=有增根．（1）这个增根是什么？（2）求m的值．21世纪教育网版权所有
30、已知关于x的方程有增根，则k为多少？21世纪教育网版权所有
答案与评分标准
一、选择题（共20小题）
1、下列说法：
①解分式方程一定会产生增根；
②方程=0的根为2；21世纪教育网版权所有
③方程的最简公分母为2x（2x﹣4）；
④x+=1+是分式方程．21世纪教育网版权所有
其中正确的个数是（ ）
A、1个 B、2个21世纪教育网版权所有
C、3个 D、4个
2、下列说法中，正确的是（ ）21世纪教育网版权所有
A、解分式方程一定会产生增根 B、方程的根为2
C、方程|x|=1与方程的值相同 D、代数式与的值不可能相等
考点：分式方程的解；分式方程的增根。21世纪教育网版权所有
分析：根据分式方程的解的定义、增根的概念解答．
解答：解：A、整式方程的解不一定都是会使分式方程的分母为0，所以分式方程不一定有增根，错误；
B、方程=0的根为2，分母为0，所以是增根；21世纪教育网版权所有
C、方程|x|=1的解为x=±1，方程的解为x=1，值不相同，错误；
D、令=，解得x=3（为增根），原方程无解，故代数式与的值不可能相等，正确．
故选D．21世纪教育网版权所有
点评：分式方程化为整式方程后，先求出整式方程的解，再看是否让最简公分母为0，为0的是增根，不为0的是原分式方程的解．
3、分式方程=有增根，则m的值为（ ）
A、0和3 B、1
C、1和﹣2 D、3
考点：分式方程的增根；解一元一次方程。
专题：计算题。21世纪教育网版权所有
分析：根据分式方程有增根，得出x﹣1=0，x+2=0，求出即可．
解答：解：∵分式方程=有增根，
∴x﹣1=0，x+2=0，
∴x=1，x=﹣2．
两边同时乘以（x﹣1）（x+2），原方程可化为x（x+2）﹣（x﹣1）（x+2）=m，
整理得，m=x+2，
当x=1时，m=1+2=3；21世纪教育网版权所有
当x=﹣2时，m=﹣2+2=0．
当m=0时，原分式方程变为：=0，
这时x=﹣2不成立，
故m=0舍去，
故选D．21世纪教育网版权所有
点评：本题主要考查对分式方程的增根，解一元一次方程等知识点的理解和掌握，理解分式方程的增根的意义是解此题的关键．
4、若方程=1有增根，则它的增根是（ ）
A、0 B、1
C、﹣1 D、1和﹣1
考点：分式方程的增根。21世纪教育网版权所有
分析：增根是分式方程化为整式方程后产生的使分式方程的分母为0的根．有增根，那么最简公分母（x+1）（x﹣1）=0，所以增根可能是x=1或﹣1．
解答：解：方程两边都乘（x+1）（x﹣1），得
6﹣m（x+1）=（x+1）（x﹣1），
由最简公分母（x+1）（x﹣1）=0，可知增根可能是x=1或﹣1．
当x=1时，m=3，21世纪教育网版权所有
当x=﹣1时，得到6=0，这是不可能的，
所以增根只能是x=1．21世纪教育网版权所有
故选B．
点评：求增根只需将最简公分母等于0即可，但有两个或两个以上的增根时需进行检验．
5、若关于x的方程有增根，则m的值是（ ）
A、3 B、2
C、1 D、﹣1
6、若关于x的方程产生增根，则m的值是（ ）
A、m=﹣1 B、m=1
C、m=﹣2 D、m=2
考点：分式方程的增根。21世纪教育网版权所有
专题：计算题。
分析：增根是分式方程化为整式方程后产生的使分式方程的分母为0的根．有增根，那么最简公分母x﹣1=0，所以增根是x=1，把增根代入化为整式方程的方程即可求出未知字母的值．
解答：解：方程两边都乘（x﹣1），得
x+2=m+1
∵方程有增根，
∴增根使最简公分母x﹣1=0，即增根是x=1，
把x=1代入整式方程，得m=2．故选D．
点评：增根问题可按如下步骤进行：
①根据最简公分母确定增根的值；
②化分式方程为整式方程；
③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．
7、若分式方程有增根，则m的值为（ ）21世纪教育网版权所有
A、1 B、﹣1
C、3 D、﹣3
考点：分式方程的增根。21世纪教育网版权所有
专题：计算题。
分析：增根是化为整式方程后产生的不适合分式方程的根．所以应先确定增根的可能值，让最简公分母x﹣1=0，得到x=1，然后代入化为整式方程的方程算出未知字母m的值．
解答：解：方程两边都乘x﹣1，
得3x=m，
∵原方程有增根，
∴最简公分母x﹣1=0，
解得x=1，
把x=1代入3x=m得，m=3，故选C．
点评：增根问题可按如下步骤进行：
①让最简公分母为0确定增根；
②化分式方程为整式方程；
③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．
8、若分式方程有增根，则a的值为（ ）21世纪教育网版权所有
A、4 B、2
C、1 D、0
9、解关于x的方程产生增根，则常数m的值等于（ ）
A、﹣1 B、﹣2
C、1 D、221世纪教育网版权所有
考点：分式方程的增根。
专题：计算题。
分析：增根是分式方程化为整式方程后产生的使分式方程的分母为0的根．本题的增根是x=1，把增根代入化为整式方程的方程即可求出未知字母的值．
解答：解；方程两边都乘（x﹣1），得
x﹣3=m，21世纪教育网版权所有
∵方程有增根，
∴最简公分母x﹣1=0，即增根是x=1，
把x=1代入整式方程，得m=﹣2．故选B．
点评：增根问题可按如下步骤进行：
①确定增根的值；
②化分式方程为整式方程；
③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．
10、若方程=7有增根，则k=（ ）
A、﹣1 B、0
C、1 D、621世纪教育网版权所有
考点：分式方程的增根。
专题：计算题。
分析：增根是分式方程化为整式方程后产生的使分式方程的分母为0的根．有增根，那么最简公分母x﹣6=0，所以增根是x=6，把增根代入化为整式方程的方程即可求出未知字母的值．
解答：解：方程两边都乘（x﹣6），得
x﹣7+k=7（x﹣6）
∵方程有增根，
∴最简公分母x﹣6=0，即增根是x=6，
把x=6代入整式方程，得k=1．故选C．
点评：增根问题可按如下步骤进行：
根据最简公分母确定增根的值；
②化分式方程为整式方程；21世纪教育网版权所有
③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．
11、若分式方程有增根，则m的值是（ ）
A、﹣1或1 B、﹣1或2
C、1或2 D、1或﹣2
考点：分式方程的增根。
分析：增根是分式方程化为整式方程后产生的使分式方程的分母为0的根．有增根，那么最简公分母x（x+1）=0，所以增根是0或﹣1，把增根代入化为整式方程的方程即可求出未知字母的值．
解答：解：方程两边都乘x（x+1），得
2x2﹣（m+1）=（x+1）2
∵最简公分母x（x+1）=0，
∴x=0或x=﹣1．
当x=0时，m=﹣2；
当x=﹣1时，m=1．故选D．
点评：增根问题可按如下步骤进行：21世纪教育网版权所有
①根据最简公分母确定增根的值；
②化分式方程为整式方程；
③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．
12、若分式方程有增根，则增根可能是（ ）
A、1 B、﹣1
C、1或﹣1 D、021世纪教育网版权所有
13、关于x的方程产生增根，则m的值及增根x的值分别为（ ）
A、m=﹣1，x=﹣3 B、m=1，x=﹣3
C、m=﹣1，x=3 D、m=1，x=3
考点：分式方程的增根。
分析：增根是分式方程化为整式方程后产生的使分式方程的分母为0的根．有增根，那么最简公分母x+3=0，所以增根是x=﹣3，把增根代入化为整式方程的方程即可求出未知字母的值．
解答：解：方程两边都乘（x+3），得
x+2=m21世纪教育网版权所有
∵方程有增根，
∴最简公分母x+3=0，即增根是x=﹣3，
把x=﹣3代入整式方程，得m=﹣1．故选A．
点评：增根问题可按如下步骤进行：
①根据最简公分母确定增根的值；
②化分式方程为整式方程；
③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．
14、若关于x的方程有增根，则m的值是（ ）
A、﹣2 B、2
C、5 D、3
考点：分式方程的增根。21世纪教育网版权所有
分析：增根是分式方程化为整式方程后产生的使分式方程的分母为0的根．有增根，那么最简公分母x﹣5=0，所以增根是x=5，把增根代入化为整式方程的方程即可求出未知字母的值．
解答：解：方程两边都乘（x﹣5），得
2﹣x+m=0
∵由最简公分母x﹣5=0，可知增根是x=5，
把x=5代入整式方程，得
2﹣5+m=0，
∴m=3．故选D．21世纪教育网版权所有
点评：增根问题可按如下步骤进行：
①确定增根的值；
②化分式方程为整式方程；
③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．
15、如果方程有增根，那么k的值（ ）
A、1 B、﹣1
C、±1 D、7
16、若关于x的方程=产生增根，则m是（ ）
A、1 B、2
C、3 D、4
考点：分式方程的增根。21世纪教育网版权所有
专题：计算题。
分析：增根是分式方程化为整式方程后产生的使分式方程的分母为0的根．把增根代入化为整式方程的方程即可求出未知字母的值．
解答：解：方程两边都乘（x﹣2），得
x+1=m﹣1
∵最简公分母为（x﹣2），
∴原方程增根为x=2，
∴把x=2代入整式方程，得m=4．21世纪教育网版权所有
故选D．
点评：增根确定后可按如下步骤进行：
①化分式方程为整式方程；
②把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．
17、若分式方程有增根，则k值为（ ）
A、4或﹣6 B、﹣4或﹣621世纪教育网版权所有
C、﹣4或6 D、4或6
考点：分式方程的增根。
专题：计算题。
分析：增根是分式方程化为整式方程后产生的使分式方程的分母为0的根．把增根代入化为整式方程的方程即可求出未知字母的值．
解答：解：方程两边都乘（x+2）（x﹣2），得
2x+4+kx=3（x﹣2），
∵原方程有增根，21世纪教育网版权所有
∴最简公分母（x+2）（x﹣2）=0，
∴增根是x=2或﹣2，
当x=2时，k=﹣4；
当x=﹣2时，k=6．
故选C．21世纪教育网版权所有
点评：增根确定后可按如下步骤进行：
①化分式方程为整式方程；
②把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．
18、对于分式方程，下列说法中，一定正确的是（ ）
A、只要是分式方程，一定有增根 B、分式方程若有增根，增根代入最简公分母中，其值一定为021世纪教育网版权所有
C、使分式方程中分母为零的值，都是此方程的增根 D、分式方程化成整式方程，整式方程的解都是分式方程的解
19、如果方程有增根，则k的值（ ）
A、8 B、﹣8
C、8或﹣8 D、不存在
考点：分式方程的增根。21世纪教育网版权所有
专题：计算题。
分析：增根是分式方程化为整式方程后产生的使分式方程的分母为0的根．有增根，那么最简公分母（x+2）（x﹣2）=0，所以增根是x=2或﹣2，把增根代入化为整式方程的方程即可求出未知字母的值．
解答：解：方程两边都乘（x+2）（x﹣2），得
x（x+2）﹣k=x（x﹣2）
∵原方程有增根，21世纪教育网版权所有
∴最简公分母（x+2）（x﹣2）=0，
∴增根是x=2或﹣2，
当x=2时，k=8；
当x=﹣2时，k=﹣8．
故选C．
点评：增根问题可按如下步骤进行：
根据最简公分母确定增根的值；
②化分式方程为整式方程；21世纪教育网版权所有
③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．
20、若分式方程=有增根，此时k=（ ）
A、0 B、1
C、2 D、3
二、填空题（共5小题）21世纪教育网版权所有
21、关于x的方程=0有增根，则m= 9 ．
考点：分式方程的增根。
专题：计算题。21世纪教育网版权所有
分析：首先将方程化为整式方程，求出方程的根，若方程有增根，则方程的根满足分母x2﹣m=0，由此求得m的值．
解答：解：方程两边都乘以（x2﹣m），得：x﹣3=0，即x=3；
由于方程有增根，故当x=3时，x2﹣m=0，即9﹣m=0，解得m=9；
故答案为：m=9．
点评：解决增根问题的步骤：
确定增根的值；
②化分式方程为整式方程；21世纪教育网版权所有
③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．
22、已知方程有增根，则k= ﹣ ．
考点：分式方程的增根。
专题：计算题。
分析：增根是分式方程化为整式方程后产生的使分式方程的分母为0的根．有增根，那么最简公分母（2+x）（2﹣x）=0，所以增根是x=2或﹣2，把增根代入化为整式方程的方程即可求出k的值．
解答：解：方程两边都乘（2+x）（2﹣x），得
1+2×（2+x）（2﹣x）=﹣k（2+x）
∵原方程有增根，
∴最简公分母（2+x）（2﹣x）=0，
∴增根是x=2或﹣2，21世纪教育网版权所有
当x=2时，k=﹣；
当x=﹣2时，k无解．
点评：增根问题可按如下步骤进行：
①根据最简公分母确定增根的值；
②化分式方程为整式方程；
③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．
23、若关于x的方程﹣1=0有增根，则a的值为 ﹣1 ．
考点：分式方程的增根。21世纪教育网版权所有
分析：增根是化为整式方程后产生的不适合分式方程的根．所以应先确定增根的可能值，让最简公分母x﹣1=0，得到x=1，然后代入化为整式方程的方程算出未知字母的值．
解答：解：方程两边都乘（x﹣1），得
ax+1﹣（x﹣1）=0，
∵原方程有增根
∴最简公分母x﹣1=0，即增根为x=1，
把x=1代入整式方程，得a=﹣1．
点评：增根问题可按如下步骤进行：21世纪教育网版权所有
①让最简公分母为0确定增根；
②化分式方程为整式方程；
③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．
24、已知关于的方程有增根，则a的值等于 ．
考点：分式方程的增根。
专题：计算题。
分析：增根是分式方程化为整式方程后产生的使分式方程的分母为0的根．有增根，那么最简公分母（x+1）（x﹣1）=0，所以增根是x=1或﹣1，把增根代入化为整式方程的方程即可求出a的值．
解答：解：方程两边都乘（x+1）（x﹣1），得
a（x﹣1）﹣3=（x+1）（x﹣1），
∵原方程有增根，
∴最简公分母（x+1）（x﹣1）=0，21世纪教育网版权所有
∴增根是x=1或﹣1，
当x=﹣1时，a=﹣；
当x=1时，a无解．
点评：增根问题可按如下步骤进行：
根据最简公分母确定增根的值；
②化分式方程为整式方程；21世纪教育网版权所有
③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．
25、分式方程=0有增根x=1，则k的值为 ﹣1 ．
三、解答题（共5小题）
26、①解方程21世纪教育网版权所有
②当a为何值时，关于x的方程①会产生增根？
考点：解分式方程；分式方程的增根。
专题：方程思想。21世纪教育网版权所有
分析：①观察可得最简公分母是（2x﹣1），方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解．
②增根是化为整式方程后产生的不适合分式方程的根．所以应先确定增根的可能值，让最简公分母（x+2）（x﹣2）=0，得到x=﹣2或2，然后代入化为整式方程的方程算出a的值．
解答：解：①方程两边都乘以（x+2），得
x﹣1=3﹣x+2（x+2），
﹣4=4
所以原方程无解．（4分）
②方程两边都乘以（x+2）（x﹣2），得21世纪教育网版权所有
2（x+2）+ax=3（x﹣2）
整理得（a﹣1）x=﹣10（1）
若原分式方程有增根，则x=2或﹣2是方程（1）的根．
把x=2或﹣2代入方程（1）中，21世纪教育网版权所有
解得a=﹣4或6．（6分）
点评：考查了解分式方程，（1）解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．
（2）解分式方程一定注意要验根．
同时考查了增根问题，可按如下步骤进行：
①让最简公分母为0确定增根；
②化分式方程为整式方程；
③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．
27、a为何值时，关于x的方程会产生增根？
考点：分式方程的增根。
专题：计算题。
分析：增根是化为整式方程后产生的不适合分式方程的根．所以应先确定增根的可能值，让最简公分母（x+2）（x﹣2）=0，得到x=﹣2或2，然后代入化为整式方程的方程算出a的值．
解答：解：原方程可化为2（x+2）+ax=3（x﹣2）（a﹣1）x=﹣10．
此方程的增根x=±2，
当x=2时，（a﹣1）×2=﹣10，a=﹣4；21世纪教育网版权所有
当x=﹣2时，（a﹣1）×（﹣2）=﹣10，a=6．
因此当a=﹣4或a=6时，关于x的方程会产生增根．
点评：增根问题可按如下步骤进行：
让最简公分母为0确定增根；
②化分式方程为整式方程；21世纪教育网版权所有
③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．
28、当m为何值时，去分母解方程=1﹣会产生增根？
考点：分式方程的增根。
专题：计算题。21世纪教育网版权所有
分析：增根是分式方程化为整式方程后产生的使分式方程的分母为0的根．有增根，那么最简公分母3（x﹣2）=0，所以增根是x=2，把增根代入化为整式方程的方程即可求出m的值．
解答：解：方程两边都乘3（x﹣2），得
4x+1=3x﹣6+3（5x﹣m）
即3m=14x﹣7
分式方程若有增根，则分母必为零，即x=2，
把x=2代入整式方程，
3m=14×2﹣7，解得m=7，
所以当m=7时，去分母解方程=1﹣会产生增根．
点评：根问题可按如下步骤进行：
根据分式方程的最简公分母确定增根；
②化分式方程为整式方程；21世纪教育网版权所有
③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．
29、分式方程+3=有增根．（1）这个增根是什么？（2）求m的值．
考点：分式方程的增根。
专题：计算题。
分析：增根是分式方程化为整式方程后产生的使分式方程的分母为0的根．有增根，那么最简公分母x﹣2=0，所以增根是x=2，把增根代入化为整式方程的方程即可求出未知字母的值．
解答：解：（1）∵方程有增根，
∴最简公分母x﹣2=0，即增根是x=2．21世纪教育网版权所有
（2）方程两边都乘（x﹣2），得
m+3（x﹣2）=x﹣1
把增根x=2代入整式方程，得m=1．
点评：增根问题可按如下步骤进行：
①根据最简公分母确定增根；
②化分式方程为整式方程；
③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．
本题需注意分母互为相反数的分式方程的最简公分母是相反数中的一个．
30、已知关于x的方程有增根，则k为多少？21世纪教育网版权所有
考点：分式方程的增根。
专题：计算题。
分析：有增根是原方程化为整式方程后，产生的使原分式方程分母为0的根．在本题中，应先确定增根是3，然后代入化成整式方程的方程中，求得k的值．
解答：解：∵关于x的方程有增根，
∴x﹣3=0，则x=3，
∵原方程可化为4x=13﹣k，
将增根x=3代入得k=1．
点评：增根问题可按如下步骤进行：21世纪教育网版权所有
①确定增根的值；
②化分式方程为整式方程；
③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．
